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El Movimiento Vibratorio
Física 2º Bachillerato 3º
1ª
Evaluación
“El Movimiento Vibratorio”
La medida exacta del tiempo, es un problema de la máxima importancia. Para medir la
duración de un suceso, hay que compararlos con intervalos de tiempo, que puedan ser
determinados con gran precisión, como por ejemplo el tiempo que tarda un péndulo en
batir. (así se construyen algunos relojes)
Descripción Cinemática del Movimiento Vibratorio Armónico Simple
Un cuerpo está suspendido de un muelle, y en su posición de equilibrio. Si se saca el
sistema del equilibrio, comprimiendo el muelle, hasta una posición A2 , y se suelta
en ese momento, se empieza a producir un movimiento de vaivén, en el que el cuerpo
desciende y asciende, sucesivamente, entre los puntos A1 y A2 , que se encuentran
a la misma distancia A de la posición de equilibrio. El mismo efecto se produce,
cuando en lugar de comprimir, se estira el muelle.
En este movimiento, se observa que, al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo
aumenta su velocidad, pasando por él (por el equilibrio) , a la velocidad máxima.
Cuando se aleja del equilibrio, va perdiendo velocidad, de forma que en los extremos se
detiene, y , cambia el sentido del movimiento.
Un sistema constituye un oscilador armónico , cuando oscila entre dos puntos A1
y A2 , equidistantes , a ambos lados de la posición de equilibrio.
Ecuación del Movimiento Vibratorio Armónico Simple
( m. v. a. s. )
Esta ecuación se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una
recta.
Si el punto P , que parte de la posición inicial P0 , realiza un
movimiento circular uniforme, girando un ángulo θ = w . t + θ 0 , su proyección
P ` , sobre el diámetro , realiza un movimiento vibratorio armónico simple.
Cuando P se desplaza por el arco superior (semicírculo “ de arriba “ ) , en sentido
contrario a las agujas del reloj, su proyección P ` , se mueve de derecha a
izquierda; y cuando P lo hace por el arco inferior, su proyección lo hace de
izquierda a derecha.
La distancia x , a la que en cada instante se encuentra la proyección de P ` , del
punto de equilibrio O , viene dada por la expresión:
x = A cos ( w . t + θ 0 )
Si en lugar de proyectar sobre el eje X, se hace sobre el eje Y , se obtiene la ecuación:
y = A sen ( w . t + θ 0 )
La relación entre el seno y el coseno es : cos θ = sen ( θ + Π / 2 )
Así, las dos ecuaciones pueden describir un m.v.a.s. , seleccionando la fase inicial
θ 0 adecuada.
Las magnitudes que intervienen en la ecuación son :
• Elongación x. Distancia , en un instante dado, al punto de equilibrio.
• Amplitud A. Elongación máxima . El valor de x varía entre - A y + A .
• Fase θ . Describe el movimiento angular del punto P .
• Fase inicial θ 0 . Determina la elongación inicial: x 0 = x ( t = 0 ) = A cos θ 0
Características del M.V.A.S. como Movimiento Oscilatorio Periódico
En el m.v.a.s se observa que las posiciones del móvil, se repiten cada cierto tiempo.
Los movimientos que se repiten, en intervalos de tiempos iguales, se denominan
periódicos. Por ese motivo se usan las funciones trigonométricas “seno” y
“coseno” al asignarle una ecuación al m.v.a.s.
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El periodo de un movimiento armónico simple, es el tiempo que tarda en repetirse
una posición, en dicho movimiento ; su valor es :
T= 2Π/w
El periodo, por ser una magnitud temporal, se mide en segundos. La magnitud inversa
se denomina frecuencia. Se mide en s – 1 o hertzios (Hz)
La frecuencia , υ = 1 / T , indica el número de veces, que se repite una posición,
en cada segundo.
Tanto la frecuencia como el periodo, son magnitudes escalares.
w = 2Π υ .
De modo que w es la frecuencia medida en rad / s , y recibe el nombre de
frecuencia angular o pulsación.
Posición y velocidad en el M.V.A.S.
La ecuación más general de un m.v.a.s. es la que se ha obtenido anteriormente:
x = A cos ( w . t + θ 0 )
Se puede utilizar indistintamente el “seno” o el “coseno” , dependiendo del
valor de la fase inicial θ 0 .
Velocidad
Pero como
Como
La velocidad se obtiene derivando al expresión de la posición:
v = dx / dt = - A w sen ( w . t + θ 0 )
sen2 θ + cos2 θ = 1
=>
cos ( w . t + θ 0 ) = x / A
v =
=>
±A
v =
1 - cos2 ( w . t + θ 0 )
w
±
w
A2 -
x2
El signo indica el sentido de la velocidad a ambos lados del punto de equilibrio. El
valor máximo que toma la velocidad, se da para x = 0 , es decir, cuando el “móvil”
pasa por el centro
v máx = A w
La velocidad es nula en los puntos de máxima elongación, cuando x = ± A . En estos
puntos el cuerpo se detiene y su velocidad cambia de sentido, aumentando progresivamente
, hasta ser máxima en el centro; comienza a disminuir según llega a uno de los puntos
de máxima elongación y vuelve a detenerse y a cambiar de sentido.
(un columpio se detiene en los extremos, mientras que en el centro alcanza su máxima velocidad)
Aceleración en el
M.V.A.S.
La aceleración en un m.v.a.s. no es constante .
La aceleración se obtiene derivando la ecuación de la velocidad:
a = dv / dt = d2 x / dt2 = - A w2 cos ( w . t + θ 0 )
que teniendo en cuenta el valor de la elongación es:
a = - w2 x
Con lo que vemos que la aceleración es directamente proporcional a la elongación
El signo indica que cuando la elongación es positiva, la aceleración es negativa y
viceversa.
Vemos que el valor máximo de la aceleración se adquiere en los extremos, con x = ±A
 a máx = ± w 2 A
Cuando el oscilador pasa por el centro ( x = 0 ) => la aceleración es nula.
La aceleración es proporcional a la elongación : máxima en los extremos y nula en el
centro.
Como se ve, todas las ecuaciones que definen un m.v.a.s. (posición, velocidad y aceleración)
, son armónicas, con el mismo valor de la pulsación pero diferentes amplitudes.
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El Movimiento Vibratorio
Según la
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Dinámica del M.V.A.S.
ley de Hooke , la fuerza recuperadora de los sistemas elásticos, como
muelles y resortes, es de la forma :
F = - K x
donde “k” es la constante elástica del muelle, que depende sólo de las propiedades del
material con el que está fabricado.
De acuerdo con el Principio Fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton:
F = m . a ) , la fuerza que produce el movimiento armónico, será la masa del oscilador
por su aceleración.
F= m.a = - m w2 x
Si se igualan las dos expresiones que definen la fuerza, puede relacionarse la
constante “K” , con la masa y la pulsación
K = m.w2
Cuando el móvil (oscilador armónico) se encuentra en la posición de equilibrio, x = 0
, no aparecen fuerzas, Si el móvil se encuentra a uno de los lados de dicha posición, la
fuerza que actúa sobre él, es proporcional al valor de “x” (por tanto no es constante), y
el signo negativo hace que sea opuesta a la elongación. Si el oscilador cambia de lado,
también la fuerza cambiará de sentido.
Como el número “K” es positivo, al serlo “m” y “w 2 ” , la fuerza tiene el mismo
sentido que la aceleración, es decir, opuesta a la elongación, y por ello se dirige siempre
hacia el centro.
La fuerza que produce un movimiento armónico, siempre es una fuerza central y
conservativa (por ello podemos definir el concepto de EP ) . Esa fuerza está dirigida
hacia el punto de equilibrio y es proporcional a la distancia a ese punto.
De igual forma, siempre que un cuerpo esté sometido a una fuerza de este tipo y su
trayectoria sea rectilínea, puede afirmarse que su movimiento es armónico.
Puesto que el período T(magnitud escalar que se mide en segundos), es igual a 2 Π / w
( siendo “w” una magnitud vectorial denominada velocidad angular en el MCU,
perpendicular al plano de la trayectoria del móvil y sentido determinado por la regla de
la mano derecha y que se mide en radianes / segundo)
Es fácil calcular el período T del movimiento producido por un muelle de constante “K”
w = raíz cuadrada de K / m
=> T = 2 Π raíz cuadrada de m / K
La frecuencia υ de ese movimiento será υ = 1 / T
(la frecuencia es una magnitud escalar, que se mide en 1 / s ; ó s – 1 ó hertzios(Hz)
Energía Mecánica del Oscilador Armónico.
La energía mecánica de una partícula cualquiera, es la suma de sus energías cinética y
potencial.
Energía Cinética Aplicando la expresión de la Energía cinética ( E c = 1 / 2 m . v 2 )
, al oscilador armónico, se obtiene E c = 1 / 2 m w 2 A 2 sen2 ( w t + θ 0 )
Aprovechando las relaciones trigonométricas, puede escribirse como:
Ec = 1/2 m w2 ( A2 - x2 )
Se comprueba así, que esta energía puede expresarse en función de la posición “x”
en que se encuentra la partícula que oscila, de forma que si x = 0 , el valor de la
energía cinética, es el máximo posible. Esto es lógico, ya que en el centro es donde la
velocidad es máxima.
E c máxima = 1 / 2 m w 2 A 2
Energía Potencial Como las fuerzas de los m.v.a.s. son centrales, son conservativas
y puede definirse una energía potencial como d E P = - F d x = K x d x .
Que integrando entre dos posiciones A y B , llegamos a
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E P (B) - E P (A) = 1 / 2 K xB 2 - 1 / 2 K xA 2
Es decir, para cada posición, la energía potencial es de la forma E P = 1 / 2 K x 2
= 1/2mw2 x2
. Sustituyendo el valor de la elongación x = A cos ( w t + θ 0 )
Nos queda : E P = 1 / 2 m w 2 A 2 cos 2 ( w t + θ 0 )
Y su valor máximo se da cuando cos ( w t + θ 0 ) = ± 1 , es decir, en los extremos:
E P máxima = 1 / 2 m w 2 A 2
Problema: Un oscilador armónico, se encuentra en un instante en la posición x = A / 2
¿Qué relación existe entre sus energías cinética y potencial?
Solución: Ec = 3 EP
Conservación de la Energía Mecánica en el Oscilador Armónico
El oscilador armónico es un ejemplo, de intercambio alternativo, entre E c y E P
En las posiciones de elongación máxima (extremos de la trayectoria), su velocidad es
nula, y por lo tanto, su energía cinética también lo es. La única energía que posee es
potencial.
Conforme el oscilador armónico se acerca al punto de equilibrio, la velocidad aumenta
y por lo tanto aumenta la energía cinética, que será máxima en el punto medio de la
trayectoria. En este tramo del movimiento, la energía cinética ha aumentado a costa de
la energía potencial, que en ese punto vale cero. A medida que el cuerpo se aleja hacia
el otro extremo, se produce el intercambio de energía de manera contraria: la energía
cinética disminuye transformándose en energía potencial, que alcanza su máximo en el
extremo.
Es decir, en los extremos sólo posee Energía potencial y en el punto
central sólo posee Energía Cinética .
Si hacemos una representación gráfica , con la energía potencial en el eje de
ordenadas (eje “y”) y la elongación (“x”) en el eje de abscisas , observamos que
nos queda una parábola , hacia arriba, con su extremo en (0,0) , y los extremos en
los puntos - A y + A
(siendo “A” , la amplitud del m.v.a.s.).
Si llevamos a cabo ahora la representación de la energía cinética en la misma
gráfica, nos queda una parábola, pero hacia abajo, también con los extremos en los
puntos - A y + A .
La energía total que tiene el oscilador en cada instante, es la suma de la energía
cinética y de la potencial
E = E P + E c = 1 / 2 m w 2 A 2 cos 2( w t + θ 0 ) + 1 / 2 m w 2 A 2 sen2 ( w t + θ 0 )
Sacando factor común se obtiene E = 1 / 2 m w 2A 2 [cos2(w t + θ 0) + sen2(w t + θ0)]
que se simplifica E = E P + E c = 1 / 2 m w 2 A 2 .
Esta expresión es igual que la de la energía cinética máxima y la de la energía potencial
máxima, lo que demuestra el intercambio total entre la energía cinética y la potencial.
En el oscilador armónico, la energía mecánica, suma de su energía potencial y su
energía cinética, es la misma en cualquier instante ( se conserva) .
El Péndulo Simple como Oscilador Armónico.
Un péndulo simple consiste en un hilo inextensible de masa despreciable, suspendido
de un extremo; del otro extremo pende un cuerpo de masa “m” (la masa es una
magnitud escalar que se mide en kilogramos) , y tamaño, suficientemente pequeño,
como para poder considerarlo puntual.
La masa está en equilibrio, cuando en ausencia de movimiento, el hilo se encuentra en
posición vertical, ya que las dos fuerzas que actúan sobre ella, el peso “P” , y la
tensión “T” del hilo, se anulan.
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Si se separa la masa una pequeña distancia A , hacia uno de los lados , y se deja
suelta, oscila a ambos lados del punto de equilibrio entre A y - A . Puede
considerarse este como un movimiento vibratorio armónico simple, si la separación A
del punto de equilibrio, es tan pequeña, como para despreciar la curvatura de la
trayectoria (aproximación para ángulos pequeños)
Descomponiendo en los ejes del movimiento las fuerzas que actúan sobre la masa,
fuera de la posición de equilibrio, y aplicando la 2ª ley de Newton a cada eje:
Eje y : T (vector) + Py (vector) = m . an (vector)
(siendo an la aceleración normal, que es un magnitud vectorial siempre dirigida
hacia el centro de la trayectoria y con unidades metro / segundo 2 )
Eje x : Px (vector) = m . ax (vector ) => - m g sen θ = m ax
(siendo ax la aceleración tangencial , que es una magnitud vectorial, como todas
las aceleraciones, que es tangente a la trayectoria en cada punto y con sentido el del
movimiento y unidades metro / segundo 2 )
Así tendríamos para el eje x
- g sen θ = ax
Al trabajar con ángulos pequeños, se puede comprobar que sen θ ≈ tag θ ≈
θ
sin cometer un gran error, por lo que ax = - g θ
Si la longitud del péndulo es “L” :
θ ≈ tag θ = x / L => ax = - g x / L
que comparándola con la aceleración de un m.v.a.s.: a = - w2 x
indica que el movimiento de un péndulo, es como el de un oscilador armónico con w2=g/L
Y como w = 2 Π / T , si despejamos T de la expresión en negrita, nos queda
T = 2 Π raíz cuadrada de L / g (solo para ángulos muy pequeños)
Como vemos, el periodo de un péndulo (que es lo que haría adelantar o atrasar a un
reloj de péndulo) , sólo depende de la longitud del péndulo y de la gravedad del lugar
en donde se encuentre ese reloj de péndulo.
El periodo de oscilación de un péndulo simple, es independiente de la amplitud de las
oscilaciones y de su masa. (pero si depende de la gravedad del lugar)
Ejercicio: Si se duplica la longitud de un péndulo ¿qué le ocurre a su periodo?
Solución: Se multiplica por raíz de dos.
Estudio Energético del Péndulo.
Como se ha demostrado, el movimiento del péndulo para pequeñas amplitudes
comparadas con su longitud, es casi rectilíneo y armónico simple. Como en todo
movimiento de este tipo, se conserva la Energía Mecánica.
Observando un péndulo, se aprecia perfectamente, que cuando está parado en uno de los
extremos de su trayectoria, toda la energía que en ese momento almacena de forma
potencial ( E P = m g hmáx. ) , se transforma en cinética ( E c = 1 / 2 m vmáx.2 ) , al
pasar por el punto más bajo de su trayectoria, con el máximo de su velocidad.
(Estamos tomando como origen de alturas el punto más bajo de la trayectoria).
Debido a que la energía total se conserva, esta ha de ser igual a la energía potencial
máxima en su posición más alejada, o a la energía cinética máxima , en su posición
central.
E c = 1 / 2 m vmáx.2 = E P = m g hmáx.
Con lo que despejando :
vmáx.2 = 2 g hmáx.
Esta relación es la misma que la de caída libre de un cuerpo, desde la altura h
(sale de nuestra fórmula para un M.R.U.A.
v 2 = v02 + 2 g e )
Se observa que si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos altura y su velocidad
máxima también es inferior. De ahí que, aunque la distancia recorrida sea menor, el
tiempo invertido es el mismo. Por eso el periodo del péndulo no depende de la
amplitud.
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