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LUIS SÁNCHEZ-CAPUCHINO –FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1
1.
CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
2.
ECUACIÓN DE UN M.A.S.
3.
CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S.
4.
1.
USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES COSENO Y SENO
2.
EJEMPLOS EN DIFERENTES POSICIONES
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
1.
CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD
2.
CARACTERÍSTICAS DE LA ACELERACIÓN
3.
VALORES MÁXIMOS
5.
ESTUDIO DINÁMICO DEL M.A.S. - MUELLES
6.
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DEL M.A.S.
7.
ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.
8.
1.
GRÁFICAMENTE
2.
POSICIONES IMPORTANTES
EL PÉNDULO FÍSICO – OTRO EJEMPLO DE M.A.S.
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CARACTERÍSTICAS:
• SE PRODUCE SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA
•OSCILANDO ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
• ES PERIÓDICO (T)
•ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER
AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
PUEDE SER:
•LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA
INDEFINIDAMENTE (NO REAL)
•AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL
SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
ADEMÁS SERÁ ARMÓNICO:
•CUANDO LAS FUERZAS RESTAURADORAS SON PROPORCIONALES A LA
SEPARACIÓN CON RESPECTO A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
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Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras.
Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas
Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la
partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa)
Amplitud – Valor máximo de separación de la partícula con respecto a la
posición de equilibrio (+)
Amplitud  Elongación
POSICIÓN DE
EQUILIBRIO
x(t)Elongación
AAMPLITUD
x(t)
x=-A
x=0
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x=A
4
GRÁFICA posición - tiempo
x(t)
A
t
-A
0
T/4 T/2 3T/4 T
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
5
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
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x=A
x(t)
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• SE PUEDE EXPRESAR INDISTINTAMENTE EN FUNCIÓN DEL COSENO O
DEL SENO
• LA DIFERENCIA ESTÁ EN LA FASE A AÑADIR
• EXISTE SIEMPRE ENTRE ELLOS UNA DIFERENCIA DE FASE DE PI/2
• LA FASE DEPENDE DE LA POSICIÓN INICIAL Y DEL SENTIDO DEL
MOVIMIENTO(VELOCIDAD)
• LA FASE PUEDE SUMARSE O RESTARSE, NORMALMENTE SE USAN
FASES MENORES A PI
• LA FASE TIENE QUE GARANTIZAR QUE PARA t=0 LA PARTÍCULA SE
ENCUENTRE EN LA POSICIÓN INICIAL, Y SE CALCULA DE LA SIGUIENTE
FORMA:
x(t )  A cos( wt   )
 x(0) 
t  0  x(0)  A cos(  )    ar cos

 A 
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x(t)  Acos(wt 
0 )
 
fase  fase inicial
fase  wt
Da lo mismo hablar de un cambio en la fase en radianes que de tiempo transcurr ido en segundos



T
fase 
es equivalent e a un tiempo t  2  " un cuarto del periodo
2
w
4


 T
fase  es equivalent e a un tiempo t   " a la mitad del periodo

w 2
Ejemplos  
3

3
2  3T " tres cuartos del periodo
fase

es
equivalent
e
a
un
tiempo
t


2
w
4


2
fase

2

es
equivalent
e
a
un
tiempo
t

 T " un periodo

w
En general para un tiempo cualquiera podemos hallar su fase
y para una fase cualquiera podemos hallar el tiempo transcurr ido
fase
 wt
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Posición
x(t) Acos(wt
 ρ)
Velocidad
dx(t)
v(t)
 Awsen(wt
 ρ)
dt
Aceleració
n
dv(t) d2x(t)
a(t)

 Aw2cos(wt
 ρ)
dt
dt2
A-Amplitud (m)
w – Pulsación ó frecuencia angular (rad/s)
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posición :
x(t )  A cos( wt   )
velocidad :
v(t )   Awsen( wt   )
Si se introduce correctame nte la fase, el signo de la velocidad inicial
tiene que ser coherente con el sentido del movimiento
aceleració n :
a (t )   Aw 2 cos( wt   )
Signo siempre contrario al de la posición
x(t)
x=-A
v=0
a=MAX(+)
x=0
v=MAX(+-)
a=0
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x=A
v=0
a=MAX(-)
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posición :
x(t )  A cos( wt   )
velocidad :
v(t )   Awsen( wt   )
Velocidad en función de la posición :
v(x)  ?  v  - Aw 1 - cos 2 ( wt   )   w A 2  A 2 cos 2 ( wt   )
v(x)  -w A 2  x 2
Esta expresión no diferencia el signo de la velocidad . solamente calcula su valor
La velocidad es nula en los extremos del movimiento
x  A ó x  -A  v  0
La veloidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio
x  0  v max  Aw (m/s)
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posición :
aceleración :
x(t )  A cos( wt   )
v(t )   Aw 2 cos( wt   )
Aceleració n en función de la posición :
a(x)  ?  a
 - w2x
La aceleració n es proporcion al a la elongación (carácterí stica del M.A.S.)
El signo de la aceleració n es siempre contrario al de la posición(r ecuperar el equilibrio )
La aceleració n es nula al pasar por la posición de equilibrio
x  0 a  0
La aceleració n es máxima en los extremos del movimiento
x  A ó x  -A  amax   Aw 2
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Posición máxima
Valor máximo   A
Velocidad máxima
Se produce cuando la posición es x  0 (equilibri o)
Valor máximo   Aw
Aceleració n máxima
Se produce cuando la posición es máxima   A
Valor máximo   Aw 2
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F  ma
F(x)   m  w 2 x(t )

F(x)   k x(t )
Caracterís ticas :
Es proporcion al a la elongación
F(x)  -kx(t)
donde k es la constante recuperado ra del movimiento
k  mw 2
en el caso de muelles , k se llama constante elástica del muelle
Unidades de k(N/m)
El signo menos indica que la fuerza es siempre contraria a la elongación
Es una fuerza recuperado ra de la posición de equilibrio .
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w - Pulsación / frecuencia angular
(rad/s)
T - Periodo del moviento
(s)
f - Frecuencia del movimiento
(s -1 )( Hz )
1 2
T 
;
f
w
w  2  f
k - Constante recuperado ra (muelles)
k  mw 2
 w
k
m
 T  2
(N/m)
m
k
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Energía potencial elástica (fuerza recuperado ra - conservati va)
Trabajo  F(x)dx   kxdx 
Energía cinética
1 2
kx 
2
Ep  1 kx2
2
1
 Ec  mv 2
2
Energía Mecánica 
Em  Ep  Ec  1 kx2  1 mv 2
2
2
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Energía cinética en función de la posición :
v(x)  -w A 2  x 2
1
1
2
2
2
Ec  mw ( A  x )  k ( A 2  x 2 )
2
2
1
1 2
2 2
Energía cinética máxima  x  0  Ec max  mw A  kA
2
2
Energía cinética mínima  x   A  Ec  0
Energía potencial en función de la posición :
Ep 
1
1
mw2 x 2  kx2
2
2
1
1
mw 2 A 2  kA2
2
2
Energía potencial mínima  x  0  Ep  0
Energía potencial máxima  x   A  Ep max 
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Energía Mecánica en función de la posición :
1 2 1
Em  Ep  Ec  kx  k ( A 2  x 2 )
2
2
Em  1 kA2
2
Es constante
No depende de la posición x (t)
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La energía potencial elástica es siempre positiva
La energía cinética es siempre positiva
La energía mecánica es la suma de las dos y es siempre constante
1
1
2
Em  kA  mw 2A 2
2
2
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Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
-A/2
0
A/2
¿? A
x(t)
ESTUDIO ENERGÉTICO EN ALGUNAS POSICIONES DEL M.A.S.
EN TODOS LOS PUNTOS LA ENERGÍA MECÁNICA ES CONSTANTE
1 2

Ep

kA

x  A  
2
 Ec  0
1 2
kA
2
Ep  0

x0 
1 2
Ec

kA

2
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Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
-A/2
0
A/2
¿? A
x(t)

1 2 1 A2 1  1 2  1
  kA   Em
Ep  kx  k
2
2 4
4 2
A

 4
x

2
2
2
 Ec  1 k ( A 2  x 2 )  1 k ( A 2  A )  1 k 3 A  3  1 kA2   3 Em
 4

2
2
4
2
4
4  2

x  ¿? para que la Ep  Ec 
1
1 1
1
1
A

Em   kA2   Ep  kx 2  kA2  x  
2
2 2
2
4
2

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Px  ma x

L
mgsen   ma x
gsen   a
x
-x
x
sen 
 g  a
L
L
M . A.S .  a   w 2 x 

2  g  w  g  T  2 L

w
x 
L
L
g
a  g 
L 
El periodo de oscilación de un péndulo solamente depende de su longitud
y del valor de la gravedad
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