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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
• Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos
originados por distribuciones discretas y continuas
de carga (Carga puntual, segmento de línea,
superficie infinita, línea infinita).
• Objetivo: Determinar la expresión matemática del
campo eléctrico en
distribuciones discretas y
continuas de carga (Carga puntual, segmento de
línea, superficie infinita, línea infinita).
•
Calcular el campo eléctrico resultante por efecto de
las distribuciones discretas y continuas de carga.
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• Campo producido por un segmento de línea.
• Distribución lineal de carga λ y el campo eléctrico.
q C 
    x
 m
q
   q  x
x
dq  dx

dE A 
1 dq 
r
2
4  0 r

dE A 
1 dx 
r
2
4  0 r
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• Línea con carga negativa distribuida
uniformemente
• Diferencial de carga dq
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• Campo producido por
un segmento de línea.
l
x1
q C 
    x
 m
q
   q  x
x
dq  dx

dE A 
x2
dx
λ
- - - - - - - - - - - - - ---------------------
dq
ř
r1
Eje Y
a
r2
ÊA
1 dx
r
2
4  0 r

θ1
θ2
A
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Eje X
x

EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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
dE A 
Componentes
del vector
unitario
Integrando el
campo
1 dx 
r
2
4  0 r

dE A 
1 dx x
y
( i  j)
2
4 0 r
r
r

EA  
1 dx x
y
( i  j)
2
4 0 r
r
r

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
EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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Integrando el
componente
en x
Sustituyendo
en integrando
en los límites.
Integrando el
campo en Ax y
dividir 2/2
E Ax


4 0
E Ax
1 

4  0 2
1 
E Ax 
4 0 2
xdx
r3

x2

x1
2 xdx
a
a
2
2
x
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

3
2 2
1

2 2
x
1
2

r  a x
3
x2
x1
2

3
2 2

EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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Sustituyendo
límites y
considerando el
signo (-)
Recordando la
expresión
trigonométrica.
Expresado por
componentes de
los ángulos y
multiplicando
por a/a
1
E Ax 

4 0
1
a
2
 x1

 a
1
2 2
a
r  a  x  sen  
r
2
E Ax
2
1
2
 x2
a
a
2
x
1 
sen 2  sen1 

4 0 a
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
1
2 2

1
2 2


EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la
componente en y
a
x
2
tan    cot    x  a cot   dx  a csc d
x
a
1 a
E Ay 
4 0 2 x1
x2
dx
a
2
x

3
2 2
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
EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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Integrando la componente en y, por sustitución trigonométrica
1a   2
E Ay 
4 0  1
a csc 2 d
a
2
 a 2 cot 2 

3
2
1a   2

4 0   1
1a   2 a csc 2 d
1a   2 a csc 2 d

3
3


3



1
1

4 0 
4




a
csc

0
[a 2 csc 2 ] 2
1   2 d
1   2 send







1

1
4 0 
a csc 
4 0 
a
 
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a csc 2 d


[a 2 1  cot 2  ]

3
2


EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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1   2
d
4 0   1 a csc 
1   2 send

4 0   1
a
1

( cos  )
4 0 a
1

(cos 1  cos  2 )
4 0 a
Expresando por
componentes
de los ángulos
E Ay
E Ay
1 
cos 1  cos  2 

4 0 a
1 


4 0 a
a
x2
2
 x1
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
 a
1
2 2
x1
2
 x2

1
2 2

2
1
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• casos particulares
• A) Si el punto A se encuentra en la mediatriz,
entonces la componente en x es cero
• B) si a es mucho menor que l, (10 veces menor) y el
punto esta en la región media, entonces:
E Ax  E Ay
E Ay
1 2
EA 
4  0 a
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1 2

4  0 a
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• Campo producido por una línea cargada muy larga a
una distancia a [m] y con una densidad lineal de
carga λ (C/m)
1 2
EA 
4  0 a
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• Campo eléctrico
cargado
z
producido
por
anillo
circular
ds
+
+
Eje Z
+
a
+
+
+
θ°
+
+
+
Eje Y
+
+
dEcosθ
A
y
b
θ°
Ej
e
X
+
r
+
+
x
+
+
+
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dE

EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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El campo en el punto A
del anillo de acuerdo a
diferencial de carga
eléctrica dq, donde Q es
la carga total del anillo

dE 
1 dq 
r
2
4 0 r
Los componentes en x y z se cancelan y solo
existe componente en y
1 cos 
1 Q cos 
E A   dE y   cos dE 
dq 
2

4 0 r 0
4 0 r 2
Q
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Los componentes en x y z se cancelan y solo existe componente
en y
z
y
x
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
EA 
1 dx 
r
4 0 r 2
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Expresando el coseno
en función de las
componentes de a y b,
Cos 
b
a
2
b

1
2 2
Finalmente el campo en función del radio a y la
distancia b
1 Q
E Ay 
2
4 0 r
b
a
2
b

1
2 2
1

4 0
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Qb
a
2
b

3
2 2
N 
C 
 
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• Casos particulares del campo por un anillo.
• A) En el centro el campo E=0
• B) para un punto lejano del anillo.
ab
1 Q N 
E Ay 
2 

4 0 b  C 
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• Campo producido
cargada
por
una
superficie
circular
+
+
dr
+
r0
r
a
+
Eje Z
+
+
σ
+
+
Eje Y
Ej
e
X
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
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b
dE
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Se considera que se
tienen
anillos
de
grosor dr y radio r y su
contribución
son
diferenciales
1
dE A 
4 0
Como el diferencial de
carga esta en una
superficie
circular
entonces:
bdq
r
2
b

3
2 4
q
   dq  dA   2rdr
A
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Sustituyendo dq en la expresión del campo en el punto A
se tiene:
r0
r0
r0
b
2rdr
1
2rdr
1
2rdr
EA 

b 

b 
3
3
3

40 0
4 0
4

2
2 2
2
2
2
2
0
0 r  b 2
0 r  b 2
r  b 


3

2 2 1
b r 2  b
EA 
(
)
4 0 ( 3  1)
2
r0
0
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

2 0
b
r
2
b
r0

1
2 2
0
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Sustituyendo los límites en la expresión del campo en el
punto A se tiene:
1
E A  (
2 0
b
r
2
0

EA 
(1 
2 0
b

1
2 2
b
r
0
2


1

)(

2 0
2 0 2 0
 b2
b
r
0
N 
) 
1 
C
2 

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2
b

1
2 2
)
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
El campo
punto A es:
en
el

b
1 
E 
2
r  b
A
2
0
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0
2

1
2
N 
 
C 
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• Casos particulares del campo por una superficie.
• A) la distancia b << r0 en el punto A , 1/ r0 tiende a cero
Por lo que se obtiene el campo cuando esta cerca del
centro de la superficie.
•

EA 
2 0
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• Casos particulares del campo por una superficie.
• B) la distancia b >> r0 , la expresión se puede
considerar como una carga puntual.
•

r b  2 b N 



EA 
1


2
2
2 0
C 
r0  b 2
2
0

2
1

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• Desarrollando el binomio.


EA 
2 0


 r b

2
b

2
0
EA 


2 0


1
1
2 2 1 
2
1


1
b

b

r
   
0
r02  b 2 2  b  b  
b b

 1   
1
1
2
2 2

2
2
2
2 1 
0
 
r0  b
r0  b
 
b
 
b

2




1


2
 r02  b 2 


2

 b
1
1
2



2 0

r
  1

b
2
0
2
1
2
 r02 
 2  1

b
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1
1
2


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• Recordando el teorema del binomio, con exponentes
fraccionarios o negativos:
a  b 
n
m
n
m
n
a  a
m
nm
m
nn  m 
b 2
a
m 2!
n2 m
m
nn  m n  2m 
b2 
a
3
m 3!
n 3 m
m
b 3  ... 
• Sustituyendo los coeficientes r0 y b:
  r0 
1   
 b

2
1
2
2 2
2 3
1
1 2 ( 2 ) 
13( 2 ) 
1 2 r



  1  2 1 2  0   11  2 a 2  r0    11  21  2(2) 1 2  r0    ... 
2

1!
23 3!
 b  2 2!

 b  
 b  
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• Como b mucho mayor que r0 , y el cociente r0/b tiende
a cero. De acuerdo al desarrollo del binomio
1
2
2
  r0  2 
r
1


1      1   0 
 b 
2 b 


• El campo de una superficie es:
 1  r0  2 
1     1
  2 b 

E
2
2 0 
1  r0  
 1   
2 b  

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• Como b mucho mayor que r0 , y el cociente r0/b tiende
a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:
1  r0 
1  
2 b 
2
 1  r0  2 
1     1
  2 b 

E
2
2 0 
1  r0  
 1   
2 b  

• El denominador tiende a cero y el campo
superficie es:

E
2 0
 1 r0 
 2
2 b 
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2
de una
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• Casos particulares del campo por una superficie.
•
La
densidad
superficial de
carga es:
Q
Q
  2
A r0
Sustituyendo en
la ecuación de
campo, para el
caso B
1
Q
E
2
40 b
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En la figura se muestra una superficie
muy grande coincidente con el plano
“XZ”, una línea muy larga que pasa
por el punto C(0,2,0) [m] paralela al
eje “X” y una carga puntual Q=30[μC]
ubicada en el punto (0,2,3) [m]. Si Q
experimenta la fuerza F=(300 j +500 k
)[N]. Determine:
a) El valor y signo de la densidad
lineal de carga λ .
b) El valor y signo de la densidad
superficial de carga σ.
c) El vector campo eléctrico total en el
punto D (0,2,-1) [m] si λ=8.31x104[C/m] y σ =177[mC/m2 ].
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• Resolviendo para calcular λ.

 rCQ
2

• E k
   E

rCQ
2k



EQ  E  E  E ˆj  E kˆ


FQ
1
ˆ
ˆ
ˆj  1.67 kˆ)  10 7
EQ 
 (300 j  500k )

(
1
Q
30  10 6
N 
N 
E  1 107    E  1.67  107  
C 
C 
rCQ
3
7
3  C 
  E
 1.67  10
 2.77  10   positiva
9
2k
2  9  10
m
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

b) E 
   2 0  2(8.85  10 12 )1 10 7
2 0
 N 
 1.77  10  2 
m 




c ) E D  E DQ  E D  E D ˆj
4

E DQ 
 
 
6
Q
30

10
ˆ  9  109
ˆ

k

k
2
40 rDQ
42
1
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
7N 
E DQ  1.496  10  
C 

 ˆ
7N 
E D 
j  1 10  
2 0
C 

N


7
ˆ
E D  1 ˆj  1.498k  10  
C 



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
 ˆ
7N 
E D 
j  1 10  
2 0
C 

N


7
ˆ
E D  1 ˆj  1.498k  10  
C 



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• La figura muestra dos alambres muy
largos con carga, coplanares y paralelos
al aje “X”. El alambre 1 posee una
distribución lineal λ1 =- 0.5[ C/m] y cruza
el eje “Z” en el punto M (0,0,3) [cm]; el
alambre 2 con λ2 = 0.5 [ C/m] cruza el eje
“Z” en el punto N(0,0,-3) [cm]. Calcule:
• a) El vector campo eléctrico en el punto O
(0,0,0) [cm].
• b) El vector campo eléctrico en el punto A
(0, 1.5, 0) [cm].
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La figura muestra una carga
puntual q=-2 [nC] situada en el
punto (0,-3,3) [cm], una línea
cargada de longitud infinita
paralela al eje “z” y que pasa
por el punto (0,5,0) [cm].
•Determine:
•a) Si el campo eléctrico total en
el punto B(0,0,3) [cm] es: E = 18.2×10ˆ3 j [N/C] obtener la
densidad de carga λ en la línea.
b) Si λ=4 [nC/m) obtener el
vector de campo eléctrico total
en el origen O (0,0,0).
c) El vector fuerza que actúa
sobre la carga q debido a la
línea
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
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• Próxima clase: Tema 1.5
definición de Flujo eléctrico.
φ
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concepto
y