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UNIDAD 2.
SEGMENTOS Y ÁNGULOS
SEGMENTOS
Recordemos que dados los puntos A y B, se
llama segmento de recta AB ( AB ) al conjunto
formado por los puntos A, B y todos los puntos
P entre A y B
Los puntos A y B se llaman extremos. Las
semirrectas determinadas por los extremos
de un segmento y que no tienen más puntos
comunes con el segmento, se llaman las
prolongaciones del segmento.
MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de
un segmento AB, denotada por m( AB ) o AB,
es la distancia entre sus puntos extremos:
m( AB )=d(A,B)=AB
SEGMENTOS
CONGRUENTES:
segmentos que tienen igual medida:
Son
AB  CD  m(AB)=m(CD)  AB=CD
CONVENCIÓN:
Cuando no haya lugar a
confusión en lugar de AB usaremos AB y en
lugar de AB  CD usaremos AB=CD.
AXIOMA
DE
CONSTRUCCIÓN
DE
SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para
cada real positivo “x”, existe un único punto B
sobre OA , distinto de O, tal que m( OB ) = x.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el
punto entre los extremos del segmento que lo
divide en dos segmentos congruentes.
M es punto medio de AB  AM  MB 
1
AB
2
SEGMENTOS ADYACENTES:
Son dos
segmentos de extremos colineales y que
tienen un extremo común situado entre los
extremos no comunes.
SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y BC son
segmentos adyacentes entonces el segmento
AC es la suma de los segmentos AB y BC :
AC  AB  BC
Además
AB  AC  BC
y BC  AC  AB
Para sumar dos segmentos no adyacentes se
construyen
dos
segmentos
adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.
TEOREMA: La congruencia de segmentos es
una relación de equivalencia, es decir, cumple
las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: AB  AB
2. Simétrica: AB  CD  CD  AB
3. Transitiva: AB  CD  CD  EF  AB  EF
SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos
no congruentes.
Entre dos segmentos
desiguales será menor el que tenga menor
medida:
AB  CD  m(AB)<m(CD)  AB<CD
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 1 de 27
ÁNGULOS
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:
ÁNGULO: Es la figura formada por dos
semirrectas que tienen el mismo origen. Si
ellas son OA y OB , se denota por AOB. El
Según su medida los ángulos se clasifican así:
 es NULO:
si m=0°
 es AGUDO: si 0° < m < 90°
 es RECTO:
si m=90°
 es OBTUSO:
si 90° < m < 180°
 es LLANO:
si m =180°
origen O es el vértice del ángulo y las
semirrectas OA y OB son los lados del ángulo.
INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto
formado por los puntos que están en la
intersección de dos semiplanos, (cada uno de
ellos con un lado sobre su borde y conteniendo
al lado restante), excepto los que están sobre
los lados del ángulo.
EXTERIOR DE UN ÁNGULO:
Es el
subconjunto del plano del ángulo formado por
los puntos que no están sobre los lados del
ángulo ni en el interior del ángulo.
ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda
semirrecta consigo misma.
ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por
dos semirrectas opuestas.
AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado
un semiplano con una semirrecta OA , fija en
su borde, entonces a cada semirrecta OB de
dicho semiplano, se le asigna un único número
real “a” en el intervalo 0,180.
Para la
semirrecta OA se asigna el 0 y para su
semirrecta opuesta el 180.
MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:
La “medida” (sexagesimal) de un AOB es
igual a “a” grados sexagesimales, tomando el
número real “a” en el intervalo 0,180, que le
asigna el axioma anterior y lo denotaremos
por: mAOB=a o simplemente AOB=a
ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que
tienen igual medida:
ABCDEF  mABC=mDEF
CONVENCIÓN:
Cuando no haya lugar a
confusión en lugar ABCDEF o de
mABC=mDEF usaremos ABC=DEF.
TEOREMA: La congruencia de ángulos es una
relación de equivalencia, es decir, cumple las
siguientes propiedades:
1. Reflexiva: ABCABC
2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC
3. Transitiva:
ABCDEFDEFPQRABCPQR
ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no
congruentes. Entre dos ángulos desiguales
será menor el que tenga menor medida.
AXIOMA
DE
CONSTRUCCIÓN
DE
ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una
semirrecta OA sobre su borde, entonces para
cada real “x” en el intervalo 0,180, existe
solamente una semirrecta OB en dicho
semiplano, tal que mAOB = x°.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es la
semirrecta interior que lo divide en dos
uur
ángulos congruentes. Si BX es una semirrecta
interior al ABC entonces:
BX es bisectriz del ABCABXXBCABC/2
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 2 de 27
ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos
coplanares que tienen el mismo vértice, un lado
común y cada uno de los lados no comunes está
en el exterior del otro ángulo.
SUMA DE ÁNGULOS: Si ABC y CBD son
adyacentes, entonces el ABD es la suma de
los ángulos ABC y CBD:
Además ABCABD–CBD y
CBDABDABC.
Para sumar dos ángulos no adyacentes se
construyen
dos
ángulos
adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos
ángulos cuyas medidas suman 90°. De cada
uno de ellos se dice que es el complemento del
otro:
A + B = 90°
C
C
B = 90°  A = A y A = 90°  B = B
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Son dos
ángulos cuyas medidas suman 180°. Cada uno
de ellos es el suplemento del otro:
 A + B = 180°
B = 180°A = A
Luego  =   C = C  S = S
TEOREMA: Si dos ángulos forman un par
lineal entonces son suplementarios.
Dm:
ABX + XBC = 1llano = 180°, luego
ABX y XBC son suplementarios
ABDABC+CBD
S
Dm:
=90°–=90°– 180°–=180°–
S
Y A = 180°B = B
PAR LINEAL: Son dos ángulos adyacentes
cuyos lados no comunes son semirrectas
opuestas.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
Son dos ángulos tales que los lados de uno de
ellos son las semirrectas opuestas de los lados
del otro.
TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y
sólo si sus complementos son congruentes si y
sólo si sus suplementos son congruentes.
TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC
y CBD son suplementarios entonces forman
un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D
son colineales.
**
Este teorema se utilizará para probar
que tres puntos son colineales.
TEOREMA:
Dos ángulos opuestos por el
vértice son congruentes.
Dm:
Los ángulos opuestos por el vértice tienen
igual suplemento, luego son congruentes.
TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos
opuestos por el vértice son semirrectas
opuestas. (Ejercicio)
RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas
secantes L y M son perpendiculares, L  M, si
forman por lo menos un ángulo recto. En caso
contrario son oblicuas.
Dos
segmentos
(semirrectas)
son
perpendiculares si están contenidos en rectas
perpendiculares.
TEOREMA:
Dos rectas perpendiculares
forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)
TEOREMA:
Las bisectrices de un par
lineal son perpendiculares. (Ejercicio)
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 3 de 27
TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa
una y solamente una recta perpendicular a ella.
POLÍGONO: Es la región del plano limitada
por una poligonal cerrada.
Según el número de lados se llaman:
Dm:
Por el axioma de construcción de
ángulos para x=90 existe una y sólo una
semirrecta que determina la recta pedida.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la
recta que pasa por el punto medio de un
segmento y es perpendicular al segmento.
Si M es el punto medio de AB entonces:
L mediatriz de AB  L pasa por M y L  AB
LÍNEA POLIGONAL: Sea nZ y n  3. Si A1
, A2 , ... , An son puntos coplanares, tales que
ninguna tripleta de consecutivos son colineales
entonces a la unión de los segmentos A1 A2 ,
A2 A3
, ...,
An 1 An . se le llama poligonal
A1A2...An
Los extremos de cada segmento son los
vértices de la poligonal, los segmentos son los
lados y la suma de las medidas de sus lados es
el perímetro.
Si el extremo final del último segmento
coincide con el inicial del primero entonces la
poligonal es cerrada, en caso contrario la
poligonal es abierta.
Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5),
Hexágono (6), Heptágono (7), Octágono (8),
Eneágono (9), Decágono (10), Dodecágono (12),
Pentedecágono (15), polígono de n lados (n).
POLÍGONO CONVEXO: Un polígono es
convexo si al unir dos puntos cualesquiera
situados sobre dos lados distintos, el
segmento está contenido en el polígono. En
caso contrario es no convexo.
Ángulo interior de un polígono convexo es el
formado por dos lados consecutivos y ángulo
exterior es el que forma un par lineal con un
ángulo interior.
POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con
todos sus lados congruentes y todos sus
ángulos interiores congruentes.
CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un
punto O en dicho plano, y un número real
positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de
centro O y radio r en el plano ” y se
denota por: “C(O;r)”, al conjunto formado por
todos los puntos P del plano  tales que su
distancia al centro es igual a r, es decir tales
que OP = r.
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CRUCIGRAMA ELEMENTOS BASICOS,SEGMENTOS Y
ÁNGULOS (Elaboró: Carlos Albero Ríos villa)
1
2
3
4
5
6
7
8
11
18
9
12
13
15
16
10
14
17
19
20
21
22
23
24
25
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28
29
30
31
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33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46 47
48
49
50
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57
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61
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HORIZONTALES
1
53
Es suficiente para que dos segmentos o dos ángulos sean
congruentes
2 ¡Tranquilo!... yo le creo, no tiene necesidad de probarme nada
4 Dos ángulos que suman 90°
8 Subconjuntos en los que un punto sobre una recta la dividen
10 Igual que la 4, pero suman 180°
11 Antes de escribir la demostración debes conocer un camino,
esto te permitirá encontrarlo
13 Para serlo, estos dos ángulos solo deben tener la misma
medida
15 Axioma que nos dice lo que le hace un punto a una recta
17 Relación que compara la forma de dos figuras geométricas
18 Estos ejercicios solo debes hacerlos luego de haber
comprendido muy bien los conceptos y los ejercicios
resueltos
20 Debes usarlos para tener una visión más amplia de cada
tema
21 Los primeros ejercicios que debes estudiar y comprender
muy bien
23 Son soporte fundamental para usar eficientemente el
tiempo independiente de estudio
24 Un conjunto toma este nombre si entre sus elementos se
puede determinar cual está antes o después de otro o si
está entre otros dos
26 Esta propiedad permite concluir que si dos cosas son
iguales y una de ellas es igual a una tercera, entonces las
tres son guales
27 Estos dos ángulos solo se originan si dos rectas son
secantes
29 Esta relación, entre dos figuras geométricas se da solo si
tienen Igual forma y medida
31 Para serlo, estos dos segmentos solo deben tener igual
medida
32 Es indispensable si quieres tener éxito en tu estudio
35 Este axioma garantiza la existencia de semiplanos opuestos
37 Subconjunto propio del espacio que tiene solo dos
dimensiones
38 Estas dos rectas resultaron ser la misma por tener dos
puntos distintos en común
39 Siempre son colineales
40 Estos dos ángulos tienen el vértice y un lado común, pero
además el otro lado (el no común) está por fuera del otro
ángulo, o mejor dicho está en el semiplano opuesto
respecto al lado común. ¡Hay amá que enredo!
41 Sin comprenderlos, será imposible realizar los ejercicios
propuestos
42 Puntos en un mismo plano
44 Este axioma concluye que solo por tener tres puntos no
colineales en común, dos planos son el mismo
45 Dos puntos siempre lo son
46 Una recta en un plano da origen a ellos
50 Semirrecta que divide un ángulo en dos, pero igualitos
51 Estudio de las medidas y formas de la tierra
52 Si en este polígono unimos dos puntos de dos lados
cualesquiera todo el segmento resultante queda adentro
del polígono; o si prolongamos alguno de sus lados esta
prolongación nunca cortará a otro lado del polígono
54
55
56
57
58
59
60
61
62
Estas dos rectas solo tienen un punto en común y además
son coplanares
Son los datos y por lo tanto el punto de partida de una
demostración, siempre son verdad y debemos tenerlas
presentes durante la solución del problema, pues sin ellas
es imposible resolverlo.
Afirmación con sentido completo, de la cual tenemos
certeza de su veracidad o falsedad
Siempre invirtiendo las cosas, en este caso la hipótesis y la
tesis
conjunto de propiedades inequívocas que se usan para
identificar algo
Dos puntos sobre una recta y todos lo que están entre ellos
Son las únicas rectas que no son coplanares
Esta es la clave, debes hacerlo y hacerlo y hacerlo
Esta propiedad afirma que toda figura geométrica es
congruente con ella misma
Estos tres, si no son colineales, siempre son coplanares
VERTICALES
1
3
5
6
7
9
12
14
16
19
22
25
28
30
33
34
36
43
47
48
49
52
Número de puntos que forman cualquier segmento
Este ángulo es más grande que uno recto pero más pequeño
que uno llano
Estas dos rectas no tienen puntos en común, pero además
siempre son coplanares
Este axioma justifica el hecho de que dos puntos siempre
sean colineales
Ángulo que mide 180°
Estos segmentos tienen un punto (extremo) en común que
está entre los otros dos
Lo que debemos probar en un ejercicio
Cada uno de los conjuntos en los que un punto divide una
recta
Éste ángulo mide más de 0° y menos de 90°
Se dice de una relación que cumple las propiedades:
reflexiva, simétrica y transitiva
Solo si me demuestran lo creo
Propiedad que permite cambiar el orden en que nombramos
las figuras geométricas
Subconjunto que no es igual al universal, o sea que al menos
le falta un elemento del universal
Figura formada por dos semirrectas con origen común
Este ángulo es como pocas personas
Conjunto linealmente ordenado, sin principio ni fin ni
tampoco puntos consecutivos
Ángulos cuya medida es cero grados
Justifica el hecho de que tres puntos siempre sean
copleares
Solo realizando muchos podrás aprender
Otro nombre para los ángulos opuestos por el vértice
Este pequeño elemento es capaz de dar origen a todas las
figuras geométricas
Lo que debes hacer aunque en un principio creas que no
podrás ¡SI PODRAS!
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UNIDAD 2
SEGMENTOS Y ANGULOS
En esta primera parte del módulo, correspondiente a los elementos básicos de geometría, segmentos y
planos debes tener presente los postulados sobre punto, recta y plano; así como los teoremas y
corolarios relacionados con la adición y resta de segmentos y ángulos adyacentes.
Elementos para recordar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
axioma de existencia del espacio
segmento de recta
medida de segmentos
segmentos congruentes
punto medio de un segmento
segmentos adyacentes
suma de segmentos
axioma de medida de ángulos
clasificación según su medida
bisectriz de un ángulo
ángulos adyacentes
suma de ángulos
ángulos complementarios
ángulos suplementarios
par lineal
ángulos opuestos por el vértice
mediatriz de un segmento
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 7 de 27
1.
Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140,
(180n).
Recordemos que el suplemento de un ángulo
es un ángulo
tenemos:
cuya medida es
por lo tanto
(
(
)
(
)
)
90 +
2. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada
uno?
suplementarios
(
2
)
2
2
180°
180° - 30°
3. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la
medida de su suplemento.
Recordar:
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
180
= 5veces
180
4. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo,
¿cuál es la medida del ángulo?.
Recordar:
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y
aplicando los métodos de sustitución o igualación
Unidad dos, segmentos y2 ángulos, Página 8 de 27
( )
( )
( )
Si el resultado obtenido en ( ) lo remplazamos en ( ) obtenemos que
5. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y
Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.
BOC=DOA.
Recordar que dos semirectas opuestas forman un
ángulo de 180°
Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2
GRAFICA 13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
os
= 180
20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y
BOC, tales que
BOCAOB=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con:
a. La semirrecta OB.
b. La bisectriz OK del AOC.
⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz de
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 9 de 27
Hallar
=
(
=
=
)
–
(
=
)
(
(
))
=
GRAFICA 14
⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz de
la solución del literal b. Se deja al estudiante
BOC
21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y
OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos,
cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los
ángulos extremos forman un ángulo de 100.
1. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃡⃗⃗⃗⃗
2.
} definición de directriz
3.
} ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4.
5. 2
reemplazando
( )
6. 2
GRAFICA 15
22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes
consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y
además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB.
1. ̂
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 10 de 27
2. Datos {
3.
⏟ +
4.
GRAFICA 16
(
5.
(
)
)
(
)
23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7
⃗⃗⃗⃗⃗ =?
1.
4
4
2.
3.
-3
=3
Por propiedad de las igualdades
=0
Resta de segmentos
}
4(
) -3 (
)= 0
Reemplazando ( ) en ( )
4.
Propiedad de las igualdades
}
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 11 de 27
24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:
OB = (n OA+ m OC)/(n + m)
Al igual que el ejercicio anterior ejercicio
partamos de
(
)
(
)
(
)
(
)
Nuevamente
(
(
)
)– (
(
)
)
(
(
(
(
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
(
)
(
)
)
)
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 12 de 27
EJERCICIOS UNIDAD 2
1.
Si BXC=45 y CXD=85, ¿cuánto mide el BXD si:
a. C es interior al BXD?
b. C es exterior al BXD?
2.
Grafica 9
Grafica 10
Observa la gráfica y resuelve el
problemA
Observa la gráfica y resuelve el
problema
Determinar la medida del complemento de cada uno de los siguientes ángulos: 20,
60, 35, x, (90  n), 40.
Completa la tabla
θ
es complemento de θ
= 90°- θ
20°
60°
X°
90°-n°
40°
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 13 de 27
3.
Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100,
80, n, 140, (180n).
Completa la tabla
θ
es suplemento de θ
= 180°- θ
100°
80°
n°
180°-n°
140°
180°-n°
4. Si un ángulo mide el doble de su suplemento, encontrar su medida.
Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves: el
doble y el suplemento
5.
Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a
cinco veces la medida de su suplemento.
Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves:
cuatro veces doble y el suplemento
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 14 de 27
6.
Cuatro veces la medida de un ángulo es 60 más que dos veces la medida de su
suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?.
Interpreta y resuelve el problema identificando las palabras claves
7.
Uno de los ángulos de un par vertical (ángulos opuestos por el vértice) mide 128.
Encontrar la medida de los otros tres ángulos que se forman.
Grafica 11
8.
Observa la gráfica y resuelve el
problema
Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que
DOA=COB=2AOB y COD = 3 AOB. Calcular las medidas de tales ángulos y
demostrar que las bisectrices de AOB y COD están en línea recta.
Grafica 12
Observa la gráfica y
resuelve el problema
teniendo presente los
conceptos y
definiciones sobre
ángulos.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 15 de 27
9. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX los ángulos  y . Probar que
la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo (+) / 2 con >
Grafica 13
Observa la gráfica y
resuelve el problema
teniendo presente los
conceptos y definiciones
sobre ángulos.
10.
Dados A-B-C tal que M es punto medio de BC. Demostrar que
AM = (AB+AC)/2
Grafica 14
Completa la información y argumenta tu
respuesta.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 16 de 27
11. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:
OB = (4 OA+ 3 OC)/7
Grafica 15
Completa la información y argumenta
tu respuesta.
(̅̅̅̅
̅̅̅)
(̅̅̅̅
̅)
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅
12.
Sean A-B-C-D tales que M punto medio de AB, N punto medio de CD. Demostrar
que:
MN = (AC + BD)/2
Grafica 16
Debes determinar la Hipotesis y
la tesis, luego completa la
razon.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 17 de 27
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
4
5
6
(
)
(
)
7
13.
Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:
OB = (n OA+ m OC)/(n + m)
Grafica 17
̅̅̅̅
Debes determinar la Hipotesis y la
tesis, luego completa la razon.
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
̅̅̅̅)
(̅̅̅̅
(̅̅̅̅
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
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(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
)(̅̅̅̅)
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
̅̅̅̅
( )
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅)
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 18 de 27
(̅̅̅̅)
(̅̅̅̅)
14.
Dados los puntos P,Q,O,R y S colineales con O punto medio de PS y QR demostrar
que PR es congruente con QS
Grafica 18
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Debes determinar la Hipotesis y la tesis, luego
completa la razon.
15.
Sean A-B-C y D-H-E tales que AB=DH y BC=HE demostrar que AC=DE
Grafica 19
1.
2.
3.
4.
5.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Debes determinar la Hipotesis y la
tesis, luego completa la razon.
1.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 19 de 27
EJERCICIOS UNIDAD 2.SEGMENTOS Y ÁNGULOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Si  BXC=45° y  CXD=85°, ¿cuánto mide
el  BXD si:
a. C es interior al  BXD?
b. C es exterior al  BXD?
Determinar la medida del complemento de
cada uno de los siguientes ángulos: 20°,
60°, 35°, x°, (90 - n)°, 40°.
Encontrar la medida del suplemento de
cada uno de las siguientes ángulos: 100°,
80°, n°, 140°, (180-n)°.
Dados dos ángulos suplementarios, si uno de
ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto
mide cada uno?.
Si un ángulo mide el doble de su
suplemento, encontrar su medida.
Encontrar la medida de un ángulo sabiendo
que cuatro veces su medida es igual a cinco
veces la medida de su suplemento.
Cuatro veces la medida de un ángulo es 60°
más que dos veces la medida de su
suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?.
Si la medida del complemento de un ángulo
es un tercio de la medida del suplemento
del ángulo, ¿cuál es la medida del ángulo?.
Uno de los ángulos de un par vertical
(ángulos opuestos por el vértice) mide 128°.
Encontrar la medida de los otros tres
ángulos que se forman.
Sean
OA, OB, OC y OD semirrectas
coplanares, tales que  AOB=  COD y
 BOC=  DOA. Demostrar que tanto OA
y OC como OB y OD, son semirrectas
opuestas.
Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB,
OC y OD
forman
ángulos tales que
y
 DOA =  COB=2
 AOB
 COD = 3  AOB. Calcular las medidas de
tales ángulos y demostrar que las
12.
13.
bisectrices de  AOB y  COD están en
línea recta.
Sean OX y OY las bisectrices de dos
ángulos agudos adyacentes  AOB y
 BOC, tales que
 AOB -  BOC=36°.
Sea OZ la bisectriz del  XOY. Calcular el
ángulo que hace OZ con:
a. La semirrecta OB.
b. La bisectriz OK del  AOC.
Las semirrectas OA y OB forman con la
semirrecta OX los ángulos  y  . Probar
que la bisectriz OC del  AOB forma con
OX un ángulo (  +  ) / 2 , si X es exterior
14.
15.
16.
a el  AOB y a la semidiferencia si es
interior.
Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un
mismo semiplano se trazan las semirrectas
OA y OB y las bisectrices de los ángulos
 XOA,  AOB y  BOY. Calcular las
medidas de los ángulos, cuando la bisectriz
del ángulo  AOB es perpendicular a la
recta XY y si las bisectrices de los ángulos
extremos forman un ángulo de 100°.
Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC y
OD forman cuatro ángulos adyacentes
consecutivos que son entre sí como 1, 2, 3,
4. Calcular dichos ángulos y los ángulos
adyacentes consecutivos formados por sus
bisectrices.
Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC,
OD y OE forman cinco ángulos adyacentes
consecutivos. Calcular dichos ángulos si los
cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4
y además OD es la prolongación de la
bisectriz del  AOB.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 20 de 27
EJERCICIOS SOBRE SEGMENTOS
(Recopilados por: Carlos Ríos)
17. Determine cuales de las siguientes
afirmaciones son falsas y cuales verdaderas y
justifique su respuesta.
a. Dos rectas son congruentes si y solo si tienen
igual longitud.
b. Dos rectas son congruentes si y solo si
coinciden todos sus puntos.
c. Dos rectas no pueden ser congruentes.
d. Si M Є AB y AM  MB , entonces M es el
punto medio de AB.
e. Si AB  AC  BC entonces A-B-C
f. Dados A-B-C-D entonces AD  AC  BD
25. Dados A-B-C-D
que
AD 
con
nAB  mAC
nm
26. Dados O-A-B-C
demuestre que
OB 
BC demuestre que AB  CD y que AC  BD
19. Dados O-A-X-B con X punto medio de
OA  OB
2
20. Dados A-O-X-B con X punto medio de
21. Dados A-B-C-D
que
2 AB  AD
AC 
3
OB  AO
2
con 2BC = CD demuestre
22. Dados A, B, C, D colineales,
demuestre que
AD 
posibilidades.
con
BD CD

4
7
7 AB  4 AC
, analice las
3
23. Dados O-A-B-C con 4 AB = 5 BC demuestre
que
OB 
4OA  5OC
9
24. Dados O-A-B-C
que
OB 
8OA  7OC
15
con
n AB = m BC
27. Demuestre que la distancia del punto medio
M de un segmento AB a un punto K sobre la
prolongación del segmento, es igual a la semisuma
de las distancias de los extremos del segmento al
punto K, y a la semidiferencia si es K esta sobre
el segmento.
18. Dados A-B-C-D y O punto medio de AD y
AB Demuestre que OX 
con
nOA  mOC
nm
g. Si AB  CD , entonces AB = CD
AB Demuestre que OX 
BD CD
demuestre

m
n
AB BC
demuestre

7
8
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 21 de 27
TALLER N°1- SEGMENTOS
01
Dados
tal que
02
Se tienen los puntos
medios de los segmentos
demostrar que:
̅̅̅̅
es punto medio de
. Demostrar que
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
colineales en dicho orden, sean , y los puntos
respectivamente. Si AB mayor que BC
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
03
Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que ̅̅̅̅
demostrar que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
04
Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que
demostrar que
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
05
Se tienen los puntos O-A-B colineales en dicho orden tales que
̅̅̅̅
̅̅̅̅
determinar el valor del segmento cuya medida
cumplir que
̅̅̅̅
06
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
,
debe
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Dados los puntos A, B, C y D colineales en dicho orden. Si
demostrar que:
̅̅̅̅
08
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales en dicho orden. Si
demostrar que:
̅̅̅̅
07
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
Las distancias de dos puntos A y B a un punto O entre ellos son ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
hallar la distancia ̅̅̅̅̅
si se cumple ̅̅̅̅
y con
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 22 de 27
y ̅̅̅̅
09
Dados los puntos
, y colineales y en dicho orden tales que
medio de ̅̅̅̅ y es punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
10
Sean
puntos colineales en dicho y orden y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
y AB > BC. si
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
N y P son punto medio de
,
y
respectivamente. Demuestre que
̅̅̅̅
.
11
Demuestre que la distancia del punto medio M de un segmento AB a un punto K
sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las distancias de los
extremos del segmento al punto K.
12
Sean
puntos colineales en dicho orden tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Sea el punto
medio de ̅̅̅̅ . Demostrar que la medida del segmento ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄
13
Sean
con
punto medio de ̅̅̅̅. Demostrar que la medida del
segmento ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⁄ .
14
es punto
̅̅̅̅
,
1
1
MP = NP , demostrar que
a
b
aNO  bMO
OP =
ba
Dados M - N - O - P puntos colineales y
15
Sobre un segmento se dan los puntos A-O-B-C tales que 2OC=3BC Demostrar
que se cumple AC = 3AB – 2AO
16
Dados A  B  C  D , M y N son los puntos medios respectivos de AB y CD .
Demostrar que MN 
MD  MC
2
17
Dados los puntos M, N, R y S, colineales en el orden enunciado, tales que A es
punto medio de MN y B es punto medio de RS. Demostrar que:
2AB = MR + NS
18
Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:
OB = (4OA+ 3OC)/7
19
En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto
medio de AB y G punto medio de DE. Además AB =BC y CD = DE. También AB +
DE = 10. Calcular FG.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 23 de 27
20
Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a
AB + BC = 2BM. Calcular la longitud del segmento MC, si M es el punto medio de
AB y DC=BC
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 24 de 27
TALLER N°2- ANGULOS
1.
Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos  y  .
Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo
 
exterior al AOB .
2.
2
; si OX
Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos  y  .
Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo
; si OX es
interior al AOB .
3.
Dados los ángulos adyacentes y consecutivos POQ, QOR y ROS tales que QOR
= 4 ROS demostrar que POQ = 5POR – 4 POS
4.
En los ángulos consecutivos
, además,
5.
Dadas dos semirrectas opuestas ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ y 5 semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗
situadas en un mismo semiplano con respecto a la recta ⃡⃗⃗⃗⃗ , si ⃗⃗⃗⃗⃗ es la bisectriz
de AOX ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es bisectriz de AOB y ⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz de BOY .
Tal que
DOY es el doble de DOX y EOC  110º . Hallar las medidas de los ángulos
, AOB y BOY .
6.
Dados tres ángulos adyacentes y consecutivos AOB, BOC y COD tales que:
Demostrar que:
7.
En los ángulos adyacentes suplementarios
del
. Calcular
, si
8.
Dados tres ángulos adyacentes y cuyos lados extremos son semirrectas opuestas,
si los dos primeros son como 3:4 y las bisectrices del segundo y el tercero
forman un ángulo de 60°, calcular la medida de cada ángulo.
se cumple que
. Determine
.
y
se traza la bisectriz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 25 de 27
9.
Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas
opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un
ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.
10.
Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en
un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las
medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la
medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un
ángulo de 100 grados
11.
Cuatro semirrectas consecutivas OX , OY , OZ y OW forman ángulos tales que
WOX  ZOY  2XOY Y ZOW  3XOY . Calcular las medidas de tales
ángulos y demostrar que las bisectrices de  XOY y  ZOW están en línea recta.
12.
En los ángulos consecutivos
y
. Calcular
13.
En los ángulos adyacentes suplementarios
del
y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz del
. Hallar
14.
Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus
complementos es igual a 9°.
15.
Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3 a 5. Calcular la
medida del ángulo menor.
16.
Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que AOB-BOC=40° sean OX y OY
bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Sea OZ la bisectriz del
ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hacen OZ y OB.
17.
Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos consecutivos cuyas medidas se
encuentran en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo mayor,
sabiendo que éste es igual al cuadrado del ángulo menor.
18.
Los ángulos consecutivos
bisectriz del
. Hallar
se cumple que
.
y
.
y
, si
su diferencia es
se trazan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz
.
, se traza ⃗⃗⃗⃗⃗
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 26 de 27
19.
El suplemento del complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual
a ocho veces la medida del ángulo. Encontrar el suplemento del triple de la
medida del ángulo.
20.
En los ángulos consecutivos
se cumple que
. Calcular
.
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 27 de 27