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ÁLGEBRA
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3.1) ÁLGEBRA
El lenguaje que utiliza letras en combinación
con números y signos, y además las trata como
números en operaciones y propiedades, se llama
lenguaje algebraico.
Álgebra es la parte de las matemáticas que
estudia la relación entre números, letras y signos
de las operaciones aritméticas.
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UN NÚMERO CUALQUIERA
X
SUCESOR DE UN NÚMERO
X+1
ANTECESOR DE UN NÚMERO
X–1
DOBLE DE UN NÚMERO
TRES NÚMEROS CONSECUTIVOS
2X
X, X + 1, X + 2
EL CUADRADO DE UN NÚMERO
X²
UN NÚMERO AUMENTADO EN 3
X+3
LA MITAD DE UN NÚMERO
X/2
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2. UTILIDAD Y SIGNIFICADO
En el lenguaje algebraico utilizamos letras para
números
de
valor
desconocido
o
indeterminado.
UTILIDADES:
Para expresar propiedades de las operaciones
aritméticas
Ejemplo; la propiedad distributiva: “el producto de
un número por una suma es igual a la suma de
los productos parciales del número por cada
sumando”
a . (b + c) = a . b + a . c
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 Para manejar números de valor indeterminado
y sus operaciones (expresiones lagebraicas)
Ejemplos:
Un número natural … a
El siguiente número natural … a + 1
El doble del número … 2a
Otro número ocho unidades menor … a – 8
El cuadrado del número más el triple del
número … a² + 3a
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 Para expresar relaciones que faciliten la
resolución de problemas (ecuaciones)
Ejemplo, encuentra un número tal que el
cuádruplo del número más veinte unidades sea
igual a sesenta y ocho.
4 a + 20 = 68
4 a = 68 – 20
4 a = 48
a = 48/4 = 12
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3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de
números, letras y paréntesis, relacionados con
las operaciones. Los elementos de una
expresión algebraica son:
• TÉRMINOS, cada uno de los sumandos
• TÉRMINO INDEPENDIENTE, el que solo tiene
parte numérica
• VARIABLES, cantidades desconocidas.
representan generalmente con x, y, z
Se
• COEFICIENTE, parte numérica que multiplica
las variables
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Ejemplo de una expresión algebraica y sus
términos
Expresión
algebraica
Términos
Término
independiente
Variables
Coeficientes
5x² - 2y + 6
5x², 2y, 6
6
x, y
5, 2, 6
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el valor numérico que toma la expresión
algebraica cuando sustituimos las letras por
números y realizamos las operaciones.
Ejemplos:
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
VALOR QUE LE DAMOS
A LAS LETRAS
VALOR NUMÉRICO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
4a
a=2
4.2=8
2 x3
x=3
2 . 3 . 3 . 3 . 3 = 162
x + 3y
x = 2, y = 3
2 + 3 . 3 = 18
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ACTIVIDAD
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
VALOR QUE LE DAMOS A
LA LETRA
x+y
x = 3, y = 12
3a+b-c
a = 5, b = 3, c = 4
½x
x = 10
2x + 1
x=8
VALOR NUMÉRICO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
3.1) MONOMIO
Un monomio es el producto indicado de un
valor conocido, representado por un número
(coeficiente), por uno o varios valores
desconocidos, representado por letras (parte
literal).
La parte literal puede tener exponentes
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3.1.1) GRADO DE UN MONOMIO
El grado de un monomio es el exponente de
la variable que forma la parte literal. Si tiene
más de una variable se suman los exponentes.
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3.1.2) MONOMIOS SEMEJANTES
Llamamos monomios semejantes a aquellos que
tienen la misma parte literal.
2x ; -3x ; x. Son monomios semejantes, ya que
la parte literal es idéntica.
3.1.3) VALOR NUMÉRICO DE UM MONOMIO
El valor numérico de um monomio es el valor que
se obtiene al sustituir la variable o variables por
um número al hacer las operaciones
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Ejemplo, el valor numérico de 3x2y y para los
valores de x = 2 e y = 3 será:
3x2y = 3 . (2)2 . 3 = 3 . 4 . 3 = 36.
3.1.4) OPERACIONES CON MONOMIOS
 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Si los monomios son semejantes:
Se suman o restan los coeficientes y se pone la
misma parte literal
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Si los monomios no son semejantes
La suma o la resta se deja indicada, tal y como
está, quedando un polinomio cuyos términos
son los monomios dados.
Ejemplo,
Sumar los monomios 5x5, 3x4, 4x3, y restarle los
monomios 3x2, 6x.
5x5 + 3x4 + 4x3 – 3x2 – 6x
 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Se pueden multiplicar todos los monomios sean o
no semejantes
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El producto de dos o más monomios da como
resultado otro monomio que va a tener como
coeficiente el producto de los coeficientes y
como parte literal la misma, con exponente la
suma de los exponentes
2x4·3x3·2x·(- 4x2) = [2·3·2·(-4)] x4+3+1+2 = -48
x10
 DIVISIÓN DE MONOMIOS
Se pueden dividir todos los monomios, sean o no
semejantes.
La división de dos monomios da como resultado
otro monomio que va a tener como coeficiente
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el cociente entre los coeficientes, y como parte
literal la misma, con exponente la diferencia o
resta de los exponentes. Para que el resultado
sea un monomio, el grado del numerador tiene
que ser mayor o igual que el grado del
denominador.
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3.2) POLINOMIOS
Polinomio es la suma o resta de varios
monomios. Cada uno de los monomios es un
término y si hay un término que no tiene parte
literal (letras) es un término independiente.
 El grado de un polinomio es el grado de del
monomio de mayor grado
 Los coeficientes de un polinomio son los
coeficientes de los monomios que lo forman
El término independiente de un polinomio es el
monomio que no tiene parte literal (letras)
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Ejemplo: sea el polinomio x5-4x3+5x2+8x-9
TÉRMINOS
GRADO
COEFICIENTES
TÉRMINO
INDEPENDIENTE
x5, -4x3, 5x2, 8x, -9
5
1, -4, 5, 8, -9
-9
Ejemplo: calcular el valor numérico del
polinomio x5-4x3+5x2+8x-9 para un valor de x
= 2.
Lo que hacemos es sustituir em el polinomio la
variable x por el valor 2.
25-4·23+5·22+8·2-9 = 32-4·8+5·4+8·2-9 = 3232+20+16-9 = 27
El valor numérico de un polinomio es el valor
que se obtiene al sustituir la variable por un
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número
3.2.1) OPERACIONES CON POLINOMIOS
 SUMAR POLINOMIOS
1) Se colocan los polinomios, ordenados uno
debajo del otro, de forma que coincidan los
monomios semejantes.
2) Se suman los coeficientes de los monomios
semejantes y se pone la misma parte literal.
Ejemplo: sumar los polinomios P(x) = 10x518x3+14x2+16; Q(x) = -6x4+8x3-6x2+12x-4
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 RESTAR POLINOMIOS
Para restar polinomios, lo que se hace es sumar
al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: dados P(x) = 10x5-18x3+14x2+16 ; Q(x)
= -6x4+8x3-6x2+12x-4.
Calcular P(x)-Q(x)
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 MULTIPLICAR POLINOMIOS
1) Se colocan los polinomios, ordenados uno
debajo del otro, de forma que coincidan los
monomios semejantes. Si falta algún grado, se
deja un hueco
2) Para multiplicar polinomios se empieza por la
izquierda y se multiplican el primer monomio
del segundo polinomio por todos los monomios
del primer polinomio; los coeficientes se
multiplican y los exponentes se suman
3) Se continúa multiplicando los
monomios del segundo polinomio
demás
4) Se suman todos los polinomios obtenidos
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Ejemplo: multiplicar los polinomios P(x) · Q(x)
P(x) = 4x3-6x2 +5 Q(x) = 2x2-8x+6
Se debe comenzar a multiplicar por la izquierda.
Primero se multiplican los signos, a
continuación los coeficientes y por último se
suman los exponentes.
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4. PRODUCTOS NOTABLES
CUADRADO DE UNA SUMA
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del
primero, más el doble del primero por el
segundo, más el cuadrado del segundo
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Ejemplo: (x+5)2 = x2+2·x·5+52 = x2 +10x +25
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
El cuadrado de una diferencia es igual al
cuadrado del primero menos el doble del
primero por el segundo, más el cuadrado del
segundo
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(a - b)2 = a2 - 2ab+b2
Ejemplo: (x-5)2 = x2 - 2·x·5+52 = x2 - 10x +25
SUMA POR DIFERENCIA
Una suma por una diferencia es igual al cuadrado
del primero menos el cuadrado del segundo
(a + b) · (a - b) = a2 - b2
Ejemplo: (x+5)·(x-5) = x2 – 52
 DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS EM
FACTORES
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Descompón en factores el polinomio x2- 8x+16
x2 - 8x + 16 = x2 - 2·x·4 + 42 = (x-4)2
5. EXTRAER FACTOR COMÚN
En las expresiones algebraicas podemos
encontrarnos que éstas están formadas por
sumandos que son productos y, además, en
estos productos hay un factor que se repite, es
decir, que es común en todos los sumandos.
Así, en la expresión a.b + a.c + a.e – a.f,
observamos que en los sumandos o restandos
son productos. Además, en todos los sumandos
que son productos hay un factor, que es el
factor “a”, que se repite, es decir, es COMÚN
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Podemos transformar esta suma en un producto
sacando factor común y colocando un
paréntesis
a·b + a·c +a·d – a·e = a · (b + c +d – e)
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