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Corriente y resistencia
Ley de Ohm
Portadores de carga
A
dQ
I
dt
Corriente a través del área A
1C
1A 
1s
A ampere
Es convencional asignar a la corriente la misma dirección que la del flujo de carga
positiva.
Modelo microscópico:
n número de portadores por unidad de volumen
q carga de cada portador
vd velocidad de deriva
La carga dQ que, en un intervalo de tiempo dt, pasa a través del área A es:
dQ  nqv d Adt
Luego:
I  nqv d A
Rapidez de arrastre en un alambre de cobre de sección transversal igual a
S  3.31106 m 2
Masa molar: m=63.5 g/mol
Densidad del Cu:
r  Vm
r8.95 g/cm3
luego, el volumen ocupado por un mol de Cu es:
63.5
3
V
 7.09cm
8.95
Luego, ya que cada átomo de Cu aporta un electrón:
6.02 10
n
7.09
23
 8.49 10 e / m
28
3
En un micrón3 de Cu
hay aprox. 8.49x1010
electrones.
(ochenta y cinco mil
millones de electrones
de conducción)
Luego:
I
vd 
nqA
Y si conduce una corriente de 10 A:
10
vd 
28
19
6
8.49 10 1.6 10  3.3110
4 m
 2.22 10
s
Resistencia y ley de Ohm
conductor
Ley de Ohm



J  nqv d  E
l
+
V  El
Luego:
conductividad
V
J  E 
l
lJ
l
V  
I  RI
 A
l
rl
resistividad
R

A A
Unidad de resistencia: Ohm
1V
1 
1A
r
1

Resistividad (a 200 C)
Plata 1.59  10 8   m
Cobre 1.7  10 8   m
Oro
2.44  10 8   m
Alu min io 2.82  10 8   m
Platino 11 10 8   m
Plomo 22  10 8   m
Aleación Nicromo 1.5  10 6   m
Silicio
640   m
Vidrio 1010 a 1014   m
Azufre 1015   m
Cuarzo fundido 75  1016   m
Código para las resistencias
0
dos primeros dígitos
tolerancia
1
2
3
4
5
exponente de
la potencia de 10
6
7
8
9
oro
plata
sin color
10 1
5%
10 2 10%
20%
tolerancias
24  10 
6
tolerancia 5%
Representación en un circuito
I
pendiente
1
R
resistencia que no cumple la ley de Ohm
V
Resistencia y temperatura:
r  ro 1   T  To 
Temperatura en
grados Celsius
1 r

r o T
R  Ro 1   T  To 
1 R

Ro T
R R  Ro
T 

Ro
Ro
coeficiente de temperatura de resistividad
Segundo Control; Primera parte. Problema 1
El circuito de la figura consiste en una fuente electromotriz y dos
resistencias, R0, de nicromo cuyo coeficiente de temperatura de
resistividad es .
El circuito se encuentra inicialmente a temperatura T0.

R0
I


R0
Encuentre el cambio en la intensidad de la corriente I,
cuando la temperatura de una de las resistencias aumenta en
20 0C.
Segundo Control; Segunda parte. Problema 3
El circuito de la figura consiste en una fuente electromotriz y dos
resistencias, R0, de nicromo cuyo coeficiente de temperatura de 
resistividad es , en presencia de un campo magnético constante, B
perpendicular al plano del circuito. El circuito se encuentra inicialmente a
temperatura T0.
P

R0         
I


R0




Q
Encuentre el cambio en la fuerza sobre el segmento PQ del circuito,
cuando la temperatura de una de las resistencias aumenta en
20 0C.
Superconductividad
r
Resistividad de un metal
en función de la temperatura
ro
T
Tc
Material
R ( )
0.15
Heike Kamerlingh-Omes
1911 (holandés)
HgBa2Ca2Cu3O8
134 K
Tl-Ba-Ca-Cu-O
125 K
Bi-Sr-Ca-Cu-O
105 K
YBa2Cu3O7
0.10
Nb3Ge
Hg
0.05
0.0
Tc 4.2
temperatura crítica
4.4
92 K
23.2 K
Nb3Sn
18.05 K
Nb
9.46 K
Pb
7.18 K
Hg
4.15 K
Sn
3.72 K
Al
1.19 K
Zn
0.88 K
T (K )
Cu, Ag, Au, nunca
Potencia eléctrica
V
+
Q
R
U  QV
U  QV
Potencia eléctrica:
P

dU d
dQ
V 
2

 (QV ) 
V  IV  RI 
dt dt
dt
R
2
Sistema MKS: volt, ampère, ohm,watt
Fuerza electromotriz: fem
Corriente directa: constante
+
La fuerza electromotriz, fem, de una batería
es el voltaje máximo posible que puede
suministrar entre sus terminales.
V  cte
Batería
Resistencia interna: la batería puede tener una resistencia interna r.
a

I
+
b

r


d
Vab    Ir  Vcd  IR
R

I
c
resistencia de carga
luego:
  IR  Ir
y entonces
I

Rr
Potencia total de salida:
I  RI  rI
2
voltaje en circuito abierto
2
Segundo Control; Primera parte. Problema 2
La resistencia interna de una batería es r. En un circuito que tiene sólo una
batería y una resistencia de carga R ¿cuál tiene que ser la resistencia
de carga en función de r, para que la potencia que le entrega la batería sea igual
a la mitad de la potencia máxima que la batería le puede entregar?


R
La potencia máxima entregada a la resistencia de carga ocurre cuando la
resistencia de carga es igual a la resistencia interna, en efecto:
P
 I 2R 
 2R
(R  r)2
2
P    2 R 
(
R

r
)
 2 R( R  r )
2



0
2 
4
R R  R  r  
R  r 
R  r  2 Rr  2 R  2 Rr  0
2
luego:
2
2
Rr
P
poca corriente:
poca disipación.
Pmáx
r
mucha corriente:
mucha disipación interna
R
Resistencias en serie y en paralelo:
En serie:
R1
R2
I
+
V
V  V1  V2  IR1  IR2  ( R1  R2 ) I  Req I
Para N resistencias en serie:
N
Req   Rn
n 1
En paralelo:
R1
I1
I2
R2
I
V
+
V V
1
1
1
I  I1  I 2 

 (  )V 
V
R1
R2
R1 R2
Req
Para N resistencias en paralelo:
N
1
1

Req n 1 Rn
Considerar las resistencias siguientes:

Puntos a igual potencial
Simetría
Por esta resistencia no pasa corriente.
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Req 
5
R
6
7
8
4
R
3
8
3
6
3
6
5
1
2
R
3
R
6
2
5
4
Leyes de Kirchhoff:
Primera ley: CONSERVACION DE LA CARGA.
La suma de las corrientes que entran en cualquier unión
es igual a la suma de las corrientes que salen de ella.
I
entran
  I salen
Segunda ley: CONSERVACION DE LA ENERGIA.
La suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos del
circuito cerrado debe ser igual a cero.
 V  0
circuito
cerrado
+
I
   IR  0
R
Primera ley es obvia: existe una sola corriente.
Segunda ley:
  IR  0
luego:
I

R
I

R
la corriente por aquí es I 2
ya que no hay acumulación de carga.
+1
Tres mallas:
f
e
R1
I2
b
a
2
que proveen 3 ecuaciones
I1
+
c
R3
R2
abcda
befcb
aefda
I3
d
Otra ecuación es:
I1  I 2  I 3
Las incógnitas son:
I1 , I 2 , I 3
Las ecuaciones son en este caso:
 1  I1R3   2  I 2 R1  0
befcb
 2  I1R3  I 3 R2  0
abcda
I1  I 2  I 3
Dadas las resistencias resolvemos estas tres ecuaciones para encontrar
las corrientes
I1 , I 2 , I 3
Carga de un capacitor:
R
q
  IR   0
C

q
I 
R CR
C
I
+

Circuito RC
o bien:
dq 
q
 
dt R CR
dq 
q
 
dt R CR
dq

q

R CR
q

0
 dt
dq
q

R CR
t
  dt
0
q 

 CR ln  
 t
 R CR  0
q
q 

t

ln  
  ln  
R
CR
 R CR 
q 
t

ln 1 

CR
 C 
q
1
e
C

t
CR


q(t )  C 1  e 

t




  CR
constante de tiempo
q(t )
C
0.632C
0

t
Intensidad de corriente al cargar un capacitor:
dq(t ) C
I (t ) 

e
dt


t



R
e

t

 I 0e

t

I (t )
I0
1
e  0.368
0.368I 0

t
Descarga de un capacitor:
R
C
I
q
 IR   0
C
dq
q

dt
CR
dq
q

dt
CR
dq
dt

q
CR
q
t
dq
dt
Q q  0 CR
q(t )  Qe
q
t
 ln  
Q
CR

t

q(t )
Q
0.368Q
0
1
e  0.368

t
Intensidad de corriente al descargar un capacitor:
dq(t )
Q
I (t ) 
 e
dt

I (t )   I 0e
I (t )


t

Q

e
RC

t
RC


R
e

t
RC
t
RC

t
 0.368I 0
La corriente tiene signo negativo:
va en sentido contrario.
 I0
Segundo control; segunda parte. Problema 1
Considere el siguiente circuito RC.
R
C
I
+

S
En t=0, estando el condensador completamente descargado, cerramos
el interruptor S y luego lo abrimos en t=  (constante de tiempo del circuito)
Encuentre la corriente en el circuito en el momento de abrir el interruptor
Encuentre la carga del condensador y la corriente en el instante t=2.
Esquematice un gráfico de la corriente entre t=0 y t=2.
h
l
L
Resistividad
R
rL
A
r
R
rL
Resistencia de un cono truncado.
A
b
a
h
h
rdx
dR  2
r
b
r
a
x
x
b r

L x
L
rL2
Rcono  2
b
truncado
dx rL2  1
1  r L  h 
h
rh
Lh x 2  b2  L  h  L   a 2  L  hL  ab
L
2
R
rL
A
rdx
dR  2
r
r 2  b2  x2
b
r
x
r bd
Resfera  ln
b b  d
truncada
x
b
2d
Segundo Control; segunda parte. Problema 2
Con un cilindro homogéneo de radio R, se quiere construir una resistencia
que sea igual a la de una esfera homogénea y truncada de radio R,( truncada
rebanando a la altura R/2). Si la resistividad del material del cilindro es el doble
que la correspondiente a la esfera, ¿cuál deberá ser la altura del cilindro?
R
250V
2R
4R
I ?
3R
500V