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MATRI CES MATRICES matrices 1 • MATRIZ Es un arreglo rectangular de números. Los números del arreglo se denominan elementos de la matriz • El tamaño de una matriz se mide en término del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene. Una matriz cuadrada es simétrica si A = AT, (aij = aji para todos i, j) Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal. Operaciones con matrices Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn, donde cij = aij + bij , esto es, la suma de las entradas correspondientes. Ejemplo: 2 0 2 2 1 2 4 1 0 0 3 1 1 5 1 1 2 2 Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij} una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij 0 2 6 2 0 4 12 1 Ejemplo: 2 1 0 0 4 2 0 0 2 4 3 8 0 8 6 16 1 1 3 0 2 2 6 0 0 Multiplicación de matrices: Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo 2x1 - 3x2=7 3x1 - x2=2, tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector b correspondiente a los términos independientes, es decir, 2 3 7 A b 3 1 2 Si ahora se escriben las incógnitas como un vector se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir 2 3 x1 7 3 1 x2 2 x1 x x2 Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores. Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B. Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Ejemplo: Fila 2 Columna 3 8 5 4 12 20 10 4 2 1 0 3 3 5 8 . 6 4 0 4 71 84 1 16 0 7 8 4 5 2 1 74 68 16 36 Posición c23 (-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1 En general, el elemento cij está dado por n cij aik bkj ; k 1 i 1,..., m j 1,..., s Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4 están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB. Debe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el siguiente ejemplo 9 1 2 0 1 4 . 3 4 2 5 8 17 0 1 1 2 3 4 . 2 5 3 4 13 16 Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas: * La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B] * La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B Ejemplos: 1 2 1 2 6 2 4 4 . 0 0 2 4 4. 0 2 1 4 1 3 7 5 1 4 1 3 7 5 3 12 1 8 2 3 1 12 2 1 3 2 2 1 1 2 3 . 1 9 2 1 2 3 3 27 4 27 13 26 12 30 30 1 2 2 6 1 27 4 . 1 0 4 7 13 1 3 2 1 2 1 (1) 2 3 3 9 2 1 2 3 De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del producto AB puede verse como una combinación de las columnas de la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B. 1 2 2 6 4 4 . 0 0 2 1 4 1 3 7 5 3 12 1 8 2 12 1 2 4 4 0 2 8 2 6 0 27 1 2 4 1 (1) 7 4 2 6 0 30 1 2 4 4 3 5 26 2 6 0 13 1 2 4 3 1 2 12 2 6 0 27 4 13 26 12 30