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CAPITULO 11
Análisis de Circuitos
en Resonancia
Teoría de Circuitos I
Introducción
Hasta ahora hemos analizado circuitos con fuentes senoidales, cuya
frecuencia se mantenía constante. En este capítulo analizaremos el
efecto de variación de la frecuencia de la fuente sobre las tensiones y
corrientes del circuito.
Las impedancias inductivas y capacitivas son función de la/s
frecuencia/s de excitación, Así, una elección cuidadosa de dichos
elementos nos permitirá construir circuitos selectivos en frecuencia (o
filtros), en cuya salida sólo existan componentes de las frecuencias que
nos interesan.
Filtro: Circuito capaz de eliminar/atenuar determinadas señales de
entrada, o componentes de la señal de entrada, en base a si su
frecuencia pertenece o no a una banda determinada.
Resonancia de Fase
El fenómeno de resonancia de fase aparece en un circuito cuando, a
una frecuencia particular, los efectos capacitivos e inductivos se
cancelan uno a otro, es decir, las reactancias tienen el mismo valor
absoluto, por lo que el circuito se comporta como puramente resistivo.
Este hecho puede justificarse como una consecuencia del intercambio
de energía entre el campo magnético de las inductancias y el campo
eléctrico de los capacitores.
Resonancia de fase de un Circuito Serie
Consideremos el siguiente circuito
serie RLC. Para esta rama la impedancia genérica en función de la
frecuencia estará dada por la suma
de las impedancias individuales de
cada elemento.
Z    R  j L 
j
 R
C
jL L
R

j
CC
1 

j  L 
C 

Así, podemos encontrar una frecuencia 0 para la cual las reactancias
seran iguales y opuestas, como:
Frecuencia de
1
1
0 L 
 0  0 L 
Resonancia de fase
0 C
0 C
1
0 
LC
2
0 
1
LC
f0 
1
2 LC
Curva de reactancia y módulo de Impedancia
0
X  L 
1
C
Resonancia de fase de un Circuito Serie
Si trazamos los diagramas fasoriales
correspondientes a los distintos comportamientos (inductivo, resistivo, capacitivo), veremos que, efectivamente, las tensiones en bornes de L o C
pueden superar la tensión de alimentación !!!
j XL I
R
I

jL L
V
j XL I
j XL I
RI
V
I
V = RI
RI
- j Xc I
I
I
V
- j Xc I
- j Xc I
Resonancia
de fase
j
CC
Curva de Admitancia
Módulo de admitancia
Desde el punto de vista práctico, casi toda Sin
la pérdida
información importante
acerca del comportamiento del circuito en
resonancia
está contenida
Poca
pérdida
en el extremo redondeado de la curva en V (curva impedancia). Por
eso es mas útil representar la admitancia, Y = 1 / Z donde se ve
claramente el efecto de distintos valores de R.
Ángulo admitancia
Como Y es pequeña a frecuencias lejanas de la de resonancia, se ha
0
representado con una escala de frecuencias
extendida, dejando solo un
10% a cada lado de o. La escala de frecuencias es logaritmica, lo cual
simetriza la curva respecto a la recta vertical
o.
Sin pérdida
Poca pérdida es positivo a bajas
La característica del ángulo de la admitancia
frecuencias (circuito capacitivo), cero en resonancia (circuito resistivo)
y negativo a altas frecuencias (circuito inductivo).
0
Ejercicio:
En el circuito de la figura:
L = 65 H
C = 1,56nF
R = 5,1 
Calcular:
a) Frecuencia de resonancia.
b) Factor de mérito.
R
C
L
Ejercicio:
Para el siguiente circuito obtener:
a) Frecuencia de resonancia de fase.
b) Factor de mérito.
+
1
V
1
1 mHy
V2
47 F
1K
Yparalelo 
1
1  j  RC
 jC 
R
R
 Z paralelo 
R
1  j  RC

R  1  j  RC
1   RC 
2

Expresión general de Z
A efecto de facilitar el análisis de las modificaciones de la impedancia
en función de la frecuencia, es conveniente modificar la expresión de
Z, poniéndola en función de ciertos parámetros:
a) Frecuencia de Resonancia
0 
1
LC
 C
1
L 02
b) Desintonización Fraccional Relativa
  0

0
c) Reactancia del inductor a 0
0 L 
1

0 C
L
C
d) Factor de Mérito o Calidad del Inductor
Q0 
U L
0
U 0

U L
0
U R
0

X 0
R

0 L
R
Expresión general de Z
Retomando la expresión de Z:
1
Z  R  j  L 
C
  R  j  L 

1
1
02 L
 0
R  j 0 L 

0 
02 L
  R  j  L 

 .

R0
R0
R
Q0 L  0 
 R0   j 0 


R0 0  
 R0
Como la desintonización relativa es:  
  0

  1 
0
0
y
R
R

 0 
1
 Z  R0   j Q0 


R

j
Q


1

 0 

0
R


R


1
0
 0

 0

R
2  
 R0   j Q0  

1  
 R0
0
1

  1
Expresión general de Z
Sobre esta expresión surgen distintas aproximaciones posibles.
R
2  
Z  R0   j Q0  

1  
 R0
Considerar la resistencia constante para el rango de frecuencias de
análisis (R = R0)

2  
Z  R0 1  j Q0  
 Audiofrecuencias
1  



Considerar el valor de la resistencia proporcional a la frecuencia

R

2  

 1    Z  R0 1     j Q0  
 Radiofrecuencias
R0 0
1  

Y si consideramos frecuencias próximas a la de resonancia ( << 1)
Z  R0 1  j 2 Q0    Y 
1
1
Y0


Z R0 1  j 2 Q0   1  j 2 Q0  
Y
1

Y0 1  j 2 Q0 
Curva Universal de Resonancia
Son las curvas de amplitud, parte real y parte imaginaria de la
expresión:
Y
1
Q


 0 
Y0
1  j 2 Q0 
Componente Total
Y
1

2
Y0
1   2 Q0  
Componente Real
Y 
1
Re   
2
 Y0  1   2 Q0  
Componente Imaginaria
Y 
 2 Q0 
Im   
2
 Y0  1   2 Q0  
Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0
1
Debajo de la resonancia
Arriba de la resonancia
0.8
Componente Total
0.6
0.4
0.2
Componente Real
0
Componente Imag.
-0.2
-0.4
-0.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Frecuencia (Q0)
0.5
1
1.5
2
Ejercicio:
Un circuito serie RLC con Q0 = 250 está en resonancia a 1,5Mhz.
Encontrar las frecuencias a las que la potencia activa del circuito
resonante es un décimo de la potencia en resonancia, permaneciendo
el voltaje de entrada constante.
R
Pi   0,1 P0
 V

 z i 
2
2
I
jL L
V = cte

j
CC

 V 
 Re zRi    0,1 
 Re zR0 f  1,5MHz
0

 z 0  
2
2

 1 
 1 
0  9, 42 x 106 rad / seg

   0,1 

 z i  
 z 0  
Y i 
Curva
  0,1  0,31
Comp. Total
Y 0 
Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0
1
Debajo de la resonancia
Arriba de la resonancia
0.8
Componente Total
0.6
0.4
0,31
0.2
0
1,5
1  0
Q0  1,5   
 0,006 
250
0
-0.2
-0.4
-0.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Frecuencia (Q0)
0.5
1
1.5
2
Puntos de potencia mitad
De las expresiones de las componentes real e imaginaria vemos que las
mismas son numéricamente iguales cuando Q0 = ± 1/2.
Y 
1
Re   
2
 Y0  1   2 Q0  
Y 
 2 Q0 
Im   
2
 Y0  1   2 Q0  
Y reemplazando en la expresión de la componente total:
Y
Q0   1/ 2  
Y0
1
 1 2
1  2   
 2

1
2
Como la corriente es proporcional a la admitancia, cuando la desintonización a partir de la frec. de resonancia es ± 1/2, el valor eficaz de la
corriente será menor que el valor eficaz de la corriente en condiciones
de resonancia, I < I0 de forma que:
V /Z V Y

I
1



 0,707
I 0 V / Z 0  V Y0
2
Puntos del 70 %
de corriente
Puntos de potencia mitad
Veremos qué ocurre en función de la potencia:
P I2 R
I
 2 
P0 I 0 R
I0

2

1
2

2
Puntos del 50 %
de potencia
 0,5
Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0
La potencia útil de salida en los puntos del 70 % de corriente, se reduce
a un 50 % de la potencia en resonancia.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Q02
0
Q0 
Q01
-0.2
-0.4
-0.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Puntos potencia mitad en circuitos con difrente Q
Ancho de Banda
El ancho de banda del circuito resonante es la distancia horizontal
entre los puntos de potencia mitad. Fuera del mismo una señal se
transmite con menos del 50 % de la potencia máxima. Así:
1  0
2  0
1  2
0
Q0 1  Q0  2  Q0
 Q0
 Q0
 1  1  2 
0
0
0
Q0
1/2
-1/2
simbolizamos AB = 1- 2 , y vemos que el parámetro AB muestra
la relación entre Q0 y la frecuencia de resonancia 0 de manera tal
que si dos circuitos tienen igual frecuencia de resonancia y distintos
factores de calidad, Q01< Q02, aquel con mayor factor de calidad
tendrá mejor sintonización selectiva (es decir, AB estrecho).
Veamos como expresar las frecuencia extremas del ancho de banda en
función de parámetros conocidos del circuito:
1  0 1

0
2
  0
1
Q0  2  Q0 2

0
2
Q0 1  Q0
 1  0  1 
1
2Q0

 2  0  1 
1
2Q0

Variación de la Corriente a partir de variar Q
Recordando que:
Q0 
U L
0
U 0

U L
0
U R
0

X 0
R

0 L
R
Simetría de la curva universal de resonancia
Se puede "simetrizar " la característica de resonancia mediante una
representación en escala logarítmica. Partiendo de la expresión de
admitancia de un circuito serie RLC:
Y
1

 L  0 
R 1  j 0 0 


R 0  

1
Y   

  L
 0 
R 1   0 


0  
 R
 20
Vemos que esta expresión:
y

 resonancia).
• Es máxima si =0 (frec. alimentación igual a20frec.
2
• A medida que  aumenta o disminuye en forma monótona a partir
de 0, la expresión también crece o decrece en forma monótona.
20
Analizando en la expresión del módulo
 para que valores [ … ] =  1:
   0 Q

L
 0

 1  
   0
0 
 0 R
 0 
 
 Q0 
 0

2


 1  
0




0

2
 1  


 Q 0  0

 1 0
Plantear
Ráices
Simetría de la curva universal de resonancia
Tomando como variable /0, las raíces de la ecuación de segundo
orden serán, respectivamente:
2
12  1   1 

 
 1
0  2Q0   2Q0 
2
 1 
 1 
12
 



 1
0
 2Q0 
 2Q0 
Considerando que las frecuencias 0 < 2 < 0 < 1 , podemos
descartar las soluciones con el signo – de ambas ecuaciones. Así:
2
1  1   1 

 
 1
0  2Q0   2Q0 
2
1
 1 
 1 
2
 
 
 1
0
 2Q0 
 2Q0 
 2
Restando (1) – (2):
AB
0
2
 1 
 1 




 1
 2Q0 
 2Q0 
2
 1 
 1 
 1   1  1




1

          
 2Q0 
 2Q0 
 2Q0   2Q0  Q0
Simetría de la curva universal de resonancia
Si en cambio multiplicamos (1) y (2):
2
2
2
2
 1 
 1 
 1 
 1 
 1 
 1 
1 2



1
.



1


1
















 1
2
0
 2Q0 
 2Q0 
 2Q0 
 2Q0 
 2Q0 
 2Q0 
Luego si
1 2
1
2
0
 1 2  02
0  1 2
log 0  
log 1 2 
2

log 1   log 2 
2
Es decir que, tomando una escala logarítmica de frecuencias, ambas
frecuencias quedan ubicadas simétricamente respecto a 0.
Simetría de la curva universal de resonancia
Y()
R
Q=1
0,6 R
Q = 10
0,2 R
0
0,50 0
0,5 

0
1,50 0
2 0 aritmética)
(escala log)
(escala
Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q
La energía total almacenada en un circuito resonante puro LC es
constante, ya que la energía almacenada en el campo magnético de la
bobina varía de cero a máximo y vuelve a cero cada medio ciclo al igual
que la energía de campo eléctrico del capacitor.
La frecuencia de resonancia es la frecuencia a la que la bobina
suministra energía tan rápidamente como el condensador la requiere
durante un cuarto de ciclo, y la absorbe tan rápidamente como la
descarga el capacitor en el siguiente.
Así, en resonancia, el circuito externo solo debe suministrar la energía
necesaria para cubrir las pérdidas resultantes de la presencia de una
resistencia en el circuito resonante. Es decir, el circuito externo solo
suministra la potencia activa necesaria para compensar las pérdidas en
la resistencia, por lo que V e I están en fase, y el f.p. es unitario.
Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q
Si las expresiones de la tensión y la corriente son:
i  t   I m .cos  t 
v t  
Im
.sen  t 
C
50
La energía en los elementos será:
EL
45
EC
1
1
E L  t   L i 2 t   L I m2 .cos2 t 
2
2
1
1
1 I m2
2
2
2
EC  t   C v  t   C Vm .sen  t  
.sen 2 t 
2
2
2
2 C
40
35
En resonancia
1
2 
30
25
LC
20
15
La energía total en resonancia será entonces:
10
1
1
1 I m2
2
2
2
2
2
ETOTAL  t   EL  t   EC  t    L I m .cos  t   L I m .sen  t    L I m 
2
2
2 02 C
5
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
tiempo [seg]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Como es constante, vemos que el intercambio de energía entre campo
magnético y eléctrico se realiza entre los componentes, sin intervención
"aparente" de la fuente.
Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q
La potencia instantánea será:
I m2
I m2
p  t   R . i  t   R  R .cos  2  t 
2
2
I m2
PR
( valor medio de p  t  )
2
2
Si la frecuencia es f0, la energía discipada en un ciclo será:
Ediscipada  P. T  P.
1 1 R 2

Im
f0 2 f0
El cociente entre la energía almacenada y la energía disipada:
Ealmacenada
Ediscipada
1
L I m2
f L  L 1
 0  0
 2
1 R 2
R
R 2
Im
2 f0
Q
Q  2
Ealmacenada
Ediscipada
Resonancia de fase en un circuito paralelo
La expresión de la admitancia será:
Y
1
j
1
1
 jC
  jC
R
L R
L
I

jL L
Al igual que en la expresión de la impedancia de un
circuito serie, habrá algún valor de  para el cual
Im{Y}=0. Esta es la frecuencia de resonancia, y su
expresión resulta ser:
1
0 
R
R

j
C
LC
jB
C
I
jB
C
jB
I
C
I
GV
I
V
GV
-jB
L
I
I = GV
V
I
V
-jB
L
I
-jB
L
I
V
Curva de reactancia y módulo de Admitancia
B  C 
1
L
Factor de Mérito en un circuito paralelo
Dado que, según sabemos, el circuito serie RLC y el circuito paralelo
GCL son duales, todo el análisis realizado tendiente a la obtención de
la curva universal de resonancia es válida, con la sola diferencia de
que ahora nos dará información acerca de la relación entre la
impedancia a una frecuencia cualquiera y la impedancia a frecuencia
de resonancia ( z/z0 ).
Con respecto al factor de mérito de un circuito paralelo:
Q0 
IC
0
I 0

V 0 C
R
 0 R0 C  0
VG
0 L
Ejercicio:
"s"
R
L
R1
Datos: R = 10
C = 10F
L = 2mH
R1 = 20
C
• En el circuito de la figura con “S” abierto, determinar:
a) Frecuencia de resonancia o.
b) Impedancia del circuito en resonancia
c) Valor que debe tomar R para que le circuito no resuene a ninguna frecuencia.
• Con “S” cerrado, calcular:
a) La o las nuevas frecuencias de resonancia o.
b) Impedancia del circuito en resonancia.
Resonancia Gráfica
Resonancia de Amplitud
Para entender el fenómeno de resonancia de amplitud es necesario
definir primero las funciones de redes.
Función de red: Toda relación entre dos tensiones y/o corrientes
complejas, tal como lo son la ganancia en tensión, la impedancia de
salida, etc,
Propiedad 1: Todas las funciones de redes pueden escribirse como la
relación de dos polinomios en jω con coeficientes reales
H  j  
an  j   an 1  j 
n
n 1
bm  j   bm 1  j 
m

m 1

 a1  j   a0
1
 b1  j   b0
1
donde los ai (i = 0,1, ... , n) y los bj (j = 0,1, ... , m) son números reales.
Resonancia de Amplitud
Propiedad 2: Para todas la funciones de redes, las raíces (valores de
jω que hacen cero el polinomio) del numerador y del denominador o
son reales o son complejos conjugados. Esto surge del hecho que los
coeficientes son reales.
Propiedad 3: Para cualquier función H(jω) puede demostrarse que:
H  j   H  j  H * j 
es una función par de ω, y que el ángulo de H(jω) es una función
impar de ω.
Una primera definición de frecuencia de resonancia de amplitud
será entonces, el valor de la frecuencia ω a la cual la expresión de la
función de red | H(jω) | es máxima.
Gráficos de magnitud y fase en función de 
El gráfico de respuesta en frecuencia muestra como cambian la
amplitud y la fase de H(jω) a medida que varía la frecuencia de la
fuente de alimentación.
La representación de la respuesta en frecuencia se hace en dos
partes: una, la representación de |H(jω)| en función de ω, que se
denomina gráfico de amplitud o magnitud, y otra, la representación
del argumento H(jω) vs. ω, que se denomina gráfico de fase.
PASABAJOS
PASAALTOS
PASABANDA
RECHAZABANDA
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos
• Circuito RC Pasabajos
R
+
El circuito RC serie de la figura se comporta
como un filtro pasabajos, hecho que podemos
verificar fácilmente haciendo un análisis cualitativo de su comportamiento cuando =0 y ∞.
Vi
C
Vo
0∞
=
En forma exacta, por divisor resistivo:
1
1
j C
V0    Vi  
 Vi  

1
j

RC

1
R
j C
V0  
1
H   

Vi   1  j RC
Con   0  H   0   1
Con     H      0
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos
Amplitud RC como pasabajos
Fase RC como pasabajos
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos
• Circuito RL Pasabajos
L
+
+
Análogamente al estudio realizado anteriormente, =0 y ∞. vemos que el circuito RL
serie de la figura se comporta también como
un filtro pasabajos.
Vi
R
Vo
-
0∞
=
En forma exacta, por divisor resistivo:
R
1
V0    Vi  
 Vi  
L
R  j L
1  j
R
V0  
1
 H   

Vi   1  j L
R
Con   0  H   0   1
Con     H      0
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos
Amplitud RL como pasabajos
Fase RL como pasabajos
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaAltos
• Circuito RC Pasaaltos
=
0∞
C
+
+
Vi
R
Vo
-
Resonancia de Amplitud – Circuito PasaAltos
• Circuito RL Pasaaltos
R
+
+
Amplitud
Vs
L
Vo
-
R/L
Fase
Ejercicio:
En el siguiente circuito hallar:
a) H()
b) Frecuencia de resonancia de amplitud (comparar con la de fase)
+
Vi
H ( j ) 
0,4 Hy
1mF
4
_
+
V2
_
H ( j ) 
R
 H(j) 1
Max(H(j0)) = 1  0L = 1/0C
R

1 
R  j  L 


C


R

1 
R   L 


C


2
2
Demostración por la derivada de H()2
H ( j ) 
R2
2

1 
R2    L 
 C 

2

2
 RC   2
 RC     LC  1
2
2
2
2
  RC 
2
2
 RC   2   2 LC  1
2
2
2
2
2
2
2
2
2


2

RC



LC

1


2
RC


2

LC  1  2 LC  












d H ( j )



2
d
 RC  2  2   2 LC  12 


2
 d H ( j ) 2 
0  NUM 



d



2
2
2
2
2

0  2  RC     LC  1    2  2  RC    2  2 LC  1  2 LC  


0  2 R C   2  LC  1  2 R 2C 2 3  2 2  2 LC  1  2 LC 
2
2
3
2
2
0  2  LC  1  2  2 LC  1 2 2 LC 
2
2
0   2 LC  1   2 2 LC   2   2 LC  1    2 LC  1  2   2 LC  1
Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.)
Según vimos en el ejemplo anterior el circuito RLC serie con salida
sobre la resistencia funciona como pasabanda.
jL
H ( j ) 
Vo ( j )

Vi ( j )
H ( j ) 
1/C
R

1 
R  j  L 


C


R

1 
R2    L 


C


2
Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.)
A contiuación se muestra como varia la gráfica del módulo de la
función transferencia a partir de variar R.
1
2
Aumentando
R
Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.)
A contiuación se muestra como varia la gráfica de la fase de la
función transferencia a partir de variar R.
Aumentando
R
Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.)
jL
L
R
+
+
2
C
1/jC
Vs
1  R 

 
LC  4 L 
0 
Vo
-
1
LC
Ojo ! Las bajas frecuencias también pasan
1
Vo ( j )
j C
H ( j ) 

Vi ( j ) R  j L 
1

1   2 LC   j RC
1
H ( j ) 
2
1
j C
1   LC    RC 
  21 LC  2 LC   2 RC  
d H ( j )

 
d
1   LC    RC  


 2 1 LC   2 LC   2  RC    0


2 1 LC   2 LC    RC    0


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
0
2
2
Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.)
A contiuación se muestra como para los mismos valores del caso
salida sobre la resistencia 0 es menor.
Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.)
Justificación de la resonancia:
ubicación de las raíces
Ejercicio:
En el siguiente circuito hallar:
a) H() = V2() / V1()
b) Frecuencia de resonancia de amplitud (comparar con la de fase)
c) Analizar el comportamiento en alta y baja frecuencia y justificar
de qué tipo de filtro se trata
d) Obtener las frecuencias de corte
+
V
1
1
1 mHy
V2
47 F
1K
Evolución temporal para distintos x
Modulo de H con salida sobre C, R y L
Circuito eliminador de banda