Download Descripción cinemática del mvas

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El movimiento vibratorio
1 Descripción cinemática del m.v.a.s.
Física
2º BACHILLERATO
 Un sistema constituye un oscilador
armónico cuando <<oscila>> entre dos
puntos A1 y A2 equidistantes, situados
a ambos lados de la posición de
equilibrio
 Al acercarse al punto de equilibrio, el
cuerpo aumenta su velocidad, pasando
por él, a la velocidad máxima
A2
 Al alejarse del punto de equilibrio, va
disminuyendo su velocidad, de forma
que en los extremos se detiene y
cambia el sentido del movimiento, a la
velocidad máxima
A
Posición de
equilibrio
A
A1
3
El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
2 Ecuación del movimiento vibratorio armónico simple
P
A
A
 P0
t1+0
A
o x1 P’
A
t2+0
o
P’
x2
A
A
x = A cos (t+0)
P
 La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento
circular sobre una recta
- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (t+0)
- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (t+0)
 Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio
 Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre A y +A
 Fase : Describe el movimiento angular en el punto P
 Fase inicial 0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos 0
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El movimiento vibratorio
Física
3 Características del m.v.a.s. como movimiento periódico
2º BACHILLERATO
 Los movimientos que se repiten en intervalos de
tiempos iguales se denominan periódicos
P
A
 Dado que: cos  = cos ( + 2)
x = A cos t = A cos (t + 2)

A

 2

x

A
cos

t 

 

 El m.v.a.s. se repite cada período:
T

o x1 P’
 + 2
A
2

 El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se
mide en segundos (s)
 La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una
posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)

1
T


2
2
 La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)
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El movimiento vibratorio
Física
4 Posición en el movimiento vibratorio armónico simple
2º BACHILLERATO
 La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (t+0)
 Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un
seno o un coseno
X
A
t
0
t
ω
π
2
0
ω t  π 0
ω
O
3
t
-A
0
ω
2
2 0
t
ω
t
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El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
5 Velocidad en el movimiento vibratorio armónico simple
 Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (t + 0) resulta:
dx

v


A

sen
(

t

)
0
dt
sen2
+
cos2
= 1  sen (t+0) =
2
1

(

t

)

cos
0

2
2
2
2


v


A

1

(

t

)




(

t

)
cos
cos
A
A
0
0
 Como x = A cos (t+0)  x2 = A2 cos2 (t+0)
2
2
v



A
x
 La velocidad es máxima cuando x = 0
Vmáx = A 
El columpio se detiene en los extremos. En
el centro alcanza su máxima velocidad
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El movimiento vibratorio
Física
6 Aceleración del movimiento vibratorio armónico simple
X=A
x >0
v =0
a <0
x >0
v >0
a <0
x >0
v <0
a <0
2º BACHILLERATO
x =0
v >0
a =0
X=0
x =0
v <0
a =0
t1
t2
t3
x <0
v =0
a >0
x <0
v <0
a >0
X=A
t4
x <0
v >0
a >0
t5
t6
t7
t8
 Derivando la ecuación de la velocidad: v = A  sen (t + 0) resulta:
2
dv
x 2
d

a




A
cos
(

t

)

0
2
 a = 2 x
dt
d
t
Como x = A cos (t + 0)
 El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x =  A  amáx = 2 A
Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro
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El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
7 Dinámica del movimiento vibratorio armónico simple
 Según la ley de Hooke: F =  kx
 Por la segunda ley de Newton: F = m a =  m 2 x

k = m 2
 Si x = 0  F = 0 (no aparecen fuerzas)
 Si el móvil se encuentra fuera de la
posición de equilibrio, la fuerza que
actúa sobre él está dirigida desde el
punto en que se encuentra a la posición
de equilibrio
O
x

F
 La fuerza tiene el sentido contrario al
desplazamiento
2

k

m
T
x


 T2
m
k
1
1k




T
2
m
F
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El movimiento vibratorio
8 Energía cinética del oscilador armónico
 Aplicando la definición de energía cinética:
1
1
2
2
2
2

m

m
(

t

)
v

A
sen

E
c
0
2 2
 Por las relaciones trigonométricas:
1 22 2
m


E
A
x
c
2


 Si x = 0  energía cinética máxima
1 22

m

E
A
c
,
máx
2
Física
2º BACHILLERATO
1m 2 2
ωA
2
3
El movimiento vibratorio
9 Energía potencial del oscilador armónico
Física
2º BACHILLERATO
 Por tratarse de fuerzas centrales:
dEp =  F dx = kx dx
 Integrando entre dos posiciones A y B:
x
1
1
B
2
2


k
x
dx

k

k
x
x
E
E

A
B
P
,
B
P
,
B
x
A
22
 Para cada posición, la Ep es de la forma:
12
22



m
A
(

t

)
cos
E
0
P
2
 Es máxima cuando cos (t + 0) =  1
1 22


m
A
E
,
máx
P
2
1m 2 2
ωA
2
3
El movimiento vibratorio
10 Conservación de la energía mecánica en el oscilador
0 armónico
Física
2º BACHILLERATO
 La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la
energía cinética y potencial
12
12
22
2 2


m
A
(

t

)

m
(

t

)
E = Ep + Ec 
cos

A
sen

0
0
2
2
2
2
1
m
ωA
2
1 2 2 2
E

m
(

x)
ω
A
c
2
 Sacando factor común:
1
2
2
2
2



E

m
A
(

t

)

(

t

)
cos
se
0
0
2
1

 Simplificando:
12
2


E

E
E

m
A
p
c
2
1 2 2
E
m
ωx
c
2
En el oscilador armónico, la energía
mecánica permanece constante en
cualquier instante

3
El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
11 El péndulo simple como oscilador armónico
1
 Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del
otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual
 Puede considerarse como un m.a.s. si la
separación de A del punto de equilibrio es tan
pequeña como para despreciar la curvatura
de la trayectoria
Eje Y: T – Py = m an
y
L

Eje X: Px = m ax  – mg sen  = m ax
 Simplificando resulta: – g sen  = ax
 Para ángulos pequeños, sen  = 
 ax = – g 
 Sustituyendo el ángulo por el arco:
g


x
 L = x  ax
g
L
 2 
L
2x
a
T2

L
g
x
T
Px = – mg sen 
P= mg
m
Py= mg cos 

3
El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
12 Estudio energético del péndulo
2
 Cuando el péndulo está parado en uno de
los extremos de su trayectoria, toda la
energía almacenada es Ep = mgh
 Al pasar por el punto más bajo de su trayectoria, toda la energía almacenada es EC
1 2

m
E
v
c
2
E
E

mgh
p
h
 La suma de ambas indica el valor de su
energía en cualquier punto intermedio de
su trayectoria
1
2

m
g
h

m
E

E

E
v
Pc
2
 La relación entre su altura máxima y la
velocidad es:
1
2
m
g
h

m

v

2
g
h
v
2
1 2
E


m
E
v
c
2

v
3
El movimiento vibratorio
Física
13 Aplicación al cálculo del tiempo de atraso de un péndulo
3
2º BACHILLERATO
Se dice que un reloj de péndulo <<bate segundos>> cuando su manecilla avanza dos
segundos por cada oscilación completa. Suponiendo que por efecto del calor, el
péndulo se dilata en una centésima parte de su longitud, ¿cuánto atrasará el reloj
en cada hora?
2

2

Si el péndulo bate segundos, su período será: T0 = 2 s  T
0
L
g
L
L

10
L
101

2
 100

2


T
Si su longitud se dilata, su período será: T
0
g
g
100
10
Luego, TT
0
101
10


101

3


Cada 2 segundos reales se atrasa, por tanto: T

T

T

1

9
,
97
.
s
10
0 0


10


En 1 hora se retrasará:
t = 9,97 . 10-3 . 1800 = 17,9 s 
t = 17,9 s
3
El movimiento vibratorio
14 Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del
4 m.v.a.s.
Física
2º BACHILLERATO




5
sen
2
t
Una partícula lleva el movimiento dado por la expresión x
. Calcular:

4


a) La posición cuando t = 0,1 s
b) La velocidad en ese instante
c) El período, la amplitud y la frecuencia
a) Cálculo de la posición cuando t = 0,1 s

  

x = 4,167 m
x

5
sen
2
t


5
sen
2
.
0
,
1


4
,
167





4
  4

b) Cálculo de la velocidad en ese instante


  

v = 5,525 m/s
x

10
cos
2
t


10
cos
2
.
0
,
1


5
,
525





4

  4

c) Cálculo del período, amplitud y frecuencia
2
2

Período: T
T=s
  


2
Amplitud: A = 5 m
1
1 1


Hz
Frecuencia: 
  

T
3
El movimiento vibratorio
15 Aplicación al cálculo de la velocidad y aceleración
5 máxima
Física
2º BACHILLERATO
Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado
de movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y período 2 s
Partiendo de la ecuación general para la posición del punto dotado de m.v.a.s., al
efectuar la primera derivada se obtiene la velocidad, y al efectuar la segunda derivada
se obtiene la aceleración
La posición:
La velocidad:
La aceleración:


x

A
cos

t

.


v


A

sen

t

2
.


a


A
cos

t



a) Cálculo de la velocidad máxima:
A.
v
máx

2
2


  

rad
/
s
T 2
.

0
,
10


0
,
314
m
/
s
v
máx
b) Cálculo de la aceleración máxima:
2
2
2
.
.

0
,
10
m
/

a
s
a

A

máx
máx
3
El movimiento vibratorio
Física
2º BACHILLERATO
16 Aplicación al cálculo de energías de un m.v.a.s.
6
Un oscilador de 2 kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una amplitud de 3 m y comienza
su movimiento en la posición de equilibrio. ¿En qué posición se encuentra cuando
su energía potencial es la mitad de su energía cinética?
 = 2  = 80  rad/s
 La frecuencia angular de este movimiento es:
1
2
2 
2
 Si la Ec = 2Ep la energía total es: E
E
E
E

m
A


3

c
p
p
de donde la Ep será:
1
6
m
A

E
p
 Como en general, la expresión de la Ep es:
2 2
1 22

m

x
E
p
2
 Igualando y simplificando ambas expresiones:
2
2A 
x
3
x 3m
• VISTO PARA EXAMEN