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Fenómenos de Trensporte I
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
1.3 Fluidos no−newtonianos
2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de
momentum)
Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos
sencillos. Velocidad media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante
en la superficie.
2.1 Balances de envolventes de cantidad de movimiento
Condiciones límite, estado estacionario.
2.2 Flujo de una película descendente. Papel de las fuerzas de
gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas.
2.3 Flujo a través de un tubo circular. Presión y fuerzas de
gravedad, empleo de coordenadas cilíndricas.
2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite.
2.5 Flujo a través de una rejilla vertical. Coordenadas cartesianas.
2.6 Película descendente por el exterior de un tubo. Coordenadas
cilíndricas.
2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo
interior. Coordenadas cilíndricas.
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida. Coordenadas
esféricas.
1
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
Reynolds (1883): Experimentos con agua fluyendo en una tubería
transparente. Se inyecta un chorro de tinta negra en la dirección del
flujo y se observan dos situaciones diferentes:
1. A velocidades del agua suficientemente bajas la tinta fluye en
líneas rectas y paralelas.
2. A velocidades mayores la masa entera de agua se colorea. Las
partículas hipotéticas individuales del líquido, en lugar de fluir de
manera ordenada y paralela al eje longitudinal de la tubería, fluyen
de manera errática causando el mezclado completo de la tinta y el
agua.
El primer tipo de flujo se llama laminar o flujo de líneas de
corriente. El movimiento se semeja a láminas de espesor
infintesimal deslizándose en relación a las capas de fluido
adyacentes.
Fig. 1.1. Flujo laminar
El segundo tipo de flujo se llama flujo turbulento. El movimiento
del fluido es irregular y es acompañado por fluctuaciones locales de
la velocidad.
a)
b)
Fig 1.2. Flujo turbulento
En a) se muestra la trayectoria errática de la partícula durante un
intervalo de tiempo.
En b) se muestra que la velocidad en un punto fijo del fluido, ,
fluctúa al azar alrededor de un valor promedio temporal:
Reynolds sugirió el parámetro
como el criterio para predecir el
tipo de flujo en tubos cilíndricos.
donde
D: Diámetro de la tubería
2
−
V : Velocidad promedio del fluido
: Viscosidad cinemática
El parámetro es adimensional y se le llama número de Reynolds,
Re. El valor de Re al cual ocurre la transición de laminar a
turbulento es de 2100.
Fig. 1.3. Perfiles de velocidad en los
regímenes laminar y turbulento
En la figura se muestra la distribución de velocidades para ambos
regímenes de flujo. En ambos tipos de flujo la velocidad del fluido
en la interfase fluido−pared es cero. Para el flujo laminar el perfil
de velocidades es parabólico y para el flujo turbulento, la curva del
perfil de velocidades en más achatada en la parte media
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
Considérese un fluido contenido entre dos placas paralelas
separadas una pequeña distancia (Y)
t=0
tpequeño
tgrande
Fig. 1.4. Flujo laminar de un fluido entre dos placas paralelas.
La placa superior se encuentra fija y la inferior se pone en
movimiento al tiempo t = 0. Por experiencia se sabe que el fluido
adyacente a las placas tendrá la misma velocidad que las placas.
Así pues, el fluido adyacente a la placa inferior se mueve con una
velocidad V, en tanto que el adyacente a la placa superior tiene una
velocidad nula.
A medida que pasa el tiempo el fluido gana movimiento y
finalmente se alcanza un estado estacionario, en el cual, con el fín
de mantener la placa en movimiento, se debe aplicar una fuerza
constante F y dada por la siguiente expresión:
3
F
V
=

A
Y
F: Fuerza de corte
F/A: Esfuerzo cortante
De forma más general,
dvx
yx =   dy
Ley de
Newton de la
viscosidad
Donde
yx es el esfuerzo de corte entre dos láminas delgadas de fluido
dvx
dy es el gradiente de velocidad o velocidad de deformación
 es la viscosidad del fluido
Unidades de la viscosidad
En el sistema cgs
1 poise (P) = 1 dina·s/cm2 = gm/cm·s
El centipoise, cP, es la unidad más común. Algunas viscosidades
usuales son (a 20 oC):
Aire
Benceno
Agua
Glicerina
Viscosidad
0.018 cP
0.647 cP
1 cP
1070 cP
Otras unidades
1 cP = 2.42 lbm/h·ft
1 cP = 2.09 10−5 lbf·s/ft2
1 cP = 6.72 10−4 lbm/ft·s
Ejemplo. En referencia a la fig 1.4 calcule la densidad de flujo de
cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en
kgf /m2, cuando la velocidad V de la lámina inferior, en la dirección
positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las láminas, Y,
0.0003 m, y la viscosidad del fluido,  , 0.7 cP.
Soln.:
Convertimos todos los datos a unidades de kgf -m-s
4
Como el perfil de velocidades es lineal,
Observar que el momentum (ganancia en velocidad o cantidad de
movimiento) se transfiere en la dirección negativa del gradiente.
Esto tiene una correspondencia literal con los fenómenos de
conductividad de calor y difusividad de especies químicas:
Ley de Fourier de
la conducción de
calor
∂T
qy = − k ∂y
jAy = − cDAB
qy
jAy
yx
∂xA
∂y
Ley de Fick de la
difusividad
Densidad de flujo de calor
Densidad de flujo de flujo molar de la especie A
Densidad de flujo de cantidad de movimiento
Notar que estas expresiones son de naturaleza empírica, y, salvo
para el caso de gases ideales, no tienen un fundamento teórico, las
constantes de proporcionalidad (, k y DAB) deben obtenerse
mediante métodos experimentales.
Otra magnitud empleada en fenómenos de flujo es la viscosidad
cinemática, que se define:
 = /
Unidades en el sistema cgs
1 stoke = 1 cm2/s
5
El centistoke es la unidad más común. El agua tiene una viscosidad
cinemática de 1 centistoke.
1.2 Fluidos no−newtonianos
De acuerdo a la ley de Newton de la viscosidad, la gráfica del
esfuerzo de corte contra el gradiente de velocidad debe ser una
línea recta que pasa por el origen.
Esto es verdadero para todos los gases y una gran parte de los
líquidos no poliméricos de una sola fase. A este tipo de fluidos se
les conoce como newtonianos.
Sin embargo un gran número de fluidos no tienen ese
comportamiento como se puede apreciar en la siguiente gráfica.
− Plásticos: Goma,
asbestos
− Seudoplásticos: purés,
pulpa de papel
− Newtonianos: agua,
aceite
−Dilatantes: arenas, jaleas
Fig. 1.5 Curvas de esfuerzo−velocidad
de deformación para fluidos independientes
.
del tiempo.  = − dvx/dy
La reología es una disciplina de la ciencia que estudia el
comportamiento mecánico (flujo y deformación) de gases, líquidos
y sólidos incluyendo a los gases y líquidos newtonianos en un
extremo y los sólidos hookianos por el otro
El comportamiento reológico de la mayoría de los fluidos en la
figura se puede expresar de forma generalizada como


yx = − 
dvx
dy
Flujo newtoniano
generalizado
donde  ya no es constante y puede ser función del gradiente de
velocidad o del esfuerzo.
De la figura vemos que
− si  disminuye al aumentar el gradiente tenemos un
comportamiento pseudoplástico ((ccaattssuupp,, ssuussppeennssiioonneess
− si  aumenta al aumentar el gradiente tenemos un fluido
dilatante ((aarreennaass m
moovveeddiizzaass,, jjaalleeaass))
− si  es independiente de la velocidad de deformación el
comportamiento es newtoniano con  = .
6
− Los fluidos que requieren un esfuerzo de corte finito para iniciar
el flujo se denominan plásticos de Bingham. Ejemplos de este tipo
son la pasta de dientes y las suspensiones de polvo fino de carbón
en agua.
Modelo
Ecuación
 yx   0
Bingham
dv x
0
dy
dv x
0
dy
si  yx   0
si  yx   0
dv
 m x
dy
n 1
dv x
dy
Ostwald−de Waele
 yx
Eyring
 yx  A  arcsenh  
Ellis

Reiner−Philippoff




dv
1
 x 

dy    0   
2
 
  yx 


1  

 s 



1 dv x 

 B dy 

 1
dv x
  0  1  yx
 yx
dy




  yx





7
Fluidos viscoelásticos
Este tipo de fluidos no se comportan como fluidos newtonianos
generalizados, ya que sus propiedades dependen del tiempo.
Exhiben recuperación elástica después de una deformación, esto
es, recuperan su conformación original en contraste con los fluidos
newtonianos generalizados, que no se recuperan.
Dentro de los fluidos viscoelásticos se encuentran:
Fluidos tixotrópicos. La viscosidad disminuye con el tiempo y se
aproxima a un valor asintótico al aplicar repentinamente un
esfuerzo cortante.
Fluidos reopécticos. La viscosidad aumenta con el tiempo.
La siguiente tabla muestra ejemplos comunes de los diferentes tipos
de fluidos.
Tabla 1.1. Ejemplos de fluidos comunes exhibiendo diversas
características reológicas.
Newtonianos
Agua
Aceites minerales
Hidrocarburos
Soluciones salinas
acuosas
Suspensiones
ligeras de tintes
Seudoplásticos Plásticos
Salsa catsup
Goma de
mascar
Tinta para
Asbesto
impresión
en aceite
Pulpa de papel
No−newtonianos
Tixotrópicos
Reopécticos Dilatantes
Gel de sílice
Bentonita
Arena
movediza
La mayoría de las
Yeso en
Mantequilla
pinturas
agua
de cacahuate
Pegamento
Jaleas
Melaza
Manteca
Jugos concentrados
de frutas naturales
Asfaltos
1.3 Influencia de la presión y la temperatura sobre la viscosidad
Para los líquidos, la viscosidad depende mucho de la temperatura
debido a que las fuerzas de cohesión desempeñan un papel
dominante; véase la figura 1.9.
8
En muchos casos las curvas se aproximan con la ecuación de
Andrade:
, donde A y B son constantes ajustables (T
debe estar en unidades absolutas).
En el caso de un gas son los choques moleculares los que originan
los esfuerzos internos, de modo que, al aumentar la temperatura y
con ella la actividad molecular, la viscosidad aumenta. Esto se
observa en la fig. 10.
9
Tarea. La viscosidad del agua a 20°C es de 0.001 N·s/m2, y a 80°C
es de 0.000357 N·s/m2. Utilizando la ecuación de Andrade estime
la viscosidad del agua a 40°C. Determine el porcentaje de error.
Sugerencia: Utilice temperatura absoluta.
Cuando se carece de datos experimentales de viscosidad y no se
dispone de tiempo para obtenerlos, ésta se puede estimar por
métodos empíricos usando otros datos de la sustancia en cuestión.
Un método, que usa una correlación basada en el análisis de un
gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, se
fundamenta en el principio de estados correspondientes.
La fig. 1.3-1 es una representación de la viscosidad reducida, r =
/c (que es la viscosidad a una cierta T y P, dividida por la
viscosidad en el punto crítico), frente a la Tr y la Pr.
Se observa que la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta
con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye al
aumentar ésta.
Si no se dispone de c, se puede estimar por dos métodos:
a) conociendo el valor de  a ciertas Tr y pr, de ser posible a
las condiciones lo más cercanas a las que se desean, c se
calcula con c = /r.
b) conociendo sólo los valores críticos de p-V-T, c se estima
con
ó
donde
c [=] micropoises
pc [=] atm
Tc [=] K
[=] mL/gmol
Ejm 1.3-1. Estimación de la viscosidad a partir de las
propiedades críticas.
Calcule la viscosidad del N2 a 50°C y 854 atm, siendo M = 28.0
g/gmol, pc = 33.5 atm y Tc = 126.2 K.
Soln.:
189.1 micropoises = 189.1× 10-6 g/(cm·s)
10
De la fig. 1.3-1 se lee
El valor estimado de la viscosidad es
g/(cm·s)
El valor experimental es 455 × 10-6 g/(cm·s)
Ejm 1.3-2. Efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases.
La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3°C es 1800×10-7 poise.
Estime el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3°C utilizando la
fig.1.3-1
Soln.:
;
De la fig.:
Para la otra presión
De la fig.:
g/(cm·s)
El valor experimental es 5.8 × 10-4 g(cm·s)
Tarea. Prediga la viscosidad del oxígeno, nitrógeno y metano a
presión atmosférica y 20°C. Use la ec. anterior (para estimar c) y
la fig. 1.3-1. Exprese los resultados en cP.
Tarea. Estimar la viscosidad del N2 a 20°C y 67 atm. Expresar el
resultado en kgm/(m·s).
11
12
2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de
momentum)
Cálculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geométricos
sencillos. Velocidad media y máxima, el flujo y el esfuerzo cortante
en la superficie.
Ley de Newton de la viscosidad
Balance de cantidad de movimiento
(unidimensionales)
Condiciones límite
Perfiles de velocidad
Velocidad media
Flujo
Esfuerzo cortante en superficies
Metodología general
1. Análisis del problema físico
2. Modelo matemático del problema
3. Solución matemática
4. Interpretación física del resultado
Tipo de problemas
Flujo en estado estacionario
Estado estacionario:
Las condiciones en cada punto del sistema no cambian
con el tiempo.
Una fotografía en tiempo = t es igual a otra tomada a t + t
Geometrías simples
Flujo newtoniano
Flujo unidimensional
2.1 Balances envolventes de cantidad de movimiento.
Condiciones límite, estado estacionario.
Balance de cantidad de movimiento aplicado a una delgada capa de
fluido (estado estacionario)
(2.1.1)
velocidad de entrada
velocidad de salida de
de cantidad de
cantidad de movimiento
movimiento
13
+
Cantidad de movimiento
suma de las fuerzas
= 0
que actúan sobre el
sistema
por transporte de acuerdo a la
expresión newtoniana
(transporte difusivo o
molecular)
por movimiento global del
fluido (convectivo)
Fuerzas:
Fuerzas de presión (actuando sobre superficies)
Fuerzas de gravedad (actúan sobre el volumen)
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo
viscoso:
− Escribir el balance de cantidad de movimiento de acuerdo a la
ec. (2.1.1) para una envoltura de espesor finito.
− Se hace tender a cero el espesor y, empleando la noción de
derivada, se obtiene la ecuación diferencial que describe la
distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento.
− Se introduce la expresión newtoniana para la densidad de flujo
de cantidad de movimiento y se obtiene una ecuación diferencial
para la distribución de velocidad.
− Se integran las ecuaciones para obtener los perfiles de esfuerzos
y velocidad.
− Se calculan las magnitudes de interés (velocidad promedio,
esfuerzo en superficies límite, etc.).
Condiciones límite para
diferenciales de flujo:
la
integración
de
ecuaciones
a. En las interfases sólido−fluido, la velocidad del fluido es igual a
la velocidad con que se mueve la superficie; es decir, se supone que
el fluido está adherido a la pared sólida con la que se halla en
contacto
b. En las interfases líquido−gas, la densidad de flujo de cantidad de
movimiento y por consiguiente el gradiente de velocidad en la fase
líquida es cero.
c. En las interfases líquido−líquido, tanto la densidad de flujo de
cantidad de movimiento, como la velocidad, son continuas a través
de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la
interfase
14
2.2 Flujo de una película descendente.
Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas
cartesianas
Flujo de una película que desciende por una superficie inclinada
Fig. 2.1. Flujo de una película bajo la acción de la gravedad.
Capa de espesor x sobre la que se aplica el balance de cantidad
de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.
Aplicación
− Torres de pared mojada
− Evaporación de película delgada
− Absorción de gases
− Aplicación de capas de pintura
Se hace el balance de cantidad de movimiento en una lámina de
ancho W, Longitud L y espesor x:
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en x
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en x + x
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en z = 0
(LW)xz│x
(LW)xz│x + x
(Wxvz)(vz)│z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la
superficie situada en z = L
(Wxvz)(vz)│z = L
Fuerza de gravedad que actúa
sobre el fluido
(LWx)(g cos )
Note que las direcciones de «entrada» y «salida» se toman en las
direcciones positivas de los ejes x y z.
Sustituyendo los términos en la ecuación del balance (2.1.1),
15
(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (Wxv z)│z = 0 −
2
(Wxv z)│z = L + LWx)(g cos ) = 0
2
ya que vz vale lo mismo para z = 0 que para z = L, los términos 3 y
4 se anulan y la ecuación queda,
(LW)xz│x − (LW)xz│x + x + (LWx)(g cos ) = 0
dividiendo entre LWx, cambiando de signo, y tomando el límite
cuando x tiende a cero.
 │
− xz│x
lím xz x + x
= g cos 
x→ 0
x
esto es,
d




dx xz = g cos 
Ec. diferencial para la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
Integrando la ecuación se obtiene
xzgx cos c1
La constante de integración se evalúa con la C.L. correspondiente a
la interfase líquido−gas:
C.L. 1:
x=0
xz

Sustituyendo en (3) se obtiene c1 = 0. Por lo tanto la distribución de
la densidad de flujo de cantidad de movimiento es
xzgx cos 





Ya que el fluido es newtoniano, la densidad de flujo de cantidad de
movimiento se relaciona con el gradiente de velocidad mediante
dvz
xz = −  dx
Sustituyendo en la ecuación (2.2.2),
dvz
g cos 
=
−
x
dx

(2.2.3)
Ec. diferencial para la
distribución de velocidad
que puede integrarse para obtener
g cos  2
vz = −
x + c2
2
La constante de integración se evalúa con la condición límite
correspondiente a la interfase sólido−fluido
C.L. 2:
x=
vz = 0
16
De aquí se obtiene que c2 =
g cos  2

2
Por consiguiente, la distribución de velocidad es
g2 cos 
[1 − (x/)2 ]
2
vz =
(2.2.4)
Perfil parabólico de velocidades
Ya que se tiene la distribución de velocidad se pueden calcular las
siguientes cantidades,
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz>
iii) El flujo volumétrico Q
iv) El espesor de la película en función de la
velocidad media
v) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la
superficie
i) La velocidad máxima, vz,máx
Por el perfil parabólico, es evidente que la velocidad máxima
ocurre en x = 0; por tanto
g2 cos 
2
vz,máx =
ii) La velocidad media < vz>
Se calcula sumando todas las velocidades en una sección
transversal y dividiendo por el área de dicha sección:
W
< vz> =

∫0 ∫0
vz dx dy

W
∫0 ∫0

=

dx dy

∫0
vz dx
Sustituyendo vz,

 g 2 cos 
< vz> =
∫0 [1 − (x/)2]dx

2
pasando 1/ al término integral y definiendo la nueva variable de
integración como x/:
< vz> =
g2 cos 
2

∫0
[1 − (x/)2]d(
x
)

(2.2.5)
17
La integral produce

x
∫ [1 − (x/)2]d( ) =

0

∫0
d(
x
=

x
)−

]
1
0

∫0
(x/)2d(
x/)3
−

]
x
)

1
= 1 − 1/3
0
= 2/3
sustituyendo en ec. 2.2.5
g2 cos 
< vz> =
3
iii) El flujo volumétrico Q
Se puede calcular a partir de la velocidad media:
Q = W<vz>
Q=
Wg3 cos 
3
(2.2.6)
iv) El espesor de la película en función de la velocidad media.
De la expresión de la velocidad media
3< vz>
=
g cos 
v) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
Se obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de
movimiento sobre la interfase fluido−sólido.
L
Fz =
W
∫0 ∫0
xz│x =  dy dz
De la ecuación del perfil de esfuerzos, ec 2.2.2
L
=
L
=
W
∫0 ∫0
gx cos │x =  dy dz
W
∫0 ∫0
g cos  dy dz
L
= g cos 
W
∫0 ∫0
dy dz
= LWg cos 
Esta cantidad es la componente en z del peso de todo el fluido
contenido en la película.
18
Experimentalmente se ha encontrado que para paredes verticales se
tienen los siguientes regímenes de flujo.
Flujo laminar sin ondulaciones
Flujo laminar con ondulaciones
Flujo turbulento
Re < 4 a 25
4 a 25 < Re < 1000 a 2000
Re > 1000 a 2000
Donde Re = 4<vz>/
2.3 Flujo a través de un tubo circular
Presión y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilíndricas
Flujo de fluidos en tuberías. Problema muy común en las áreas:
− Ingeniería
− Física
− Química
− Biología
Se desea conocer el perfil de esfuerzos y velocidades, el flujo, caída
de presión y esfuerzo en la interfase sólido−fluido.
El flujo laminar se puede analizar mediante el balance de cantidad
de movimiento, ec. (2.1.1). Para este problema es más conveniente
emplear coordenadas cilíndricas.
Considérese el arreglo siguiente:
Fig 2.2. Elemento cilíndrico de un fluido sobre el cual
se aplica el balance de cantidad de movimiento.
Bases del análisis
− Estado estacionario
− Flujo laminar
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− No existen efectos finales
− Operación isotérmica (densidad y viscosidad constantes)
Eligiendo una envoltura cilíndrica de espesor r y longitud L, los
términos del balance de cantidad de movimiento son
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a través de la
superficie cilíndrica situada en r
(2rL)rz│r
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a través de la superficie
cilíndrica situada en r + r
(2rL)rz│r + r
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento debida al flujo de
entrada a través de la superficie
situada en z = 0
(2rrvz)(vz)│z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento debida al flujo de
salida a través de la superficie
situada en z = L
(2rrvz)(vz)│z = L
Fuerza de gravedad que actúa
sobre el fluido
(2rrL)g
Fuerza de presión que actúa
sobre la superficie anular
situada en z = 0
(2rr)p0
Fuerza de presión que actúa
sobre la superficie anular
situada en z = L
− (2rr)pL
Las direcciones de entrada y salida deben tomarse siempre en la
dirección positiva de los ejes.
Sustituyendo en el balance de cantidad de movimiento
(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrv z)│z = 0 − (2rrv z )│z = L
+ (2rrL)g + (2rr)p0 − (2rr)pL = 0
2
2
Ya que el fluido es incompresible vz no cambia con z, los términos
3 y 4 se anulan entre sí.
(2rL)rz│r − (2rL)rz│r + r + (2rrL)g +(2rr)p0
− (2rr)pL = 0
Dividiendo entre 2Lr:
20
rrz│r − rrz│r + r
+ gr +(r/L)p0 − (r/L)pL = 0
r
rrz│r + r − rrz│r
p0 − pL
= ( L
+ g) r
r
Tomando límites
lím
r→ 0
rrz│r + r − rrz│r
p0 − pL
=( L
+ g) r
r
d
p0 − pL
r

+ g) r
rz = (
dr
L
Rearreglando los términos de presión
d
(p0 + gL) − (pL + 0)
dr rrz = [
L
]r=(
P0 − PL
)r
L
P0 − PL
d
r

)r
rz = (
dr
L
Ec. diferencial de densidad de flujo
de cantidad de movimiento
donde P = p + gh (Efecto combinado de presión estática y
o
P = p − gz fuerza de gravitación). h debe ser medida
"hacia arriba" desde un plano cualquiera
que se toma como referencia. En este
caso z = L
Resolviendo la ec. diferencial
P0 − PL
d(rrz) = ( L
) rdr
P0 − PL r2
rrz = ( L
) 2 + c1
P0 − PL
c1

rz = ( 2L ) r + r
Notar que c1 debe ser cero ya que el esfuerzo sería infinito cuando r
sea cero. Entonces,


P0 − PL


rz = ( 2L ) r
Distribución de la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
21
Para obtener el perfil de velocidad sustituimos la ley de Newton de
la viscosidad,
P0 − PL
dvz
rz = −  dr = ( 2L ) r
P0 − PL
dvz
=
−
(
)r
dr
2L
Ec. diferencial para la velocidad
Integrando,
vz = − (
P0 − PL
) r2 + c2
4L
Para evaluar la constante se emplea la condición límite de que la
velocidad en la interfase es cero,
C.L. vz = 0
en r = R
sustituyendo en la expresión de vz,
c2 = (
P0 − PL
) R2
4L
Por lo tanto
vz = (
P0 − PL
4L
) R2 − (
P 0 − PL
4L
) r2
P0 − PL
)(R2 − r2)
4L
(P0 − PL )R2
vz =
[1− (r/R)2]
4L
=(
Perfil de velocidades para el
flujo en tubos cilíndricos
22
Fig. 2.3. Distribuciones de velocidad y densidad de flujo de
cantidad de moviento para el flujo en tubos cilíndricos.
Se desean calcular las siguientes magnitudes
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumétrico Q
iv) El componente−z de la fuerza F del fluido sobre la
superficie mojada de la tubería
Solución:
i) La velocidad máxima, vz,máx
Esta tiene lugar para r = 0, esto es,
(P0 − PL )R2
vz,máx =
4L
ii) La velocidad media < vz>
Se suman todas las velocidades en una sección transversal y se
divide por el área de dicha sección
2
R
∫0 ∫0
< vz > =
2
vz r dr d
R
∫0 ∫0
R
∫0
R
vz r dr =
∫0
r dr d
(P0 − PL )(R2 − r2)
r dr
4L
R
R
(P0 − PL )
2
=
[R ∫0 rdr − ∫0 r3dr ]
4L
(P0 − PL )
=
[R2( R2/2) − (R4/4)]
4L
(P0 − PL )
(P0 − PL )R4
4
=
[R /4] =
4L
16L
23
Entonces,
2
R
∫0 ∫0

vz r dr d
(P0 − PL )R4
2
∫
16L
0
4
(P0 − PL )R


16L

d
Por otra parte
R
∫0
2
r dr = R2/2
R
∫0 ∫0
2
r dr d R2/2
∫0
d = 2 (R2/2)
Por consiguiente la expresión para vz queda,
(P0 − PL )R4
< vz > =
16L
R2/2
(P0 − PL )R2
< vz > =
8L
Notar que < vz > = vz,máx / 2
iii) El flujo volumétrico Q
Es el producto del área por la velocidad media, por lo tanto
(P0 − PL )R2
Q = Aflujo< vz > = R
8L
2
(P0 − PL )R4
Q=
8L
Ley de Hagen Poiseville
Relaciona el flujo con las fuerzas que originan
dicho flujo (fuerzas gravitacionales y de
presión)
iv) El componente−z de la fuerza Fz del fluido sobre la
superficie mojada de la tubería.
Es el esfuerzo evaluado en la interfase por el área:
dvz
Fz = 2RL (−  dr )│r = R
De la ec. diferencial para la velocidad:
24
P0 − PL
dvz
│
)R
r=R = − (
dr
2L
La fuerza es entonces,
P0 − PL
Fz = 2RL (
)R
2L
Fz = R2 (P0 − PL)
Este resultado indica que las fuerzas debidas a la presión y
gravedad se equilibran exactamente con las fuerzas viscosas que
tienden a oponerse al movimiento del fluido.
Experimentalmente se ha encontrado que para el flujo en tuberías,
el flujo laminar se presenta para Re (= D < v > ) < 2 100
Resumen de suposiciones en el desarrollo de la Ley de
Hagen−Poiseville
a) El flujo es laminar (Re < 2 100)
b) La densidad es constante
c) Estado estacionario
d) El fluido es newtoniano
e) Efectos finales despreciables
2.4 Flujo a través de un anillo cilíndrico. Condiciones límite
− Coordenadas cilíndricas
− condiciones límite
− estado estacionario
− fluido newtoniano
− Aplicaciones:
intercambiadores de calor de doble tubo
reómetros (medición de viscosidad)
Fig. 2.4 Flujo ascendente a través de
dos tubos concéntricos.
25
Se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada
envoltura cilíndrica, y se llega a la misma ecuación diferencial que
se obtuvo en el caso de un tubo cilíndrico vertical
P0 − PL
d
r

)r
(2.4.1)
rz = (
dr
L
Esta ecuación se integra directamente para dar
rrz = (

rz = (

P0 − PL r2
) 2 + c1
L
P0 − PL
c1
)
r
+
2L
r
(2.4.2)
Evaluación de c1:
Sabemos que la velocidad del fluido en las paredes que lo rodean es
cero y por lo tanto su velocidad alcanzó un máximo en algún punto
intermedio, digamos r = R. Consecuentemente, la densidad de
flujo de cantidad de movimiento (el esfuerzo) fué cero en ese
punto:
P0 − PL
c1

rz = ( 2L ) R +
=0
R
P0 − PL
de aquí, c1 = − ( 2L ) (R)2
Entonces la ec. 2.4.2 queda:

−(
P0 − PL
2
2L ) (R)
r
P0 − PL
2L ) r +
P0 − PL
2R2
= 2L (r − r )
(P0 − PL)R r
rz =
( R − 2 rR )
2L
rz = (
(2.4.3)
Sustituyendo la expresión de Newton de la viscosidad,
dvz (P0 − PL)R
−  dr =
2L
( Rr
(P0 − PL)R
dvz
=
−
dr
2L
R
− 2 r )
( Rr
R
− 2 r )
(2.4.4)
Ec. diferencial para la distribución
de velocidades
26
Integrando (2.4.4)
vz = −
(P0 − PL)R
2L
(
r2
− 2Rln r + c2)
2R
nos interesa que nuestra variable independiente sea r/R por lo que
multiplicamos y dividimos por R
(P0 − PL)R2
r2
vz = −
( 2R2 − 2ln r + c2')
2L
(P0 − PL)R2 r2
= −
( R2 − 22ln r + c2")
4L
sumando y restando −2 ln R,
(P0 − PL)R2
r 2
2
"'
vz = −
[
(
R ) − 2 ln (r/R) + c2 ]
4L
(2.4.5)
Ahora se evaluarán las constantes de integración  y c2"' con las
siguientes condiciones límite
para r =  R
para r = R
C.L. 1:
C.L. 2:
vz = 0
vz = 0
Sustituyendo ambas condiciones en la ec. (2.4.5)
(P0 − PL)R2
0=−
[  2 − 22ln () + c2"']
4L
(P0 − PL)R2
0=−
[ 1 + c2"']
4L
de la última ecuación, se ve que c2"' = −1. Sustituyendo en la
primera:
0 =  2 − 22ln () −1
de aquí,
0 =  2 + 22ln (1/) −1
22 =
1−2
ln (1/)
(2.4.6)
Sustituyendo estos valores en las ecs. de esfuerzos y velocidad, ec.
2.4.3 y 2.4.5:
(P0 − PL)R r
(1 −  2) R

rz =
[
−
]
(2.4.7)
2L
R
2 ln (1/) r
27
(P0 − PL)R2
r
[
1−(R
4L
vz =
(1 −  2)
ln (r/R) ]
ln (1/)
(2.4.8)
2
)
+
Observar que cuando  se hace cero estas ecuaciones se
transforman en las correspondientes al tubo cilíndrico.
Ya que se tienen los perfiles de esfuerzos y velocidades, se desean
obtener las siguientes magnitudes:
i) La velocidad máxima, vz,máx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumétrico Q
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.
i) La velocidad máxima, vz,máx
(P0 − PL)R2
(1 − 2)
vz,máx = vz│r = R =
[ 1 − 2 +
ln () ]
4L
ln (1/)
de la ec. 2.4.6
1 1 − 2
2 = 2
ln (1/)
y también
1
1 − 2
ln  = 2 ln
2ln (1/)
sustituyendo en la expresión para vz,máx
(P0 − PL)R2
1 1 − 2
(1 − 2) 1
1 − 2
vz,máx =
[
1− 2
+
ln
]
4L
ln (1/)
ln (1/) 2
2ln (1/)
(P0 − PL)R2
1 − 2
1 − 2
=
1−
[
1 − ln
]
4L
2ln (1/)
2ln (1/)
{
}
ii) La velocidad media < vz >
2
< vz > =
R
∫0 ∫R vz r dr
2
d
R
∫0 ∫R
r dr d
Evaluamos primero la integral
(P0 − PL)R2
∫ vz r dr = 4L
R
R
R
r
∫ [1 − ( R
R
2
)
(1 − 2)
+
ln (r/R) ]r dr
ln (1/)
A
1
= A{ 2 r2
R
1
│ − 4R2 r4
R
(1 − 2)
│ + ln (1/)
R
R
∫
R
R
ln(r/R)r dr}
28
1 2
1 2
(1 − 2)
2
4
= A{ 2 R (1 −  ) − 4 R (1 −  ) +
ln (1/)
1
factorizando A 4 R2(1 − 2) = B
R
1 − 4
4
∫R vz r dr = B 2 − 1 − 2 + R2 ln 1/
[
∫
R
R
ln(r/R)r dr }
R
∫ ln(r/R)r dr]
R
(2.4.9)
Evaluando por partes la integral
R
R
r2
r2 1
∫ ln(r/R)r dr = [ 2 ln r/R − ∫ 2 r dr] │
R
R
u = ln r/R ; dv = r dr
R dr
1
r2
du = r ( R ) = r dr ; v = 2
R
∫ ln(r/R)r dr =
R
r2
1
( 2 ln r/R − 2
R
∫ r dr) │
2
R
r
1
= ( 2 ln r/R − 4 r2)
R
│
R
R
2
r
1
= 2 (ln r/R − 2 ) │
R
2
2 2
R
1
 R
1
= 2 (− 2 ) − 2 (ln  − 2 )
R2
1
1
= 2 [ − 2 − 2(ln  − 2 )]
R
∫ vz r dr =
R
= B{ 2 −
1 − 4
4
R2
+
1 − 2
R2 ln 1/ 2
= B{ 2 −
[−
1
1
2
−

(ln

−
2
2 )]}
1 − 4
2
1
1
[ − 2 − 2(ln  − 2 )]}
2 +
1 − 
ln 1/
1 − 4
1
2
2
1
= B{ 2 −
− 2 [(
ln  −
)]}
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
ln 1/ 2
1 − 4
1
2
1
= B{ 2 −
−
− 2 [−
ln 1/ −
]}
1 − 2
ln 1/
ln 1/
ln 1/
1 − 4
1
1
= B{ 2 −
− 2 [−2 −
]}
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
1 − 4
1
2
= B[ 2 −
+ 22 +
]
2 −
1 − 
ln 1/
ln 1/
29
1 − 4
1 − 2
= B(2 −
−
+ 22)
1 − 2
ln 1/
(22 + 2)(1− 2) − (1 − 4)
1 − 2
= B[
−
]
1 − 2
ln 1/
22 − 24 + 2 − 22 − 1 + 4
1 − 2
= B[
−
]
2
1 − 
ln 1/
1 − 4
1 − 2
= B[
−
]
1 − 2
ln 1/
Por otra parte,
R
r2
∫R r dr = 2
R
R2
= 2 (1 − 2)
R
│
Sustituyendo en ec. para <vz> y considerando que la velocidad no
es función de :
<vz> = B[
1 − 4
1 − 2
−
1 − 2
ln 1/
]
1
sustituyendo B = A 4 R2 (1 − 2)
1
A 4 R2(1 − 2)
1 − 4
1 − 2
<vz> = R2
−
1 − 2
ln 1/
2
(1
−

)
2
A 1 − 4
1 − 2
= 2 [
−
]
1 − 2
ln 1/
[
]
Sustituyendo el valor de A
(P0 − PL)R2 1 − 4
1 − 2
<vz> =
[
]
2 −
8L
1 − 
ln 1/
iii) El flujo volumétrico Q
El área de flujo está dada por
A = R2 − (R)2 = R2 (1 − 2)
El flujo es entonces
Q = A<vz> =R2 (1 − 2) <vz>
(P0 − PL)R4
(1 − 2 )2
=
[
1− 4 −
]
8L
ln 1/
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido.
Se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los cilindros
exterior e interior:
30

Fz = − rz│r = R ·2RL+ rz│r = R·2RL
(P0 − PL)R
(1 − 2) 1
=−
[

−
]· 2RL +
2L
2 ln (1/) 
(P0 − PL)R
2L
(1 − 2)
]· 2RL
2 ln (1/)
(1 − 2)
(1 − 2)
= R2(P0 − PL)(− 2 +
+1−
)
2 ln (1/)
2 ln (1/)
= R2(P0 − PL)(1− 2)
[1 −
Tarea
2.5 Flujo laminar en una rejilla estrecha.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por dos paredes planas
separadas por una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de
cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las
distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento
(momentum) y de velocidad.
P0 − PL


xz = ( L
)x
(P0 − PL )B2
vz =
[1− (x/B)2]
2L
En las que P = p + gh = p − gz.
¿Cuál es la relación de la velocidad media a la máxima en la
rendija? Obtener la ecuación de flujo para la rendija (equivalente a
la ley de Hagen−Poiseville).
Respuesta:
3
2
2 (P0 − PL)WB
<vz> = 3 vz, máx
;
Q= 3
L
31
Fig. 2.5. Flujo a través de una rendija.
2.6 Flujo laminar en una película que desciende por el exterior
de un tubo cilíndrico.
En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso
asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender
después por la parte exterior del mismo (Véase figura).
Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de
película de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsérvese
que las flechas de «entrada de cantidad de movimiento» y «salida
de cantidad de movimiento» se toman siempre en la dirección r
positiva, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de
movimiento fluye en la dirección r negativa.
a. Demostrar que la distribución de velocidad en la película
descendente (despreciando los efectos finales) es
vz =gR
4
2
[1 − ( r )2+ 2a2 ln( r ) ]
R
R
b. Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la
película.
32
Fig. 2.6. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de
movimiento para una película que desciende por el exterior
de un tubo cilíndrico.
2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del tubo
interior.
Considere el sistema de la figura. La varilla cilíndrica se mueve con
velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la
distribución de velocidad en el estado estacionario y la velocidad
volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presenta en el
recubrimiento de alambres con barniz.
vz
ln (r/R)
R2V 1 −  2
Respuesta: V =
; Q= 2 (
− 22)
ln 
ln (1/)
Fig 2.7 Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial
del cilindro interior.
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida
33
Puesto que el problema de flujo alrededor de una esfera implica
líneas de flujo curvas, no puede resolverse por las técnicas que
hemos visto en este capítulo. Sin embargo, lo trataremos
brevemente sin deducir las expresiones pertinentes.
Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que
asciende verticalmente hacia una esfera de radio R y diámetro D. El
fluido tiene una viscosidad μ y una densidad ρ y asciende a una
velocidad uniforme v∞.
Analíticamente se ha encontrado que para un flujo lento la
distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es
(2.8-1)
La distribución de presión es
(2.8-2)
Y los componentes de la velocidad son
(2.8-3)
(2.8-4)
En (2.8-2) p0 es la presión el el plano z = 0 alejado de la esfera,
−ρgz es la contribución del peso del fluido (efecto hidrostático),
Y el término que contiene v∞ es la contribución debida al flujo
alrededor de la esfera.
34
Estas ecuaciones son válidas para flujo reptante, es decir para
. Cuando no hay remolinos aguas abajo de la
esfera.
Observe que las ecuaciones satisfacen las condiciones límite para
r = R y r = ∞.
Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por
el fluido sobre la esfera resulta en
(2.8-5)
{Fuerza de flotación}
{Resistencia de forma}
Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se
obtiene
{Resistenca de fricción}
(2.8-6)
Sumando las ecs. 2.8-5 y 2.8-6 se tiene
(2.8-7)
{Fuerza estática} {Fuerza cinética}
La fuerza estática (de flotación o sedimentación) se ejerce aunque
el fluido esté en reposo.
35
La fuerza cinética, que resulta del movimiento del fluido, es la
conocida ley de Stokes.
36