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Sesión 11.2
Números complejos
Matemática Básica (Ing.)
1
Números complejos
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Números complejos.
Operaciones con números complejos.
Conjugado complejo.
División de números complejos.
Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas.
Trazo de números complejos.
Forma trigonométrica de los números complejos.
Multiplicación y división de números complejos.
Teorema de Moivre.
Raíces de números complejos.
Matemática Básica (Ing.)
Números complejos
Un número complejo es cualquier número que
Im
puede escribirse en la forma
z  a  bi
bi
Z=a+bi
a
Re
donde a y b son reales.
El número real a es la parte real, el número b
es la parte imaginaria y a + bi es la forma
estándar.
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Operaciones con números complejos
Sean a + bi y c + di son dos números complejos,
entonces:
Suma:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Considerando que:
i 
1
i2  i  i 
 1  1  1
i 3  i 2  i  i
i 4  i 2  i 2  (1)(1)  1
Multiplicación:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac - bd) + (ad + bc)i
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Ejemplos
Escriba la suma o diferencia en la forma estándar.
1.
2.
3.
4.
(2 - 3i) + (3 - 4i)
(2 + i) - (9i - 3)
( 5 - 3i) + (-2 +  9)
( 7 + i2) – (6 -  81)
Escriba el producto en la forma estándar.
5. (2 - i)(1 + 3i)
6. (5i - 3)(2i +1)
7. (  2 + 2i)(6 + 5i)
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8.
 3 1 

 i
 2
2 

3
5
Conjugado complejo
El conjugado complejo del número complejo
z = a + bi es:
z = a + bi = a - bi
Así mismo, el inverso multiplicativo o recíproco de
z = a + bi es:
z
1
z
1
1
1
1
a  bi
 


z a  bi a  bi a  bi
1
a
b
  2
 2
i
2
2
z a b
a b
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División de números complejos
Escriba los números complejos en la forma estándar.
1.
a)
2.
2i
2i
3.
4.
2
3i
b)
5i
2  3i
(2  i )(1  2i )
5  2i
(1  2i )(1  i )
(1  2i )
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Soluciones complejas de ecuaciones
cuadráticas
La solución de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están
dadas mediante la fórmula:
 b  b2  4ac
x
2a
El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este
valor es menor que cero, entonces las raíces serán
conjugados complejos.
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Ejemplos
Resuelva:
2
x
 x 1  0
1.
2
2. 3x  x  2  0
2
x
 x  11  5x  8
3.
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Trazo de números complejos
Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y
u + v. Compárelo con la traza de vectores.
y
Eje imaginario
u = 1; 3
u = 1 + 3i
u + v = 3; 2
u + v = 3 + 2i
o
Eje real
v=2-i
o
x
v = 2; -1
La aritmética es la misma que la suma de vectores.
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Forma trigonométrica de los números
complejos
Eje imaginario
z = a +bi
La forma trigonométrica del
número complejo z = a + bi es
b = r sen
z  r(cos   i sen )

a = r cos
Eje real
Donde: r es el módulo de z y  es un argumento de z
r = |z| = |a + bi| = a2  b2
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tan 
b
a
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Ejemplos
Determine la forma trigonométrica con 0 ≤  ≤ 2
para el número complejo:
Eje imaginario

Eje real
’
(a) 1  3i
1  3i
Eje imaginario

Eje real
(b)  3  4i
’
 3  4i
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Ejemplos
Determine la forma binomial para el
número complejo de la forma trigonométrica:
c)
d)



 
z  4 cos  i sen   4cis 
3
3

3
z  2cis(36)
Note el uso de los grados sexagesimales y radianes
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Multiplicación y división de números
complejos.
Sean:
z1  r1(cos 1  i sen1) y z2  r2(cos 2  i sen2 )
Entonces:
1.
z1.z2  r1.r2[cos(1  2 )  i sen(1  2 )]
2.
z1
r1
 [cos(1  2 )  i sen(1  2 )]
z2 r2
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Teorema de Moivre
Para elevar un número complejo z = r(cos + isen)
a una determinada potencia n entera positiva,
entonces:
z n  [r(cos   i sen )]n  r n(cos n  i sen n )
Determine mediante el teorema de Moivre:
1.
2.
(1  i 3)3


2
2


 2 i 2 


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Raíces de números complejos
Para determinar las raíces enésimas de un número
complejo
Si z = r(cos + isen)
Los n números complejos distintos son:
n
    2 k 
   2 k  
r  cos
  i sen 
 
 n 
  n 
donde k = 0, 1, 2, 3, n-1
Son las n-ésimas raíces del número complejo z.
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Ejemplos
Determine las raíces n-ésimas de las siguientes
números complejos y grafíquelos.
1. Raíces cuartas de z = 5(cos(/3) + i sen((/3)).
2. Raíces cúbicas de z = -1.
3. Raíces octavas de la unidad.
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Importante
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro
texto guía.
Ejercicios: 6, 10, 16, 22, 24,
30, 36, 42, 50, 58, 66 y 70
de la página 559.
Ejercicios: 80, 82 y 84 de la
página 560.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
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