Download 37_press_Matrices

UNIDAD 3
FUNCIONES, MATRICES Y
DETERMINANTES
“Matrices”
Dr. Daniel Tapia Sánchez
Estos son los temas que estudiaremos:
3.6.1 Concepto de matriz e igualdad de matrices
3.6.2 Clasificación de matrices según sus elementos
3.6.3 Clasificación de matrices según su forma
3.7 Operaciones con matrices
3.7.1 Suma
3.2.2 Producto
3.2.3 Potencia
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz.
2ª columna
3ª fila
 a11

 a21
 a31
 ..

 am1
a12
a22
a32
..
am2
a13 ...... a1n 

a23 ...... a2n 
a33 ...... a3n  = (aij)
.. .. .. 
am3 ...... amn 
Dimensión de la matriz
m n
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la
misma posición en cada una de ellas son iguales.
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz





2
1
1
1
1
1
1
1
0





El sistema
2x  5y  3z  1

 x - 4y  z  2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
Tiene la siguiente matriz ampliada: A
Tiene la siguiente expresión matricial:
*




2 5 –3 
1 –4 1 




2 5 –3 1 
= 1 –4 1 –2 





 x  
2 5 –3 
  1
y
 =  – 2
1 –4 1 
 z 








 Matriz nula: es una matriz en la que
todos los elementos son nulos.
0 0 0


O  0 0 0
0 0 0


3 3
0

O  0
0

0

0
0 
3 2
 Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
 1 0 0


I3   0 1 0 
0 0 1


 Matriz diagonal: es una matriz
cuadrada, en la que todos los elementos
no pertenecientes a la diagonal principal
son nulos.
 Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
 Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son
iguales.
 Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de
la diagonal son ceros.
 2 0 0


D   0  3 0
 0 0 1


 2 0 0


A   0 2 0
 0 0 2


1 3 6


T   0  2 3
 0 0 4


1 0 0


T  3  2 0
3 5 4



Matriz fila:
A = (1 3 5 7 9 )
aij  a ji
2
 
A=  4
6

Matriz columna:

 1 3 5

Matriz cuadrada: A=  2 4 6
 1 1 1
Diagonal
secundaria
• Matriz simétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:
Diagonal
principal
 1 2 4 


 2 3 5 
 4 5 -1 






• Matriz antisimétrica: es una
matriz cuadrada que verifica
que:
 0 2 -4 


 -2 0 3 
 4 -3 0 


3.7 Operaciones con matrices
3.7.1 Suma de matrices
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
 a11 a12 a13 a14   b11 b12 b13 b14

 
a
a
a
a
A + B = ( aij) + (bij) =  21 22 23 24  +  b21 b22 b23 b24
 a31 a32 a33 a34   b31 b32 b33 b34
 a11 + b11

=  a21 + b21
 a31 + b31
a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34


 =



= (aij + bij )

Es decir, se suman los elementos de ambas matrices que estén en la misma posición.
Propiedades de la adición de matrices
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.
• Asociativa:
• Conmutativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
A+B=B+A
• Elemento neutro:
A + O = O + A = A donde O es la matriz nula.
• Elemento opuesto:
A + (– A) = (– A) + A = O
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
3.7.2 Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la
matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
 a11 a12 a13   ka11 ka12 ka13 

  ka ka ka 
k . A = k . (aij) = k· a21 a22 a23  =  21 22 23  = (kaij)
 a31 a32 a33   ka31 ka32 ka33 
Propiedades suma y producto por un número
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
• Distributiva I:
k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II:
(k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro:
• Asociativa mixta:
1·A=A
k(hA) = (kh)A
3.7.3 Producto de matrices
El producto de la matriz
A = (a ij) =
por la matriz
 a11
a
 a21
 31
 ..
 am1
 b11

 b 21
B = (b ij) =  b 31

 ..
b
 n1
a12
a22
a32
..
am2
a13 ...... a1n 
a23 ...... a2n 

a33 ...... a3n

.. .. ..

am3 ...... amn 
b12
b13
b 22
b 23
b 32
..
b 33
..
bn2
bn3
b1p 

...... b 2 p 
...... b 3p 

..
.. 
...... b np 
......
es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1. b1j + ai2. b2j + ... + ain. bnj
Ejemplo: producto de matrices
1. El producto de A =



2 1 –1
3 –2 0



1 2 0 
por la matriz B =  1 0 –3 
 0 1 –2 
multiplicando cada fila
de A por cada columna de B.
A ·B =




2 1 –1
3 –2 0




1 2 0 

  3 3 –1
.  1 0 –3  = 
6
 1 6
 0 1 –2 
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3 . (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3




¿Cuándo es posible el producto de matrices?
filas
(aij)m,n . (bij)n,p = (cij)m,p
Posible
columnas
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una
matriz con el número de filas de la otra matriz.
Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión
pxr.
A . (B . C) = (A . B) . C
II. Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y
Im =
1

0
0

 ..

0
0
1
0
..
0
0
0
1
..
0
......
......
......
..
......
0 

0 
0 
.. 

1 
e
1
0
In =  0
 ..
0
0
1
0
..
0
0 ...... 0 
0 ...... 0 
1 ...... 0 
.. .. .. 
0 ...... 1 
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn,
B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A . (B + C) = A . B + A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B
de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) . C = A . C + B . C
Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de
las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en
un orden distinto al dado.
II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O.
Ejemplo:
Aunque




0 2
0 0
 
 . 
 
 
0 –3   0 0 
0 0  =  0 0  ninguno de los factores que
forman el producto es la matriz nula.
III. Si A . C = B . C y C  O, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2  A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2  A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
VI. A2 – B2  (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
3.7.4 Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de
los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí
misma.
n veces. A
An = A . A . ...........
Ejemplo:
 1 1


A 
 0 1
 1 1 1 2   1 3 

  

A  A  A  
 0 1 0 1   0 1 
3
2
 1 1 1 1  1 2 

  

A 2  A  A  
 0 1 0 1  0 1 
 1 1  1 3   1 4 
  
  

A 4  A  A  A  A  A  A 3  
 0 1  0 1   0 1 
 1 1 1 n  1  1 n 
n-1


  




An  A
A
A
A
L3
12
1  0 1
 0 1 0
n- veces