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MT-22
Clase
Semejanza de triángulos
Resumen de la clase anterior
Recordemos…
-
¿Qué tienen en común dos figuras congruentes entre sí?
-
¿Cuáles son los criterios de congruencia?
Aprendizajes esperados
• Comprender el concepto de semejanza en figuras planas y
relacionarlo con las transformaciones isométricas.
• Aplicar criterios de semejanza en triángulos para la resolución de
problemas y demostración de propiedades.
Pregunta oficial PSU
El triángulo ABC de la figura 9 es rectángulo en C, M y N son los puntos
medios de los lados respectivos, D está en AB , P en CN, R en MN y
.  CB .Si CD = 4 cm y DB = 8 2 cm, ¿cuál(es) de las siguientes
DP
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
¿Qué nombre recibe
el segmento MN?
I) ΔPRN ~ Δ ACB
II) El área del triángulo ABC es 18 2 cm2.
III) CN = ¿Qué
6 cm tienen en común
estos dos triángulos?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016.
1. Semejanza
1. Semejanza
1.1 Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan
dos condiciones:
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
D
d
E e
J
d
g
b
a
A
g I
C
B
F e
b
H
a
G
Se llaman lados homólogos a los lados que
unen dos vértices con ángulos respectivamente
congruentes
1. Semejanza
1.2 Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son
congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
F
C
a
g
A
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
b

b
B
a
D
g
E
AB = BC = AC = k
DE EF DF
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
1. Semejanza
1.3 Criterios de semejanza
1° Criterio AA
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes.
2° Criterio LLL
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales.
3° Criterio LAL
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
1. Semejanza
1.4 Razón de semejanza
En triángulos semejantes, los elementos secundarios homólogos
también son proporcionales y están en la misma razón que sus lados
homólogos.
Q
C
hC
hR
A
h
AB
Si PQ = k , entonces C  k
h
R
B
R
La razón entre los perímetros de
dos triángulos semejantes es
igual a la razón entre sus
elementos homólogos.
PABC
k
PPQR
P
La razón entre las áreas de dos
triángulos semejantes es igual al
cuadrado de la razón entre sus
elementos homólogos.
A ABC
 k2
A PQR
1. Semejanza
1.5 Ejemplo
Si Δ ABC ~ Δ DEF, donde AB es homólogo con DE, AB = a cm y DE = 3a cm,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) Si el área del triángulo ABC es 16 cm2, entonces el área del triángulo DEF
es 48 cm2.
B)
3·ABC = DEF
C) El perímetro del triángulo ABC es un tercio del perímetro del triángulo DEF.
D)
AB // DE, AC // DF y BC // EF
E) Ninguna de las anteriores.
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
Más información desde la página 90
hasta la 93 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 3 y 16 de tu guía.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
Pregunta oficial PSU
El triángulo ABC de la figura 9 es rectángulo en C, M y N son los puntos
medios de los lados respectivos, D está en AB , P en CN, R en MN y
.  CB .Si CD = 4 cm y DB = 8 2 cm, ¿cuál(es) de las siguientes
DP
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ΔPRN ~ Δ ACB
II) El área del triángulo ABC es 18 2 cm2.
III) CN = 6 cm
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016.
Síntesis de la clase
Recordemos…
-
¿Cuándo dos figuras son semejantes?
-
Si las medidas de los lados de un triángulo son el triple de las medidas
de los lados de otro triángulo, ¿cuántas veces más grande es el área
del primero con respecto al segundo?
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
C
Geometría de proporción
Comprensión
2
D
Geometría de proporción
Aplicación
3
D
Geometría de proporción
ASE
4
B
Geometría de proporción
ASE
5
E
Geometría de proporción
ASE
6
B
Geometría de proporción
Aplicación
7
A
Geometría de proporción
Aplicación
8
A
Geometría de proporción
Aplicación
9
E
Geometría de proporción
ASE
10
B
Geometría de proporción
ASE
11
E
Geometría de proporción
Aplicación
12
C
Geometría de proporción
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
E
Geometría de proporción
Comprensión
14
B
Geometría de proporción
Aplicación
15
C
Geometría de proporción
ASE
16
C
Geometría de proporción
Aplicación
17
D
Geometría de proporción
Aplicación
18
E
Geometría de proporción
Aplicación
19
D
Geometría de proporción
Comprensión
20
E
Geometría de proporción
ASE
21
A
Geometría de proporción
Aplicación
22
D
Geometría de proporción
Aplicación
23
A
Geometría de proporción
ASE
24
A
Geometría de proporción
ASE
25
C
Geometría de proporción
ASE
Equipo Editorial
Matemática
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