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CINEMATICA
Es la parte de la mecánica, que se ocupa
del movimiento, sin considerar las causas
que la producen.
 Movimiento: Es un cambio continuo de
posición de un cuerpo con respecto a otro,
considerado fijo. El movimiento es
relativo.
 Móvil: Todo cuerpo en movimiento.
 Trayectoria: es la curva descrita por el
móvil.

Cinemática
•
Según la Trayectoria:
– Rectilíneo: cuando describe una recta
– Curvilíneo: cuando describe trayectorias
circulares, elípticas, parabólicas, etc.
•
Según la velocidad:
– Movimiento uniforme: cuando al transcurrir el
tiempo la velocidad no cambia.
– Movimiento uniformemente variado: cuando la
velocidad cambia al transcurrir el tiempo. Este
cambio es constante. Puede ser acelerado
(aceleración positiva) y retardado (aceleración
negativa).
Clasificación del movimiento

Es aquel sistema usado por un observador
inercial o sea que no está sujeto a
interacciones externas o es aquel donde
se cumple la primera ley de Newton,
describiendo correctamente el movimiento
de un cuerpo no sometido a fuerza
alguna.
SISTEMA DE REFERENCIA
INERCIAL


Sea una partícula,
que describe la
trayectoria AB.
La partícula al pasar
por A en el tiempo t1,
su vector posición es r1
, cuando se
encuentra en B, su
vector de posición es r2
en el tiempo t2, tal
como se indica en la
fig.
Velocidad Media
Definimos el vector desplazamiento:
 Describe el cambio de posición del móvil.
 La velocidad media se define como la
relación entre el vector desplazamiento y
el intervalo de tiempo:
r  r2  r1

r2  r1 r
v

t2  t1 t
Tener presente que espacio o distancia
recorrida es diferente del desplazamiento,
ver fig.
Velocidad Media

Un cuerpo parte de
O y llega a B,
pasando por A, la
distancia o espacio
recorrido es: 80
metros. El vector
desplazamiento:
(40m)i
Movimiento Unidimensional

Se quiere definir la
velocidad en un punto,
para ello, acortamos el
tiempo  t  0  , la
secante que pasa por A y
B, se convierte en una
tangente en A, en el
límite, esto se indica en la
fig. y se expresa así:
vinst
r dr
 lim

t 0 t
dt
Módulo de la velocidad
instantánea se llama
rapidez.
vinst = rapidez


Velocidad Instantánea



Cuando la partícula pasa
por A, en el tiempo t,
tiene una velocidad v1,
(su dirección es
tangente en A) y en B,
tiene una velocidad v2
en t2 ver fig. se define
la aceleración media
como la relación entre
el cambio de velocidad
v  v2  v1 , y el
tiempo empleado.
t  t2  t1
v v2  v1
a

t t2  t1
Aceleración Media

Para definir la aceleración en un punto, se
hace tender al límite el intervalo del
tiempo (Δt→0).
v dv
d  dr  d r
 lim
 , ainst     2
t 0 t
dt
dt  dt  dt
2
ainst
Aceleración Instantánea




Estudiaremos el movimiento de un cuerpo en
línea recta, en este caso a lo largo del eje x,
 x  x0  ˆ
 i .....(1)
Se definió la velocidad media: vx  
 t  t0 
y la aceleración media:
 v  v0 
De (2):
v  v0  a (t  t0 ).................( )
a 
 t  t0
 iˆ.......(2)

Movimiento Unidimensional

Cuando la velocidad cambia uniformemente
(aceleración constante) con el tiempo, su valor
medio en cualquier intervalo de tiempo es igual a la
semisuma de los valores v al final y al inicio v0:
v0  v
vx 
.................(3)
2

De 3 en 1 y usando v de (α) se obtiene:
 v0  v 
x  x0  
  t  t0  .............(4)
 2 
Movimiento Unidimensional
1
2
x  x0  v0  t  t0   a  t  t0  ...................(  )
2
Despejando (t  t0 ) de (2) :
t  t0  (v  v0 ) / a , reemplazando en (4) :
x  x0
v0  v   v  v0 



 a
2a ( x  x0 )  v 2  v0 2
2


v 2  v0 2  2a ( x  x0 )...............( )

Las ecuaciones (α), (β) y (γ) son básicas en la
cinemática.
Movimiento Unidimensional

CASO I: Movimiento
rectilíneo uniforme:
En este caso la aceleración es
nula o la velocidad es constante
dv
 0); de (  ) :
dt
(i) x  x0  vot
(a 
La pendiente de la recta nos da la
velocidad: v0
m  tg  v0
(ii) Hallando la velocidad:
dx
v
 v0 , su gráfico
dt
Análisis Grafico de las ecuaciones
de la cinemática

El área debajo de la
curva v=f(t)
representa:
A  vot  x  x0 ,



El cambio de posición
La pendiente de la
recta representa la
aceleración.
(iii) Hallando la
aceleración: a  dx  dv0  0
dt
dt
Análisis Grafico de las ecuaciones
de la cinemática

CASO II:
Movimiento
rectilíneo
uniformemente
acelerado. En este
caso la aceleración
es constante.
Consideremos x0=0,
t0=0, en (β):
1 2
(i ) x  v0t  at
2
Análisis Grafico de las ecuaciones
de la cinemática

(ii) Hallando la
velocidad:
dx
v
dt
 v0  at ,
Su gráfico:


El área del trapecio
de el cambio de
posición: la pendiente
de la recta nos da la
aceleración:
(iii) Hallando la
dv d
a
 (v0  at )
aceleración:
dt dt
Análisis Grafico de las ecuaciones
de la cinemática

Hallando el área
debajo de la curva
a=f(t) A  at  v  v
0

Representa el
cambio de velocidad
Análisis Grafico de las ecuaciones
de la cinemática
Un atleta recorre la primera mitad del tiempo con
una velocidad de 8m/s y durante la segunda mitad
con velocidad de 5m/s. cuál fue su velocidad
media?
2. Un tren recorrió la primera mitad del camino con
una velocidad de 100Km/h y la segunda mitad con
una velocidad de 80Km/h. cuál fue su velocidad
media?
3. La relación entre el camino s, recorrido por un móvil
y el tiempo está relacionado como se indica:
S=3-4t+5t2, si S se mide en metros y t en
segundos.
Hallar (a) la velocidad media y (b) la
aceleración media en el intervalo de 2 a 5 seg (c) la
velocidad y aceleración instantánea para t=3seg.
1.
Problemas




Un movimiento con aceleración constante
(aproximadamente) es el de un cuerpo que cae
hacia la tierra
No habiendo resistencia en el aire se encuentra
que todos los cuerpos, independientemente de
su tamaño, peso, o composición, caen con la
misma aceleración en el mismo punto de la
superficie de la tierra
si la distancia recorrida no es demasiado grande,
la aceleración se conserva constante en toda la
caída
La aceleración de un cuerpo que cae libremente
se llama aceleración debida a la gravedad y se
representa por el símbolo g
Caída libre de los cuerpos

. cerca de la superficie de la tierra su
magnitud es aproximadamente de 32
pies/seg2, 9.8 m/seg2, o sea, 980
cm/seg2
Caída libre de los cuerpos
Ejemplo: Se deja caer un cuerpo a partir del
reposo y cae libremente. Determínese la posición
y la velocidad del cuerpo después de 1.0, 2.0,
y.0 y 4.0 seg de caída.
 Ejemplo: Se dispara una pelota verticalmente
hacia arriba a partir del suelo con una velocidad
de 24.4 m/seg.
 ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su máxima
altura?
 ¿Hasta qué altura llega la pelota?
 ¿Al cabo de cuánto tiempo estará la pelota a
29.3 m sobre el suelo?


Prob.: un globo desciende con una
velocidad constante de 2 m/s. cuando se
encuentra a una altura de 200 m. sobre el
piso se lanza verticalmente hacia abajo
(desde el globo) un objeto A con una
velocidad de 13 m/seg con respecto al
globo, dos segundos después se suelta
desde el globo otro objeto B. cuál será la
posición de B con respecto al suelo en el
instante en que A llega al piso (g=10
m/seg2)

Prob.: un águila se encuentra a una altura
H luego se lanza verticalmente hacia
abajo con una velocidad inicial de 20
m/seg. Durante los últimos 400m
amortigua su movimiento en 6 seg,
tocando tierra con una velocidad de 10
m/seg. Se pide: (a) el valor de la altura
H, (b) el valor de la desaceleración. (g=10
m/seg2).
El eje de las y se tomará como positivo
verticalmente hacia arriba. Entonces la
aceleración g debida a la gravedad será
un vector que apunte verticalmente hacia
abajo (hacia el centro de la Tierra) en la
dirección negativa de las y
 Nuestras ecuaciones para aceleración
constante son aplicables en este caso.
Simplemente reemplazamos a x por y y
ponemos y0=0, obteniendo:

Ecuaciones del movimiento de
caída libre

Y, para problemas de
caída libre ponemos
ay=-g. nótese que
hemos escogido la
posición inicial como
origen, esto es, que
hemos escogido y0=0
para t=0. Nótese
también que g es la
magnitud de la
aceleración debida a la
gravedad.
vy  vy 0  a yt
1
y  (v y 0  v y )t
2
1 2
y  v y 0t  a y t
2
2
2
v y  v y 0  2a y y
Ecuaciones del movimiento de
caída libre


Se considera un
proyectil, todo cuerpo
“puntual” que tiene
velocidad inicial y está
sometido a la
aceleración de la
gravedad (-g), dirigido
verticalmente.
El movimiento del
proyectil está en el
plano XY.
Movimiento en un plano,
compuesto o en dos dimensiones
movimiento horizontal:
 Visto por un observador, situado en el eje Y, el
movimiento es rectilíneo uniforme, con
vx  v0 x  vo cos 
velocidad:
a)

b)
x  vxt  v0 cos  t.......(1)
Movimiento Vertical: visto por un observador,
situado en el eje X, el movimiento es
uniformemente acelerado, de la ecuación (α):
v y  v0 y  gt  v0 sin   gt.......(2)
1 2
1
gt  v0 sin  t  gt 2 .........(3)
2
2
g
y  xtg 
x2
2
2
2v0 cos 
y  v0 y t 
Movimiento en un plano,
compuesto o en dos dimensiones

Altura Máximas alcanza cuando vy=0
0  v0 sin   gt ,
t
v0 sin 
g
v0 2 sin 2 
H
2g

Alcance Máximo: cuando y=0
0  v0 sin  t 
1 2
gt ,
2
 v sin  
tt  2  0

g


x  R  v0 cos  tt
 2v0 sin   v0 2
R  v0 cos  
sin 2

g

 g
Movimiento en un plano,
compuesto o en dos dimensiones

Para un tiempo t, el vector velocidad
resultante es:
v  vx 2  v y 2

Su dirección es:
tg 
vy
vx
Movimiento en un plano,
compuesto o en dos dimensiones
Cuando la trayectoria es un
circulo y la velocidad lineal
es tangente al círculo,
 El arco s es igual a Rθ:
 S=Rθ, derivando con
respecto al tiempo

ds
d
R
 RW
dt
dt
v  RW ..............(1)
Movimiento circular

Se define la velocidad angular
instantánea:
W


d
...............(2)
dt
Derivando nuevamente la
expresión
(1) con respecto al
tiempo:
dv
dW
R
 R
dt
dt

Aceleración angular
dW
instantánea:

dt
......(3)
Cuando la aceleración es constante,
 La velocidad angular media: w  W  W
2
 Desplazamiento angular: es el cambio
de la posición media en grados, vueltas,
revoluciones o radianes:θ, 1 rev=360º=2π
rad=1 vuelta.
 Velocidad Angular: Es la variación del
desplazamiento angular que experimenta
en la unidad de tiempo, se mide en rad/s,
rev/s, RPM, w

0
Movimiento circular
f
Frecuencia: mide el número de
revoluciones por unidad de tiempo:
f(1/seg)
 Período: es el tiempo empleado para
realizar una vuelta completa: T(seg)
 Cuando el movimiento circular es
uniforme, la velocidad angular es
constante, la ecuación del movimiento se
deduce de (2):

  0  w(t  t0 )
Movimiento circular

Si la aceleración
angular existe, las
ecuaciones del
movimiento circular se
deduce de (3) y (4)
w  w0    t  t0  ,
1
2
   0  w0  t  t0     t  t0 
2
Movimiento circular


Hallemos la relación
vectorial entre v y w,
sabemos v=Rw, del gráfico:
R=rsenΦ,
Por definición de producto
vectorial
v   r sin   w  wr sin 
v  wxr ...................(4)
a
dv d
  wxr 
dt dt
Movimiento circular
a   xr  wxv

Aceleración
tangencial:
aT   xr

Aceleración normal:
aN  wxv
Movimiento circular
PROBLEMAS