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Área de Ciencias MA 111 2007-1 09 de agosto de 2017 Matemática 2 1 Segmentos y Ángulos 09 de agosto de 2017 Matemática 2 2 ÁNGULOS SITUACIÓN PROBLEMA El esquema muestra la ubicación de cuatro computadoras de una oficina y se necesita conectarlas a un servidor, para lo cual se realiza el sistema mostrado en la figura. Se observa que ubicándose en el servidor indicado, el ángulo que origina B respecto a A es 80º; el ángulo que genera C respecto a D es 74º y el ángulo originado por B respecto a C es 20º mayor que el ángulo generado por A respecto a D. Determine el valor de estos últimos ángulos. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 3 1. Definición de ángulo: Ángulo: es la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. Ejemplo: Notación: ∠AOB o ∠BOA o AÔB o ángulo O o ángulo AOB. Observación: el punto P no es un punto del ángulo. P está en el interior del ángulo O. Elementos: En el ángulo AOB, los rayos OA y OB se llaman lados y el punto O se llama vértice. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 4 Medida de un ángulo: A todo ángulo, se le puede asociar un número positivo menor que 180 el cual representa su medida en grados sexagesimales. Importante En este curso, estudiaremos principalmente ángulos cuyas medidas en grados son menores que 180°. Ese tipo de ángulo se llama ángulo geométrico 0° < α < 180° Los ángulos cuyas medidas son mayores de 180° se estudian en los cursos de trigonometría, de topografía, geodesia, etc. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 5 Instrumento de medición: El transportador es el instrumento que se emplea para medir ángulos. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 6 2. Clasificación de los ángulos geométricos según su medida: Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo agudo: es un ángulo cuya medida es menor que 90°. Ángulo recto: es un ángulo que mide 90°. Ángulo obtuso: es un ángulo cuya medida es mayor que 90°. 3. Relaciones entre ángulos: 3.1 Entre sus medidas: Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°. α +β= 90° O 09 de agosto de 2017 P m∠O + m∠P = 90° Matemática 2 7 Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 1800. α +β= 1800 O P m∠O + m∠P = 1800 3.2 Por sus posiciones: a) Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común y los otros lados son rayos opuestos. Ejemplo: B C O A Los ángulos AOB y BOC son adyacentes. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 8 b) Ángulos consecutivos: son dos o más ángulos adyacentes Ejemplo: D C A B O Los ángulos AOC, COD y DOB son consecutivos. c) Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos mutuamente. Ejemplo: En la figura siguiente, los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice. 1 09 de agosto de 2017 2 4 3 Matemática 2 9 Observación: Los ángulos 1 y 2 son suplementarios entonces m∠1 + m∠2 = 180° Los ángulos 2 y 3 son suplementarios entonces m∠2 + m∠3 = 180° Se restan las dos ecuaciones y se obtiene: m∠1 - m∠3 = 0° Conclusión: los ángulos 1 y 3 tienen la misma medida. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 10 4. Bisectriz de un ángulo: DEFINICIÓN DE BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Se denomina Bisectriz de un ángulo a la recta que pasa por el vértice y divide al ángulo dado en dos ángulos iguales. Actividad: Tomando como centro el punto O, trace con el compás un arco que corte a los lados del ángulo en los puntos A y B. Luego, tomando como centro el punto A y con la misma abertura del compás, trace un arco. Repita la operación, con la misma abertura, tomando como centro el punto B. A I O B Estos arcos se cortan en el punto I, interior al ángulo. Trace el rayo OI. Mida los ángulos AOI y BOI. ¿Qué puede observar? 09 de agosto de 2017 Matemática 2 11 5. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante Cuando se traza una secante que corta a dos rectas paralelas, aparecen ocho ángulos. Estos ángulos se relacionan entre sí y se puede establecer cuáles tienen la misma medida. 1 3 4 5 7 8 6 2 7. Ejemplos de clase Ejemplo 1: a. ¿Cuál es el complemento de 400 25' 45"? b. ¿Cuánto mide el ángulo cuyo complemento es ocho veces su medida? 09 de agosto de 2017 Matemática 2 14 Ejemplo 2: Calcule la medida de los ángulos congruentes AOB y CQD. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 15 Ejemplo 3: RETO para el alumno Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de modo que: m∠AOC + m∠BOD = 110° y m∠AOB + m∠COD = 60°. Calcule la medida del ángulo AOD. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 16 Ejemplo 4: Trace dos ángulos suplementarios y adyacentes. Luego, trace las bisectrices de cada ángulo. ¿Qué puede observar? Demuestre que siempre se cumple. 09 de agosto de 2017 Matemática 2 17 Ejemplo 5: RETO para el alumno En la figura mostrada, L1 es paralela a L 2, calcule el valor de α y de β.