Download número 1 -consiste -línea 3
Document related concepts
Transcript
Sesión 11.2 Números complejos Matemática Básica (Ing.) 1 Números complejos • • • • • • • • • • Números complejos. Operaciones con números complejos. Conjugado complejo. División de números complejos. Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas. Trazo de números complejos. Forma trigonométrica de los números complejos. Multiplicación y división de números complejos. Teorema de Moivre. Raíces de números complejos. Matemática Básica (Ing.) Números complejos Un número complejo es cualquier número que Im puede escribirse en la forma z a bi bi Z=a+bi a Re donde a y b son reales. El número real a es la parte real, el número b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estándar. Matemática Básica (Ing.) 3 Operaciones con números complejos Sean a + bi y c + di son dos números complejos, entonces: Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Resta: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Considerando que: i 1 i2 i i 1 1 1 i 3 i 2 i i i 4 i 2 i 2 (1)(1) 1 Multiplicación: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Matemática Básica (Ing.) 4 Ejemplos Escriba la suma o diferencia en la forma estándar. 1. 2. 3. 4. (2 - 3i) + (3 - 4i) (2 + i) - (9i - 3) ( 5 - 3i) + (-2 + 9) ( 7 + i2) – (6 - 81) Escriba el producto en la forma estándar. 5. (2 - i)(1 + 3i) 6. (5i - 3)(2i +1) 7. ( 2 + 2i)(6 + 5i) Matemática Básica (Ing.) 8. 3 1 i 2 2 3 5 Conjugado complejo El conjugado complejo del número complejo z = a + bi es: z = a + bi = a - bi Así mismo, el inverso multiplicativo o recíproco de z = a + bi es: z 1 z 1 1 1 1 a bi z a bi a bi a bi 1 a b 2 2 i 2 2 z a b a b Matemática Básica (Ing.) 6 División de números complejos Escriba los números complejos en la forma estándar. 1. a) 2. 2i 2i 3. 4. 2 3i b) 5i 2 3i (2 i )(1 2i ) 5 2i (1 2i )(1 i ) (1 2i ) Matemática Básica (Ing.) 7 Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas La solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas mediante la fórmula: b b2 4ac x 2a El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este valor es menor que cero, entonces las raíces serán conjugados complejos. Matemática Básica (Ing.) 8 Ejemplos Resuelva: 2 x x 1 0 1. 2 2. 3x x 2 0 2 x x 11 5x 8 3. Matemática Básica (Ing.) 9 Trazo de números complejos Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y u + v. Compárelo con la traza de vectores. y Eje imaginario u = 1; 3 u = 1 + 3i u + v = 3; 2 u + v = 3 + 2i o Eje real v=2-i o x v = 2; -1 La aritmética es la misma que la suma de vectores. Matemática Básica (Ing.) 10 Forma trigonométrica de los números complejos Eje imaginario z = a +bi La forma trigonométrica del número complejo z = a + bi es b = r sen z r(cos i sen ) a = r cos Eje real Donde: r es el módulo de z y es un argumento de z r = |z| = |a + bi| = a2 b2 Matemática Básica (Ing.) tan b a 11 Ejemplos Determine la forma trigonométrica con 0 ≤ ≤ 2 para el número complejo: Eje imaginario Eje real ’ (a) 1 3i 1 3i Eje imaginario Eje real (b) 3 4i ’ 3 4i Matemática Básica (Ing.) 12 Ejemplos Determine la forma binomial para el número complejo de la forma trigonométrica: c) d) z 4 cos i sen 4cis 3 3 3 z 2cis(36) Note el uso de los grados sexagesimales y radianes Matemática Básica (Ing.) 13 Multiplicación y división de números complejos. Sean: z1 r1(cos 1 i sen1) y z2 r2(cos 2 i sen2 ) Entonces: 1. z1.z2 r1.r2[cos(1 2 ) i sen(1 2 )] 2. z1 r1 [cos(1 2 ) i sen(1 2 )] z2 r2 Matemática Básica (Ing.) 14 Teorema de Moivre Para elevar un número complejo z = r(cos + isen) a una determinada potencia n entera positiva, entonces: z n [r(cos i sen )]n r n(cos n i sen n ) Determine mediante el teorema de Moivre: 1. 2. (1 i 3)3 2 2 2 i 2 Matemática Básica (Ing.) 8 15 Raíces de números complejos Para determinar las raíces enésimas de un número complejo Si z = r(cos + isen) Los n números complejos distintos son: n 2 k 2 k r cos i sen n n donde k = 0, 1, 2, 3, n-1 Son las n-ésimas raíces del número complejo z. Matemática Básica (Ing.) 16 Ejemplos Determine las raíces n-ésimas de las siguientes números complejos y grafíquelos. 1. Raíces cuartas de z = 5(cos(/3) + i sen((/3)). 2. Raíces cúbicas de z = -1. 3. Raíces octavas de la unidad. Matemática Básica (Ing.) 17 Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 6, 10, 16, 22, 24, 30, 36, 42, 50, 58, 66 y 70 de la página 559. Ejercicios: 80, 82 y 84 de la página 560. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. Matemática Básica (Ing.) 18