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MATRI CES
MATRICES
matrices
1
• MATRIZ
Es un arreglo rectangular
de números. Los
números del arreglo se
denominan elementos
de la matriz
• El tamaño de una matriz se mide
en término del número de
renglones (líneas horizontales) y
de columnas (líneas verticales) que
contiene.
Una matriz cuadrada es simétrica si
A = AT, (aij = aji para todos i, j)
Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal
principal.
Operaciones con matrices
Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices
de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij}
de dimensión mxn, donde
cij = aij + bij ,
esto es, la suma de las entradas correspondientes.
Ejemplo:
2   0 2  2
 1 2  4   1 0

  
  

 0 3  1   1  5  1  1  2  2 
Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij}
una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la
matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que
bij = r aij
0  2 6  2
0  4 12 
 1




Ejemplo:
2 1
0 0
4 2
0 0

 
2


4
3
8 0
8
6 16

 
 1 1  3 0    2  2  6

 

0

0 
Multiplicación de matrices:
Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de
ecuaciones lineales, por ejemplo
2x1 - 3x2=7
3x1 - x2=2,
tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un
vector b correspondiente a los términos independientes, es decir,
 2  3
7

A  
b   
 3 1
 2
Si ahora se escriben las incógnitas como un vector
se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales
como Ax=b, es decir
 2  3  x1   7 

    
 3  1  x2   2 
 x1 
x   
 x2 
Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz
A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el
concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.
Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de
dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto
AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es
el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.
Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido
solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de
filas de B.
Ejemplo: Fila 2
Columna 3
8 5 4   12
20 10 4 
 2 1 0   3


 

  3 5 8 .  6  4 0 4     71  84 1 16 
 0
7 8    4  5 2 1    74  68 16 36 

Posición c23
(-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1
En general, el elemento cij está dado por
n
cij   aik bkj ;
k 1
i  1,..., m
j  1,..., s
Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4
están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB.
Debe observarse que el producto de matrices en general no es
conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están
definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el
siguiente ejemplo
9 
 1 2   0 1  4

.
  

 3  4   2 5    8  17 
 0 1  1 2   3  4 

.
  

 2 5   3  4  13  16 
Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular
del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas:
* La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B]
* La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B
Ejemplos:
1

2
1
2
6
2
4
4 
. 0
0  
2
4

4. 0
2

1
4
1
3
7
5
1
4
1
3
7
5
3
 12
1   
8
2  
3

1   12
2 
 1 3 2   2   1 

   
1
2

3

.  1    9 
 2 1  2  3    3

   
27
4
27

13 

26 12 
30
30
1

2
2
6
 1 
  27 
4 
.  1  

0  

4

 
 7 
13
  1
 3
 2   1 
 
 

 

2 1   (1) 2   3  3     9 
 2 
1
  2   3
 
 

 

De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del
producto AB puede verse como una combinación de las columnas de
la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.
1

2
2
6
4
4 
. 0
0 
2
1
4
1
3
7
5
3
 12
1   
8
2  
12 
 1  2  4
   4   0   2 
8
 2  6  0
 27   1 
 2  4

  1   (1)   7 
  4  2
 6  0
 30 
 1  2  4
   4   3   5 
 26 
 2  6  0
13 
 1  2  4
   3   1   2 
12 
 2  6  0
27
4
13 

26 12 
30