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Recordatorio
Cálculo matricial de estructuras
Guillermo Rus Carlborg
Álgebra matricial
Elasticidad
Índice

Álgebra matricial
 Definición
 Operaciones

(+ – × ÷)
Elasticidad
 Desplazamientos
+ deformaciones
 Tensiones + Esfuerzos
 Relaciones constitutivas
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Definición de matriz

Un sistema de ecuaciones lineal se puede representar:
coeficientes
Matriz: negrita
mayúscula
variables
términos
independientes
Vector: negrita
minúscula
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Definición de matriz

Algunos casos particulares de matriz A tienen nombre:

Traspuesta

Cuadrada

Simétrica

Identidad
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Operaciones
Multiplicación:

Propiedades:

Conmutativa NO

Asociativa

Distributiva

Identidad

Transposición
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Operaciones
Suma y resta:
término a
término
Determinante:
submatriz: eliminando
fila 1, columna i
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Operaciones
Inversa:

Condiciones:

Propiedades:
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Álgebra matricial
Elasticidad
Álgebra matricial – Operaciones
Inversa:


los métodos modernos no calculan
Métodos directos: tiempo~N3




Para resolver
Eliminación de Gauss:
Descomposición LU:
Descomposición QR:
Métodos iterativos: tiempo~N2



Jacobi:
Gauss-Seidel:
Gradiente conjugado:
GMRes: de los
mejores algoritmos
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Álgebra matricial
Elasticidad
Elasticidad – Desplazamiento y deformación

Posición:
Variables
Lagrangianas
Vectores
unitarios
Variables
Eulerianas

Desplazamiento:

Movimiento:
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Elasticidad
Elasticidad – Desplazamiento y deformación


Distancia:
Pequeños desplazamientos:
Tensor de
deformación
de Lagrange
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Álgebra matricial
Elasticidad
Elasticidad – Tensión y tracción

La cinética de los continuos
sólidos se describe por tensiones
fuerzas
Para conocer las tensiones en
un punto interior, cortamos por
punto + dirección n
Resultante que
compensa lo eliminado
tracción
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Álgebra matricial
Elasticidad
Elasticidad – Tensión y tracción

Definimos como estado tensional en un punto lo
necesario para conocer la tracción en cualquier dirección n
tensión

Para un plano no canónico:
Definido
por  n
Sumatorio
de Einstein
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Álgebra matricial
Elasticidad
Elasticidad – Relaciones constitutivas

Al igual que en 1D:

Suponiendo elasticidad lineal isótropa: 2 constantes
Lamé
ahora:
Hooke
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Elasticidad
Elasticidad – Barra

Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli:

Hipótesis:
H1:
H2:
H3:

Deformación:

Comportamiento:
Sección transversal plana
Sección inextensible
Sección perpendicular
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Elasticidad
Elasticidad – Barra

Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli:

El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal:
Equilibrio longitudinal:
Equilibrio Transversal:
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