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En busca de la verdad …
….por el camino de las
Matemáticas
Área Ciencia-Religión del Centro Pignatelli
Javier Otal
Universidad de Zaragoza
En busca de la verdad …
 VERDAD (DRAE)
 Conformidad de las cosas con el concepto
que de ellas se forma la mente
 Conformidad de lo que se dice con lo que se
siente o se piensa
 Juicio o proposición que no se puede negar
racionalmente
 ....
Verdad …
 … probada
 Verdad procesal
 … transmitida
 Verdad revelada
 … impuesta
 Verdad dogmática
 … científica
 Verdad matemática
Conocimiento
Descartes (1596-1650)
Conocimiento
 Lo que no entendemos crea desconfianza
 producida por desconocimiento
 El desconocimiento genera ignorancia
 El ignorante afirma o niega
 El científico duda
 Voltaire
Procedimiento científico
 En la ciencia es imperativo dudar
 Para avanzar en la ciencia es necesaria la
incertidumbre
 Se investiga lo desconocido
 En las ciencias experimentales se va conociendo lo
que es más probable
 En las ciencias puras se responde a preguntas
 ¿Puede la Ciencia destruir el mundo?
R. Feynman (1918-1988)
 Yo puedo vivir con dudas e incertidumbre y
sin saber. Es más interesante vivir sin saber
que tener respuestas que pueden ser
falsas. Yo tengo respuestas aproximadas,
creencias posibles y grados diferentes de
certeza sobre asuntos diferentes, pero no
estoy absolutamente seguro de nada.
 Y no me asusta.
El papel de las Matemáticas
 Ciencia exacta
 Conocimiento del mundo
 lo explican
 lo modelan
 Lo ayudan a desarrollarse
 Planteamiento abstracto
 Axiomas, Postulados
 Armonía y equilibrio
 Teoremas, resultados, demostraciones
Demostraciones …
 Demostraciones por ordenador
 Comprobaciones
 Cálculos por ordenador: 1 = 0,999….?
 Cálculos manuales: ∏ = 3,14 = 3,1416
= 3,141559 …
 Teorema de Pitágoras: a2= b2 + c 2.
Conocimiento científico y realidad
 Diferencias entre
 Lo que es
 lo que creemos que es
 lo que creemos percibir
Ejemplo
 IR EN LÍNEA RECTA A UN SITIO
Ir en línea recta
Ir en línea recta
Ir en línea recta
La recta
 La recta plana
 Concebida como recta euclidiana
 Euclides
 La línea recta es la trayectoria con la
distancia más corta entre dos puntos
Analogía
 Si la línea recta es la trayectoria con la
distancia más corta entre dos puntos ¿cúal
es la trayectoria más corta de aquí a Nueva
Zelanda (antípodas)?
Tierra
España – Nueva Zelanda
… en línea recta!
Desplazamiento correcto
Problema
 DESCRIBIR (definir) LÍNEA RECTA
Elementos de Euclides
 Euclides (365 AC – 300 AC)
 13 libros, ampliados con dos más
 23 axiomas
 5 postulados
 Multitud de proposiciones (teoremas)
Axiomas de Euclides - 1
 Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión
 Dimensión cero
 Una línea es una longitud sin anchura
 Dimensión uno
 Una recta es una línea que tiene todos sus puntos
en la misma dirección
 Una superficie es la que tiene solo longitud y
anchura
 Dimensión dos
Punto
Recta
Axiomas de Euclides - 2
 Un ángulo plano es la inclinación de dos
líneas planas secantes
 Ángulo recto, si las líneas son rectas
 Figuras rectilíneas
Axiomas de Euclides - 3
 Círculo es una figura plana contenida en una línea,
llamada circunferencia, tal que todas las rectas que
van desde un punto particular hasta puntos de
ella, quedando dentro de la figura son iguales
 Plaza circular
 Rueda
 Rectas paralelas son las que, estando en el mismo
plano y prolongándolas indefinidamente en ambos
sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro
sentido
 Vías del tren
 Calle
Paralelas
Postulados de Euclides
 Una recta puede trazarse desde un punto
cualquiera hasta otro.
 Una recta finita puede prolongarse
continuamente y hacerse una recta
ilimitada o indefinida
 Una circunferencia puede describirse con un
centro y una distancia
 Todos los ángulos rectos son iguales
El quinto postulado
 Si una recta que corte a otras dos forma
con éstas ángulos interiores del mismo lado
de ella que sumados sean menores que dos
rectos, las dos rectas, si se prolongan
indefinidamente, se cortan del lado en que
dicha suma de ángulos sea menor que dos
rectos
 Postulado del paralelismo
 Por un punto exterior a una recta pasa
una única paralela
Calle - 1
Calle - 2
Calle - 3
Geometría sobre la superficie de la
Tierra
 PLANO : una esfera
 PUNTO: dos puntos diametralmente
opuestos
Plano
Punto
Geometría sobre la superficie de la
Tierra
 RECTA: círculo máximo
Recta
Recta
Recta
Recta = círculo máximo
Recta = círculo máximo
Geometría sobre la superficie de la
Tierra
 SE VERIFICAN LOS PRIMEROS
POSTULADOS CONVENIENTEMENTE
MODIFICADOS
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
¡No existe el paralelismo!
Geometría sobre la superficie de la
Tierra
 ES UN MODELO DE GEOMETRÍA NO
EUCLÍDEA!
Geometrías no euclídeas
 Geometría hiperbólica
 K.F. Gauss (1777-1855)
 J. Bolyai (1802-1860)
 N.I. Lobachewski (1792-1856)
 Geometría elíptica
 B. Riemann (1826-1866)
F. Dostoyevski (1821-1881) - 1
 Me pregunto cuál es nuestro designio. El
mío, explicar la esencia de mi ser, mi fe y
mis experiencias. Por eso me limito a
declarar que admito la existencia de Dios.
 Si Dios existe, si verdaderamente ha creado
la tierra, la ha hecho de acuerdo con la
geometría de Euclides, puesto que ha dado
a la mente humana la noción de las tres
únicas dimensiones del espacio.
F. Dostoyevski (1821-1881) - 2
 Sin embargo hay geómetras y filósofos que
dudan de que todo el universo esté creado
siguiendo únicamente los principios de
Euclides.
 Incluso tienen la audacia de suponer que
dos paralelas se pueden reunir en otra
parte, en el infinito.
 En vista de que ni siquiera esto soy capaz
de comprender, he decidido no intentar
comprender a Dios.
Einstein y la relatividad especial
 A. Einstein (1879-1955), 1905
 Al formular sus ecuaciones, éstas dependen
de un factor F.
 F = √(1-v2/c2)
 Evaluación aproximada de F
 c = 300000 Km/s
 v = 300 Km/h
 F = 0,99999999999996…. ≈ 1
Geometría riemanniana
 Riemann (1851) estudia geometrías
localmente euclídeas e introduce el tensor
de curvatura
 Su anulación caracteriza la GE
 Einstein (1920) estudia geometría del
Universo y muestra que la geometría
espacio-tiempo tiene curvatura
 Teoría general de la relatividad
 Espacio curvo cuatro dimensiones
D. Hilbert (1862-1942) - 1
 Debate Verdad-Falsedad
 1900: De todo enunciado se puede
demostrar su veracidad o falsedad
 Sistema axiomático
 Consistente: No se deduce P y no P
 Independiente: Los axiomas no se
deducen unos de otros
 Completo: Si P no es cierta, lo es no P
D. Hilbert (1862-1942) - 2
 El problema de axiomatizar Aritmética y
Geometría
 ¿Existe un método que permita decidir
sobre cualquier problema matemático, es
decir, resolverlo conjugando un número
finito de axiomas y teoremas?
K. Gödel (1906-1978)
 Nunca dispondremos de un programa capaz
de resolver cualquier problema; en un
sistema formal como la Aritmética o la
Geometría cabe formular enunciados que
no se pueden probar ni no probar,
demostrar, ni rechazar, sobre los cuales por
tanto no cabe decidir.
 Por ejemplo, la consistencia misma de los
axiomas (1931)
Incompletitud
 En cualquier formalización consistente de
las matemáticas que sea lo bastante fuerte
para definir el concepto de números
naturales, se puede construir una
afirmación que ni se puede demostrar ni se
puede refutar dentro de ese sistema
 Ningún sistema consistente se puede usar
para demostrarse a sí mismo
 Siempre habrá algo que no
entenderemos
Indecidibilidad
 Existen proposiciones indecidibles
 La hipótesis del continuo
 El problema de probar la existencia de Dios
es indecidible!
 Quizá no se llegue a demostrar
científicamente que Dios existe
 Pero tampoco que Dios no existe
A. Einstein (1879-1955)
 El misterio es lo más hermoso que nos es
dado sentir. Es la sensación fundamental, la
cuna del arte y la ciencia verdaderos. Quien
no la conoce, quien no puede asombrarse
ni maravillarse, está muerto. Sus ojos se
han extinguido
 Esta experiencia del misterio está también
en el origen de la religión
Evangelio de Juan
 Al principio ya existía el Verbo. Todo se hizo
por el Verbo y sin el Verbo no se hizo nada.
El Verbo estaba en el mundo y el mundo
fue hecho por el Verbo. Y el Verbo se hizo
carne y habitó entre nosotros y hemos visto
su gloria, gloria que recibe del Padre como
Hijo Único. La gracia y la verdad nos han
llegado por Jesucristo.
 Verbum=Logos: Verbo, Palabra, Designio