Download Cap 10 – Corriente Alterna

Análisis de Redes Eléctricas
I
2do Parcial
CORRIENTE ALTERNA
Generalidades
Real
Z
Impedancia
Capacitiva
Imaginaria
Inductiva
FUENTES INDEPENDIENTES EN
CORRIENTE ALTERNA
Fuente de Voltaje AC
Vac
Fuente de Corriente AC
Iac
En estado estable el Capacitor se comporta como
un circuito es abierto
IMPEDANCIA
Imag.
JXL
z

Inductiva
“Henrios”
  

Real
z
JXC
Capacitiva
“Faradios”
Capacitor
Es un elemento de un circuito que consiste en dos superficies conductoras
separadas por un material no conductor o dieléctrico
q  cV
C
V(t)
P(t )  V (t )i (t )
P(t )  V (t )c
dV
dt
1
cV
2
1 q2
Wc 
2 c
WC (t ) 
2
dq
d

(cV )
dt
dt
dV
i (t )  c
dt
1
dV

i (t ) dt


c
t
1
VCap 
i (t ) dt
c 
to
t
VCap
1

c
1
i
(
t
)
dt

i (t ) dt


c

to
VCap
1
 V (t o )   i (t ) dt
c to
t
Inductor
Es una bobina que consiste en un alambre conductor de forma de rollo o carrete.
Aquí nos interesa la corriente que pasa por el inductor.
i (t )
V (t )
di
dt
1
di

 L  Vdt
t
1
i (t )   V (t )dt
L 
V L
L
to
P (t )  V (t )i (t )
 di 
P (t )   L i (t )
 dt 
W 
1 2
Li
2
t
1
1
i (t )   V (to)dt   V (t )dt
L 
L to
t
1
i (t )  i (to)   V (t )dt
L to
Relación dual para:
Capacitor
i (t )  c
dV
dt
V (t )  L
t
V (t )  V (to) 
1
i(t )dt
c to
P (t )  cV (t )
W 
1
cV
2
Inductor
2
dV
dt
di
dt
1t
i (t )  i (to )   V (t )dt
L to
P(t )  Li (t )
W 
1
Li 2
2
di
dt
Combinación entre capacitores
Serie
V(t)
C1
Vc1
Vc2
C2
Ceq 
C1C 2
C1  C 2
V (t )  VC1  VC 2
i(t )  i1  i2
Paralelo
i(t)
V(t)
C1
C eq  C1  C 2
V (t )  V1  V2
C2
i(t )  i1  i2
Combinación entre bobinas
Serie
L1
V(t)
L2
Leq  L1  L2
i (t )  i1  i2
V (t )  VL1  VL 2
Paralelo
V(t)
L1
L2
Leq 
L1 L2
L1  L2
V (t )  V1  V2
i(t )  iL1  iL 2
Análisis de Corriente Alterna en
Estado Estable
Senoidales
X(t)
XM2
XM
XM1

2
XM

3
2
2
t
t
-XM1
-XM2
T
T  Período ( seg ) 
1
dondef  frecuencia
f
W  Velocidad _ Angular  2f rad / seg 
X 1 (t )  X M 1sent
X 2 (t )  X M 2 sen (t   )
  ángulo  desfasamiento
Condiciones para que dos
señales estén en fase
Existen 3 condiciones para que dos señales estén en fase:
Las
dos ondas alternen la misma frecuencia.
Que las dos ondas sean bien senos o bien cosenos.
Que las dos ondas estén determinadas como positivas.
Ejemplo 1
V1 (t )  100 cos(377t  40º )
V2 (t )  60 cos(377t  90º )
Si la alimentación no tiene la misma frecuencia, para resolver el problema
se debería utilizar el método de superposición
  1  2  40  (90)  50º
V1(t) se adelantará 50º a V2(t)
Ejm. 2
V2(t) se atrasa 50º a V1(t)
I 1 (t )  12sen(1000t  60)
I 2 (t )  6 cos(1000t  30)
Primero vamos hacer I2 positiva
I 2 (t )  6 cos(1000t  30  180)
I 2 (t )  6 cos(1000t  210 º )
Ahora lo llevamos a senos.
I 2 (t )  6sen(1000t  210  90º )
I 2 (t )  6sen(1000t  300º )A
  1  2  60  300  240º
Ahora es mejor tener el ángulo positivo
  1  2  360º240º  120º
I1(t) se adelantará 120º a I2(t)
I2(t) se atrasa 120º a I1(t)
Funciones forzantes senoidales
Si aplicamos una función forzante senoidal a una red lineal los voltajes y corrientes de
estado estable en la red también serán senoidales, es decir, si un voltaje de rama es una
senoide de alguna frecuencia los otros voltajes de rama deben ser también senoides de la
misma frecuencia.
V(t)
i(t)
V (t )  Asen (t   )V 
i (t )   sen (t   ) A
No conocemos
Ejm.
Encontrar una expresión para i(t)
R
V(t)
+V R
+
L
VL
-
V (t )  Vm cos t
LVK :
V (t )  V R  V L
V R  IR
VL  L
di
dt
Vm cos t  IR  L
i (t ) 
di
dt

 L  
cos t  tg 1 
 A
2
2 2
R



R  L
Vm
Ecuación de Euler
e Jt  co st  Jsent
V (t )  Vme Jt
V (t )  Vm co st  JVm sent
Parte real
Parte imaginaria
e J  co s  Jsen
i (t )  I M e J (t  )
i (t )  I M co s ( wt   )  JI M sen(t   )
Parte real
Parte imaginaria
Números Complejos
Img.
•Rectangular: x+Jy
•Polar
z
y
x
Magnitud
Ángulo
Real
z  z 
Para convertir de polar a rectangular
z cos   x
zsen  y
(Real)
(Imaginarios)
•Para sumar o restar deben estar en rectangulares.
•Para multiplicar o dividir deben estar en polares
( z11 )( z 2  2 )  z1 z 2 (1   2 )
( z1   1 ) z1
 (1   2 )
( z 2  2 ) z 2
z  x2  y2
  tg 1
y
x
Dominio del tiempo
Dominio de la Frecuencia
A cos(t   )
A  
Asen(t   )
A   
Convertir a fasores
v(t )  24 cos(377t  45º )V 
i (t )  12 sen(377t  120)A
V  24  45º
I  12120º 90º

2
Ejemplo
Convertir los fasores:
V  1620º
I  10  75º
del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo si la frecuencia es de 1k Hz.
v(t )  16 cos( 2000t  20º )
i (t )  10 cos( 2000t  75º )
  1kHz( 2 )
  2 0 0 0
Relaciones
fasoriales
elementos del circuito.
para
•Circuito Resistivo Puro
V (t )  Vm cos(t   )  Vm e J (t  )
i(t)
V(t)
i(t )  I m cos(t   )  I m e J (t  )
R
V (t )  Ri (t )
Vm e J (t  )  RI m e J (t  )
Pero en corriente alterna la impedancia:
Vm e J  RI m e J
0
Vm   RI m 
z  Re al  Im ag
z  R  0J
z  R0º
V
z
I
z  
 
V 
I
 Voltaje y la corriente
están en fase
Fasor
Voltaje
Fasor
Corriente
V  IR
z
V
R
I
Circuito Inductivo Puro
V(t)
i(t)
L
VL  L
di
dt
Vme J (t  )  LIm
Vme J (t  )
d
e J (t  )
dt


 JLIm e J (t  ) 




Vme J  JL  I me J 


Vm  JLIm
z
0
z  Re al  Im ag
z  0  JX L
z  X L 90º 
V
 JL  X L  L
I
XL(Reactancia inductiva)
Circuito Capacitivo Puro
dV
i (t )  c
dt
i(t)
V(t)
c
I m e J (  t  )

d
Vm e J (t  )
dt
 JcVm e J (t  )
I m e J (  t  )  c

I m e J  JcVm e J
I m   JcVm 
I  JcV
z
XC(Reactancia capativa)
z  Re al  Im ag
J
C
z  X C   90 º 
z 0
V
1
J

 XC  
Jc
c
I


Ejemplo
 R  3
z R  R0
z R  30
   1000
L  5mH
z L  JL
z L  J (1000)(5mH )
zL  J 5
z L  X L 90º
z L  590º
   1000
c  125F
zC  
J
c
J
(1000)(125F )
z C  8 J
zC  
z C  X C   90º
z C  8  90º
Circuito R-L
R
V(t)
    
  V  I
z  zR  zL
L
z  R  JX L
z  R2  X L
2
Img.
z

XL
Real
0º 90º
X 
  tg 1  L 
 R 
Ejemplo
 z  1045º
x  10 cos 45º
y  10 sen 45º
Ejm.
6
V(t)
X L  JL
V (t )  200 cos(1000t  30º )
8mH
i (t )  ?
z  Re al  Im ag
X L  J (8mH )(1000)
z  6  J8
X L  J8
z  1053.13º
V  20030º
V
z
20030º
I 
1053º
I  20  23.13º  A
I 
i(t )  20 cos(1000t  23.13º )A
Circuito R-C
R
z  R  JX
V(t)
z  R  JX C  X C 
c
z  R2  X C
1
c
2
Img.

Real
z
XC
 90º 0º
 X 
  tg 1   C 
 R 
z  z  
Ejemplo
3
V(t)
V (t )  160 cos(500t  30º )V 
i (t )  ?
500F
z  9  16
z  R  JX
z  R
J
c
z  3 J4
XC 
XC 
1
z 5
c
1
(500)(500*10 6 )
XC  4
V
z
16030º
I
5  53.13º
I  3283.13º
I
i(t )  32 cos(500t  83.13º )A
z  5  53.13º
V  16030º
  tg 1
 4 


3


  5 3.1 3º
Circuito R-L-C
V(t)
R
zT  z R  z L  z C
zT  R  JX
L
XL-XC
c
1.-XL> XC; predominantemente inductivo
0º 90º
La corriente atrasa  al voltaje
2.-XL< XC; predominantemente capacitivo.
 90º 0º
La corriente adelanta  al voltaje
3.-XL= XC; el circuito entra a resonancia
  0º
La corriente y el voltaje están en fase
Ejemplo
Con :
R  8
V (t )  120 cos1000 t
L  10mH
i (t )  ?
c  250 F
X L  J (10 3 )(10 *10 3 )  J 10
XC  
J
 J 4
3
6
(10 )( 250 *10 )
z  R  JX
z  1036.87º
z  8  J (10  4)
V  1200º
z  8  J6
V
z
1
 10 36 .87 º 
I 

 120 0º 
I 
I  12   36 .87
i(t )  12 cos(1000t  36.87)A
Circuitos de una sola malla
i(t)
V  V1 V 2
z1
+V 1
V(t)
Suma fasorial
Divisor  de  voltaje
+
z2
V2
V2  V
z2
z1  z 2
V1 V
z1
z1  z 2
-
•Circuitos de un solo par de nodos
z eq  z 1  z 2
Divisor  de  Corriente
+
i(t)
z1
-
I1
I 2+
z2
-
z1 z 2
z1  z 2
I1  I
z2
z1  z 2
I  I1  I 2
I2  I
z1
z1  z 2
z eq 
V V1 V 2
Transformación de Fuentes
z
V
V  I .z

I
z
I
V
z
Además se asume que varias fuentes de corriente conectadas
en paralelo se suman fasorialmente (deben alternar la misma
frecuencia); también se cumple que varias fuentes de voltaje
conectadas en serie se suman fasorialmente.
Diagramas Fasoriales
Se conoce con este nombre a los diagramas donde se muestran los diversos fasores de
la red. El fasor es un vector en movimiento por lo tanto no mantiene una magnitud rígida.
I
v(t)
v(t )  120 cos1000 t V 
8
1090º 
4  90º 
I  12  36.87A
V R  I . * Z R  12  36.87 (80º )  96  36.87 º V 
V L  I . * Z L  12  36.87 (1090 º )  120 53.13º V 
V C  I . * Z C  12  36.87 (4  90 º )  48  126 .87 º 
VL
VC
VR
Pasar de una red del dominio del
tiempo al dominio de la frecuencia
1.- En lo que respecta a las fuentes independientes ya sean éstas de
voltaje o de corriente deben expresarse por medio de sus expresiones
fasoriales. A partir de este momento, el fasor o la magnitud del fasor debe
estar en RMS(valores eficaces) es decir:
V
VRMS 
MÁX
Ejm:
V (t )  120 2 cos(1000t  30º )V 
VMÁX
V  12030º V RMS 
2
2.- Los elementos pasivos de la red tales como: resistencia, inductancia y capacitancia
son representados por sus valores de impedancia o admitancia, según se aplique el
método de las mallas o el método de los nodos respectivamente.
V = I . Z
Fuentes indep. Variables
de voltaje
del método
Matriz
impedancia
I = V . Y
Fuentes indep. Variables
de corriente
del método
Matriz
admitancia
3.- Las variables de control de las fuentes dependientes se las representa también por
medio de sus fasores de voltaje o corriente según sea el caso de la variable de
control.

2V X

2V X
Vx



VX
