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Curso de:
Matemáticas de Apoyo
Instructor:
Dra. María Esther Treviño Martínez
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Algebra
Expresión algebraica: Combinación de números, letras y signos
de operación:
5xy  3z
2a3  c 2
3x2 − 5xy + 2y4
2a3b2
Monomio: expresión algebraica de un solo término en la que las
únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto
y la potencia de exponente natural.
4x3y2z
Binomio: expresión algebraica de dos términos
Trinomio: a2 + 2ab + b2
2x + 4y
; 3x2 + 2x − 5
Polinomio: 7x3y2 – 4xz5 + 2x3y
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Algebra
Expresiones algebraicas comunes
El doble de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
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Algebra
Expresiones algebraicas comunes
Dos números consecutivos: x ; x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x ; 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 ; 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x ; 24 − x.
La suma de dos números es 24: x ; 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x ; 24 + x.
El producto de dos números es 24: x ; 24/x.
El cociente de dos números es 24; x ; 24x.
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Algebra
Operaciones fundamentales con
expresiones algebraicas
2x2 y3 z
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las
variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Grado de un monomio: Suma de los exponentes de la parte literal del término
4x3y2z es de grado 6
(3 + 2 + 1)
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Algebra
Operaciones fundamentales con
expresiones algebraicas
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Polinomio nulo: tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo: todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo: sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo: contiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado: cuando los monomios que lo forman están escritos de
mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
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Algebra
Operaciones fundamentales con
expresiones algebraicas
Polinomios iguales: si el grado y los coeficientes de los términos del mismo
grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes: si tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Grado de un polinomio: Corresponde al grado mayor de los términos
7x3y2 − 4xz5 + 2x3y es de grado 6
(5 + 6 + 4)
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Algebra
Orden de las operaciones
Símbolos de agrupamiento: ( ), [ ] , { } Preferentemente jerarquizar { [ ( ) ] }
1.
2.
3.
4.
Primero las que están dentro de paréntesis (o barras de valor absoluto o de
fracciones).
Luego, potencias y raíces de izquierda a derecha.
Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
Sumas y restas de izquierda a derecha.
Suma y resta de expresiones algebraicas
Se efectúa agrupando términos semejantes:
Sumar: 7x + 2y2 +3z y 9x + 6y + 9z
Restar: 2x2 – 3xy + 5y de 10x2 + 4xy − 2y2
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Algebra
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de
éste, al exponente de la potencia.
(axn)m = am · xn · m
(2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9
(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6
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Algebra
Multiplicación de expresiones algebraicas
1) Multiplicación de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación
multiplicar –3x2y3z, 2x4y y –4xy4z2
R= 24x7y8z3
2) Multiplicación de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por
cada uno de los términos del polinomio.
Multiplicar: 3xy – 4x3 +2xy2 por 5x2y4
R= 15x3y5 – 20x5y4 + 10x3y6
3) Multiplicación de dos polinomios: Se multiplican todos y cada uno de los términos
de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro.
Multiplicar: –3x + 9 + x2 por 3 – x
R= – x3 + 6x2 – 18x + 27
Multiplicar (–2x3 + 8x + 3x2 – 6)(2x + 6x2 – 8)
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Algebra
División de expresiones algebraicas
1) División de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación.
dividir 24x4y2z3 por –3x3y4z
2) División de dos polinomios:
Se ordenan ambos polinomios según las potencias decrecientes de una de las
letras comunes a ambos polinomios.
Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que
resulta el primer término del cociente.
Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del
dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.
Con el dividendo de c), se repiten las operaciones b) y c) hasta que se
obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.
dividir x2 +2x4 –3x3 + x –2 por x2 –3x +2
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Algebra
División de expresiones algebraicas
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Algebra
Productos de interés práctico
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = 4x2 − 12 x + 9
Binomios conjugados
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = 4x2 − 25
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Algebra
Productos de interés práctico
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 9x2 + 27x + 27
(2x − 3)3 = 8x 3 − 36x2 + 54x − 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(x2 − x + 1)2 = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x
(x2 − x + 1)2 = x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1
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Algebra
El Binomio de Newton da el desarrollo de (a + b)n según las potencias
crecientes de a (y decrecientes de b).
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los
monomios akbn − k.
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Algebra
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n son dados
por la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).
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Algebra
Productos de interés práctico
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
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Algebra
Productos de interés práctico
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
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Algebra
Descomposición en factores
Los factores de una expresión algebraica son dos
o más expresiones que multiplicadas entre sí
originan la primera:
x2 – 7x + 6
(x – 1) (x – 6) = x2 -6x -x + 6
x2 + 2xy – 8y2
(x + 4y)(x – 2y) = x2 -2xy +4xy – 8y2
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Algebra
Factorización de polinomios
Factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
ac + ad = a(c+d)
x3 + x2 = x2 (x + 1)
2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
6x2y – 2x3 = 2x2(3y – x)
2x3y – xy2 + 3x2y = xy(2x2 – y + 3x)
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Algebra
Diferencia de cuadrados
x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
Trinomio cuadrado perfecto
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2
Otros trinomios
x2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)
x2 + xy – 12y2 = (x – 3y)(x + 4y)
3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2)
6x2 + 5x – 4 = (3x + 4)(2x - 1)
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Algebra
Factorización por agrupamiento
x3 - 5x2 + x - 5
(x3 - 5x2 ) + (x - 5)
x2 (x - 5 ) + 1(x - 5)
(x2+ 1) (x - 5)
Suma y diferencia de cubos
x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)
x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)
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Algebra
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el
denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de
ambos.
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el
denominador de la fracción por un polinomio.
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Algebra
Suma de fracciones algebraicas
con el mismo denominador
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Algebra
Suma de fracciones algebraicas
con el distinto denominador
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Algebra
Multiplicación de fracciones algebraicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el
numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el
producto de los denominadores.
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Algebra
División de fracciones algebraicas
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con
numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de
la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera
por el numerador de la segunda.
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Algebra
Fracciones compuestas
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