Download 2.- Densidad de corriente. Ecuación de continuidad.

Lección 3
Corriente Eléctrica. Circuitos de corriente continua.
1.
Movimiento de cargas. Corriente eléctrica.
1
2.
Densidad de corriente. Ecuación de continuidad.
2
2.1.
Densidad de corriente.
2
2.2.
Ecuación de continuidad.
4
3.
La conducción en metales
5
3.1.
Modelo microscópico de la conducción eléctrica.
5
3.2.
Conductividad y resistividad.
8
3.3.
Resistencia eléctrica. Ley de Ohm.
9
3.4.
Asociación de resistencias.
11
4.
Energía de los circuitos eléctricos. Potencia eléctrica, Ley de Joule.
12
5.
Fuerza electromotriz. Generadores. Ley de Ohm generalizada.
13
6.
Análisis de circuitos de corriente continua.
17
6.1.
Elementos de circuito: Definiciones previas.
17
6.2.
Reglas de Kirchhoff.
20
6.3.
Principio de superposición.
22
6.4.
Métodos sistemáticos de análisis de circuitos.
23
6.5.
Teoremas de Thevenin y Norton.
27
6.6.
Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia.
30
Transitorios en circuitos RC. Carga y descarga del condensador.
31
7.
Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
1.-
1
Movimiento de cargas. Corriente eléctrica..
Una corriente eléctrica consiste en un flujo de partículas cargadas o iones. Esto
se aplica tanto a las partículas cargadas de un acelerador como a iones en una
solución electrolítica o a los electrones y huecos en conductores y semiconductores.
La Intensidad de una corriente eléctrica, I, se define como la carga eléctrica que pasa
por unidad de tiempo a través de la unidad de sección de la región por donde fluye,
(p.e. la sección de un cable metálico).
I=
dQ
dt
[3.1]
La intensidad de corriente es una magnitud escalar y su unidad en el S.I. es el
amperio = 1 C⋅s-1. Se considera por convenio, que la corriente se mueve según el
sentido de las cargas positivas (es decir a favor del campo o de potenciales
decrecientes). Por tanto, si una corriente se debe al movimiento de partículas con
carga negativa, como los electrones, la dirección convencional de la corriente es
opuesta al movimiento de los electrones. Si hay partículas con cargas opuestas, como
en una solución electrolítica o en un semiconductor, la corriente eléctrica consiste en
partículas que se mueven en direcciones opuestas. En este último caso, dado que las
partículas se mueven en sentidos opuestos, ambas producen corriente en el mismo
sentido. En casi todas las aplicaciones, el movimiento de cargas negativas en un
sentido es indistinguible del movimiento de cargas positivas en el sentido opuesto.
En el tema de conductores se ha visto que al someter un conductor a un campo
eléctrico cuando se alcanza el equilibrio electrostático, el campo se anula en su interior
y cesa el movimiento de cargas. En este tema veremos que por causa de una fuente
de energía externa, en el interior del conductor, y en cada punto de él, se mantiene un
campo eléctrico invariable con el tiempo, por lo que sobre los portadores de carga libre
actuará una fuerza y se pondrán en movimiento en el interior del conductor, dando
lugar a un transporte de energía eléctrica.
2.- Densidad de corriente. Ecuación de continuidad.
2.1.- Densidad de corriente.
La corriente eléctrica puede relacionarse con el movimiento de las partículas
individuales que la constituyen. Para analizar esto, supongamos un conductor filiforme
como el de la figura en el que supondremos que sólo existe un único tipo de
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Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
2
portadores todos con la misma q y que se mueven con la misma velocidad v.
Supondremos, además conocido el número de portadores de carga por unidad de
volumen que denominaremos n.
Para calcular la intensidad de corriente que pasa por un elemento de área S
será necesario conocer la carga dQ que pasa a través de dicha superficie en un cierto
intervalo de tiempo ∆t. Es evidente, que ese tiempo, todas las partículas contenidas en
el volumen Sv∆t pasarán a través del elemento de área situado en el punto P. La
carga total que pasa a través de esa superficie es:
P
∆Q = qnSv∆t
S
v
[3.2]
la corriente en el punto P es, por tanto:
q
I=
v∆t
∆Q
= qnvS
∆t
[3.3]
La corriente por unidad de área se denomina densidad de corriente:
J=
I
= qnv
S
[3.4]
cuyas unidades (en el SI) será los A/m2. Esta definición se puede generalizar a
cualquier tipo de corriente (confinada o no en conductor): Por tanto, definiremos el
vector densidad de corriente como:
r
r
J = qnv
[3.5]
Este vector tiene el sentido de la velocidad de desplazamiento para cargas
positivas y opuesto para cargas negativas. La velocidad que aparece en [3.3] es la
velocidad media de los portadores de carga. Si la corriente se debe a distintos tipos de
portadores de carga de diferente carga, velocidad media, o densidad, la densidad de
corriente será la suma de las densidades de corriente debidas a los distintos tipos de
partículas. Así,
r
r
J = ∑ qi ni vi
[3.6]
i
θr
J
r
S
Si el vector densidad de corriente es
constante en una superficie S, la corriente
que la atraviesa es simplemente
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Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
3
r r
I = J ⋅ S = JS cos θ
[3.7]
donde hemos tenido en cuenta que la superficie y el vector densidad de corriente no
tienen por qué estar alineados. Si la densidad de corriente no es constante en toda la
superficie, tendremos que dividirla en elementos diferenciales (en los que podamos
r
considerar que J es constante), calcular la contribución de cada elemento de
superficie, y después sumarlas todas. Por tanto, a corriente que pasa por una
superficie arbitraria S será:
r r
I = ∫ J ⋅ dS
[3.8]
S
Por tanto, la intensidad, es el flujo del vector densidad de corriente a través de
la superficie.
Ejemplo. Por un conductor de cobre de 10 mm de diámetro circula una corriente de 20 A.
Admitiendo que cada átomo tiene un electrón libre, calcular la velocidad de
desplazamiento de los electrones. Datos: Densidad del cobre, ρCu = 8.93 g/cm3, Masa
molecular del cobre, MmCu = 6.35 g/mol, Número de Avogadro, NA= 6.023×1023 at/mol,
carga del electrón, qe= 1.60×10-19 C.
Aplicando la ecuación [3.4] la velocidad de desplazamiento será:
J=
I
I
= qe nv ⇒ v =
qe nS
S
en esta ecuación, conocemos la carga del electrón q e , la superficie S = πr 2 y la
intensidad de corriente I, de forma que debemos determinar la densidad de portadores
n. Teniendo en cuenta que hay un electrón por cada átomo de cobre, ésta es:
(
) (
)
N A × ρ Cu
6.023 × 10 23 at mol × 8.92 g cm 3
n=
=
= 8.47 × 10 23 at cm 3
M mCu
63.5 g mol
sustituyendo los datos en la expresión de la velocidad obtenemos:
v=
20 A
I
=
= 1.9 × 10 −3 cm s
2
−19
23
3
qe nS (1.609 × 10 C )× (8.47 × 10 at cm )× π × (0.5 cm)
Este resultado nos muestra que las velocidades de desplazamiento típicas de
los portadores de carga son muy pequeñas. De forma que la corriente en un conductor
no se debe a pequeñas cantidades de carga que se desplazan rápidamente si no a
grandes cantidades que se desplazan lentamente.
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2.2.- Ecuación de continuidad.
Si consideramos una superficie cerrada S
r r
I = ∫ J ⋅ dS
la corriente I que sale por ella representa la
S
rapidez con que la carga abandona el volumen V
−
encerrado por ella. Recordemos que unas de las
leyes básicas de la física es que la carga es
dQ
dt
indestructible; es decir que nunca se pierde o se
crea.
Las cargas se pueden mover de un sitio a otro pero nunca aparecer de la nada,
esto se expresa diciendo que la carga se conserva. Si hay una corriente neta saliendo
de una superficie cerrada la cantidad de carga en el interior debe disminuir en la
cantidad correspondiente. Este resultado se conoce con el nombre de Ecuación de
Continuidad.
−
r r
dQdentro
= ∫ J ⋅ dS
S
dt
[3.9]
Si la carga dentro del volumen encerrado por la superficie S permanece
constante será porque no hay un aporte o retirada neta de carga (carga neta que entra
en el volumen es igual que la que sale), es decir dQ/dt=0. En este caso se cumplira
que:
r
∫ J ⋅ dS = 0
[3.10]
S
Diremos, en este caso, que las corrientes son estacionarias. Una corriente
estacionária cumple que I = Cte en todo punto del conductor y en todo instante.
r
dS lat
En efecto, consideremos un tubo
r
dS1
de corriente por el que circula una
corriente estacionaria y calculemos el
r
J
r
J
r r
dS 2 J
r
flujo del vector J .
r
r
r
r
r
r
r
r
∫ J ⋅ dS = ∫ J ⋅ dS + ∫ J ⋅ dS + ∫ J ⋅ dS = − I (1) + 0 + I (2) = 0 ⇒ I (1) = I (2)
S
S1
S Lateral
S2
[3.11]
y se cumple que la intensidad que entra por la superficie 1 es iguan que la que sale
por la superficie 2. En esta lección no dedicaremos fundamentalmente al estudio de
las corrientes estacionarias.
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3.- La conducción en metales
3.1.- Modelo microscópico de la conducción eléctrica
Hasta ahora hemos supuesto que las partículas cargadas se mueven con
velocidad v aunque no nos hemos preocupado de cuáles eran las causas de su
movimiento. Con este fin, analizaremos ahora la dinámica de los portadores de carga
cuando se establece una corriente eléctrica en un conductor metálico debido a un
campo externo aplicado. Para ello utilizaremos un modelo simplificado del propuesto
por Drude en el año 1900.
Con un conjunto de cargas libres para moverse en el interior de un conductor
r
metálico. Supongamos, también, que existe un campo eléctrico E dirigido a lo largo
r
r
del conductor. Sobre cada carga q actuará una fuerza neta de valor F = qE de forma
r
que cada carga adquirirá una aceleración a = (q m )E según la segunda ley de
r
Newton. Este modelo no es válido para explicar una corriente estacionaria pues
velocidad de las cargas aumentaría con el tiempo debido a la aceleración y la
intensidad de corriente I = qnvS también sería cada vez mayor y no sería constante.
Es, por tanto, necesaria una fuerza que equilibre la fuerza provocada por el campo
eléctrico de forma que la aceleración sea cero.
r r
E=0
+
+
Analicemos cual puede ser el origen de esta
fuerza. El movimiento real de los portadores de carga
+
en el conductor es muy complicado. Si en el conductor
no existe campo eléctrico, los portadores se mueven
+
+
+
en
direcciones
aleatorias
y
a
velocidades
relativamente grandes debido a su energía térmica.
+
+
+
Esta velocidad está dada por:
r
vm = 0
vTérmica =
3kT
m
[3.11]
en donde k es la constante de Boltzmann ( k = 1.381 × 10 −23 J K ). Para tener una idea
de la magnitud de esta velocidad calcularemos su valor para una temperatura de 300
K (25 ºC aproximadamente). Esta es:
vTérmica =
(
)
3 × 1.381 × 10 − 23 J K × (300 K )
= 1.17 × 10 5 m s
−31
9.11 × 10 kg
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que es muy alta en comparación con la velocidad de arrastre por el campo calculada
en el ejemplo anterior. No obstante, teniendo en cuenta que en un conductor hay un
número muy alto de portadores de carga libre (del orden de 1023 como vimos en el
ejemplo anterior) moviéndose de forma aleatoria, y que los vectores velocidad de las
distintas partículas están orientados al azar, la velocidad media debida a la energía
térmica es nula. Es decir por cada partícula que se mueve en un determinado sentido,
siempre será posible encontrar otra que se mueva en sentido opuesto, de forma que el
desplazamiento de carga neto es nulo y no existirá ninguna intensidad de corriente
debida a los efectos térmicos.
Cuando
r r
E≠0
se
aplica
un
campo
eléctrico,
los
portadores adquieren una aceleración instantánea
r
r
debido a la fuerza F = qE , lo que hace que alcancen
+
+
+
una pequeña velocidad en la dirección del campo
aumentando su energía cinética. Pero debido al
+
+
+
movimiento de agitación térmica, existe una gran
probabilidad de que el electrón acelerado choque con
+
+
r
vm ≠ 0
+
un ión de la red de forma que la energía cinética que
adquieren es disipada rápidamente por los choques
con los iones fijos del conductor.
El resultado neto de esta aceleración y disipación de energía repetidas,
(además de provocar un calentamiento del conductor), es que los portadores de carga
adquieren una pequeña velocidad de desplazamiento en la dirección del campo que
se superpone a su velocidad grande, pero aleatoria, de origen térmico.
Podemos relacionar la velocidad de desplazamiento con el campo eléctrico
ignorando las velocidades térmicas aleatorias de los electrones y admitiendo que el
electrón parte del reposo después de un choque. A continuación plantearemos las
ecuaciones de la dinámica del electrón para lo que hemos de hacer un balance de
fuerzas. En primer lugar, la fuerza que actúa sobre un portador de carga en un
conductor en el que se ha establecido un campo eléctrico sabemos que es:
r
r
Fe = qE
[3.12]
En segundo lugar, la disipación de energía por choque con los iones de la red
podemos describirla, de forma matemática, suponiendo que sobre cada portador
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7
r
actúa, además de la fuerza debida al campo, una fuerza Fr que se opone al
movimiento de forma proporcional a la velocidad del portador.
r
r
Fr = −bv
[3.13]
Siendo b una constante que depende la estructura atómica del conductor y que
representa la dificultad con la que el electrón se desplaza a través de la red. Para
calcular la velocidad de los portadores, aplicamos la 2ª Ley de Newton:
r
r
r
dv r
ma = m
= Fe + Fd
dt
[3.14]
de forma que, sustituyendo [3.12] y [3.13] y reglando los términos obtenemos que
r dv
dv
k
q 
Fm
= qE − kv ⇒
= − v − E 
dt
dt
m
k 
[3.15]
que es una ecuación diferencial de primer orden y coeficientes constantes. Separando
las variables e integrando, obtenemos que
v (t )
∫
0
q 

t
 v(t ) − E 
dv
k
k =−k t
= − ∫ dt ⇒ ln
q
q 
m0
m



 − E 
v − E 
k


k 

despejando, obtenemos finalmente que
v(t ) =
qE 
1− e
k 
k
− t
m


 = v lim 1 − e




t
−
τ

 [3.17]


[3.16]
v(t)
vlim
vemos que la velocidad parte de cero y
alcanza el valor asintótico constante que
hemos denominado definido como:
t
v(t → ∞) = v lim =
qE
k
[3.18]
La rapidez con la que se alcance esta velocidad depende de la constante de
tiempo τ=m/k del conductor. Experimentalmente se sabe que, en un buen conductor,
esta constante suele ser del orden de 10-12s. Por tanto, prácticamente de forma
instantánea los portadores de carga se desplazarán por el conductor con una
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velocidad constante. La relación entre la velocidad de desplazamiento y el campo
aplicado es, por tanto;
r
r
vlim = µE
[3.19]
donde µ = q k es una constante que depende del tipo de portador y de la estructura
cristalina del sólido que se denomina movilidad de los portadores de carga. Sus en el
sistema internacional unidades son m 2 Vs .
3.2.- Conductividad y resistividad.
La ecuación [3.19] nos permite relacionar la densidad de corriente que aparece
en el conductor con el campo aplicado al mismo. En efecto si sustituimos [3.19] en
[3.5], la densidad de corriente será, una vez se alcance la velocidad límite,
r
r
r
r
J = qnvlim = qnµE = σE
[3.20]
Es decir la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico, este
resultado se suele denominar Ley de Ohm microscópica o local. La constante
σ = qnµ
[3.21]
depende evidentemente de cada material y se denomina conductividad eléctrica. Sus
unidades en el SI son los C Vms . Representa la facilidad que presenta un material
para que se establezca una corriente en su interior. También se suele utilizar el
inverso de la conductividad que se conoce con en nombre de resistividad: ρ = σ-1. En
función de la resistividad la Ley de Ohm microscópica se expresa como:
r
r
E = ρJ
evidentemente las unidades de la resistividad son Vms C .
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[3.22]
Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
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3.3.- Resistencia eléctrica. Ley de Ohm
Consideremos dos puntos de un hilo conductor de sección S separados por una
longitud L, y supongamos que existe un campo eléctrico uniforme en dicho conductor.
r
E
r
J
S
L
Va
Vb
La diferencia de potencial entre los dospuntos considerados es, considerando [3.22],
b
b
r r
Va − Vb = ∫ E ⋅ d l = ρJ ∫ dl = ρJL ⇒ Va − Vb = ρJL
a
[3.23]
a
y la intensidad que circula por el conductor será, teniendo en cuenta le geometría,
r r
I
I = ∫ J ⋅ dS = J .S ⇒ J =
S
S
[3.24]
con lo que finalmente:
Va − Vb = ρ
L
I
S
[3.25]
La cantidad ρL S se denomina resistencia eléctrica (R) y es una característica
de cada sustancia. Así
R=ρ
L
S
[3.26]
La ecuación [3.14] se puede expresar¡, entonces
Va − Vb = RI
[3.27]
la última expresión es la Ley de Ohm en forma macroscópica que se formula diciendo
que la diferencia de potencia a extremos de un conductor es proporcional a intensidad
que circula a través de él. La unidad S.I de resistencia es el Ohmio (Ω) = 1 V/A. La
unidad de resistividad será, por tanto, el Ω⋅m que se conoce con el nombre siemens.
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10
Es importante hacer notar que no todas las sustancias cumplen la Ley de Ohm,
los semiconductores, por ejemplo, no la cumplen. En la figura se representa la
característica tensión intensidad de un material óhmico y de un semiconductor.
En estos materiales la resistencia no es
V
una constante y depende de V e I. Para
ellos se define la resistencia dinámica en
cada punto por
rd =
I
dV
dI
[3.28]
Esta no es la única diferencia entre los conductores y los semiconductores, otra
diferencia importante es su comportamiento con la temperatura. La resistividad (y por
tanto la resistencia) de un material depende fuertemente de la temperatura, esta
dependencia se suele expresar de la forma:
ρ (T ) = ρ 20 [1 + α (T − 20º )]
[3.29]
siendo ρ20 la resistividad e 20º centígrados y α un coeficiente llamado coeficiente de
temperatura de la resistividad. En la siguiente tabla mostramos estas constantes para
distintos materiales.
Resistividades y coeficientes de temperatura
Material
Plata
Cobre
Aluminio
Tungsteno
Hierro
Plomo
Mercurio
Nicrom
Carbono
Germanio
Silicio
Madera
Vidrio
Azufre
Resistividad a 20ºC (Ω⋅m)
1.6×10-8
1.7×10-8
2.8×10-8
5.5×10-8
10.0×10-8
22.0×10-8
96.0×10-8
100.0×10-8
3500.0×10-8
0.45
640.0
108 − 1014
1010 − 1014
1×1015
Coeficiente de temperatura
a 20ºC, K-1
3.8×10-3
3.9×10-3
3.9×10-3
4.5×10-3
5.0×10-3
4.3×10-3
0.9×10-3
0.4×10-3
-0.5×10-3
-4.8×10-3
-7.5×10-3
Vemos, pues, que la resistencia de un conductor aumenta con la temperatura
mientras que la de los semiconductores (Ge y Si) disminuye con la temperaturas como
nos indica su coeficiente de temperatura negativo.
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Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
11
Ejemplo. Calcular cuánto varía la resistencia de un alambre de cobre de un metro de
longitud y 1 cm de diámetro cuando la temperatura varía de 20 a 10ºC.
A partir de [3.26] y [3.39] obtenemos que:
L
L
L
⇒ R (T ) = ρ (T ) = ρ 20 [1 + α (T − 20 º )]
S
S
S
R=ρ
de forma que: R (T ) = R (20 º C )[1 + α (T − 20 º )] . La resistencia a 20º C vale:
R (20º C ) = ρ 20
(
)
L
1m
= 1.7 × 10 −8 Ωm
S
π 0.5 × 10 − 2 m
(
)
2
= 1.08 × 10 −6 Ω
mientras que a 10ºC se cumplirá:
R (10 º C ) = R (20º C ) + R (20º C )α (T − 20º ) ⇒
R (10 º C ) − R (20º C )
= α (T − 20 º )
R (20 º C )
con lo que
∆R
= 3.9 × 10 −6 K −1 × (− 10 K ) = −3.9 × 10 −5
R
con lo cual, la resistencia disminuye en un 3.9 × 10 −3 %
3.4.- Asociación de resistencias
Asociación serie
Dos ó más resistencias conectadas de modo que a través de ellas circule la
misma intensidad se dicen que está en serie. Una asociación de resistencias puede
ser sustituida por otra equivalente Req que ofrezca la misma caída de potencial ∆V al
paso de la misma corriente I.
I
∆V1
∆V2
∆Vn
Si consideramos un conjunto de resistencias asociadas en serie, se cumplirá
que:
∆V = ∆V1 + ∆V2 + .... + ∆Vn = R1I + R2 I + .... = (R1 + R2 + .....)I = Req I
[3.30]
por tanto
Req = ∑ Ri
i
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[3.31]
Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
12
Asociación en paralelo.
Dos ó más resistencias conectadas de modo que estén sometidas a la misma
diferencia de potencial se dice que está en paralelo. De nuevo, si consideramos un
∆V
conjunto de resistencias en paralelo se cumplirá que:
I = I1 + I 2 + I3 + ... =
∆V ∆V ∆V
+
+
+ ...
R1 R2 R3
[3.32]
I1
de forma que
1 1 1

∆V
I =  + + + ...∆V =
Req
 R1 R2 R3

I
[3.33]
I2
I3
y así, despejando
1
1
=∑
Req
i Ri
[3.34]
4.- Potencia eléctrica. Ley de Joule.
Mantener una corriente eléctrica, requiere un suministro de energía ya que las
cargas deben ser aceleradas por el campo eléctrico aumentando, así, su energía
cinética. Calculemos la energía que se suministra cuando una cierta cantidad de carga
∆Q se mueve a través de una diferencia de potencial ∆V:
∆U = U b − U a = ∆Q(Vb − Va )
[3.35]
La energía por unidad de tiempo, o potencia requerida para mantener la corriente es
entonces:
P=
∆U ∆Q
=
∆V = I∆V
∆t
∆t
[3.36]
Esta expresión da la potencia requerida para mantener una corriente eléctrica a
través de una diferencia de potencial aplicada entre dos puntos de un conductor.
Si la partícula se mueve en un conductor que obedece a la ley de Ohm esta
ecuación se puede poner de la forma
P = RI 2
[3.37]
Hay que tener en cuenta que esta es la energía suministrada por el campo para
acelerar a la partícula. En un tubo de rayos catódicos, por ejemplo, esta energía se
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Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
13
invierte en acelerar los electrones. En un conductor, debido a la interacción de los
electrones con la red cristalina, la energía es transferida a la red, aumentando su
energía de vibración. Esto conduce a un aumento de la energía interna del material
que se manifiesta en un aumento de temperatura, lo que constituye el conocido efecto
de calentamiento por una corriente, llamado Efecto Joule. Por esto se dice que en un
conductor la potencia disipada es precisamente RI2.
5.- Fuerza electromotriz. Generadores. Ley de Ohm
generalizada.
Se ha estudiado que el campo electrostático es conservativo y en
consecuencia su circulación a lo largo de una línea cerrada es nula:
r
∫E
electrostático
r
⋅ dl = 0
[3.38]
esto nos indica qu ele trabajo total realizado por el campo electrostático sobre un
portador de carga que describe un circuito cerrado es cero. Sabemos que una carga
que se mueve en un conductor transfiere energía a la red cristalina y este proceso es
irreversible; es decir, la red no devuelve la energía a los portadores, En consecuencia,
para mantener una corriente en un circuito cerrado es necesario suministrar energía al
circuito. A la energía por unidad de carga suministrada a un circuito se le denomina
fuerza electromotriz (ε). Por tanto en un circuito cerrado se cumplirá:
r r
ε = ∫ E ⋅ dl
[3.39]
r
Siendo E el campo total en el conductor causante del movimiento de los
portadores. Nótese, que este campo debe tener una componente no conservativa. La
unidad de f.e.m. es el voltio.
Los dispositivos que suministran energía a los circuitos se conocen con el
nombre de generadores de fuerza electromotriz ó baterías. Existen muchas formas de
generar una fuerza electromotriz, por ejemplo a partir de reacciones químicas. Un
método muy importante es mediante el fenómeno de inducción electromagnética.
La potencia de un generador de fuerza electromotriz será:
P=ε I
[3.40]
Una batería ideal es una fuente de fem que mantiene una diferencia de
potencial constante entre sus dos terminales, independientemente del flujo de carga
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Lección 3. Corriente eléctrica Circuitos de corriente continua.
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que exista entre ellos. La diferencia de potencial entre los terminales de una batería
ideal es igual en magnitud a la fem de la batería. El símbolo de circuito para las
− ε
baterías es:
+
I
En una batería real la diferencia de potencial entre los bornes de la batería,
denominada tensión en bornes, no es simplemente igual al valor de la fem de la
batería. Esto se debe a que cualquier generador de energía eléctrica real, como
cualquier conductor, tiene su propia resistencia óhmica interna en la que se disipará
una cierta cantidad de energía. Así pues, una batería ideal puede considerarse como
una batería ideal de fem (ε) en serie con una pequeña resistencia llamada resistencia
interna de la fuente rs.
rs
a
La tensión en bornes de la batería sin
ninguna carga (tensión en vacío) es la f.e.m. de
ε
Vab=ε
la fuente ya que el circuito no está cerrado y por
tanto no circula intensidad por rs.
rs
Cuando el circuito se cierra con una
resistencia de carga RL comenzará a circular una
intensidad I, y se producirá una caída de tensión
ε
b
a
RL Vab=ε-rsI
I
en rs por lo que la tensión en bornes de la fuente
b
(a extremos de RL) será:
ε = ∆Vrs + ∆VRL ⇒ ∆VRL ≡ Vab = ε − ∆Vrs = ε − rs I
[3.41]
y la tensión en bornes es algo menor que ε. Este resultado se suele denominar Ley de
Ohm Generalizada. Es evidente que cuanto menor sea la resistencia interna más
próxima estará la fuente a una ideal. Es importante hacer notar el cambio de notación
que hemos hecho en la ecuación [3.41], es frecuente en Teoría de Circuitos indicar la
diferencia de potencial entre dos punto como
Vab = Va − Vb
[3.42]
en lugar de ∆Vab . A partir de ahora utilizaremos esta notación siempre que no dé lugar
a confusión. También utilizaremos el mismo convenio para indicar la caída de tensión
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en un componente y así pondremos, por ejemplo, V R en lugar de ∆V R para indicar la
caída de tensión una resistencia.
Ejemplo. Una pila con una f.e.m. de 12 V tiene una tensión en bornes de 11,4 V cuando
proporciona una corriente de 20 A al motor de arranque de un coche. Determinar: a) La
potencia (P1) que se proporciona al motor de arranque y b) la potencia disipada en forma
de calor en la batería (P2).
a)
La potencia que se proporciona al motor de
rs
arranque será, a la vista del circuito:
P1 = Vab I = (11.4V ) × (20 A) = 228W
b)
ε
I
a
M
Vab=ε-rsI
La potencia disipara en la batería será
P2 = rs I 2 . Podemos obtener la resistencia interna
b
a partir de [3.41]
Vab = ε − rs I ⇒ rs =
ε − Vab (12V ) − (11.4V )
=
= 0.03 Ω
I
20 A
de forma que la potencia disipada es:
P2 = rs I 2 = (0.03 Ω ) × (20 A) = 12 W
2
Como vemos en este ejemplo, no toda la potencia que proporciona la fuente se
entrega a la carga (en este caso al motor), ya que parte se disipa en forma de calor en
la propia fuente. Es frecuente definir el rendimiento de un generador como el cociente
entre la potencia realmente entregada (potencia útil, PU) y la potencia total
proporcionada por el generado (Pε). Así:
η (% ) =
PU
× 100
Pε
[3.42]
en el ejemplo anterior, el rendimiento de la fuente vale:
PU = P1 = 228W 
228W
= 0.95 ⇒ η (% ) = 95%
 ⇒η =
Pε = εI = 240W 
240W
Es evidente que la potencia entregada por fuente depende de la resistencia
que se conecte entre sus bornes (resistencia de carga). Calcularemos ahora qué valor
de la resistencia de carga hace que la potencia entregada por la fuente sea máxima.
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Para ellos consideremos el circuito de la
rs
figura en el que se cumplirá que:
PRL = RL I 2
pero
ε
ε
ε = rs I + RL I ⇒ I =
rs + RL
a
RL Vab=ε-rsI
I
b
de forma que:
2
 ε 
RL ε 2


PRL = RL I = RL 
 = (r + R )2
 rs + RL 
s
L
2
[3.42]
si queremos encontrar la resistencia que hace máxima la disipación hemos de imponer
(
)
la condición de extremal dPRL d R L = 0 a la función potencia así,
dPRL
dRL
=
d
dRL
 RL ε 2

 (r + R )2
L
 s
 ε 2 (rs + R L )2 − RL ε 2 2(rs + RL )
=
=0
4

(
)
r
+
R
s
L

[3.43]
para que se anule el resultado anterior basta con exigir que sea nulo el numerador, por
tanto:
ε 2 (rs + RL ) − RL ε 2 2(rs + RL ) = 0 ⇒ ε/ 2 (rs + RL ) = RL ε/ 2 2(rs + RL ) = 0 ⇒
2/
2
RL = rs
[3.44]
de forma que la potencia será máxima si se carga al circuito con una resistencia igual
a su resistencia interna. Más adelante veremos algunas consecuencias importantes de
este resultado que se utiliza en electrónica para acoplas distintas etapas en un circuito
en lo que se conoce como adaptación de impedancias (en caso más general).
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