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0 Recordatorio Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Índice Álgebra matricial Definición Operaciones (+ – × ÷) Elasticidad Desplazamientos + deformaciones Tensiones + Esfuerzos Relaciones constitutivas Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Definición de matriz Un sistema de ecuaciones lineal se puede representar: coeficientes Matriz: negrita mayúscula variables términos independientes Vector: negrita minúscula Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Definición de matriz Algunos casos particulares de matriz A tienen nombre: Traspuesta Cuadrada Simétrica Identidad Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Operaciones Multiplicación: Propiedades: Conmutativa NO Asociativa Distributiva Identidad Transposición Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Operaciones Suma y resta: término a término Determinante: submatriz: eliminando fila 1, columna i Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Operaciones Inversa: Condiciones: Propiedades: Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Álgebra matricial – Operaciones Inversa: los métodos modernos no calculan Métodos directos: tiempo~N3 Para resolver Eliminación de Gauss: Descomposición LU: Descomposición QR: Métodos iterativos: tiempo~N2 Jacobi: Gauss-Seidel: Gradiente conjugado: GMRes: de los mejores algoritmos Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Desplazamiento y deformación Posición: Variables Lagrangianas Vectores unitarios Variables Eulerianas Desplazamiento: Movimiento: Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Desplazamiento y deformación Distancia: Pequeños desplazamientos: Tensor de deformación de Lagrange Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Tensión y tracción La cinética de los continuos sólidos se describe por tensiones fuerzas Para conocer las tensiones en un punto interior, cortamos por punto + dirección n Resultante que compensa lo eliminado tracción Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Tensión y tracción Definimos como estado tensional en un punto lo necesario para conocer la tracción en cualquier dirección n tensión Para un plano no canónico: Definido por n Sumatorio de Einstein Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Relaciones constitutivas Al igual que en 1D: Suponiendo elasticidad lineal isótropa: 2 constantes Lamé ahora: Hooke Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Barra Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: Hipótesis: H1: H2: H3: Deformación: Comportamiento: Sección transversal plana Sección inextensible Sección perpendicular Guillermo Rus Carlborg Álgebra matricial Elasticidad Elasticidad – Barra Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal: Equilibrio longitudinal: Equilibrio Transversal: Guillermo Rus Carlborg