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Corriente y resistencia Ley de Ohm Portadores de carga A dQ I dt Corriente a través del área A 1C 1A 1s A ampere Es convencional asignar a la corriente la misma dirección que la del flujo de carga positiva. Modelo microscópico: n número de portadores por unidad de volumen q carga de cada portador vd velocidad de deriva La carga dQ que, en un intervalo de tiempo dt, pasa a través del área A es: dQ nqv d Adt Luego: I nqv d A Rapidez de arrastre en un alambre de cobre de sección transversal igual a S 3.31106 m 2 Masa molar: m=63.5 g/mol Densidad del Cu: r Vm r8.95 g/cm3 luego, el volumen ocupado por un mol de Cu es: 63.5 3 V 7.09cm 8.95 Luego, ya que cada átomo de Cu aporta un electrón: 6.02 10 n 7.09 23 8.49 10 e / m 28 3 En un micrón3 de Cu hay aprox. 8.49x1010 electrones. (ochenta y cinco mil millones de electrones de conducción) Luego: I vd nqA Y si conduce una corriente de 10 A: 10 vd 28 19 6 8.49 10 1.6 10 3.3110 4 m 2.22 10 s Resistencia y ley de Ohm conductor Ley de Ohm J nqv d E l + V El Luego: conductividad V J E l lJ l V I RI A l rl resistividad R A A Unidad de resistencia: Ohm 1V 1 1A r 1 Resistividad (a 200 C) Plata 1.59 10 8 m Cobre 1.7 10 8 m Oro 2.44 10 8 m Alu min io 2.82 10 8 m Platino 11 10 8 m Plomo 22 10 8 m Aleación Nicromo 1.5 10 6 m Silicio 640 m Vidrio 1010 a 1014 m Azufre 1015 m Cuarzo fundido 75 1016 m Código para las resistencias 0 dos primeros dígitos tolerancia 1 2 3 4 5 exponente de la potencia de 10 6 7 8 9 oro plata sin color 10 1 5% 10 2 10% 20% tolerancias 24 10 6 tolerancia 5% Representación en un circuito I pendiente 1 R resistencia que no cumple la ley de Ohm V Resistencia y temperatura: r ro 1 T To Temperatura en grados Celsius 1 r r o T R Ro 1 T To 1 R Ro T R R Ro T Ro Ro coeficiente de temperatura de resistividad Segundo Control; Primera parte. Problema 1 El circuito de la figura consiste en una fuente electromotriz y dos resistencias, R0, de nicromo cuyo coeficiente de temperatura de resistividad es . El circuito se encuentra inicialmente a temperatura T0. R0 I R0 Encuentre el cambio en la intensidad de la corriente I, cuando la temperatura de una de las resistencias aumenta en 20 0C. Segundo Control; Segunda parte. Problema 3 El circuito de la figura consiste en una fuente electromotriz y dos resistencias, R0, de nicromo cuyo coeficiente de temperatura de resistividad es , en presencia de un campo magnético constante, B perpendicular al plano del circuito. El circuito se encuentra inicialmente a temperatura T0. P R0 I R0 Q Encuentre el cambio en la fuerza sobre el segmento PQ del circuito, cuando la temperatura de una de las resistencias aumenta en 20 0C. Superconductividad r Resistividad de un metal en función de la temperatura ro T Tc Material R ( ) 0.15 Heike Kamerlingh-Omes 1911 (holandés) HgBa2Ca2Cu3O8 134 K Tl-Ba-Ca-Cu-O 125 K Bi-Sr-Ca-Cu-O 105 K YBa2Cu3O7 0.10 Nb3Ge Hg 0.05 0.0 Tc 4.2 temperatura crítica 4.4 92 K 23.2 K Nb3Sn 18.05 K Nb 9.46 K Pb 7.18 K Hg 4.15 K Sn 3.72 K Al 1.19 K Zn 0.88 K T (K ) Cu, Ag, Au, nunca Potencia eléctrica V + Q R U QV U QV Potencia eléctrica: P dU d dQ V 2 (QV ) V IV RI dt dt dt R 2 Sistema MKS: volt, ampère, ohm,watt Fuerza electromotriz: fem Corriente directa: constante + La fuerza electromotriz, fem, de una batería es el voltaje máximo posible que puede suministrar entre sus terminales. V cte Batería Resistencia interna: la batería puede tener una resistencia interna r. a I + b r d Vab Ir Vcd IR R I c resistencia de carga luego: IR Ir y entonces I Rr Potencia total de salida: I RI rI 2 voltaje en circuito abierto 2 Segundo Control; Primera parte. Problema 2 La resistencia interna de una batería es r. En un circuito que tiene sólo una batería y una resistencia de carga R ¿cuál tiene que ser la resistencia de carga en función de r, para que la potencia que le entrega la batería sea igual a la mitad de la potencia máxima que la batería le puede entregar? R La potencia máxima entregada a la resistencia de carga ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna, en efecto: P I 2R 2R (R r)2 2 P 2 R ( R r ) 2 R( R r ) 2 0 2 4 R R R r R r R r 2 Rr 2 R 2 Rr 0 2 luego: 2 2 Rr P poca corriente: poca disipación. Pmáx r mucha corriente: mucha disipación interna R Resistencias en serie y en paralelo: En serie: R1 R2 I + V V V1 V2 IR1 IR2 ( R1 R2 ) I Req I Para N resistencias en serie: N Req Rn n 1 En paralelo: R1 I1 I2 R2 I V + V V 1 1 1 I I1 I 2 ( )V V R1 R2 R1 R2 Req Para N resistencias en paralelo: N 1 1 Req n 1 Rn Considerar las resistencias siguientes: Puntos a igual potencial Simetría Por esta resistencia no pasa corriente. R R R R R R R R R R R R Req 5 R 6 7 8 4 R 3 8 3 6 3 6 5 1 2 R 3 R 6 2 5 4 Leyes de Kirchhoff: Primera ley: CONSERVACION DE LA CARGA. La suma de las corrientes que entran en cualquier unión es igual a la suma de las corrientes que salen de ella. I entran I salen Segunda ley: CONSERVACION DE LA ENERGIA. La suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos del circuito cerrado debe ser igual a cero. V 0 circuito cerrado + I IR 0 R Primera ley es obvia: existe una sola corriente. Segunda ley: IR 0 luego: I R I R la corriente por aquí es I 2 ya que no hay acumulación de carga. +1 Tres mallas: f e R1 I2 b a 2 que proveen 3 ecuaciones I1 + c R3 R2 abcda befcb aefda I3 d Otra ecuación es: I1 I 2 I 3 Las incógnitas son: I1 , I 2 , I 3 Las ecuaciones son en este caso: 1 I1R3 2 I 2 R1 0 befcb 2 I1R3 I 3 R2 0 abcda I1 I 2 I 3 Dadas las resistencias resolvemos estas tres ecuaciones para encontrar las corrientes I1 , I 2 , I 3 Carga de un capacitor: R q IR 0 C q I R CR C I + Circuito RC o bien: dq q dt R CR dq q dt R CR dq q R CR q 0 dt dq q R CR t dt 0 q CR ln t R CR 0 q q t ln ln R CR R CR q t ln 1 CR C q 1 e C t CR q(t ) C 1 e t CR constante de tiempo q(t ) C 0.632C 0 t Intensidad de corriente al cargar un capacitor: dq(t ) C I (t ) e dt t R e t I 0e t I (t ) I0 1 e 0.368 0.368I 0 t Descarga de un capacitor: R C I q IR 0 C dq q dt CR dq q dt CR dq dt q CR q t dq dt Q q 0 CR q(t ) Qe q t ln Q CR t q(t ) Q 0.368Q 0 1 e 0.368 t Intensidad de corriente al descargar un capacitor: dq(t ) Q I (t ) e dt I (t ) I 0e I (t ) t Q e RC t RC R e t RC t RC t 0.368I 0 La corriente tiene signo negativo: va en sentido contrario. I0 Segundo control; segunda parte. Problema 1 Considere el siguiente circuito RC. R C I + S En t=0, estando el condensador completamente descargado, cerramos el interruptor S y luego lo abrimos en t= (constante de tiempo del circuito) Encuentre la corriente en el circuito en el momento de abrir el interruptor Encuentre la carga del condensador y la corriente en el instante t=2. Esquematice un gráfico de la corriente entre t=0 y t=2. h l L Resistividad R rL A r R rL Resistencia de un cono truncado. A b a h h rdx dR 2 r b r a x x b r L x L rL2 Rcono 2 b truncado dx rL2 1 1 r L h h rh Lh x 2 b2 L h L a 2 L hL ab L 2 R rL A rdx dR 2 r r 2 b2 x2 b r x r bd Resfera ln b b d truncada x b 2d Segundo Control; segunda parte. Problema 2 Con un cilindro homogéneo de radio R, se quiere construir una resistencia que sea igual a la de una esfera homogénea y truncada de radio R,( truncada rebanando a la altura R/2). Si la resistividad del material del cilindro es el doble que la correspondiente a la esfera, ¿cuál deberá ser la altura del cilindro? R 250V 2R 4R I ? 3R 500V