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Fenómenos de Trensporte I
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
1.3 Fluidos no−newtonianos
2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)
Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos sencillos. Velocidad
media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.
2.1 Balances de envolventes de cantidad de movimiento Condiciones límite, estado
estacionario.
2.2 Flujo de una película descendente. Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las
coordenadas cartesianas.
2.3 Flujo a través de un tubo circular. Presión y fuerzas de gravedad, empleo de
coordenadas cilíndricas.
2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite.
2.5 Flujo a través de una rejilla vertical. Coordenadas cartesianas.
2.6 Película descendente por el exterior de un tubo. Coordenadas cilíndricas.
2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo interior. Coordenadas
cilíndricas.
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida. Coordenadas esféricas.
1
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
El experimento de Reynolds(1883) con agua fluyendo en una tubería transparente. Se
inyecto un chorro de tinta negra en la dirección del flujo y se observan dos situaciones
diferentes:
1. A velocidades del agua suficientemente bajas la tinta fluye en líneas rectas y paralelas.
2. A velocidades mayores la masa entera de agua se colorea. Las partículas hipotéticas
individuales del líquido, en lugar de fluir de manera ordenada y paralela al eje longitudinal
de la tubería, fluyen de manera errática causando el mezclado completo de la tinta y el
agua.
El primer tipo de flujo se llama laminar o flujo de líneas de corriente. El movimiento se
semeja a láminas de espesor infintesimal deslizándose en relación a las capas de fluido
adyacentes.
Fig. 1.1. Flujo laminar
El segundo tipo de flujo se llama flujo turbulento. El movimiento del fluido es irregular y
es acompañado por fluctuaciones locales de la velocidad.
a) b)
Fig 1.2. Flujo turbulento
En a) se muestra la trayectoria errática de la partícula durante un intervalo de tiempo.
En b) se muestra que la velocidad en un punto fijo del fluido, , fluctúa al azar alrededor de
un valor promedio temporal:
Reynolds sugirió el parámetro
cilíndricos.
como el criterio para predecir el tipo de flujo en tubos
donde
D: Diámetro de la tubería
2
−
V : Velocidad promedio del fluido
: Viscosidad cinemática
El parámetro es adimensional y se le llama número de Reynolds, Re. El valor de Re al cual
ocurre la transición de laminar a turbulento es de 2100.
Fig. 1.3. Perfiles de velocidad en los
regímenes laminar y turbulento
En la figura se muestra la distribución de velocidades para ambos regímenes de flujo. En
ambos tipos de flujo la velocidad del fluido en la interfase fluido−pared es cero. Para el
flujo laminar el perfil de velocidades es parabólico y para el flujo turbulento, la curva del
perfil de velocidades en más achatada en la parte media
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
Considérese un fluido contenido entre dos placas paralelas separadas una pequeña distancia
(Y)
t=0
tpequeño
tgrande
Fig. 1.4. Flujo laminar de un fluido entre dos placas paralelas.
La placa superior se encuentra fija y la inferior se pone en movimiento al tiempo t = 0. Por
experiencia se sabe que el fluido adyacente a las placas tendrá la misma velocidad que las
placas.
Así pues, el fluido adyacente a la placa inferior se mueve con una velocidad V, en tanto que
el adyacente a la placa superior tiene una velocidad nula.
A medida que pasa el tiempo el fluido gana movimiento y finalmente se alcanza un estado
estacionario, en el cual, con el fín de mantener la placa en movimiento, se debe aplicar una
fuerza constante F y dada por la siguiente expresión:
3
F
V
A = Y
F: Fuerza de corte
F/A: Esfuerzo cortante
De forma más general,
dvx
Ley de
Newton de la
viscosidad
yx =   dy
Donde
yx es el esfuerzo de corte entre dos láminas delgadas de fluido
dvx
dy es el gradiente de velocidad o velocidad de deformación
 es la viscosidad del fluido
Unidades de la viscosidad
En el sistema cgs
1 poise (P) = 1 dina·s/cm2 = gm/cm·s
El centipoise, cP, es la unidad más común. Algunas viscosidades usuales son (a 20 oC):
Aire
Benceno
Agua
Glicerina
Viscosidad
0.018 cP
0.647 cP
1 cP
1070 cP
Otras unidades
1 cP = 2.42 lbm/h·ft
1 cP = 2.09 10−5 lbf·s/ft2
1 cP = 6.72 10−4 lbm/ft·s
Ejemplo. En referencia a la fig 1.4 calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento
en estado estacionario, yx, expresada en kgf /m2, cuando la velocidad V de la lámina
inferior, en la dirección positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las láminas, Y,
0.0003 m, y la viscosidad del fluido,  , 0.7 cP.
Soln.:
Convertimos todos los datos a unidades de kgf -m-s
4
Como el perfil de velocidades es lineal,
Observar que el momentum (ganancia en velocidad o cantidad de movimiento) se transfiere
en la dirección negativa del gradiente.
Esto tiene una correspondencia literal con los fenómenos de conductividad de calor y
difusividad de especies químicas:
∂T
qy = − k ∂y
Ley de Fourier de
la conducción de
calor
∂xA
jAy = − cDAB ∂y
Ley de Fick de la
difusividad
qy
jAy
yx
Densidad de flujo de calor
Densidad de flujo de flujo molar de la especie A
Densidad de flujo de cantidad de movimiento
Notar que estas expresiones son de naturaleza empírica, y, salvo para el caso de gases
ideales, no tienen un fundamento teórico, las constantes de proporcionalidad (, k y DAB)
deben obtenerse mediante métodos experimentales.
Otra magnitud empleada en fenómenos de flujo es la viscosidad cinemática, que se define:
 = /
Unidades en el sistema cgs
5
1 stoke = 1 cm2/s
El centistoke es la unidad más común. El agua tiene una viscosidad cinemática de 1
centistoke.
1.2 Fluidos no−newtonianos
De acuerdo a la ley de Newton de la viscosidad, la gráfica del esfuerzo de corte contra el
gradiente de velocidad debe ser una línea recta que pasa por el origen.
Esto es verdadero para todos los gases y una gran parte de los líquidos no poliméricos de
una sola fase. A este tipo de fluidos se les conoce como newtonianos.
Sin embargo un gran número de fluidos no tienen ese comportamiento como se puede
apreciar en la siguiente gráfica.
− Plásticos: Goma,
asbestos
− Seudoplásticos: purés,
pulpa de papel
− Newtonianos: agua,
aceite
−Dilatantes: arenas, jaleas
Fig. 1.5 Curvas de esfuerzo−velocidad
de deformación para fluidos independientes
.
del tiempo.  = − dvx/dy
La reología es una disciplina de la ciencia que estudia el comportamiento mecánico (flujo y
deformación) de gases, líquidos y sólidos incluyendo a los gases y líquidos newtonianos en
un extremo y los sólidos hookianos por el otro
El comportamiento reológico de la mayoría de los fluidos en la figura se puede expresar de
forma generalizada como
dvx
yx = −  dy
Flujo newtoniano
generalizado
donde  ya no es constante y puede ser función del gradiente de velocidad o del esfuerzo.
De la figura vemos que
− si  disminuye al aumentar el gradiente tenemos un comportamiento pseudoplástico
((ccaattssuupp,, ssuussppeennssiioonneess
− si  aumenta al aumentar el gradiente tenemos un fluido dilatante ((aarreennaass m
moovveeddiizzaass,,
jjaalleeaass))
6
− si  es independiente de la velocidad de deformación el comportamiento es newtoniano
con  = .
− Los fluidos que requieren un esfuerzo de corte finito para iniciar el flujo se denominan
plásticos de Bingham. Ejemplos de este tipo son la pasta de dientes y las suspensiones de
polvo fino de carbón en agua.
Modelo
Ecuación
 yx   0
Bingham
dv x
0
dy
dv x
0
dy
si  yx   0
si  yx   0
dv
 m x
dy
n 1
dv x
dy
Ostwald−de Waele
 yx
Eyring
 yx  A  arcsenh  
Ellis



1 dv x 

 B dy 

 1
dv x
  0  1  yx
 yx
dy
7
Modelo
Reiner−Philippoff
Ecuación








dv
1
  yx
 x 
dy     0    
2
 
  yx  

 
1  


s

 

Fluidos viscoelásticos
Este tipo de fluidos no se comportan como fluidos newtonianos generalizados, ya que sus
propiedades dependen del tiempo. Exhiben recuperación elástica después de una
deformación, esto es, recuperan su conformación original en contraste con los fluidos
newtonianos generalizados, que no se recuperan.
Dentro de los fluidos viscoelásticos se encuentran:
Fluidos tixotrópicos. La viscosidad disminuye con el tiempo y se aproxima a un valor
asintótico al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante.
Fluidos reopécticos. La viscosidad aumenta con el tiempo.
La siguiente tabla muestra ejemplos comunes de los diferentes tipos de fluidos.
Tabla 1.1. Ejemplos de fluidos comunes exhibiendo diversas características reológicas.
Newtonianos
Agua
Aceites minerales
No−newtonianos
Seudoplásticos Plásticos
Salsa catsup
Goma de
mascar
Hidrocarburos
Tinta
para Asbesto
impresión
en aceite
Soluciones salinas Pulpa de papel
acuosas
Suspensiones
ligeras de tintes
Tixotrópicos
Gel de sílice
Reopécticos Dilatantes
Bentonita
Arena
movediza
La mayoría de las Yeso
en Mantequilla
pinturas
agua
de cacahuate
Pegamento
Jaleas
Melaza
Manteca
Jugos concentrados
de frutas naturales
Asfaltos
8
1.3 Influencia de la presión y la temperatura sobre la viscosidad
Para los líquidos, la viscosidad depende mucho de la temperatura debido a que las fuerzas
de cohesión desempeñan un papel dominante; véase la figura 1.9.
En muchos casos las curvas se aproximan con la ecuación de Andrade:
A y B son constantes ajustables (T debe estar en unidades absolutas).
, donde
En el caso de un gas son los choques moleculares los que originan los esfuerzos internos,
de modo que, al aumentar la temperatura y con ella la actividad molecular, la viscosidad
aumenta. Esto se observa en la fig. 10.
9
Tarea. La viscosidad del agua a 20°C es de 0.001 N·s/m2, y a 80°C es de 0.000357 N·s/m2.
Utilizando la ecuación de Andrade estime la viscosidad del agua a 40°C. Determine el
porcentaje de error. Sugerencia: Utilice temperatura absoluta.
Cuando se carece de datos experimentales de viscosidad y no se dispone de tiempo para
obtenerlos, ésta se puede estimar por métodos empíricos usando otros datos de la sustancia
en cuestión.
Un método, que usa una correlación basada en el análisis de un gran número de datos
experimentales de diferentes fluidos, se fundamenta en el principio de estados
correspondientes.
La fig. 1.3-1 es una representación de la viscosidad reducida, r = /c (que es la
viscosidad a una cierta T y P, dividida por la viscosidad en el punto crítico), frente a la Tr y
la Pr.
Se observa que la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura,
mientras que la de un líquido disminuye al aumentar ésta.
Si no se dispone de c, se puede estimar por dos métodos:
a) conociendo el valor de  a ciertas Tr y pr, de ser posible a las condiciones lo más
cercanas a las que se desean, c se calcula con c = /r.
b) conociendo sólo los valores críticos de p-V-T, c se estima con
ó
donde
c [=] micropoises
pc [=] atm
Tc [=] K
[=] mL/gmol
10
Ejm 1.3-1. Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades críticas.
Calcule la viscosidad del N2 a 50°C y 854 atm, siendo M = 28.0 g/gmol, pc = 33.5 atm y Tc
= 126.2 K.
Soln.:
189.1 micropoises = 189.1× 10-6 g/(cm·s)
De la fig. 1.3-1 se lee
El valor estimado de la viscosidad es
g/(cm·s)
El valor experimental es 455 × 10-6 g/(cm·s)
Ejm 1.3-2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases.
La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3°C es 1800×10-7 poise. Estime el valor de la
viscosidad a 114.6 atm y 40.3°C utilizando la fig.1.3-1
Soln.:
;
De la fig.:
Para la otra presión
De la fig.:
g/(cm·s)
El valor experimental es 5.8 × 10-4 g(cm·s)
11
Tarea. Prediga la viscosidad del oxígeno, nitrógeno y metano a presión atmosférica y 20°C.
Use la ec. anterior (para estimar c) y la fig. 1.3-1. Exprese los resultados en cP.
Tarea. Estimar la viscosidad del N2 a 20°C y 67 atm. Expresar el resultado en kgm/(m·s).
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2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)
Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos sencillos. Velocidad
media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.
Ley de Newton de la viscosidad
Balance de cantidad de movimiento
(unidimensionales)
Condiciones límite
Perfiles de velocidad
Velocidad media
Flujo
Esfuerzo cortante en superficies
Metodología general
1. Análisis del problema físico
2. Modelo matemático del problema
3. Solución matemática
4. Interpretación física del resultado
Tipo de problemas
Flujo en estado estacionario
Estado estacionario:
Las condiciones en cada punto del sistema no cambian
con el tiempo.
Una fotografía en tiempo = t es igual a otra tomada a t + t
Geometrías simples
Flujo newtoniano
Flujo unidimensional
2.1 Balances envolventes de cantidad de movimiento.
Condiciones límite, estado estacionario.
Balance de cantidad de movimiento aplicado a una delgada capa de fluido (estado
estacionario)
(2.1.1)
velocidad de entrada
velocidad de salida de
de cantidad de
cantidad de movimiento
movimiento
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suma de las fuerzas
= 0 que actúan sobre el
sistema
por transporte de acuerdo a la
expresión newtoniana
(transporte difusivo o
Cantidad de movimiento
molecular)
+
por movimiento global del
fluido (convectivo)
Fuerzas:
Fuerzas de presión (actuando sobre superficies)
Fuerzas de gravedad (actúan sobre el volumen)
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso:
− Escribir el balance de cantidad de movimiento de acuerdo a la ec. (2.1.1) para una
envoltura de espesor finito.
− Se hace tender a cero el espesor y, empleando la noción de derivada, se obtiene la
ecuación diferencial que describe la distribución de densidad de flujo de cantidad de
movimiento.
− Se introduce la expresión newtoniana para la densidad de flujo de cantidad de
movimiento y se obtiene una ecuación diferencial para la distribución de velocidad.
− Se integran las ecuaciones para obtener los perfiles de esfuerzos y velocidad.
− Se calculan las magnitudes de interés (velocidad promedio, esfuerzo en superficies límite,
etc.).
Condiciones límite para la integración de ecuaciones diferenciales de flujo:
a. En las interfases sólido−fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se
mueve la superficie; es decir, se supone que el fluido está adherido a la pared sólida con la
que se halla en contacto
b. En las interfases líquido−gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento y por
consiguiente el gradiente de velocidad en la fase líquida es cero.
c. En las interfases líquido−líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento,
como la velocidad, son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos
lados de la interfase
2.2 Flujo de una película descendente.
14
Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas
Flujo de una película que desciende por una superficie inclinada
Fig. 2.1. Flujo de una película bajo la acción de la gravedad.
Capa de espesor x sobre la que se aplica el balance de cantidad
de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.
Aplicación
− Torres de pared mojada
− Evaporación de película delgada
− Absorción de gases
− Aplicación de capas de pintura
Se hace el balance de cantidad de movimiento en una lámina de ancho W, Longitud L y
espesor x:
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en x
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en x + x
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en z = 0
(LW)xz│x
(LW)xz│x + x
(Wxvz)(vz)│z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en z = L
(Wxvz)(vz)│z = L
Fuerza de gravedad que actúa
sobre el fluido
(LWx)(g cos )
Note que las direcciones de «entrada» y «salida» se toman en las direcciones positivas de
los ejes x y z.
15
Sustituyendo los términos en la ecuación del balance (2.1.1),
(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (Wxv z)│z = 0 −
2
(Wxv z)│z = L + LWx)(g cos ) = 0
2
ya que vz vale lo mismo para z = 0 que para z = L, los términos 3 y 4 se anulan y la ecuación
queda,
(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (LWx)(g cos ) = 0
dividiendo entre LWx, cambiando de signo, y tomando el límite cuando x tiende a cero.
 │
− xz│x
lím xz x + x
= g cos 
x→ 0
x
esto es,
d




dx xz = g cos 
Ec. diferencial para la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
Integrando la ecuación se obtiene
xzgx cos c1
La constante de integración se evalúa con la C.L. correspondiente a la interfase
líquido−gas:
C.L. 1:
x=0
xz

Sustituyendo en (3) se obtiene c1 = 0. Por lo tanto la distribución de la densidad de flujo de
cantidad de movimiento es
xzgx cos 





Ya que el fluido es newtoniano, la densidad de flujo de cantidad de movimiento se
relaciona con el gradiente de velocidad mediante
dvz
xz = −  dx
Sustituyendo en la ecuación (2.2.2),
dvz
g cos 
=
−
x
dx

(2.2.3)
Ec. diferencial para la
distribución de velocidad
que puede integrarse para obtener
16
vz = −
g cos  2
x + c2
2
La constante de integración se evalúa con la condición límite correspondiente a la interfase
sólido−fluido
C.L. 2:
x=
vz = 0
g cos  2
De aquí se obtiene que c2 =

2
Por consiguiente, la distribución de velocidad es
vz =
g2 cos 
[1 − (x/)2 ]
2
(2.2.4)
Perfil parabólico de velocidades
Ya que se tiene la distribución de velocidad se pueden calcular las siguientes cantidades,
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz>
iii) El flujo volumétrico Q
iv) El espesor de la película en función de la
velocidad media
v) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la
superficie
i) La velocidad máxima, vz,máx
Por el perfil parabólico, es evidente que la velocidad máxima ocurre en x = 0; por tanto
g2 cos 
vz,máx =
2
ii) La velocidad media < vz>
Se calcula sumando todas las velocidades en una sección transversal y dividiendo por el
área de dicha sección:
W

∫0 ∫0
< vz> =
W
vz dx dy

∫0 ∫0

=

dx dy

∫0
vz dx
Sustituyendo vz,
17

 g 2 cos 
< vz> =
∫0 [1 − (x/)2]dx

2
pasando 1/ al término integral y definiendo la nueva variable de integración como x/:
< vz> =
g2 cos 
2

∫0
[1 − (x/)2]d(
La integral produce

x
∫ [1 − (x/)2]d( ) =
x

∫0

0
=

]
1
−
0
x/)3

]
x
d( ) −

x
)


∫0
(x/)2d(
(2.2.5)
x
)

1
= 1 − 1/3
0
= 2/3
sustituyendo en ec. 2.2.5
g2 cos 
< vz> =
3
iii) El flujo volumétrico Q
Se puede calcular a partir de la velocidad media:
Q = W<vz>
Q=
Wg3 cos 
3
(2.2.6)
iv) El espesor de la película en función de la velocidad media.
De la expresión de la velocidad media
3< vz>
=
g cos 
v) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
Se obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase
fluido−sólido.
L
Fz =
W
∫0 ∫0
xz│x =  dy dz
De la ecuación del perfil de esfuerzos, ec 2.2.2
18
L
=
∫0 ∫0
L
=
W
gx cos │x =  dy dz
W
∫0 ∫0
g cos  dy dz
L
= g cos 
W
∫0 ∫0
dy dz
= LWg cos 
Esta cantidad es la componente en z del peso de todo el fluido contenido en la película.
Experimentalmente se ha encontrado que para paredes verticales se tienen los siguientes
regímenes de flujo.
Flujo laminar sin ondulaciones
Flujo laminar con ondulaciones
Flujo turbulento
Re < 4 a 25
4 a 25 < Re < 1000 a 2000
Re > 1000 a 2000
Donde Re = 4<vz>/
2.3 Flujo a través de un tubo circular
Presión y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilíndricas
Flujo de fluidos en tuberías. Problema muy común en las áreas:
− Ingeniería
− Física
− Química
− Biología
Se desea conocer el perfil de esfuerzos y velocidades, el flujo, caída de presión y esfuerzo
en la interfase sólido−fluido.
El flujo laminar se puede analizar mediante el balance de cantidad de movimiento, ec.
(2.1.1). Para este problema es más conveniente emplear coordenadas cilíndricas.
Considérese el arreglo siguiente:
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Fig 2.2. Elemento cilíndrico de un fluido sobre el cual
se aplica el balance de cantidad de movimiento.
Bases del análisis
− Estado estacionario
− Flujo laminar
− No existen efectos finales
− Operación isotérmica (densidad y viscosidad constantes)
Eligiendo una envoltura cilíndrica de espesor r y longitud L, los términos del balance de
cantidad de movimiento son
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie cilíndrica situada en r
(2rL)rz│r
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la superficie
cilíndrica situada en r + r
(2rL)rz│r + r
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento debida al flujo de
entrada a través de la superficie
situada en z = 0
(2rrvz)(vz)│z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento debida al flujo de
salida a través de la superficie
situada en z = L
(2rrvz)(vz)│z = L
20
Fuerza de gravedad que actúa
sobre el fluido
(2rrL)g
Fuerza de presión que actúa
sobre la superficie anular
situada en z = 0
(2rr)p0
Fuerza de presión que actúa
sobre la superficie anular
situada en z = L
− (2rr)pL
Las direcciones de entrada y salida deben tomarse siempre en la dirección positiva de los
ejes.
Sustituyendo en el balance de cantidad de movimiento
(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrv z)│z = 0 − (2rrv z )│z = L
+ (2rr)p0 − (2rr)pL = 0
2
2
+ (2rrL)g
Ya que el fluido es incompresible vz no cambia con z, los términos 3 y 4 se anulan entre sí.
(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrL)g +(2rr)p0
− (2rr)pL = 0
Dividiendo entre 2Lr:
rrz│r − rrz│r + r
+ gr +(r/L)p0 − (r/L)pL = 0
r
rrz│r + r − rrz│r
p0 − pL
= ( L
+ g) r
r
Tomando límites
rrz│r + r − rrz│r
p0 − pL
=( L
+ g) r
r
d
p0 − pL
r

+ g) r
rz = (
dr
L
lím
r→ 0
Rearreglando los términos de presión
d
(p0 + gL) − (pL + 0)
dr rrz = [
L
]r=(
P0 − PL
)r
L
21
P0 − PL
d
r

)r
rz = (
dr
L
Ec. diferencial de densidad de flujo
de cantidad de movimiento
donde P = p + gh (Efecto combinado de presión estática y
o
P = p − gz fuerza de gravitación). h debe ser medida
"hacia arriba" desde un plano cualquiera
que se toma como referencia. En este
caso z = L
Resolviendo la ec. diferencial
P0 − PL
d(rrz) = ( L
) rdr
P0 − PL r2
rrz = ( L
) 2 + c1
P0 − PL
c1
rz = ( 2L ) r + r
Notar que c1 debe ser cero ya que el esfuerzo sería infinito cuando r sea cero. Entonces,

P0 − PL
rz = ( 2L ) r
Distribución de la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
Para obtener el perfil de velocidad sustituimos la ley de Newton de la viscosidad,
P0 − PL
dvz
rz = −  dr = ( 2L ) r
P0 − PL
dvz
=
−
(
)r
dr
2L
Ec. diferencial para la velocidad
Integrando,
vz = − (
P0 − PL
) r2 + c2
4L
22
Para evaluar la constante se emplea la condición límite de que la velocidad en la interfase
es cero,
C.L. vz = 0
en r = R
sustituyendo en la expresión de vz,
c2 = (
P0 − PL
) R2
4L
Por lo tanto
vz = (
P0 − PL
P0 − PL
)
R2 − (
) r2
4L
4L
P0 − PL
)(R2 − r2)
4L
(P0 − PL )R2
vz =
[1− (r/R)2]
4L
=(
Perfil de velocidades para el
flujo en tubos cilíndricos
Fig. 2.3. Distribuciones de velocidad y densidad de flujo de
cantidad de moviento para el flujo en tubos cilíndricos.
Se desean calcular las siguientes magnitudes
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumétrico Q
iv) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la
superficie mojada de la tubería
23
Solución:
i) La velocidad máxima, vz,máx
Esta tiene lugar para r = 0, esto es,
(P0 − PL )R2
vz,máx =
4L
ii) La velocidad media < vz>
Se suman todas las velocidades en una sección transversal y se divide por el área de dicha
sección
2
< vz > =
R
∫0 ∫0
2
vz r dr d
R
∫0 ∫0
R
∫0
R
vz r dr =
∫0
r dr d
(P0 − PL )(R2 − r2)
r dr
4L
R
R
(P0 − PL )
[
R2 ∫ rdr − ∫ r3dr ]
4L
0
0
(P0 − PL )
=
[R2( R2/2) − (R4/4)]
4L
(P0 − PL )
(P0 − PL )R4
4
=
[R /4] =
4L
16L
Entonces,
=
(P0 − PL )R4
∫0 ∫0 vz r dr d 16L
(P0 − PL )R4


16L
2
R
2
∫0
d
Por otra parte
R
∫0
2
r dr = R2/2
R
∫0 ∫0
2
r dr d R /2
2
∫0
d = 2 (R2/2)
Por consiguiente la expresión para vz queda,
24
(P0 − PL )R4
< vz > =
16L
R2/2
(P0 − PL )R2
< vz > =
8L
Notar que < vz > = vz,máx / 2
iii) El flujo volumétrico Q
Es el producto del área por la velocidad media, por lo tanto
(P0 − PL )R2
Q = Aflujo< vz > = R
8L
2
(P0 − PL )R4
Q=
8L
Ley de Hagen Poiseville
Relaciona el flujo con las fuerzas que originan
dicho flujo (fuerzas gravitacionales y de
presión)
iv) El componente−z de la fuerza Fz del fluido sobre la
superficie mojada de la tubería.
Es el esfuerzo evaluado en la interfase por el área:
dvz
Fz = 2RL (−  dr )│r = R
De la ec. diferencial para la velocidad:
P0 − PL
dvz
│
)R
r=R = − (
dr
2L
La fuerza es entonces,
P0 − PL
Fz = 2RL (
)R
2L
Fz = R2 (P0 − PL)
Este resultado indica que las fuerzas debidas a la presión y gravedad se equilibran
exactamente con las fuerzas viscosas que tienden a oponerse al movimiento del fluido.
Experimentalmente se ha encontrado que para el flujo en tuberías, el flujo laminar se
presenta para Re (= D < v > ) < 2 100
25
Resumen de suposiciones en el desarrollo de la Ley de Hagen−Poiseville
a) El flujo es laminar (Re < 2 100)
b) La densidad es constante
c) Estado estacionario
d) El fluido es newtoniano
e) Efectos finales despreciables
2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite
− Coordenadas cilíndricas
− condiciones límite
− estado estacionario
− fluido newtoniano
− Aplicaciones:
intercambiadores de calor de doble tubo
reómetros (medición de viscosidad)
Fig. 2.4 Flujo ascendente a través de
dos tubos concéntricos.
Se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilíndrica, y se
llega a la misma ecuación diferencial que se obtuvo en el caso de un tubo cilíndrico vertical
P0 − PL
d
r

)r
(2.4.1)
rz = (
dr
L
Esta ecuación se integra directamente para dar
rrz = (
P0 − PL r2
) 2 + c1
L
26
rz = (
P0 − PL
c1
2L ) r + r
(2.4.2)
Evaluación de c1:
Sabemos que la velocidad del fluido en las paredes que lo rodean es cero y por lo tanto su
velocidad alcanzó un máximo en algún punto intermedio, digamos r = R.
Consecuentemente, la densidad de flujo de cantidad de movimiento (el esfuerzo) fué cero
en ese punto:
P0 − PL
c1
rz = ( 2L ) R +
=0
R
P0 − PL
de aquí, c1 = − ( 2L ) (R)2
Entonces la ec. 2.4.2 queda:
P0 − PL
2
−
(
P0 − PL
2L ) (R)
rz = ( 2L ) r +
r
2
2
P0 − PL
R
= 2L (r − r )
(P0 − PL)R r
2R
rz =
(
−

2L
R
r )
(2.4.3)
Sustituyendo la expresión de Newton de la viscosidad,
dvz (P0 − PL)R
−  dr =
2L
(P0 − PL)R
dvz
=
−
dr
2L
( Rr
( Rr
R
− 2 r )
R
− 2 r )
(2.4.4)
Ec. diferencial para la distribución
de velocidades
Integrando (2.4.4)
(P0 − PL)R r2
vz = −
( 2R − 2Rln r + c2)
2L
nos interesa que nuestra variable independiente sea r/R por lo que
multiplicamos y dividimos por R
27
(P0 − PL)R2
r2
vz = −
( 2R2 − 2ln r + c2')
2L
(P0 − PL)R2 r2
= −
( R2 − 22ln r + c2")
4L
sumando y restando −2 ln R,
(P0 − PL)R2
r 2
2
"'
vz = −
[
(
R ) − 2 ln (r/R) + c2 ]
4L
(2.4.5)
Ahora se evaluarán las constantes de integración  y c2"' con las siguientes condiciones
límite
para r =  R
para r = R
C.L. 1:
C.L. 2:
vz = 0
vz = 0
Sustituyendo ambas condiciones en la ec. (2.4.5)
(P0 − PL)R2
0=−
[  2 − 22ln () + c2"']
4L
(P0 − PL)R2
0=−
[ 1 + c2"']
4L
de la última ecuación, se ve que c2"' = −1. Sustituyendo en la primera:
0 =  2 − 22ln () −1
de aquí,
0 =  2 + 22ln (1/) −1
1−2
2 =
ln (1/)
2
(2.4.6)
Sustituyendo estos valores en las ecs. de esfuerzos y velocidad, ec. 2.4.3 y 2.4.5:
(P0 − PL)R r
(1 −  2) R
rz =
[ R − 2 ln (1/) r ]
(2.4.7)
2L
vz =
(P0 − PL)R2
r
[
1−(R
4L
2
)
+
(1 −  2)
ln (r/R) ]
ln (1/)
(2.4.8)
28
Observar que cuando  se hace cero estas ecuaciones se transforman en las
correspondientes al tubo cilíndrico.
Ya que se tienen los perfiles de esfuerzos y velocidades, se desean obtener las siguientes
magnitudes:
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumétrico Q
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.
i) La velocidad máxima, vz,máx
(P0 − PL)R2
(1 − 2)
vz,máx = vz│r = R =
[ 1 − 2 +
ln () ]
4L
ln (1/)
de la ec. 2.4.6
1 1 − 2
2 = 2
ln (1/)
y también
1
1 − 2
ln  = 2 ln
2ln (1/)
sustituyendo en la expresión para vz,máx
(P0 − PL)R2
1 1 − 2
(1 − 2) 1
1 − 2
vz,máx =
[
1− 2
+
ln
]
4L
ln (1/)
ln (1/) 2
2ln (1/)
(P0 − PL)R2
1 − 2
1 − 2
=
1−
[1 − ln 2ln (1/) ]
4L
2ln (1/)
{
}
ii) La velocidad media < vz >
2
< vz > =
R
∫0 ∫R vz r dr
2
d
R
∫0 ∫R
r dr d
Evaluamos primero la integral
(P0 − PL)R2
∫ vz r dr = 4L
R
R
R
r
2
∫ [1 − ( R )
R
+
(1 − 2)
ln (r/R) ]r dr
ln (1/)
A
1
= A{ 2 r2
R
│−
R
1 4
4R2 r
R
│+
R
(1 − 2)
ln (1/)
R
∫ ln(r/R)r dr}
R
29
1
1
(1 − 2)
= A{ 2 R2(1 −  2) − 4 R2(1 − 4) +
ln (1/)
1
factorizando A 4 R2(1 − 2) = B
R
1 − 4
4
∫R vz r dr = B 2 − 1 − 2 + R2 ln 1/
[
Evaluando por partes la integral
R
r2
r2 1
∫ ln(r/R)r dr = [ 2 ln r/R − ∫ 2 r dr]
R
u = ln r/R ; dv = r dr
R dr
1
r2
du = r ( R ) = r dr ; v = 2
R
r2
1
∫R ln(r/R)r dr = ( 2 ln r/R − 2
2
r
1
= ( 2 ln r/R − 4 r2)
∫
∫
R
R
ln(r/R)r dr }
R
R
ln(r/R)r dr
]
(2.4.9)
R
│
R
R
∫ r dr) │
R
R
│
R
R
r2
1
= 2 (ln r/R − 2 ) │
R
R2
1
2R2
1
= 2 (− 2 ) − 2 (ln  − 2 )
R2
1
1
= 2 [ − 2 − 2(ln  − 2 )]
∫
R
R
vz r dr =
= B{ 2 −
1 − 4
4
R2
+
1 − 2
R2 ln 1/ 2
= B{ 2 −
1 − 4
2
1
1
[ − 2 − 2(ln  − 2 )]}
2 +
1 − 
ln 1/
= B{ 2 −
1 − 4
1
2
2
1
− 2 [(
ln  −
)]}
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
ln 1/ 2
[−
1
1
2
−

(ln

−
2
2 )]}
1 − 4
1
2
1
− 2 [−
ln 1/ −
]}
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
ln 1/
1 − 4
1
1
= B{ 2 −
− 2 [−2 −
]}
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
= B{ 2 −
30
= B[ 2 −
1 − 4
1
2
2
−
+
2

+
]
1 − 2
ln 1/
ln 1/
1 − 4
1 − 2
−
+ 22)
1 − 2
ln 1/
(22 + 2)(1− 2) − (1 − 4)
1 − 2
= B[
−
]
2
1 − 
ln 1/
22 − 24 + 2 − 22 − 1 + 4
1 − 2
= B[
−
]
1 − 2
ln 1/
1 − 4
1 − 2
= B[
−
]
1 − 2
ln 1/
= B(2 −
Por otra parte,
R
r2
∫ r dr = 2
R
R
R2
│ = 2 (1 − 2)
R
Sustituyendo en ec. para <vz> y considerando que la velocidad no es función de :
<vz> = B[
1 − 4
1 − 2
2 −
1 − 
ln 1/
sustituyendo B = A
]
1 2
R (1 − 2)
4
1
A 4 R2(1 − 2)
1 − 4
1 − 2
<vz> = R2
−
1 − 2
ln 1/
2
(1
−

)
2
A 1 − 4
1 − 2
= 2 [
−
]
1 − 2
ln 1/
[
]
Sustituyendo el valor de A
(P0 − PL)R2 1 − 4
1 − 2
<vz> =
[
−
]
8L
1 − 2
ln 1/
iii) El flujo volumétrico Q
El área de flujo está dada por
A = R2 − (R)2 = R2 (1 − 2)
El flujo es entonces
Q = A<vz> =R2 (1 − 2) <vz>
31
(P0 − PL)R4
=
8L
[ 1− 4 −
(1 − 2 )2
]
ln 1/
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.
Se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los cilindros exterior e interior:
Fz = − rz│r = R ·2RL+ rz│r = R·2RL
(P0 − PL)R
(1 − 2) 1
=−
[

−
]· 2RL +
2L
2 ln (1/) 
(P0 − PL)R
2L
(1 − 2)
[1 − 2 ln (1/) ]· 2RL
(1 − 2)
(1 − 2)
= R2(P0 − PL)(− 2 +
+1−
)
2 ln (1/)
2 ln (1/)
= R2(P0 − PL)(1− 2)
Tarea
2.5 Flujo laminar en una rejilla estrecha.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por dos paredes planas separadas por una
distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las
expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento
(momentum) y de velocidad.
P0 − PL
xz = ( L
)x
(P0 − PL )B2
vz =
[1− (x/B)2]
2L
En las que P = p + gh = p − gz.
¿Cuál es la relación de la velocidad media a la máxima en la rendija? Obtener la ecuación
de flujo para la rendija (equivalente a la ley de Hagen−Poiseville).
Respuesta:
3
2
2 (P0 − PL)WB
<vz> = 3 vz, máx
;
Q= 3
L
32
Fig. 2.5. Flujo a través de una rendija.
2.6 Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo cilíndrico.
En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un
pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo (Véase
figura).
Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r,
tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de «entrada de cantidad de
movimiento» y «salida de cantidad de movimiento» se toman siempre en la dirección r
positiva, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la
dirección r negativa.
a. Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los
efectos finales) es
vz
=gR
4
2
[1
−
( r )2 +
R
2a2
ln( r
R
)
]
b. Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.
33
Fig. 2.6. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de
movimiento para una película que desciende por el exterior
de un tubo cilíndrico.
2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo interior.
Considere el sistema de la figura. La varilla cilíndrica se mueve con velocidad V. La varilla
y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en el estado estacionario y la
velocidad volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presenta en el recubrimiento de
alambres con barniz.
vz
ln (r/R)
R2V 1 −  2
Respuesta: V =
; Q= 2 (
− 22)
ln 
ln (1/)
Fig 2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial
del cilindro interior.
34
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida
Puesto que el problema de flujo alrededor de una esfera implica líneas de flujo curvas, no
puede resolverse por las técnicas que hemos visto en este capítulo. Sin embargo, lo
trataremos brevemente sin deducir las expresiones pertinentes.
Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que asciende verticalmente
hacia una esfera de radio R y diámetro D. El fluido tiene una viscosidad μ y una densidad ρ
y asciende a una velocidad uniforme v∞.
Analíticamente se ha encontrado que para un flujo lento la distribución de la densidad de
flujo de cantidad de movimiento es
(2.8-1)
La distribución de presión es
(2.8-2)
Y los componentes de la velocidad son
(2.8-3)
(2.8-4)
En (2.8-2) p0 es la presión el el plano z = 0 alejado de la esfera,
−ρgz es la contribución del peso del fluido (efecto hidrostático),
Y el término que contiene v∞ es la contribución debida al flujo alrededor de la esfera.
35
Estas ecuaciones son válidas para flujo reptante, es decir para
. Cuando
no hay remolinos aguas abajo de la esfera.
Observe que las ecuaciones satisfacen las condiciones límite para
r = R y r = ∞.
Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por el fluido sobre la esfera
resulta en
(2.8-5)
{Fuerza de flotación} {Resistencia de forma}
Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se obtiene
{Resistenca de fricción}
(2.8-6)
Sumando las ecs. 2.8-5 y 2.8-6 se tiene
(2.8-7)
{Fuerza estática} {Fuerza cinética}
La fuerza estática (de flotación o sedimentación) se ejerce aunque el fluido esté en reposo.
36
La fuerza cinética, que resulta del movimiento del fluido, es la conocida ley de Stokes.
37