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Números Complejos
Circuitos Eléctricos II
Definición
La unidad imaginaria j se define como la solución positiva
de la ecuación j2 + 1 = 0.
Es decir,
j  1
De la definición se tiene que,
j2 = –1
j3 = j j2 = –j
j4 = j2 j2= (–1) (–1) = 1
etcétera
Un número imaginario puro es el producto de un número real y
la unidad imaginaria.
Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5.
Un número complejo es la suma de un número imaginario
puro y un número real.
En general será de la forma A = a + jb.
Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, al
escribirlos a mano se usará una barra sobre la letra.
En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte
imaginaria de A.
Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].
Un número real es un número complejo cuya parte
imaginaria es cero.
Los número complejos se
pueden representar en el plano
utilizando el eje horizontal para
la parte real y el vertical para la
parte imaginaria.
A esta representación se le
llama diagrama de Argand.
En la figura se representan los
números complejos A = 3 – j2 y
B = –4 + j3.
Definición de igualdad
Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales
son iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir,
Si A = a + jb y B= c + jd
A=B
implica
a=cyb=d
Operaciones con complejos
Suma:
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Resta:
(a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d)
Multiplicación:
(a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)
El conjugado de un número complejo A = a + jb se define
como A* = a – jb.
Con esta definición podemos calcular el cociente de dos
complejos A = a + jb y B= c + jd como
A/B = (AB*)/(BB*)
División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c2 + d2)
Tarea #1
Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determine
a) C – B
b) –3B* +5C
c) j5C2(A + B)*
d) B Re[A] + A Re[B]
e) (A + B)/(C – B)
Identidad de Euler
Las funciones sen q, cos q y ez , se pueden desarrollar en
series de potencias como:
q3 q5 q7
sen q  q 


 ...
3! 5! 7!
q2 q4 q6
cos q  1 


 ...
2! 4! 6!
z z2 z3 z4 z5
z
e  1 


 ...
1! 2! 3! 4! 5!
haciendo z = jq, se obtiene
e
jq
q q2
q3 q 4
 1 j 
j
 ...
1! 2!
3! 4!
comparando con las series para seno y coseno se concluye
que
e jq = cos q  jsen q
es fácil mostrar que
cos q  ½(e jq + e– jq )
sen q  j ½(e jq – e– jq )
Forma exponencial
Multiplicamos e jq = cos q  jsen q por C
Ce jq = Ccos q  jCsen q
La segunda parte de la igualdad representa un número
complejo A = a + jb.
Es fácil ver que
a2 + b2 = C2
También
b/a = tan q
También
A = Ce jq
o
o q = tan–1b/a
C   a2  b2
Tarea #2
Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando
un ángulo en el intervalo de –180° a 180°
a) –18.5 – j26
b) 17.9 – j12.2
c) –21.6 + j31.2
Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangular
a) 61.2e–j111.1°
b) –36.2ej108°
c) 5e–j2.5
ojo el ángulo está en radianes
La forma polar
La forma compleja A = Ce jq se puede abreviar como A= Cq.
Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribirse como
5.39111.8º.
La multiplicación y división de complejos es más simple
utilizando la forma polar.
Sea A = Ce jq = Cq y B = De jf = Df, entonces
(A)(B) = (Cq)(Df)  CD qf
(A)/(B) = (Cq)/(Df)  C/D qf
Relación entre las 3 formas
La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos
jq
A  a  jb  Re[ A]  j Im[ A]  Ce  a  b e
 a 2  b 2  tan 1 (b / a)
2
2
j tan 1 ( b / a )
Tarea #3
Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de
números complejos en forma polar, utilizando seis cifras
significativas, solo por disfrutar del cálculo:
a) (3.4425°*8.04–46°)/4.556°
b) [2 – (1–41°)]/(0.341°)
c) 50/(2.8783.6°+5.1663.2°)
d) 418° – 6–75° + 528°
Comandos de Matlab para complejos
complex(a,b) – regresa el complejo a +jb
imag(c) – regresa Im[c]
conj(c) – regresa c*
angle(c) – regresa el angulo de fase
abs(c) – regresa la magnitud de c
real(c) – regresa Re[c]
isreal(c) – regresa 1 si la parte
imaginaria de c es 0
Ejemplos
Tarea #1
A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;
% a) C - B
C - B
% b) -3B* +5C
Resultados
-3*conj(B) + 5 * C
-9.0000 - 3.0000i
5
2
% c) j C (A + B)*
-39.0000 -31.0000i
j^5*C^2*conj(A + B)
-3.8700e+002 +2.5700e+002i
% d) B Re[A] + A Re[B]
24.0000 + 7.0000i
B*real(A) + A*real(B)
-0.8000 - 0.0667i
% e) (A + B)/(C - B)
(A + B)/(C - B)
Ejemplos
31.9100
-125.4333
21.6622
-34.2769
37.9473
124.6952
-22.0318 -57.0968i
11.1864 -34.4282i
-4.0057 + 2.9924i
A = -18.5 - 26j
abs(A)
angle(A)*180/pi
A = 17.9 - 12.2j
abs(A)
angle(A)*180/pi
A = -21.6 + 31.2j
abs(A)
angle(A)*180/pi
complex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180))
complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180))
complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5))
Tarea #4
1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab
a) Z + 2j = 3/Z
b) Z = 2*ln(2 – 3j)
c) sen Z = 3
d) tan Z = 2j
2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lo
despliegue en forma polar.
3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados del
problema 1 en forma polar.