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Movimiento Armonico Simple (M.A.S)
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS,
Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos
viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico
cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables
del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el
mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos
en los que la distancia del móvil al centro, pasa
alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que
tiene su origen en el punto medio, de forma que las
separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son
iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento
vibratorio con aceleración variable, producido por una
fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su
posición de equilibrio.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de
equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un
movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza
recuperadora de ese resorte es la que genera una
aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.
Observando el movimiento del resorte, vemos
que se desplaza entre dos puntos, desde la
máxima compresión hasta la máxima
elongación, pasando por un punto medio, de
equilibrio. La distancia desde el punto medio a
cualquiera de los extremos la llamamos
AMPLITUD y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada
momento con respecto al punto central la
conocemos como ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es
el PERÍODO, representado por T y medido en
segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones
por segundo que realiza y la representamos por
n.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación,
donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen
e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos
encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el
tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función
del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas
en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del
resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La
expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda
aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos
con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina
la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas
fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda
derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de
esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor
de la posición en función del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o
frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la
discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde
empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la
constante recuperadora por la ecuación que viene a
continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª
ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo,
obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión
de la velocidad en función de x, la elongación:
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la
ecuación de la aceleración en el MAS:
a = - A w2 sen(wt + q)
de la que podemos obtener también una ecuación que la
relaciona con la posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración
podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y
los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores.
Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud
Condición
Ecuación
máximo
Velocidad
Aceleración
a=-A
w2
Se da en
X=0
El punto de equilibrio
X = A (X es
máximo)
En los puntos
extremos
Cinemática del M.A.S.
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico
de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su
posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en
intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle
oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura.
El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando
se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el
cuerpo sube y baja.
Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno
de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra
en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento
de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de
los puntos que podemos definir en la cuerda.
El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es
el resultado del movimiento global y simultáneo de todos
los puntos de la cuerda.
Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento
(unidimensional) podemos ayudarnos de un movimiento
auxiliar, bidimensional, un movimiento circular uniforme
(m.c.u.). Cuando tenemos un punto que da vueltas
uniformemente alrededor de una circunferencia, la
proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese
punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir
deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular
(un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es
armónico simple).
Puede verse el ejemplo en la figura siguiente
Pero, pongamos atención, el movimiento armónico es el del
punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja).
El movimiento circular de la partícula que da vueltas alrededor
de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es
un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos
están directamente relacionados, puesto que uno genera el
otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente
una ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con
el movimiento circular auxiliar.
FIGURA 1:
Movimiento armónico simple
Veamos cómo. La figura 1, representa lo que hemos visto en el gráfico
animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las
variables que hemos definido.
Y=
elongación Representa la distancia que
separa a la partícula vibrante
de la posición de equilibrio
en cualquier instante.
Físicamente, la elongación
representa el estado de
vibración de la partícula en
cualquier instante.
A = amplitud
Representa el máximo valor
que puede tomar la
elongación.
Fo = fase inicial
Representa la posición angular
de la partícula para t = 0 en
el m.c.u. auxiliar.
w = pulsación
Representa la velocidad
angular del m.c.u. auxiliar.
Es una constante del m.a.s.
F = w.t + Fo
fase
Representa la posición angular
de la partícula, en el m.c.u.
auxiliar, para tiempo t.
La elongación de la partícula para un tiempo t viene
dada por el seno del ángulo que nos da la posición de
la partícula del m.c.u.
y = A.sen(w.t + Fo)
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general
del m.a.s. Como puede verse, la elongación es una
función periódica del tiempo y el máximo valor que
puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno
oscila entre los valores +1 y -1.
Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad
de una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por
la derivada con respecto al tiempo de la función y
v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)
La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada
por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula
del m.c.u.
y = A.sen(w.t + Fo)
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del
m.a.s. Como puede verse, la elongación es una función
periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A
(la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores
+1 y -1.
Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de
una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por la
derivada con respecto al tiempo de la función y
v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)
donde observamos que la velocidad es también función
periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la
velocidad toma su máximo valor cuando la fase es cero.
Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los
extremos el ángulo de fase es 90º y 270º, por ello la
velocidad es nula.
Análogamente, derivando en la expresión de la velocidad,
obtenemos el valor de la aceleración
a = dv/dt = - A.w2 sen (w.t + Fo)
que teniendo en cuenta el valor de la elongación y se
convierte en
a = - y.w2
en la que observamos que la aceleración en un m.a.s. es
directamente proporcional a la elongación cambiada de signo.
Lo que nos lleva a que la aceleración de la partícula sometida
a un m.a.s. es, también, función periódica del tiempo,
resultando máxima cuando se encuentra en la posición más
alejada del punto de equilibrio, mientras que en este la
aceleración es nula. El signo "menos" nos indica que el m.a.s.
es un movimiento acelerado hacia el centro de oscilación (la
partícula acelera cuando se dirige hacia la posición de
equilibrio).
Período y frecuencia en el m.a.s.
Período es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse.
Dicho de otra forma, es el tiempo que tarda la partícula en
realizar una oscilación completa. Esto ocurre cuando pasa
dos veces consecutivas por la misma posición y en el
mismo sentido del movimiento. Se representa por T.
Frecuencia es el número de oscilaciones que la partícula
realiza en la unidad de tiempo. Se representa por N ó f y se
mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/so hertzios.
El período y la frecuencia se relacionan de la siguiente
manera
f = 1/T