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Tema 3: Del Cálculo Diferencial a
las Ecuaciones diferenciales
3.2 Antecedentes del Cálculo: Desde la
Edad Media hasta el siglo XVII
1. Desde la Edad Media hasta el siglo
XVI
Roma
En la antigua Roma se cultivaron con entusiasmo las artes prácticas
como la medicina, la agricultura, el derecho y la geografía
descriptiva. Pero mostraron poco a entusiasmo con la ciencia o a
la filosofía, y aún menos con la matemática
Roma
Los Impresionantes proyectos de ingeniería y los
grandes monumentos arquitectónicos sólo
requieren simples recetas y maneras de
proceder que bien poco tenían que ver con un
conocimiento del gran corpus del pensamiento
griego.
Roma
M. Vitruvio estaba especialmente interesado en
instrumentos de agrimensura y en problemas
relativos a medidas aproximadas. En su libro
De Architectura, de la Época Augusta, destaca
como cima del conocimiento la
inconmensurabilidad de la arista y la diagonal en
un cubo; el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y
5, y da como perímetro de una rueda de
diámetro 4 dm, el resultado de 12,5 dm, lo que
supone un valor de 25/8 para π;
Arquímedes ya había como valor aproximado 22/7
Edad Media
El grueso de la historia de la matemática medieval fue
obra de cinco grandes civilizaciones que
escribieron en cinco lenguas diferentes:
China, India, Arabia, el imperio romano de Oriente
y los restos del Imperio de Occidente.
Imperio bizantino
La mayor parte de las contribuciones bizantinas a la
matemática fueron de un nivel muy elemental y
consistieron principalmente en comentarios de los
clásicos antiguos
La matemática bizantina representó, más aún que la
árabe, una especie de esfuerzo de conservación de
todo lo que fuera posible de la Antigüedad hasta
que el Occidente estuviera preparado para tomar el
relevo.
Mundo árabe-musulmán
Primer siglo de su existencia: confusión política e
intelectual.
Segundo siglo: Despertar cultural. Se convocan sabios
de Siria, Irán y Mesopotamia. Bagdad una nueva
Alejandría: Casa de la Sabiduría.
Siglo IX: Traducciones del griego al árabe
Al-Khowarizmi: Astronomía, sistema de numeración
hindú. Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Algoritmo: procedimiento operativo para resolver un
problema
Traducciones en Europa
A finales del siglo XII, comenzó una verdadera oleada
de traducciones primeramente del árabe al latín,
Los Elementos de Euclides figuraron entre las primeras
obras matemáticas clásicas que aparecieron
traducidas del árabe al latín.
Hacia el siglo XIII hubo ya muchas variantes, del
árabe al español, del árabe al hebreo, del griego al
latín, o bien combinaciones tales como del árabe al
hebreo y después hebreo al latín.
Siglo XIV
Los matemáticos del Occidente europeo mostraron
durante el siglo XIV imaginación y notable
claridad de pensamiento, pero lo les faltaba
habilidad tanto algebraica como geométrica, y así
sus contribuciones no consistieron en una extensión
de la obra de los clásicos, sino en la exploración de
nuevos puntos de vista.
Las Universidades de Paris y Oxford fueron durante el
siglo XIV los dos principales centros en los que se
formularon conceptos que habían de influir de modo
importante en el nacimiento de la ciencia
moderna.
N. Oresme ( 1323-1382)
Genio intelectual y probablemente el pensador más
original del siglo XIV: economista, matemático, físico,
astrónomo, filósofo, psicólogo, musicólogo, teólogo y,
traductor, consejero del rey Carlos V de Francia y murió
como obispo de Lisieux. Uno de los principales
fundadores de la ciencia moderna.
En su obra “De proportionibus proportionum “ hacia el
1360 utilizó un método gráfico propio para resolver
distintos problemas físicos y matemáticos.
N. Oresme
A él se debe la introducción temprana de coordenadas
preocupado por la representación de la velocidad de un
móvil con m.u.a. a lo largo del tiempo.
Traza un segmento horizontal cuyos puntos representan
los sucesivos instantes de tiempo (longitudes) y para
cada instante traza un segmento particular (latitud) cuya
longitud representa la velocidad en aquel instante.
Área = distancia recorrida
N. Oresme
Este método le permite probar la regla de Merton:
“El espacio recorrido por un móvil que se mueve con
m.u.a = espacio recorrido con la velocidad constante
que tiene en el punto intermedio.”
Trasladó al plano lo que hasta entonces habían hecho
los geógrafos sobre la esfera. Mantuvo incluso los
nombres, y llamó longitud y latitud a los antepasados de
lo que hoy llamamos abscisa y ordenada.
Siglo XIV
Entre los problemas estudiados, podemos destacar
Series infinitas, cuyos preliminares son algunos
algoritmos iterados de la antigüedad tales como la
suma infinita de una progresión geométrica dada por
Arquímedes.
Calculator ( R. Suiseth ( 1350), halló que 2 es la suma
de la serie numérica infinita
mediante una larga y confusa demostración verbal,
N. Oresme
También contribuyó al estudio de las series
Utilizó el método gráfico para hallar la suma de forma
más fácil y elegante de la serie anterior.
Consiguió resolver también por el mismo método otros
casos más complicados tales como la suma de la serie
cuyo resultado es 4/3.
N. Oresme
También demostró que la serie armónica ½+1/3+
¼+1/5+…+1/n+… es divergente ,
agrupando y colocando el primer término en el primer
grupo, los dos términos siguientes en el segundo grupo,
los cuatro términos que les siguen en el tercer grupo, y
así sucesivamente, de manera que el grupo m-ésimo
incluye 2^(m- 1) términos de la serie.
Así tenemos infinitos grupos de términos cuya suma de
los términos dentro de cada grupo es mayor o igual que
½ , y por lo tanto, sumando : una cantidad suficiente de
términos, en su orden, podemos superar cualquier
número dado.
Siglo XV
A mediados del siglo XV Europa se recupera de la gran
conmoción de la Peste Negra.
La reciente invención de la imprenta que hizo posible
que las obras cultas se extendieran y estuvieran
disponibles con mucha más facilidad que nunca
hasta entonces, no tuvo un efecto inmediato en la
difusión del corpus matemático de la antigua
Grecia, ya que:
pocos hombres durante el siglo XV podían tener un
conocimiento de la matemática suficientemente
avanzado como para entender dichas obras,
Siglo XV
Las matemáticas siguen estando limitadas por la espesa
notación con números romanos y por la falta de un
lenguaje simbólico.
(no hay signo para indicar la suma, ni la igualdad,… )
Sin embargo, se lleva a cabo la resolución de las
ecuaciones cúbicas y cuartas y con el uso de un
cierto simbolismo .
Siglo XV
Impulsados por las exigencias de la navegación y la
creciente necesidad de mapas exactos de grandes áreas,
la trigonometría pasó a ser una importante rama de las
matemáticas.
La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus (14361476) se publicó en 1533. Éste contribuyó igualmente
a la introducción de los números arábigo-hindues y de
algunos simbolismos no muy diferentes a los usados
hoy día.
Siglo XVI
Hacia finales del siglo XVI Europa Occidental ya había
recuperado, difundido y asimilado la mayor parte
de las obras matemáticas de la antigüedad que se han
conservado hasta hoy.
También, había asimilado los conocimientos aritméticos
del mundo árabe y había iniciado el estudio de la
resolución de las ecuaciones cúbicas y cuartas .
La época ya estaba madura para llevar a cabo rápidos
avances que superarán las contribuciones tanto
antiguas como medievales y renacentistas.
François Viète ( o Vieta) (1540-1603)
Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el
primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras.
Fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue
consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.
François Viète
En la época de Viète el álgebra, derivada de la
aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas y
se necesitaban razonamientos geométricos para
justificar métodos algebraicos,
pero como
Novedad: Propone la utilización del álgebra para
resolver problemas.
François Viète
A partir de 1591, Viète, que era muy rico, empezó a
publicar a sus expensas la exposición sistemática de su
teoría matemática, a la que llama logística especiosa
(de specis: símbolo) o arte del cálculo sobre símbolos.
1. Se anotan todas las magnitudes presentes, así como
sus relaciones, utilizando un simbolismo adecuado
que Viète había desarrollado. (notación complicada)
Se resume el problema en forma de ecuación (etapa
zetética).
Escribe las magnitudes conocidas como consonantes
(B, D, etc.) y las magnitudes desconocidas como
vocales (A, E, etc.).
François Viète
2. El análisis porístico permite transformar y discutir
la ecuación. Se trata de encontrar una relación
característica del problema, la porisma, a partir de la
cual se pueda pasar a la siguiente etapa.
3. El análisis rético, volvemos al problema inicial del
que exponemos una solución por medio de una
construcción geométrica basada en la porisma.
Entre los problemas que Viète aborda con este método,
hay que citar la resolución completa de las ecuaciones
de segundo grado de forma ax2 + bx = c y de las
ecuaciones de tercer grado de forma x3 + ax = b con a y
b positivos.
François Viète
Fue uno de los primeros que utilizó la palabra
«análisis» como sinónimo de «álgebra», y fue uno de
los primeros analistas en el sentido más moderno del
que estudia procesos infinitos.
Fue el primero que dio una expresión numérica para
que era teóricamente exacta bajo la forma de un
producto infinito que puede escribirse como
Siglo XVI
John Neper (1550-1617), hacendado escocés, Barón de
Murchiston, administraba sus extensas propiedades y
aprovechaba el tiempo para escribir sobre temas
variados. Sólo estaba interesado en algunos aspectos
de la matemática, principalmente los relacionados con
el cálculo numérico y la trigonometría.
J. Neper
Observó que las sucesiones de potencias enteras de una
base entera, no resultaban útiles para el cálculo debido a
los grandes huecos que existen entre los términos
sucesivos y que hacen la interpolación demasiado
imprecisa .
J. Neper
Para solucionar el problema basta tomar las potencias
enteras de un número muy próximo a uno.
Neper decidió tomar como base
Ciertamente los términos de la progresión (decreciente)
de potencias enteras crecientes, están muy próximos
entre sí;
J. Neper
Para conseguir un cierto equilibrio y evitar el uso de
decimales, multiplicó Neper todas las potencias por
10^7. Así consideró
Los valores del exponente L fueron inicialmente
llamados «números artificiales», pero más tarde se
decidió por la palabra logaritmo,
palabra compuesta de las dos palabras griegas logos (o
razón) y arithmos (o número).
J. Neper
Así pues L será el “logaritmo” de Neper del número N
(que él llama «seno»). Nótese que si L=10^7, el valor
de N/10^7 no se diferencia mucho de
Esto es, si dividiéramos, tanto los números (N)
considerados como sus logaritmos (L), por 10^7,
tendríamos prácticamente un sistema de logaritmos de
base 1/e (log_(1/e)(A)= - ln (A)).
Principios geométricos
Sea un segmento AB y una semirrecta CD E dados .
Sea un punto P que parte de A y se mueve a lo largo de
AB con velocidad variable que decrece en proporción a
su distancia a B. Supongamos que un punto Q parte al
mismo tiempo de C y se mueve a lo largo de la
semirrecta CDE con velocidad uniforme igual a la
velocidad inicial del punto P.
Neper llama a la distancia CQ el logaritmo de la
distancia P B.
Equivalencia de las definiciones
Llamando x=PB e y= CQ y si AB y la velocidad
inicial de P igual a 10^7, entonces, tenemos
x’(t)=-x, y’(t)= 10^7, x_o = 10^7 , y_o =0.
Dado que y’(t)=y’(x).x’(t), tenemos que
y’(x)= - 10^7/x , y por tanto
y=-10^7 ln (cx),
donde la constante c= 10^(- 7) se determina partir de
las condiciones iniciales.
así pues,
y/10^7=log_(1/e) (x/10^7)
Esto es, CQ=y=N y PB=x=L
J. Neper
Si
El logaritmo de N_1.N_2 no es igual a la suma de L_1
y L_2, sino de N_1N_2/10^7, ya que
Pero, estas diferencias se refieren únicamente a un
corrimiento de la coma decimal, según los casos
Por ejemplo si N=10^7 entonces L=0
log 10^7=0
J. Neper
Observó que todos los números (él los llama «senos»)
en la razón de 2 a 1 tienen una diferencia entre sus
logaritmos de 6.931.469,22, mientras que los que están
en la razón 10 a 1 tienen como diferencia de logaritmos
2 3. 025.842, 34.
En estas diferencias podemos ver, sí corremos
adecuadamente la coma decimal, los logaritmos
naturales de 2 y de 10. Por lo tanto, resulta razonable
utilizar el nombre de «neperianos» para los logaritmos
naturales, incluso a pesar de que estos logaritmos no
son exactamente los que inventó Neper.
J. Bürgi (1552-1632): Logaritmos naturales
Toma como base 1+10^(-4), multiplica por 10^8 y los
exponentes por 10.
Llama a 10L el número rojo correspondiente al
número negro N.
Si dividiéramos en este sistema todos los números
negros por 10^8 y todos los números rojos por
10^5, tendríamos virtualmente un sistema de logaritmos
naturales.
Logaritmos
En 1616, Henry Briggs (1561-1630) visitó a Neper en
Edimburgo, con el motivo de discutir la sugerencia de
cambiar los logaritmos de Neper para que el logaritmo
de uno fuese cero y el logaritmo de diez fuese uno.
Recuérdese que el logaritmo de 10^7 será 0
Con este dato, Briggs fue calculando otros logaritmos
tomando raíces sucesivamente. De que (raíz de 10)
=3,162277 obtiene que: log 3,162277= 0.5
Así calculó otros logaritmos.
En 1624 publicó los logaritmos del 1 al 100.000,
siempre con 14 cifras decimales.
Estos logartimos sí gozan de las propiedades usuales.