Download NUMEROS COMPLEJOS - Red de Matemática

Prof. Isaías Correa M.
1
OBJETIVOS:
1.
2.
3.
4.
Definir unidad imaginaria.
Conocer y simplificar potencias de i.
Definir el conjunto de los números complejos.
Operar con los números complejos.
2
DEFINICIÓN:Los Números Imaginarios surgen de la
necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin
solución en el campo real.
Este conjunto se representa por I

Este conjunto posee elementos que se
obtienen a partir de raíces cuadradas con
cantidad subradical negativa.
7
3 2
3  10
3
Definición:
Entenderemos como Unidad Imaginaria a:
i= -1
La que se conoce como Raíz Imaginaria.
Nota:
i2 =-1
4
NÚMEROS IMAGINARIOS

Luego:
16 
16   1 
16  1 
4i
E inventaron un número cuyo cuadrado es -1
 después del año 1777, Euler lo denominó con
la letra “i”.

2
i =-1
POTENCIAS DE I:
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de
la división.
n
4m+p
p
i =i
=i
2. luego para simplificar use;
3. Sí i= -1
i0 =1
i1 =i
i2 =-1
i3 =i2  i=-1  i=-i
i4 =i2 i2 = -1-1 =1
Este último resultado hace que las potencias de “i” solo
tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1
7
EJEMPLOS:
11: 4  2
540 : 4  135
3
14
1)i  i
11
2) i
540
4 23
 i
020
 i  i
3
4 135 0
0
 i  1 6: 4 1
0
2
3)i 
6
i 4 1 2  i 2  1
8
4) i  i
13
5) i
227
6) i
285
 i  i
3

1127
7) i
285  4 71 1
1
i i
1127  4 281 3
 i  i
3
9
Raíces pares de Números Negativos
Calcule las siguientes raíces:
1)
4 
4  1 
2i
5i
2)
25 
25  1 
3)
12 
4  3  1  2 3 i
4)
11 
11 i
10
NÚMEROS COMPLEJOS
Hallar los números reales que verifican que la
suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20,
es igual a cero.
 En símbolos:

5 x  20  0
2
NÚMEROS COMPLEJOS

Al resolver la ecuación obtenida, nos damos
cuenta que la raíz cuadrada de un número
negativo no existe en los reales, por lo tanto
esta ecuación no tiene solución en este
conjunto, es decir que no existe ningún número
real que resuelva este problema.
5 x  20  0
2
(Sin solución real)
NÚMEROS COMPLEJOS
Para que la ecuación anterior tenga solución,
los matemáticos buscaron una ampliación del
conjunto de los Números Reales (IR).
 A este Conjunto se definió como los
Números Complejos:

  a  bi / a  , bi I;

© copywriter
Sus características son:
i)
Los números reales y los
imaginarios están incluidos en
el conjunto ampliado.
ii)
Las
propiedades
del
conjunto
real
se
siguen
cumpliendo en el conjunto
ampliado.
14
NÚMEROS COMPLEJOS

Se llama número complejo a un número “z”
que puede escribirse de la forma
z =a+bi



a y b son números reales
Al número a se le llama parte real (a=Re[z])
Al número b se le llama parte imaginaria
(b=Im[z])
a+bi  (a,b)
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS:



Dos Números complejos son iguales si y sólo si,
tienen igual parte real e igual parte imaginaria
si
z1 = z2
Entonces: Rez1  =Rez2   Imz1  =Imz2 
Ó sí a + bi = c + di
entonces a = c y b = d.
Ejemplos de Números Complejos:
1) 5  3i
4) 5i
2) 7  4i
5) 7
3)  1  6i
17
5) 1   8  1  4  2  1
 1  4  2  1
 1 2 2 i
18
Ejemplo:
Determine el valor de a y de b si
a  6  2bi  6  5i
Si a  6  6
a0
y 2b  5
5
b
2
19
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
 a  bi    c  di 
1.Suma:
 a  c  b  d i
Ejemplo 1:
5  i    6  2i  
  5  6  1  2 i
11  i
20
2.Resta:
 a  bi    c  di 
  a  bi    c  di 
 a  c   b  d i
Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.
Ejemplo 1:  3  2i    6  3i  
  3  2i    6  3i 
 9  5i
21

 

 8  3 2i    5  5 2i 
 8  3 2i    5  5 2i 
Ejemplo 2 : 8  18  5  50 
 38 2 i
22
3.Multiplicación:
 a  bi   c  di 
  ac  bd    ad  bc  i
Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo como
si fuera una multiplicación de polinomios.
2
a

bi
c

di



 ac ad  i bc  i bd  i
 ac   ad  bc  i  bd  1
  ac  bd    ad  bc  i
23
Ejemplo 1:  4  2i 3  5i  
 12  20i  6i  10i
2
 12  20i  6i  10  1
 12  14i  10
 22  14i
24
Ejemplo 2:  4  5i  
2
  4  5i  4  5i 
 16  20i  20i  25i
 16  40i  25  1
2
 16  40i  25
 9  40i
25
Ejemplo 3:


 2  3i 
2
 4  12i  9i   2  3i 
 4  12i  9  1   2  3i 
 4 12i  9 2  3i 
 5 12i  2  3i  2
 2  3i 
3
  2  3i 
2


 10  15i  24i  36i
 10  15i  24i  36
 46  9i
26
Conjugado de un Complejo:
Definición:
El conjugado de z=a+bi se define por Z=a+bi=a-bi.
Ejemplos:
Encuentra el conjugado de cada número:
1.
2  4i  2  4i
2.
2  4i  2  4i
3.
64i  64i
4. 12  24i  12  24i
5. 13  13
27
4.División:
 a  bi    a  bi   c  d i 

 .

 c  di   c  d i   c  d i 
La División se hace multiplicando por el conjugado
del denominador. (similar a la racionalización)
8  7i (8  7i) • (1  3i)
Ejemplo 1:

1  3i (1  3i) (1  3i)
8  24i  7i  21i

2
1  9i
2
28
8  17i  21 1

1  9  1
8  17i  21 29  17i


1 9
10
29 17

 i
10 10
29
4  5i
Ejemplo 2:

3i
(4  5i ) 3i
•
3i
3i
 12i  15i

2
 9i
2
 12i  15

9
30
 12i  15  12 15

i

9
9
9
4 5
 i
3 3
5 4
  i
3 3
31
Ejercicios:
Resuelve la operación indicada.
1)
2)
5  i    7  2i  
 3 12i    6  3i  
3) 12  23i    16 13i  
4)
5)
 13  32i    36  53i  
3  2i  6  3i  
32
6)
5  i  7  2i  
7)
 3 12i  6  3i  
1  2i
8)

6  3i
3  2i
9)

6  3i
33
1)
5  i    7  2i  
12  i
2)  3  12i    6  3i  
  3  12i    6  3i   3  15i
3) 12  23i    16 13i  
12  23i   16  13i  
28  36i
34
4)
5)
 13  32i    36  53i   49  21i
3  2i  6  3i   18  9i  12i  6i
 18  21i  6  1
2
 12  21i
6)
5  i  7  2i  
35  10i  7i  2i
 35  3i  2
 37  3i
2
35
7)
 3 12i  6  3i   18  9i  72i  36i
2
 18  63i  36
 54  63i
1  2i 6  3i
1  2i

8)

6  3i 6  3i 6  3i
6  3i  12i  6i

2
36  9i
6  9i  6 12  9i
4  3i



36  9
45
15
2
36
3  2i
3  2i 6  3i
9)

=
6  3i 6  3i 6  3i
18  9i  12i  6i
=
36  9
2
18  3i  6
=
36  9
24  3i
=
45
8  i
=
15
37
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Para representar un número complejo, de la
forma a+bi
se utiliza un sistema de
coordenadas rectangulares, en el cual la parte
real se representa en el eje horizontal y la
imaginaria en el eje vertical.
 Obs: a+bi  (a,b)

Ejemplos:
Módulo de un Complejo:
Es la distancia entre el origen y el punto que
representa al número complejo.
 El módulo de un número complejo
a+bi
está definido como:

a+bi = a2 +b2

Ejemplo:
-4+2i  (-4)2 +22 = 20 =2 5