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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
SYLLABUS
Facultad de Ciencias y Tecnología
Física II
Ingeniería en Gas y Petróleo
Gestión Académica I/2017
1
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la
sociedad.
2
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
SYLLABUS
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Créditos:
FISICA II
FIS – 102ª
FIS – 101A
80
6
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Estudiar y desarrollar los conceptos relativos a la dinámica de los fluidos, electromagnetismo a través de un
criterio científico, para resolver situaciones problemáticas aplicando conocimientos sobre electricidad y
magnetismo en ingeniería de sistemas.
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
TEMA 1. HIDROSTATICA E HIDRODINAMICA
1-1.
1-2.
1-3.
1-4.
1-5.
1-6.
1-7.
1-8.
1-9.
1-10.
1-11.
1-12.
1-13.
1-14.
Fluidos, líquidos y gases
Propiedades físicas de los líquidos.
Densidad, presión y masa específica
Presión en un líquido. Ley de Pascal.
Fuerza hidrostática sobre una pared vertical
Transmisión de presión en un líquido
Presión atmosférica
Principio de Arquímedes
Fluidos en movimiento. Flujo estacionario
Gasto y flujo de masa
Ecuación de continuidad
Energía cinética, potencial y de presión en un líquido.
Ecuación de Bernoulli
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
TEMA 2. ONDAS EN MEDIOS ELASTICOS
2-1. Ondas mecánicas
2-2. Tipos de ondas
2-3. Ondas viajeras
2-4. Principio de superposición
2-5. Rapidez de ondas.
2-6. Potencia e intensidad en el movimiento ondulatorio.
2-7. Interferencia de ondas.
2-8. Ondas complejas.
2-9. Ondas estacionarias.
2-10. Resonancia
3
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
TEMA 3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y COLISIONES
3-1. Colisiones en una dimensión
3-2. Colisiones en dos dimensiones
3-3. Conservación de la cantidad de movimiento y conservación de la energía en sistemas aislados
TEMA 4. CARGA ELECTRICA – LEY DE COULOMB
4-4.
Carga eléctrica
4-5.
Estructura atómica
4-6.
Conductores y aislantes
4-7.
Electrización por inducción
4-8.
Fuerzas eléctricas
4-9.
Ley de Coulomb
4-10.
Interacciones eléctricas
TEMA 5.
CORRIENTE CONTINUA Y RESISTENCIA
5-1. Corriente eléctrica, resistencia.
5-2. Ley de Ohm
5-3. Resistencia y temperatura
5-4. Superconductores
5-5. Energía y trabajo
5-6. Potencia eléctrica
5-7. Circuitos de corriente continua
5-8. Fuerza Electromotriz
5-9. Fuerza electromotriz.
5-10. Resistores en serie y paralelo.
5-11. Reglas de Kirchoff
5-12. Circuitos RC.
TEMA 6. CAMPO MAGNETICO
6-1. Fuerza magnética sobre un conductor.
6-2. Momento de torsión de una espira de corriente, en un campo magnético uniforme.
6-3. Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético.
6-4. Fuentes de campo magnético
6-5. Ley de Bio Savart.
6-6. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
6-7. Ley de Ampere
6-8. Campo magnético de un solenoide.
6-9. Flujo magnético, unidades.
6-10. Ley de Gauss
6-11. Ley de Faraday
6-12. Ley de inducción de Faraday
6-13. Fuerza electromotriz de movimiento
6-14. Ley de Lenz
6-15. Fem inducida
4
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
TEMA 7.
CORRIENTE ALTERNA - INDUCTANCIA
7-1. Potencial eléctrico
7-2. Autoinductancia.
7-3. Circuitos RL.
7-4 Energía en un campo magnético.
7-5. Inductancia mutua.
7-6. Circuitos RLC
7-7. Circuitos de corriente alterna.
7-8. Fuente de corriente alterna, fasores.
7-9. Resistores en un circuito de corriente alterna.
7-10. Inductores en un circuito de corriente alterna.
7-11. Capacitores en un circuito de corriente alterna.
7-12. Circuito serie RLC.
7-13. Potencias de un circuito de corriente alterna.
TEMA 8.
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
8-1. Ecuacion de onda para el campo electromagnetico
8-2. Onda electromagnetica plana
8-3. Energia de las ondas electromagneticas.
8-4. Impulso del campo electromagnetico
8-5. Radiacion del dipolo
III. BIBLIOGRAFIA
 RESNICK ROBERT, HALLIDAY DAVID, "Física”, México, Edición Continental. Volumen I, II, 1995.
 SEER. SEMANSKY, “Física universitaria”
 ALONSO FINN, “Física, Campos y Ondas”
 ALONSO MARCELO, "Física”, Finn Edward, México, Editorial Fondo Educativo Interamericano, S. A. Volumen II,
1999.
 SERWAY, “Física I,II”
 FREDERIK BUECHE. 1993. “Fundamentos De Física”. México, Edición Mcgraw-Hill. Volumen II.
 CHENG K DAVID, “Fundamentos De Electromagnetismo Para Ingeniería”, Estados Unidos, Editorial AddisonWesley Iberoamericana. 492 P., 1997.
 JOSEPH A., “Teoría Y Problemas De Electromagnetismo”. Colombia, Ediciones Mcgraw Hill. 204 P.,1979.
IV. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha:
Nota: 100 pts.
2° evaluación parcial
Fecha:
Nota: 100 pts.
Examen final
Fecha:
Nota: 100 pts.
5
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
WORK PAPER # 1
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212A
TÍTULO DEL WORK PAPER: Hidrostática (Principio de Arquímedes)
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
6
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Principio de Arquímedes
Resumen
Mediante este trabajo presentamos los resultados de un experimento básico para comprobar el principio de Arquímedes; determinando la
densidad, el volumen, masas (las cuales son masa al aire y masa sumergida) de los cuatro sólidos utilizados y el empuje con sus
respectivas incertidumbres y errores.
Introducción y Objetivos
En la naturaleza encontramos una serie de fenómenos que suceden a diario y que en algunas ocasiones pasan desapercibidos para
nuestros ojos. Él poder comprender de manera más amplia estos fenómenos nos ayuda a entender mejor como se comportan algunas
fuerzas que entran en acción bajo ciertas circunstancias.
Lo que se pretende en este laboratorio en precisamente analizar el comportamiento de las fuerzas que ejercen los líquidos sobre algunos
sólidos que manipularemos de manera experimental.
Dentro de los objetivos que pretendemos alcanzar en esta practica de laboratorio están los siguientes:
Comprobar experimentalmente la teoría adquirida en clase sobre el principio de Arquímedes.
Determinar la diferencia entre los pesos y las fuerzas de empuje que ejercen los líquidos sobre los cuerpos sólidos sumergidos y al aire.
Determinar el volumen de algunos cuerpos sólidos por dos métodos ( por calibrador pie de rey y por volumen desplazado en un recipiente) y
también poder determinar su densidad.
Materiales
Beaker marca SCHOTT DURAN (25ml).
Balanza OHAUS Triple beam balance 700 series con una precisión de 5 x 10 --5 Kg y una capacidad de 2,610 Kg
Calibrador Pie de Rey con una precisión de 5x10-4 m.
Recipiente con tubo de desagüe lateral.
Tres pesas cilíndricas de Cobre, Hierro y Aluminio; una pieza de aluminio en forma de cubo.
Agua (también puede usarse agua salada, alcohol, glicerina, etc.)
Procedimiento
1. Tomamos los cuatro sólidos de los cuales obtuvimos su respectivo volumen mediante un calibrador de pie de rey, posteriormente
registramos estos valores en la tabla 1.
2. Pesamos los sólidos en la balanza de laboratorio al aire, donde asumimos este peso como real.
3. Colocamos el Beaker con agua debajo de la balanza, donde nuevamente volvimos a pesar los sólidos y registramos su peso en
agua en la tabla.
4. Verificamos que el tubo de ensayo estuviera completamente seco, y lo pesamos totalmente vació para luego realizar las
mediciones de volumen desplazado por el sólido.
5. Llenamos con agua el tubo con desagüe lateral hasta que dejara de rebosar agua, ponemos el tubo de ensayo debajo del
desagüe donde recogerá el agua que sobra por el líquido desplazado al introducir el sólido en el recipiente.
6. Sumergimos cada uno de los sólidos en el tubo con desagüe lateral y obtuvimos el líquido que sobra con el tubo de ensayo.
7. Con cada una de las medidas, pesamos el tubo de ensayo con él liquido sobrante o desplazado por el sólido y lo consignamos en
la tabla
8. El procedimiento se repitió cuatro veces para cada uno de los sólidos desde el punto 4. Con la excepción de que el tubo de
ensayo solo se peso una sola vez.
Datos y Resultados
TABLA 1
SÓLIDO
V MEDIDO
[CM3]
W AL AIRE W SUMERGIDO W LIQ. DESPLAZA V DESALOJADO
[DN]
[DN]
[DN]
[CM3]
Cilindro De Aluminio
20.592
6.47 x 104
4.09 x 104
2.39 x 104
24.9
Cubo De Aluminio
12.706
3.35 x 104
2.12 x 104
1.17 x 104
12.4
Cilindro De Cobre
10.129
1.09 x 105
9.68 x 104
1.18 x 104
12.5
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Cilindro De Hierro
10.133
9.80 x 104
8.53 x 104
1.31 x 104
13.9
TABLA 2
SÓLIDO
o
o




EMPUJE
CONVENC
Cilindro de aluminio
2.38 x 104
2.41 x 107
1.72
2.71
2.7 x103
cubo de aluminio
1.23 x 104
1.21 x 107
2.63
2.72
2.7 x 103
cilindro de cobre
1.22 x 104
1.22 x 107
11.0
8.93
8.96 x 103
cilindro de Hierro
1.27 x 104
1.35 x 107
9.83
7.71
7.96 x 103
Expresiones Utilizadas Para Los Cálculos:
La densidad geométrica se calculó con la expresión ρ = M / V
La densidad por Arquímedes se calculó con la expresión
El volumen geométrico se calculó para el cubo con la expresión
V = (largo)(ancho)(alto) = largo2(alto)
Debido a que el largo y el ancho eran iguales y para los cilindros se utilizó la expresión
V = π r2 h
fluido)(V desalojado)(a gravedad)
Análisis para la Medición de Incertidumbres
Cálculo de incertidumbre para el volumen de los objetos
VARIABLES DE INFLUENCIA
COMPONENTES DE INCERTIDUMBRE
Observador
0,01 cm
Resolución del pie de rey
0,00025 cm
Incertidumbre combinada
0,01025 cm
Incertidumbre W Al Aire Y Beaker
VARIABLES DE INFLUENCIA
COMPONENTES DE
INCERTIDUMBRE
Observador
0,02 gr
8
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
o
Resolución de la Balanza
0,005 gr
Incertidumbre combinada
0,025 gr
Incertidumbre V desplazado
VARIABLES DE
INFLUENCIA
COMPONENTES DE
INCERTIDUMBRE
Observador
0,1 cm3
Cambio de recipiente
0,2 cm3
Resolución Probeta
0,1 cm3
Incertidumbre combinada
0,4 cm3
Incertidumbre geométrica
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Incertidumbre de Empuje
Análisis y discusión de resultados
El procedimiento experimental llevado a cabo tuvo como objetivo principal calcular la fuerza de empuje que ejercen los líquidos sobre los
cuerpos sólidos sumergidos. Esta fuerza se puede explicar debido a que la presión en un fluido aumenta con la profundidad, es decir que es
mayor la presión hacia arriba que un objeto experimenta sobre la superficie inferior que la presión hacia abajo que experimenta sobre la
superficie superior, por consiguiente la fuerza resultante, conocida como fuerza de empuje o fuerza boyante se dirige hacia arriba .
El montaje utilizado permitió medir la cantidad de líquido que un cuerpo sólido desplaza al ser sumergido completamente en un fluido, de
esta forma comprobamos que el volumen desalojado es equivalente al volumen medido a partir de la geometría de cada uno de los objetos.
Lo anterior se debe a que al sumergir totalmente el sólido en el fluido éste pasa a ocupar el mismo espacio de la masa de agua que desaloja
para que el conjunto permanezca en equilibrio, es decir para que el líquido no caiga ni se eleva en el recipiente que lo contiene.
Por otra parte se pudo ratificar que todos los cuerpos al estar inmersos en un fluido experimentan una fuerza de empuje, al comparar los
pesos de tres sólidos sumergidos en dos clases de fluidos: aire y agua. La fuerza de empuje que ejerce el aire es aproximadamente mil
veces menor que la fuerza de empuje que ejerce el agua, debido a las diferencias en las densidades de los dos fluidos; por esta razón es
posible levantar con mayor facilidad un cuerpo sumergido en el agua que uno sumergido en el aire debido a que la fuerza de empuje actúa
como una fuerza adicional a la fuerza ejercida por la persona hacia arriba.
Finalmente el montaje nos permitió calcular las densidades de los sólidos por medio de dos métodos diferentes: el geométrico y el de
Arquímedes, y confirmar la veracidad de nuestros resultados gracias a la densidad convencional de cada uno de los materiales de los
objetos utilizados en la práctica.
Respuesta a las preguntas de la guía.
7.1 Comparando los métodos utilizados en la práctica de laboratorio, podemos concluir que es más confiable el método de Arquímedes,
puesto que nos permite calcular con mayor exactitud el volumen para objetos irregulares. Si el volumen de los agujeros en cada sólido
hubiera sido despreciado, el resultado final hubiera sido diferente.
2. La respuesta de las incertidumbres se encuentra anteriormente en resultados y datos
7.3 W0 = Peso del aire
10
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lg = Fuerza de flotación
V = volumen del objeto
l = masa del líquido desplazado de densidad l
Wa = peso aparente cuando esta sumergido
W a = W0 –
lg
V = W0 - W a
r lg
r = densidad del objeto es
M / V = W0 / V g ( W0 = M g )










7.4 Fuerza De Empuje
Permite calcular la densidad de un cuerpo irregular.
Permite calcular la gravedad específica de los líquidos.
Es la fuerza que actúa en el centro de masa del agua.
Debido a que la presión solo depende la profundidad, la fuerza de empuje que ejerce un fluido sobre el volumen imaginario del
agua es igual a la que realmente ejerce sobre el sólido.
5. Al considerar un objeto en equilibrio estático que flota en un fluido, es decir un objeto parcialmente sumergido, la fuerza
de flotación hacia arriba se equilibra con el peso hacia abajo del objeto. Si V es el volumen del fluido desplazado por el
objeto ( el cual corresponde al volumen del objeto debajo del nivel del fluido ) entonces la fuerza de flotación tiene una
magnitud
B = r Fluido V g
Puesto que el peso del objeto es
W = M g = r 0V0g y W = B,
vemos que
r Fluido V g = r 0V0g, ó r 0 / r F = V / V0 .
Conclusiones
Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido cuya densidad es menor, el objeto no sostenido se acelerará hacia arriba y flotará; en
el caso contrario, es decir si la densidad del cuerpo sumergido es mayor que la del fluido, éste se acelerará hacia abajo y se hundirá.
Concluimos que es cierto que todos los cuerpos al estar sumergidos en un fluido experimentan una fuerza de empuje hacia arriba,
por el principio de Arquímedes analizado en el laboratorio, pues los fluidos ejercen resistencia al sólido sumergido en ellos para equilibrar el
sistema
En toda práctica experimental es necesario repetir el procedimiento varias veces para lograr una mayor precisión y exactitud, sin
embargo, como todo experimento implica un margen de error es imposible lograr los resultados de un sistema teórico e ideal.
Gracias al principio de Arquímedes es posible calcular el volumen de los cuerpos irregulares, si necesidad de fundirlos para
transformarlos en figuras regulares.
Dada las variables recogidas en la práctica pudimos establecer los pesos aparentes, la densidad, las masas aparentes, los
volúmenes de los cilindros utilizados en el laboratorio #1
En este laboratorio pudimos afianzar satisfactoriamente los conceptos de peso, peso aparente, fuerza de empuje, volumen
desplazado, densidad de una sustancia.
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WORK PAPER # 2
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212A
TÍTULO DEL WORK PAPER:
Hidrodinámica
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
12
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DINAMICA DE FLUIDOS O HIDRODINAMICA
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque
la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática,sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se
supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo,
como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación
para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.
a) Flujos incompresibles y sin rozamiento
Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin
rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son
paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de
fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad
aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.
Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de
corriente).
1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:
A1.v1 = A2.v2 = constante.
Recordar que p = F/A
Flujo de volúmen: (caudal). Φ = A .v [m ³/s]
Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).
p1 + δ.v1 ²/2 + δ.g.h1 = p2 + δ.v2 ²/2 + δ.g.h2 = constante
p1/δ + v1 ²/2 + g.h1 = p2/δ + v2 ²/2 + g.h2
p/ δ = energía de presión por unidad de masa.
g.h = energía potencial por unidad de masa.
v ²/2 = energía cinética por unidad de masa.
Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0
p1 + δ.g.h1 = p2 + δ.g.h2
b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento
Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados
independientemente por Poiseuille y por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las
ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas
para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se
pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.
El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí,porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento
viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido
determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto
para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.
Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las
partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A
velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la
actualidad se puede predecir completamente.
13
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se
conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del
fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar;
cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la
moderna mecánica de fluidos.
Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una
combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada
a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento
cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de
corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.
Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)
p1
p
 1 v12  gh1  2  1 v 22  gh2  H 0
 2
 2
H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.
c) Flujos de la capa límite
Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde
se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden
despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos.
La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y
compresores.
d) Flujos compresibles
El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos
mecanismos se descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a
una mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies surgió de forma temprana en
los estudios de balística,donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.
Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios
de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El
comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido.
El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es
proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 °C (293 Kelvin en la escala absoluta), es
de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico),las ondas de presión
pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige
hacia el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las
ondas de presión no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo
supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la
proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre
los observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos
supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos
supersónicos tienen un número de Mach superior a 1.
Viscosidad
Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta
resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo
a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño
conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.
La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso
hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a
su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye.
En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo,
cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está
sometida a grandes cambios de temperatura.
Hidrostática e hidrodinámica
Introducción
La materia ordinaria se presenta en alguno de los tres estados siguientes: sólido, líquido o gaseoso. Existe un cuarto estado de la materia
denominado plasma que es esencialmente un gas ionizado con igual número de cargas positivas que negativas.
14
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Un sólido cristalino es aquél que tiene una estructura periódica y ordenada, como consecuencia, tiene una forma que no cambia, salvo por
la acción de fuerzas externas. Cuando se aumenta la temperatura, los sólidos se funden y cambian al estado líquido. Las moléculas ya no
permanecen en posiciones fijas, aunque las interacciones entre ellas sigue siendo suficientemente grande para que el líquido pueda cambiar
de forma sin cambiar apreciablemente de volumen, adaptándose al recipiente que lo contiene.
En el estado gaseoso, las moléculas están en continuo movimiento y la interacción entre ellas es muy débil. Las interacciones tienen lugar,
cuando las moléculas chocan entre sí. Un gas se adapta al recipiente que lo contiene pero trata de ocupar todo el espacio disponible.
En este capítulo, se estudiarán los denominados fluidos ideales o perfectos, aquellos que se pueden desplazar sin que presenten resistencia
alguna. Posteriormente, estudiaremos los fluidos reales, aquellos que presentan cierta resistencia al fluir. La dinámica de fluidos es muy
compleja, sobre todo si se presentan los denominados vórtices o torbellinos.
Densidad de un fluido
La densidad de una sustancia se define como el cociente de su masa entre el volumen que ocupa.  
m
V
La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3
Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC)
Sustancia Densidad (g/cm3)
Sustancia
Densidad (g/cm3)
Acero
7.7-7.9
Oro
19.31
Aluminio
2.7
Plata
10.5
Cinc
7.15
Platino
21.46
Cobre
8.93
Plomo
11.35
Cromo
7.15
Silicio
2.3
Estaño
7.29
Sodio
0.975
Hierro
7.88
Titanio
4.5
Magnesio
1,76
Vanadio
6.02
Níquel
8.9
Volframio
19.34
Sustancia
Densidad (g/cm3)
Sustancia
Densidad (g/cm3)
Aceite
0.8-0.9
Bromo
3.12
Acido sulfúrico
1.83
Gasolina
0.68-0.72
Agua
1.0
Glicerina
1.26
Agua de mar
1.01-1.03
Mercurio
13.55
Alcohol etílico
0.79
Tolueno
0.866
Fuente: Manual de Física Elemental. Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Edtorial Mir (1975) (págs. 36-37).
Concepto de presión
Se define presión como el cociente entre la componente normal de la fuerza sobre una superficie y el
área de dicha superficie.
p
Fn
S
La unidad de medida recibe el nombre de pascal (Pa).
La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo. La
presión es una magnitud escalar y es una característica del punto del fluido en equilibrio, que dependerá únicamente de sus coordenadas
como veremos en la siguiente página.
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En la figura, se muestran las fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las
paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido. En todos los casos, la fuerza es
perpendicular a la superficie, su magnitud y el punto de aplicación se calculan a partir
la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
La masa específica (  ) de una sustancia es la razón entre la masa (m) de una cantidad de la sustancia y el volumen (V)
correspondiente:  
m , Una unidad mas usual para la masa específica es el g/cm3, mas no SI a unidades es el kg/m3 . la relación entre
V
ellas es la siguiente:
1
g
cm
3

10 3 kg
10
6
m
3
 10 3
kg
m3
Asi, para transformar una masa específica de g/cm3 a kg/m3, debemos multiplicarla por 1.000 . en la tabla siguiente estan relacionadas las
masas específicas de algunas substancias.
La estática de fluidos
1. Introducción
La estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación
fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que
los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tengan algunas características
diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la
estática de gases.
Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que
los contiene. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro, es decir, tiene la capacidad de fluir. Los líquidos y los gases
corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede mortificarse apreciablemente por
compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente
que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos.
El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o
estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire.
2. La densidad de los cuerpos
Densidad. Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. Estos dos atributos físicos varían de un cuerpo a otro, de modo
que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza, cuanto mayor es el volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado. No obstante,
existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias
diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa.
Aun cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales, la relación de proporcionalidad es diferente
para cada sustancia. Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad y se representa por
la letra griega
m = cte · V
es decir:
m=·V
Despejando de la anterior ecuación resulta:
ecuación que facilita la definición de y también su significado físico.
La densidad de una sustancia es la masa que corresponde a un volumen unidad de dicha sustancia. Su unidad en el SI es el cociente entre
la unidad de masa y la del volumen, es decir kg/m3.
A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente depende solamente del tipo de material de que está
constituido y no de la forma ni del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo característico de cada
sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las
condiciones de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la que se refiere el valor dado para la densidad y
en el caso de los gases se ha de indicar, junto con dicho valor, la presión.
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3. Densidad y peso específico
La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más
disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho
más denso. Esto es debido a la relación P = m · g existente entre masa y peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la
física ha introducido el concepto de peso específico pe que se define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen
El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia considerada.
La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa. En efecto:
siendo g la aceleración de la gravedad.
La unidad del peso específico en el SI es el N/m3.
4. Densidad relativa
La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia diferente que se toma como referencia o
patrón:
Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 ºC es igual a 1000 kg/m3. Para gases la
sustancia de referencia la constituye con frecuencia el aire que a 0 ºC de temperatura y 1 atm de presión tiene una densidad de 1,293
kg/m3. Como toda magnitud relativa, que se obtiene como cociente entre dos magnitudes iguales, la densidad relativa carece de unidades
físicas.
5. El fundamento del densímetro
La determinación de densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la física, sino también en el mundo del comercio y de la industria.
Por el hecho de ser la densidad una propiedad característica (cada sustancia tiene una densidad diferente) su valor puede emplearse para
efectuar una primera comprobación del grado de pureza de una sustancia líquida.
El densímetro es un sencillo aparato que se basa en el principio de Arquímedes (mas adelante se explica ) . Es, en esencia, un flotador de
vidrio con un lastre de mercurio en su parte inferior (que le hace sumergirse parcialmente en el líquido) y un extremo graduado directamente
en unidades en densidad. El nivel del líquido marca sobre la escala el valor de su densidad.
En el equilibrio, el peso P del densímetro será igual al empuje E:
P=E
Si se admite, para simplificar el razonamiento, que su forma es la de un cilindro, E será igual, de acuerdo con el principio de Arquímedes, al
peso del volumen V del líquido desalojado, es decir:
donde h es la altura sumergida y S la superficie de la base del cilindro.
Dado que el peso del densímetro es igual a su masa m por la gravedad g, igualándolo al empuje resulta:
es decir:
donde m y S son constantes, luego es inversamente proporcional a la altura sumergida. Midiendo alturas sumergidas pueden, por tanto,
determinarse densidades.
La determinación de la pureza de la leche de vaca es una de las aplicaciones industriales del densímetro.
6. La Presión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad, sino también de
cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre mas en la pared
de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se
hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
El cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y el área S de dicha superficie se
denomina presión:
La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la
fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será
entonces la presión resultante.
La presión en los fluidos
El concepto de presión es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una superficie. Sin
embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no
tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el
de fuerza.
Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si
el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo
existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La
orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión,
resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.
Unidades de presión
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En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de
intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m2.
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido consagradas por
el uso y se siguen usando en la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.
La atmósfera (atm) se define como la presión que a 0 ºC ejercería el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de
sección sobre su base.
Es posible calcular su equivalencia en N/m2 sabiendo que la densidad del mercurio es igual a 13,6 · 103 kg/m3 y recurriendo a las
siguientes relaciones entre magnitudes:
Peso (N) = masa (kg) · 9,8 m/s2
Masa = volumen · densidad Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la base por la altura, se tendrá:
es decir: 1 atm = 1,013 · 105 Pa.
El bar es realmente un múltiple del pascal y equivale a 105 N/m2. En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mb) o milésima
parte del bar · 1 mb = 102 Pa.
1 atm = 1 013 mb
7. La Hidrostática
Todos los líquidos pesan, por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una
presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que
tenga por encima suyo.
Considérese un punto cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. La fuerza del peso debido a una
columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre él puede expresarse en la forma
Fpeso = mg = · V · g = · g · h · S
siendo V el volumen de la columna y la densidad del líquido. Luego la presión debida al peso vendrá dada por:
la presión en un punto
La definición de la presión como cociente entre la fuerza y la superficie se refiere a una fuerza constante que actúa perpendicularmente
sobre una superficie plana. En los líquidos en equilibrio las fuerzas asociadas a la presión son en cada punto perpendiculares a la superficie
del recipiente, de ahí que la presión sea considerada como una magnitud escalar cociente de dos magnitudes vectoriales de igual dirección:
la fuerza y el vector superficie. Dicho vector tiene por módulo el área y por dirección la perpendicular a la superficie.
Cuando la fuerza no es constante, sino que varía de un punto a otro de la superficie S considerada, tiene sentido hablar de la presión en un
punto dado. Para definirla se considera un elemento de superficie S que rodea al punto; si dicho elemento reduce enormemente su
extensión, la fuerza F que actúa sobre él puede considerarse constante. En tal caso la presión en el punto considerado se definirá en la
forma matemática
esta expresión, que es la derivada de F respecto de S, proporciona el valor de la presión en un punto y puede calcularse si se conoce la
ecuación matemática que indica cómo varía la fuerza con la posición.
Si la fuerza es variable y F representa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la superficie S la fórmula
define, en este caso, la presión media.
Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior adicional po, como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el punto de
altura h sería
Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de calcular la diferencia de presiones p entre dos puntos cualesquiera del interior
del líquido situados a diferentes alturas, resultando:es deci
que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática.
Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la
altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma de un
recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo
que se conoce como paradoja hidrostática, cuya explicación se deduce a modo de consecuencia de la ecuación fundamental.
8. El principio de Pascal y sus aplicaciones
La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del
mismo.
Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blas Pascal (1623-1662), se conoce
como principio de Pascal.
El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter
incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación p = po + · g · h si
se aumenta la presión en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que · g · h no varía
al no hacerlo h.
La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su
significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un
líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de
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modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la presión p1 que se
origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la
presión p2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S2, es decir:
p1 = p2
con lo que:
y por tanto:
Si la sección S2 es veinte veces mayor que la S1, la fuerza F1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo
grande.
La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y
constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.
9. El principio de los vasos comunicantes
Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que,
independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos
comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática.
Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir:
luego si pA = pB necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas superficies libres han de ser idénticas hA = hB.
Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las
respectivas densidades. En efecto, si pA = pB, se tendrá:
Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de
otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida.
10. Aplicación de la ecuación fundamental de la hidrostática
Un submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en
cuántas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1 025 kg/m3.
De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática
Considerando que la presión po en el exterior es de una atmósfera (1 atm = 1,013 · 105 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación
resulta:
p = 1,013 · 105 + 1025 · 9,8 · 100 = 11,058 · 105 Pa
El número de veces que p es superior a la presión exterior po se obtiene hallando el cociente entre ambas:
11. Aplicación del principio de pascal
El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de la red urbana que llega a la
máquina con una presión de 5 · 105 N/m2. Si el radio del émbolo es de 20 cm y el rendimiento es de un 90 %, determinar cuál es el valor en
toneladas de la carga que como máximo puede levantar el elevador.
De acuerdo con el principio de Pascal:
p1 = p2
que para una prensa hidráulica se transforma en:
En este caso el dato que correspondería al émbolo pequeño de la prensa se facilita en forma de presión, de modo que combinando las
ecuaciones anteriores se tiene:
Como el rendimiento es del 90 % el valor efectivo de la carga máxima expresado en newtons será
Una tonelada métrica equivale al peso de un cuerpo de 1 000 kg de masa, es decir:
luego:
Empuje hidrostático: principio de Arquímedes
Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan un empuje hacia arriba. Este fenómeno, que es el fundamento de la flotación de
los barcos, era conocido desde la más remota antigüedad, pero fue el griego Arquímedes (287-212 a. de C.) quien indicó cuál es la
magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principio que lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido
experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado.
Aun cuando para llegar a esta conclusión Arquímedes se apoyó en la medida y experimentación, su famoso principio puede ser obtenido
como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Considérese un cuerpo en forma de paralelepípedo, las longitudes
de cuyas aristas valen a, b y c metros, siendo c la correspondiente a la arista vertical. Dado que las fuerzas laterales se compensan
mutuamente, sólo se considerarán las fuerzas sobre las caras horizontales.
La fuerza F1 sobre la cara superior estará dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática su magnitud se
podrá escribir como : siendo S1 la superficie de la cara superior y h1 su altura respecto de la superficie libre del líquido.
La fuerza F2 sobre la cara inferior estará dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud vendrá dada por
La resultante de ambas representará la fuerza de empuje hidrostático E.
pero, dado que S1 = S2 = S y h2 = h1 + c, resulta: que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su principio, ya que
V = c · S es el volumen del cuerpo, la densidad del líquido, m = · V la masa del liquido desalojado y finalmente m · g es el peso de un
volumen de líquido igual al del cuerpo sumergido.
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Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso
P han de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo
es el momento M, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del
cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse
aplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y P forman un par que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas.
Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E>P). En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre
puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo. Si por efecto de una fuerza
lateral, como la producida por un golpe de mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de fuerzas que harán
oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento M del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para
recuperar la verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo la carga de modo que rebaje la posición del
centro de gravedad, con lo que se consigue aumentar el brazo del par.
Aquí se ilustra el principio en el caso de un bloque de aluminio y uno de madera. (1) El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido
en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada. (2) Si un bloque de madera está completamente sumergido en
agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la
madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente —desplazando
así menos agua— hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque.
Aplicación del principio de Arquímedes
Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas ciudad. Sabiendo que la densidad del
aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience
a elevarse.
Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso:
E>P
En virtud del principio de Arquímedes:
ya que en este caso el fluido desalojado es el aire.
Por otra parte, el peso P será la suma del peso del globo más el peso del gas ciudad que corresponde al volumen V, es decir:
Por tanto:
es decir:
El volumen mínimo será, por tanto, de 10,5 litros.
14. La estática de los gases
La aerostática frente a la hidrostática
Desde un punto de vista mecánico, la diferencia fundamental entre líquidos y gases consiste en que estos últimos pueden ser comprimidos.
Su volumen, por tanto, no es constante y consiguientemente tampoco lo es su densidad. Teniendo en cuenta el papel fundamental de esta
magnitud física en la estática de fluidos, se comprende que el equilibrio de los gases haya de considerarse separadamente del de los
líquidos.
Así, la ecuación fundamental de la hidrostática no puede ser aplicada a la aerostática. El principio de Pascal, en el caso de los gases, no
permite la construcción de prensas hidráulicas. El principio de Arquímedes conserva su validez para los gases y es el responsable del
empuje aerostático, fundamento de la elevación de los globos y aeróstatos. Sin embargo, y debido a la menor densidad de los gases, en
iguales condiciones de volumen del cuerpo sumergido, el empuje aerostático es considerablemente menor que el hidrostático.
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La compresibilidad de los gases. Ley de Boyle.
El volumen del gas contenido en un recipiente se reduce si se aumenta la presión. Esta propiedad que presentan los gases de poder ser
comprimidos se conoce como compresibilidad y fue estudiada por el físico inglés Robert Boyle (1627-1691).
Si se dispone de un cilindro con un émbolo móvil que puede modificar el volumen de aquél y se introduce un gas en su interior, el volumen
ocupado por el gas variará con la presión del émbolo de tal modo que su producto se mantiene constante si la temperatura es constante
durante el experimento. Es decir:
Ello significa que a temperatura constante la presión y el volumen de un gas son magnitudes inversamente proporcionales
y por tanto la representación gráfica de p frente a V corresponde a una hipérbola equilátera.
Este resultado se conoce como ley de Boyle y describe de forma aproximada el comportamiento de un gas en un amplio rango de presiones
y volúmenes. No obstante, a temperaturas elevadas o a presiones elevadas, para las cuales el gas se aproxima bastante al estado líquido,
la ley de Boyle deja de cumplirse con una precisión razonable.
La presión atmosférica
Del mismo modo que existe una presión hidrostática en los líquidos asociada al peso de unas capas de líquido sobre otras, las grandes
masas gaseosas pueden dar lugar a presiones considerables debidas a su propio peso. Tal es el caso de la atmósfera. La presión del aire
sobre los objetos contenidos en su seno se denomina presión atmosférica.
La ley de variación de la presión atmosférica con la altura es mucho más complicada que la descrita por la ecuación fundamental de la
hidrostática p = po + g h. Al tratarse de un fluido compresible, la densidad no es constante, sino que varía con la presión; pero además, para
variaciones importantes de la altura el valor de g tampoco se mantiene constante. Esta dependencia mutua de las variables que aparecen
en la anterior ecuación hace que el cálculo preciso de la presión atmosférica en un punto determinado sea una tarea compleja que
proporciona tan sólo resultados aproximados.
La primera comprobación experimental de la existencia de una presión asociada al aire fue efectuada por Evangelista Torricelli (1608-1647).
El experimento de Torricelli consistió en llenar de mercurio un tubo de vidrio de más de un metro de largo, cerrarlo provisionalmente e
invertirlo sumergiéndolo en una gran cubeta con mercurio. Cuando abrió el extremo del tubo sumergido observó que éste sólo se vaciaba en
parte, quedando en su interior una columna de mercurio de unos setenta y seis centímetros.
Este resultado fue interpretado como una prueba de que la presión del peso del aire actuando sobre la superficie libre del mercurio de la
cubeta era capaz de soportar el peso de la columna. En el espacio restante del tubo se había producido el primer vacío de la historia de la
física que se conoce como vacío de Torricelli. La presión correspondiente a una columna de mercurio de 760 mm de altura define,
precisamente, la atmósfera (atm) como unidad de presión.
Además de con la altura, la presión atmosférica varía con la temperatura y con la humedad y, en general, con el estado del tiempo, por lo
que constituye una magnitud decisiva en el análisis y en la predicción meteorológicos. Las primeras variaciones de la presión atmosférica de
un día a otro fueron observadas por el propio Torricelli con su dispositivo, que fue precursor de los actuales barómetros.
15. Manómetros y barómetros
Un manómetro es un aparato que sirve para medir la presión de los gases contenidos en recipientes cerrados. Existen, básicamente, dos
tipos de manómetros: los de líquidos y los metálicos.
Los manómetros de líquidos emplean, por lo general, mercurio que llena un tubo en forma de J. El tubo puede estar o abierto por ambas
ramas o abierto por una sola. En ambos casos la presión se mide conectando al recipiente que contiene el gas el tubo por su rama inferior y
abierta y determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas ramas. Si el manómetro es de tubo abierto entonces es
necesario tomar en cuenta la presión atmosférica po en la ecuación p = po ± g h. Si es de tubo cerrado, la presión vendrá dada
directamente por p = g h. Los manómetros de este segundo tipo permiten, por sus características, la medida de presiones elevadas.
En los manómetros metálicos la presión del gas da lugar a deformaciones en una cavidad o tubo metálico. Estas deformaciones se
transmiten a través de un sistema mecánico a una aguja que marca directamente la presión del gas sobre una escala graduada.
El barómetro es el aparato con el que se mide la presión atmosférica. Como en el caso de los manómetros, los hay también de mercurio y
metálicos. Los primeros se basan en el dispositivo utilizado por Torricelli en sus experimentos. El llamado barómetro de fortín es, de hecho,
una reproducción mejorada del aparato de Torricelli. Su cubeta posee un fondo compuesto de un material flexible, por lo que puede ser
alterado mediante un tornillo auxiliar con el fin de conseguir ajustar el nivel del mercurio de la cubeta al cero de la escala graduada cada vez
que se efectúa una medida. Los barómetros de sifón son simples manómetros de tubo cerrado en los cuales la rama corta del tubo en J
hace las veces de cubeta y la rama larga de tubo de Torricelli.
Los barómetros metálicos o aneroides constan de una caja metálica de paredes relativamente elásticas, en cuyo interior se ha efectuado el
vacío. Un resorte metálico hace que las paredes de la caja estén separadas. En su ausencia dichas paredes tenderían a aproximarse por
efecto de la presión exterior. Por igual procedimiento variaciones en la presión atmosférica producen cambios en la forma de la caja que se
transmiten al resorte y éste los indica, a través de un mecanismo de amplificación, sobre una escala graduada en unidades de presión. Los
barómetros metálicos pueden mortificarse de forma que sus resultados queden registrados en un papel. De este modo se puede disponer
de información sobre cómo varía la presión atmosférica con el tiempo.
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Un depósito cerrado contiene 0.61 m de, mercurio, 1.524 m de agua y 2.438 m de aceite de densidad 750 Kg./m3 conteniendo
aire, en el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo es de 276 kPa, ¿ cuál será la lectura manométrica en la
parte superior del depósito?. Densidad mercurio 13.600 Kg./m3.
Un corcho cilíndrico de 15 gramos y 10 cm2 de sección flota en un recipiente con agua, como la figura. Un cilindro de 25 gramos y
2 cm2 de sección cuelga 4 cm. Por debajo del corcho sujeto a él por un cable, pudiendo deslizar por un orificio del fondo,
perfectamente ajustado y sin rozamiento. En dicha situación, ¿qué distancia hay desde el extremo inferior del corcho a la
superficie del agua?
Tenemos una partícula de masa m2 y densidad 2 g/cm3. Se sitúa a 20 cm de un punto fijo O de una barra, necesitando colocar
otra masa m1 a 10 cm para mantener el equilibrio. Si se introduce m2 en un líquido, m1 se ha de colocar a 5 cm. ¿Cuál es la
densidad del fluido?
En el dibujo de la figura el agua alcanza en nivel E en la tubería unida al depósito ABCD. Despreciando el peso del depósito y de
la tubería de elevación, hallar la fuerza resultante que actúa sobre el área AD de 2,40 metros de anchura; hallar la fuerza total
sobre el fondo del depósito y comparar este resultado con el peso total del agua. Explicar estos resultados. r = 1.000 Kg./m3. g =
10 m/s2.
Un depósito de agua de 9 metros de altura tiene en su fondo un agujero rectangular de 3 m de longitud. Dicho agujero se tapa con
un cilindro de 4 metros de radio. ¿con qué fuerza queda presionado el cilindro con el fondo del depósito debido a la acción de los 9
metros de profundidad de agua?
El sistema de la figura desciende verticalmente con aceleración a. Calcular: la presión del agua en función de la profundidad h.
Calcular cuanto marcará el dinamómetro D. Datos: densidad del cuerpo = 3.000 Kg./m3. Volumen del cuerpo = 0,5 cm3.
Aceleración = 5 m/s2.
Un cubo de longitud L y sección S (paralela a la superficie del líquido) se sujeta sumergido totalmente en un líquido de densidad r.
Al dejarlo libre sobresale de la superficie del líquido. Si la densidad del cubo es 3/4
ima que alcanza
y cuál será el movimiento que seguirá el cubo.
Una compuerta de 1 metro de longitud y 0,5 metros de altura cierra un desagüe de un embalse de 10,5 metros de altura y está
situado en el fondo del mismo. Calcular la fuerza que actúa sobre la compuerta.
Teniendo en cuenta que el peso verdadero de un cuerpo es aquel que se mide en el vacío , se pesa un cuerpo de volumen V = 1
m3 en el aire, en una balanza que utiliza pesas de densidad r = 7.800 Kg./m 3. Si la densidad del aire es ra = 1,3 Kg./m3 y las pesas
indican que el peso es w´ = 100 Kg. calcular el peso verdadero. Tomar g = 10 m/s2.
La pared más alta de una represa mide 302 m y está ubicada en Nurek ( Rusia ). Calcular la presión que ejerce el agua en la base
de dicha represa. ( Resp.: 302000 kg/m2 )
En un recipiente cilíndrico, cuya base tiene 100 cm2 de superficie, se vierten 0,5 dm3 de un líquido de p.e.= 1,2 gf/cm3, luego 1
dm3 de agua y por último, 1,5 dm 3 de un aceite de p.e. = 0,8 gf/cm3.Calcular: a) la presión a 10 cm de la superficie libre.( Resp.: 8
gf/cm2 ). b) la presión a 20 cm de la superficie libre.( Resp.: 17 gf/cm2 ), c) la presión en el fondo del recipiente.( Resp.: 28 gf/cm2
). d) La base del recipiente está armada con ciertos tornillos que soportan 0,14 kgf cada uno, hallar la cantidad que se usó de los
mismos.( Resp.: 20 tornillos )
Hallar la relación que existe entre los radios de los pistones de una prensa hidráulica si cuando se ejerce una fuerza de 10 kgf
sobre el menor, en el mayor se recoge una fuerza de 4000 kgf.( Resp.: r2 / r1 = 20 )
Un recipiente de forma cúbica se encuentra totalmente lleno de agua y que ejerce, en el fondo del mismo, una presión de
0,038722 atmósfera. Calcular la arista de recipiente ( Resp.: 40 cm )
PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS
Dada la variedad de métodos para resolver problemas que involucren los conceptos de hidrostática e hidrodinámica, se presentarán los
problemas sin ningún orden temático de agrupación.
1.
2.
3.
4.
5.
La Paz, se conoce como la "Ciudad ubicada en la Altura" debido a que está situada a una elevación aproximada de 5.200 pies. Si
la presión a nivel del mar es de 101,3 KPa (abs), ¿Cuál es la presión atmosférica en La Paz?. Densidad del aire = 1,29 Kg/m3. Sol.
81,2 KPa
Denver, Colorado, se conoce como la "Ciudad a una Milla de Altura" debido a que está situada a una elevación aproximada de
5.200 pies. Si la presión a nivel del mar es de 101,3 KPa (abs), ¿Cuál es la presión atmosférica en Denver?. Densidad del aire =
1,29 Kg/m3. Sol. 81,2 KPa
Un barómetro indica que la presión atmosférica es de 30,65 pulgadas de mercurio. Calcule la presión atmosférica en lb/pulg 2
absoluta? Sol. 15,058 psi
¿Cuál es la lectura de presión barométrica en milímetros de mercurio correspondiente a 101,3 KPa(abs)? Sol. 759,812 mm de Hg
a 0 ºC
Para el tanque de la Figura, determine la profundidad del aceite, h, si la lectura en el medidor de presión del fondo es de 35,5
lb/pulg2 relativa, la parte superior del tanque está sellada y el medidor superior indica 30 lb/pulg 2 relativa. Sol. 13,355 Ft
22
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6.
Para el manómetro diferencial que se muestra en la Figura, calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad
específica del aceite es de 0,85 Sol. PA-PB = 37,20 Lb/Ft2
7.
8.
9.
10.
¿A qué carga de altura de tetracloruro de carbono (densidad relativa 1,59) es equivalente una presión de 200 KPa? Sol. 12,83 m
Un recipiente contiene 10 Lt de agua pura a 20 ºC. ¿Cuál es su masa y su peso? Sol. 9,9758 kg y 97.862 N
La misma pregunta 7, suponiendo el recipiente en la Luna en donde la atracción gravitacional es 1.66 m/s2 Sol. 16,559 N
Calcular el empuje que experimenta un cuerpo que flota sobre un líquido de densidad igual a 0,8 g/cm 3, desalojando 20 cm3 de
líquido Sol. 0,157 N
Un cuerpo pesa en el aire 600 N y sumergido totalmente en agua pesa 200 N. Calcular su peso específico Sol. 14716,7 N/m3
Un cuerpo pesa 800 N sumergido totalmente en agua y 600 N sumergido totalmente en un líquido de densidad igual a 1,2 g/cm 3.
Hallar cuánto pesará sumergido totalmente en alcohol de peso específico igual a 0,8 g/cm3 Sol. 1000,124 N
Calcule el momento necesario para mantener la compuerta cerrada. La compuerta mide 2 m x 2 m. Sol. 1090251,595 N.m
sentido horario
Dos recipientes pequeños están conectados a un manómetro de tubo en U que contiene mercurio (densidad relativa 13,56) y los
tubos de conexión están llenos de alcohol (densidad relativa 0,82). El recipiente que se encuentra que se encuentra a mayor
presión está a una elevación de 2 m menor que la del otro. ¿Cuál es la diferencia de presión entre los recipientes cuando la
diferencia estable en el nivel de los meniscos de mercurio es de 225 mm?. ¿Cuál es la diferencia en carga de altura piezométrica?.
Si se usara un manómetro de tubo en U invertido conteniendo un líquido de densidad relativa 0,74 en lugar del anterior, ¿cuál
seria la lectura del manómetro para la misma diferencia de presión? Sol. 44,2 kPa, 0,332 m; 6,088 m
¿Cuál es la posición del centro de presión de un plano semicircular verticalmente sumergido en un líquido homogéneo y con su
11.
12.
13.
14.
15.
diámetro d dispuesto en la superficie libre? Sol. Sobre la línea central y a una profundidad
4R 3R
3  16
16. Una abertura circular de 1,2 m de diámetro en el lado vertical de un depósito, se cierra por medio de un disco vertical que ajusta
apenas en la abertura y esta pivoteado sobre un eje que pasa a través de su diámetro horizontal. Demuéstrese que, si el nivel de
agua en el depósito se halla arriba de la parte superior del disco, el momento de volteo sobre el eje, requerido para mantener
vertical al disco, es independiente de la carga de altura del agua. Calcúlese el valor de este momento. Sol. 998 N.m
17. Un recipiente con agua, de masa total de 5 kg, se encuentra sobre una báscula para paquetes. Se suspende un bloque de hierro
de masa 2,7 kg y densidad relativa 7,5, por medio de un alambre delgado desde una balanza de resorte y se hace descender
dentro del agua hasta quedar completamente sumergido. ¿Cuáles son las lecturas en las dos balanzas? Sol. 2,34 kgf, 5,36 kgf
23
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
18. Un cilindro de madera uniforme tiene una densidad relativa de 0,6. Determínese la relación entre el diámetro y la longitud del
mismo, para que éste flote casi vertical en el agua. Sol. 1,386
19. ¿Qué fuerza ejercerá el pistón menor de un sillón de dentista para elevar a un paciente de 85 Kg?, si el sillón es de 300 Kg y los
émbolos son de 8 cm y 40 cm de radio. Sol. 151,02 N
20.
En un tubo U se coloca agua y nafta, las alturas alcanzadas son 52 cm y 74 cm respectivamente, ¿cuál es la densidad de la nafta?
Sol. 0,71 g/cm3
21. Un cubo de aluminio =2.7 g(f/cm3) de 3 cm de lado se coloca en agua de mar = 1,025 g(f/cm3). ¿Flotará? Sol. No
22.
Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua 190 gf y en alcohol 210 gf. ¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol? Sol.
Cuerpo: 2,92 gf/cm3, alcohol: 0,798 gf/cm3
Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 g f, ¿cuál = 0,72 g/cmserá el empuje que sufrirá en éter? (3) Sol. 36,69
23.
gf
24. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto está lleno de agua, a 90 cm de la base se le practica un orificio de 2 cm 2 de sección,
determinar: ¿Cuál será la velocidad de salida? Sol. 6,41 m/s. ¿Cuál será el alcance del chorro? Sol. 2,74 m
25.
¿Cuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal es de 0,8 dm3/s y se mantiene un desnivel constante de
50 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido Sol. 2,55 cm2
26. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del líquido. Sol. 108,4 cm/s
27. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm 2, ¿cuál es el caudal de la
corriente? Sol. 800 cm3/s
28. Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando dos secciones de esa cañería; S1 = 5
cm2 y S2 = 2 cm2, ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s? Sol. 20 m/s
29.
Por un orificio sale agua a razón de 180 l/min. Si se mantiene constante el desnivel de 30 cm entre el orificio y la superficie libre
del líquido, ¿cuál es la sección del orificio? Sol. 12,3 cm2
30. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9 cm de la superficie libre del líquido. Sol. 98 cm/s
31. Por un tubo de 15 cm2 de sección sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la cantidad de litros que salen en 30 minutos. Sol. 2700
l
32. El caudal de una corriente estacionaria es de 600 l/min. Las secciones de la tubería son de 5 cm 2 y 12 cm2. Calcule la velocidad
de cada sección. Sol. 2000 cm/s y 83,33 cm/s
33. Una corriente estacionaria circula por una tubería que sufre un ensanchamiento. Si las secciones son de 1.4 cm2 y 4.23 cm2
respectivamente, ¿cuál es la velocidad de la segunda sección si en la primera es de 6 m/s? Sol. 2 m/s
34.
Calcular el volumen que pasa en 18 segundos por una cañería de 3 cm2 de sección si la velocidad de la corriente es de 40 cm/seg
Sol. 2160 cm3
35. ¿Cuál es el caudal de una corriente que sale por una canilla de 0,5 cm de radio si la velocidad de salida es de 30 m/s? Sol. 23,55
cm3/seg
36. Convertir 30 l/min a cm3/seg Sol. 5000 cm3/seg
37. Un tanque provisto de una compuerta circular es destinado a la recolección de agua de mar (S = 1,03) como se muestra en la
figura anexa. Para impedir que la compuerta abra se colocará piedras en el borde inferior de la misma. Determine la masa de
piedra necesaria para evitar que se aperture la compuerta. Masa de la compuerta: 1 tonelada, ángulo de inclinación: 30 º, diámetro
de la compuerta: 10 m. Sol: 10273,52 Kg
38. Un prisma de hielo se ha colocado verticalmente en agua de mar, sobresale 25 m. Determinar su altura total sabiendo que la
densidad del hielo es 0,914 g/cm3 y la densidad del agua de mar es 1,023 g/cm3. Sol: 234,08 m
39.
La velocidad de una corriente estacionaria es de 50 cm/s y su caudal es 10 L/s. ¿Cuál es la sección transversal del tubo?. Sol:
0,02 m2
24
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40. Un cilindro de anime (Sa = 0,68) se encuentra flotando en alcohol (Sal = 0,90). Determine el porcentaje de la altura total del cilindro
que emerge sobre la línea de flotación. Si se colocase hierro en la parte superior del cilindro a fin de sumergirlo totalmente, ¿cuál
es la relación entre la masa de hierro (SFe = 7,8) y la masa de anime? Sol. 24 % de la altura total; mFe/man = 0,322347
41. Un sistema de bombeo funciona a plena carga trasladando petróleo (Sp = 0,87), desde un punto ubicado a 150 metros sobre nivel
del mar (msnm) a otro localizado a 1250 msnm. La presión en la succión es 150 psi y en la descarga 258,6 psi. Calcula el caudal
de fluido manejado por el sistema, sabiendo que la relación de diámetro entre succión y descarga es 3 (Ds/Dd); Dd = 20 cm. Sol.
4,474 m3/s
42. Un tanque presurizado con aire contiene un líquido de peso específico desconocido. El mismo posee una compuerta rectangular
como se muestra en la figura adjunta; si la presión del aire es 200000 N/m2 y la presión en el fondo del tanque es de 500000 N/m2.
Determínese la magnitud de la fuerza de presión y la línea de acción de la misma. Sol: Fp = 42.012.000 N; CG-CP = 0,714 m.
43. En la figura adjunta se presenta un contenedor de aceite (Sa = 0,80), el cual posee dos compuertas cuadradas a los
lados, inclinadas respecto a la horizontal 60 º. Determina cuánto debe ser la máxima altura de fluido "h" que puede estar
presente dentro del contenedor, sabiendo que la resistencia a la rotura del cable AB es de 680.000 Pascales (el cable
AB mantiene ambas compuertas cerradas). Cada compuerta tiene un peso de 50.000 N. El C.G. de las compuertas se
encuentra a 2,5 m del fondo (medido verticalmente). Sol. 6,411 m
44. Sabiendo que: PA – PB = 14.500 psi; dA = 25 cm; dB = 5 cm y S del fluido igual 0,90. Determine el caudal en m3/s. Sol.
0,926 m3/s
45.
Se desea elevar un bloque de hierro (cuyo peso es 650 N) usando una esfera de un material especial (S e = 0,60).
Sabiendo que la línea de flotación de la esfera se encuentra exactamente en su mitad, ¿Cuánto debe ser el volumen de
la esfera? Sol. 1,325 m3
25
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Una esfera de plástico flota en el agua con 50 % de su volumen sumergido. Esta misma esfera flota en aceite con 40 %
de su volumen sumergido. Determine las densidades del aceite y de la esfera. Sol. esfera = 500 kg/m3; aceite = 1250
kg/m3
47. En la figura adjunta se presenta un sistema cilindro – pistón. El pistón transmite una fuerza de 650.000 N a la superficie
de un líquido cuya gravedad específica es 0,52. La sección transversal del pistón es circular. Al lado derecho del cilindro
se ubica una compuerta cuadrada, que tiene libertad para girar alrededor del punto A. Determine, ¿Cuánto debe ser la
magnitud de la fuerza Fx y su línea de acción para que la compuerta permanezca cerrada? Sol. 4605912,72 N; 0,02 m
por debajo del centro de gravedad de la compuerta
46.
PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO
Definir: a) Presión absoluta. b) Presión manométrica, c) Presión atmosférica, d) Escriba la expresión que relaciona Presión manométrica,
Presión absoluta y Presión atmosférica.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Dos vasos de vidrio para beber, con pesos iguales pero diferentes formas y diferentes áreas de sección transversal se llenan con
agua hasta el mismo nivel. De acuerdo con la expresión P = Po + gh, la presión es la misma en le fondo de ambos vasos. En
vista de lo anterior, ¿por qué uno pesa más que le otro?
Si la parte superior de su cabeza tiene un área de 100 cm2, ¿cuál es el peso del aire sobre usted?
El humo sube por una chimenea más rápido cuando sopla una brisa. Con la Ecuación de Bernoulli explique este fenómeno
Una lata de refresco dietético flota cuando se pone en un tanque de agua, en tanto que una lata de refresco ordinario de la misma
marca se sumerge en el tanque. ¿Qué pudiera explicar este comportamiento?
Un pequeño pedazo de acero está pegado a un bloque de madera. Cuando la madera se coloca en una tina con agua con el
acero en la parte superior, la mitad del bloque se sumerge. Si el bloque se invierte, de manera que el acero quede bajo el agua,
¿la cantidad sumergida del bloque aumenta, disminuye o permanece igual?¿qué pasa con el agua en el tubo cuando el bloque se
invierte?
¿Cómo determinaría usted la densidad de una roca de forma irregular?
Una placa plana está inmersa en un líquido en reposo. ¿En que orientación de la placa la presión sobre su superficie plana es
uniforme?
Cuándo un objeto está sumergido en un líquido en reposo, ¿por qué la fuerza neta sobre el objeto es igual a cero en la dirección
horizontal?
¿Cuándo la fuerza de flotación es mayor sobre un nadador: después que él exhala o después de inhalar?
26
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10. ¿Un manómetro sirve para medir presiones absolutas?. Explique muy brevemente.
11. ¿Las presiones absolutas pueden ser negativas?. Explique muy brevemente.
PROBLEMAS PROPUESTOS SIN RESPUESTAS
1.
2.
3.
Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 25 cm en la sección de entrada y de 2000 mm en la sección más angosta, circula un
aceite mineral de densidad relativa 0,80. La caída de presión entre la sección mayor y la de la garganta, medida en el aparato, es
de 0,90 lbf/cm2. Hállese el valor del caudal en m3/s.
Un plano rectangular de 2 m por 4 m, se encuentra sumergido en agua, forma un ángulo de 60º con respecto a la horizontal,
estando horizontales los lados de 2 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza sobre una cara y la posición del centro de presión
cuando el borde superior del plano se encuentra: En la superficie del agua.. A 600 mm debajo de la superficie del agua. A 20 Ft
debajo de superficie del agua.
Un tubo Venturi puede utilizarse como un medidor de flujo de líquido (ver figura). Si la diferencia en la presión P1 - P2 = 15 kPa,
encuentre la tasa de flujo del fluido en Ft3/s dado que el radio del tubo de salida es 2.0 cm el radio del tubo de entrada es 4.0 cm y
el fluido es gasolina (densidad igual a 700 Kg/m3).
4.
Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 0,5 m en la sección de entrada y de 0,01 m en la sección de salida, circula gasolina
de densidad relativa 0,82. Si el gasto volumétrico es de 15 Ft3/min. Determínese la caída de presión entre la sección mayor y la de
la garganta, medida Lbf/pulg2.
5.
Una empresa posee un tanque en donde recolecta grasa animal procedente de su proceso productivo. El grosor de la capa de
grasa es de 0,5 m, debajo de ella se encuentra una columna de agua de 2,5 m de espesor. Determínese la mínima magnitud de la
fuerza F para mantener la compuerta cerrada. Téngase en consideración que la fuerza F es ortogonal a la superficie de la
compuerta, la inclinación de ella con relación al fondo es de 30°. Datos adicionales: Densidad del agua: 9810 N/m 3.. El lado más
largo, horizontal al fondo del tanque mide 4 m.
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6.
Un sistema de riego proporciona un caudal de 2,5 m3/hr a un conjunto de parcelas agrícolas. La tubería principal tiene un diámetro
de 3 pulgadas, el cual se reduce a 1,5 pulgadas antes de llegar al tanque de distribución.
Debido a una situación fortuita la tubería principal (3 pulgadas) sufrió una avería por lo que se remplazará por una tubería de 2
pulgadas. ¿Cuál debe ser el nuevo caudal para que la caída de presión se mantenga igual a las condiciones iniciales?
7.
Una empresa posee un tanque en donde recolecta aceite mineral procedente de su proceso productivo. El grosor de la capa de
aceite mineral es de 10 m. Determínese la magnitud de la fuerza de tracción a la que es sometido el cable de seguridad, el cual
mantiene la compuerta cerrada. Datos adicionales: Densidad del agua: 9810 N/m3, el peso de la compuerta es de 65.600 N, La
compuerta es rectangular, y posee un eje en el fondo del estanque. El lado más largo, horizontal al fondo del tanque mide 4 m
8.
Un ingeniero debe diseñar una reducción para un sistema de transmisión de aceite combustible grado 1 cuya gravedad específica
es de 0,825. A continuación se presentan las características que debe presentar el mencionado diseño: Relación de diámetro: 6
[D1/D2] . Relación entre la presión de entrada y salida: 5 [P1/P2] . Gasto volumétrico que debe manejarse: 6 m3/h . Presión a la
entrada: 100 Pa [Pascales] . Calcúlese los diámetros en centímetros de la entrada y salida de la reducción
28
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
Un tubo posee mercurio y en posición vertical el nivel es de 48 cm. Si se inclina, ¿la presión en el fondo aumenta o disminuye?.
¿Por qué?
A continuación se presenta una configuración experimental (Tubo Venturi) para cuantificar el gasto volumétrico que discurre a
través de una tubería de sección transversal circular. Demuéstrese que el caudal esta dado por la siguiente expresión:
Un prisma de cemento pesa 2.500 N y ejerce una presión de 125 Pa. ¿Cuál es la superficie de su base?
Hallar la aceleración del movimiento de una bola de hierro de densidad relativa 7,8 . a) Al caer por su propio peso en agua, b) Al
elevarse cuando se le sumerge en mercurio de densidad relativa 13,5.
Una bomba eleva el agua de un lago a razón de 0,6 m 3/min, a través de una tubería de 5 cm de diámetro, descargándola en un
punto, al aire libre, a 20 m sobre la superficie libre del mismo. Hallar: La velocidad del agua en el punto de descarga.
La compuerta AB de 1,80 m de diámetro de la figura adjunta puede girar alrededor del eje horizontal C, situado 10 cm por debajo
del centro de gravedad. ¿Hasta qué altura h puede ascender el agua sin que se produzca un momento no equilibrado respecto de
C, del sentido de las agujas del reloj?.
10. Una piedra pesa 54 N en el aire y 24 N cuando esta sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.
(Principio de Arquímedes).
11. Una tubería, que transporta aceite de densidad relativa 0,877, pasa por una sección de 15 cm. (sección E) de diámetro, a otra de
45 cm. (sección R). La sección E está 3,6 m por debajo de la sección R y las presiones son respectivamente 0,930 kg f/cm2 y 0,615
kgf/cm2. Si el caudal es de 146 L/s, determinar la pérdida de carga en la dirección del flujo. (Ver pie de página para aclarar el
concepto de pérdida de carga).
12. Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0,750, conteniendo
aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo del depósito es de 3 kgf/cm2, ¿Cuál es la lectura
manométrica en la parte superior del depósito?. Densidad relativa del mercurio: 13,6; densidad del agua: 1000 Kgf/cm 3.
13. Un iceberg de peso específico 912 kgf/cm2 flota en el océano (1025 kgf/cm2), emergiendo del agua un volumen de 600 m3. ¿Cuál
es el volumen total del iceberg?.
14. Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo
aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es
de 5,25 kgf/cm2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, ¿Cuál es la lectura del
manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 l/s?. Supóngase que no existe pérdidas.
29
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15. La compuerta de la figura adjunta está articulada en B y tiene 1,20 m de ancho. El tramo AB pesa 5000 Kgf y el tramo BC 2500
Kgf, Determine el peso del objeto M para que el sistema se encuentre en equilibrio. El fluido es aceite de densidad relativa igual a
0,8.
16. Un obrero registra la presión interna del fluido a lo largo de un gasoducto. Encuentra 265 psi en una zona, cuya sección
transversal es de 35 pulgadas de diámetro; 2 Km después, mide la misma presión, en una zona cuya sección transversal es de 20
pulgadas. Explique.
30
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WORK PAPER # 3
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212A
TÍTULO DEL WORK PAPER:
Campo y Potencial Eléctrico
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICO
En la Naturaleza existen partículas con carga eléctrica negativa (por ejemplo los electrones) y carga eléctrica positiva (por ejemplo los
protones).
Dos cuerpos con cargas eléctricas de distinto signo se atraen y dos cuerpos con cargas eléctricas de igual signo se repelen. La carga
eléctrica es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en culombios [ C ]
MODOS DE ELECTRIZAR UN CUERPO
POR FROTACION
Al frotar dos cuerpos eléctricamente neutros, uno quedará con carga eléctrica positiva y el otro con carga eléctrica negativa.
POR CONTACTO
Si un cuerpo eléctricamente neutro y aislado, se pone en contacto con un cuerpo eléctricamente cargado, entonces ambos quedarán con
carga eléctrica del mismo signo.
POR INDUCCION
Si se acerca, sin tocarlo, un cuerpo con carga eléctrica ( inductor ) a otro cuerpo eléctricamente neutro y no aislado ( conectado a tierra, por
ejemplo ) y antes de retirar el inductor se aísla el segundo cuerpo, entonces este último quedará con
carga eléctrica de distinto signo a la del cuerpo inductor.
LEY DE COULOMB
La fuerza de atracción o repulsión F que actúa entre dos cargas puntuales ( q1 y q 2 ), es directamente proporcional al producto de las
q q
cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. F  k 1 2 u
r2
9
Donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad: k  9  10
N m2
C2
La fuerza es una magnitud vectorial y en Sistema Internacional ( SI ) se mide en newtons [ N ] .
CAMPO ELECTRICO
Cada carga eléctrica crea en la región circundante un campo eléctrico.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Cuando dos cargas eléctricas están en una misma región, el campo resultante será la suma vectorial de ambos campos.
Este principio es aplicable para cualquier número de cargas eléctricas.
INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO
La intensidad del campo eléctrico ( E ) creado por una carga puntual fija ( q ) sobre una carga de prueba ( q 0 ) que está a una distancia ( r )
de q , se define como la fuerza ( F ) por unidad de carga sobre q 0 y está dada por: E 
9
Donde K es la constante de proporcionalidad: k  9  10
F k q
q0
r2
N m2
C2
La intensidad de campo eléctrico ( E ) es una magnitud vectorial y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en [ N / C ].
DIFERENCIA DE POTENCIAL ELECTRICO
La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B de un campo eléctrico, es el trabajo realizado ( W AB ) , por unidad de carga, al
desplazar una carga positiva q , conservándola siempre en equilibrio, desde B hasta A : V A  V B 
W AB
q
POTENCIAL ELECTRICO
Generalmente se escoge un punto B a una distancia infinita de toda carga eléctrica y se le asigna arbitrariamente al potencial eléctrico VB
el valor cero. De esa forma, el potencial eléctrico en el punto A ( V ) , considerando la ecuación
anterior, se define como: V 
W
q
Donde W representa al trabajo que debe realizar un agente externo para traer desde el infinito una carga positiva q al punto A . El
potencial eléctrico es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en voltios [ V ] . El trabajo también es una cantidad
escalar y se mide en julios [ J ] .
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME
32
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Sean A y B dos puntos en un campo eléctrico uniforme de intensidad E . Si B está a una distancia d de A en la dirección del campo,
entonces:
V A  VB  E  d
POTENCIAL ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTO
El potencial eléctrico debido a una carga punto aislada q , en un punto situado a una distancia r de ella está dado por: V  k
q
r
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
La energía potencial eléctrica ( U ) es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en julios [ J ] .
En un sistema formado por dos cargas punto q 1 y q 2 , la energía potencial eléctrica está dada por la siguiente relación: U  k
q1 q 2
r
Para sistemas formados por más de dos cargas punto, la energía potencial eléctrica es la suma algebraica de las energías potenciales
eléctricas de cada par de cargas.
CUESTIONARIO:
1. ¿Cuáles son las formas de electrizar un cuerpo?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2.
¿Qué es intensidad de campo eléctrico?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3.
¿En qué consiste la potencia eléctrica?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
33
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
WORK PAPER # 4
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212A
TÍTULO DEL WORK PAPER:
Corriente y Resistencia Eléctrica
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
34
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Corriente y Resistencia Eléctrica
CORRIENTE ELECTRICA
La intensidad de corriente eléctrica en un conductor, es la cantidad de carga eléctrica ( q ) que pasa por una
sección transversal de él en una unidad de tiempo.
i
q
La intensidad de corriente eléctrica es una magnitud
t
escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en amperios [ A ] .
RESISTENCIA ELECTRICA
Todo conductor posee una resistencia eléctrica ( R ) , debido a que presenta una cierta oposición al paso de la
corriente eléctrica. Esta resistencia se define como el cuociente entre la diferencia de potencial eléctrico aplicada a
sus extremos y la intensidad de la corriente que circula por él: R 
V La resistencia eléctrica es una magnitud
i
escalar y en el Sistema Internacional ( SI )se mide en ohmios [ W ] .
LEY DE OHM
En todo conductor, la diferencia de potencial ( V ) aplicada entre sus extremos, es directamente proporcional a la
intensidad de la corriente ( I ) que circula por él. Es decir, su resistencia eléctrica ( R ) es independiente de la
diferencia de potencial eléctrico aplicada entre sus extremos: R 
V = constante
i
Es necesario hacer notar que no todos los conductores obedecen esta ley.
RESISTIVIDAD ELECTRICA
La resistividad eléctrica de un conductor ( r ) , es su resistencia ( R ) por unidad de área de su sección transversal (
A ) y por unidad de longitud ( l ): r  R
A
l
La resistividad eléctrica es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en [ W - m ] .
CONDUCTIVIDAD ELECTRICA
La conductividad eléctrica de un conductor ( s ) , es el valor recíproco de su resistividad eléctrica ( r ) : s  1 La
t
conductividad eléctrica es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en siemens / metro [S
/ m].
POTENCIA ELECTRICA
La potencia eléctrica ( P ) es el trabajo ( W ) realizado en transportar una carga eléctrica por unidad de tiempo ( t ) :
P  W La potencia eléctrica es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional ( SI ) se mide en vatios [ W ] .
t
CIRCUITOS ELECTRICOS
CONEXION EN SERIE
Si dos resistencias R 1 y R 2 se conectan en serie, en un circuito eléctrico, la resistencia equivalente R
ambas está dada por la siguiente relación: Requivalente  R1  R2
e
a
CONEXION EN PARALELO
Si dos resistencias R 1 y R 2 se conectan en paralelo, en un circuito eléctrico, la resistencia equivalente R
ambas está dada por la siguiente relación:
e
a
1  1  1
Req R1 R2
LEYES DE KIRCHHOFF
PRIMERA LEY
La suma algebraica de las intensidades de corriente en un nodo es igual a cero.
SEGUNDA LEY
La suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico que se encuentran al seguir un circuito completo es
igual a cero.
LEY DE JOULE
La cantidad de calor ( en calorías ) que produce el paso de una corriente eléctrica por un conductor, está dada por:
Q  0,24 V  i  t[cal]
Donde I es la intensidad de corriente eléctrica, V la diferencia de potencial eléctrico y t el tiempo de circulación
de la corriente.
CUESTIONARIO:
1. Definir los siguientes términos:
35
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Corriente eléctrica, resistencia, Ley de OHM, conductividad y resistividad.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2.
Explique los tipos de conexiones en circuitos eléctricos.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3.
Cuáles son las diferencias entre la Ley de Kirchhoff y la Ley de Joule?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
36
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
WORK PAPER # 5
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212ª
TÍTULO DEL WORK PAPER:
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ESTATICOS
MAGNETOSTATICA
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
37
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ESTATICOS
MAGNETOSTATICA
IMANES NATURALES:
Los primeros fenómenos magnéticos observados fueron relacionados con imanes naturales, como la magnetita (Fe3O4), que tienen la
propiedad de atraer las limaduras de hierro. Además de los imanes naturales, existen otras sustancias que se pueden convertir
artificialmente en imanes por frotamiento con imanes naturales. Una barra de hierro, después de haber sido colocada cerca de un imán
natural, adquiere y conserva esta propiedad de los imanes naturales.
Esta propiedad se presenta con mayor intensidad en ciertos puntos del imán, llamados polos. En el caso de una barra fuertemente imanada,
son dos los polos situados en sus extremos (polos norte y sur). Esta denominación se debe a que, suspendida la barra de su centro de
gravedad, su polo norte se orienta hacia el polo norte geográfico (la brújula).
Esta propiedad se presenta extendida a toda la masa del imán, pues si lo rompemos vuelve a aparecer la bipolarización en cada parte.
RELACIÓN ENTRE LOS FENÓMENOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS:
Observación de Oersted (1777-1851): "Un imán que puede girar alrededor de un eje (una aguja magnética) se desvía al encontrarse en la
proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente".
Observación de Faraday (1791-1867): "En un circuito se produce una corriente instantánea cuando en otro circuito próximo se establece o
se interrumpe una corriente".
Consecuencias de estas observaciones:
Oersted: "El movimiento de cargas eléctricas puede producir efectos magnéticos".
Faraday: "Pueden obtenerse corrientes eléctricas por el movimiento de imanes".
PUNTO DE VISTA ADOPTADO:
Una carga móvil crea en el espacio que le rodea un campo magnético (experiencia de Oersted). Para nuestra determinación del campo
magnético, consideramos la observación opuesta, es decir, que "un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga que se mueve a
través de él".
Por lo tanto, decimos que en un punto del espacio existe un campo magnético si, además de la fuerza electrostática, se ejerce una fuerza
sobre una carga móvil que pasa por dicho punto.
DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO:
El campo magnético es una magnitud vectorial y, por lo tanto, hay que definir su módulo, dirección y sentido.
= campo magnético, inducción magnética o densidad de flujo magnético.
La determinación de la hacemos experimentalmente a partir de un tubo de rayos catódicos (Trabajo de investigación) que consta de:
Cañón electrónico, que lanza electrones con una velocidad controlable.
Pantalla fluorescente, que señala la incidencia del haz de electrones.
Observaciones:
1º Si el haz de electrones se desvía, existe un campo magnético .
2º Se define como dirección de : "la dirección en que ha de moverse una carga para que el campo magnético no ejerza fuerza sobre ella".
Supongamos que esto ocurre cuando, en la figura, tiene la dirección del eje OZ, siendo, por tanto, ésta la dirección de .
3º Cuando la velocidad de la carga móvil es perpendicular al campo magnético, la fuerza que actúa sobre la carga es perpendicular a y , tal
como en la figura.
4º Consideremos que emitimos iones positivos a una velocidad no perpendicular a .
Se observa que la fuerza que actúa sobre la carga, +q, móvil, es perpendicular a y , siendo su módulo proporcional al valor de la carga y a
.
Se define módulo de : "la constante de proporcionalidad entre F y ", es decir
5º La fuerza ejercida sobre una carga positiva es opuesta a la ejercida sobre una negativa para valores fijos de y .
Dado que el sentido de es inmedible (es un ente abstracto inventado), definimos sentido de : "aquél que cumple la relación
donde q viene afectado de su signo".
LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO:
Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas de campo eléctrico, también el campo magnético B puede
ser respresentado mediante líneas de campo magnético. En ambos casos, la dirección del campo viene indicada por la dirección de la
líneas de campo, y la magnitud del campo por su densidad. Existen, sin embargo, dos importantes diferencias entre líneas del campo
eléctrico y líneas de campo magnético:
1.Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga positiva, mientras que las líneas de campo
magnético son perpendiculares a la fuerza magnética sobre una carga móvil.
2.Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas; las líneas de campo magnético
38
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
forman circuitos cerrados. Con los polos magnéticos aislados aparentemente no existen, no hay puntos en el espacio donde las líneas de
campo magnético comiencen o terminen.
Vamos a ver un par de figuras donde se muestran las líneas de campo, tanto fuera como dentro de una barra imanada:
En la primera figura, vemos las líneas de campo magnético dentro y fuera de una barra magnética. Las líneas emergerían del polo norte y
entrarían en el polo sur, pero carecen de principio y fin. En su lugar forman circuitos cerrados.
En esta segunda figura, vemos las líneas de campo magnético que son exteriores a una barra imanada, visualizadas por limaduras de
hierro.
UNIDADES (Sistema MKS):
LÍNEAS DE CAMPO:
Son aquellas curvas que en cada punto son tangentes al campo magnético en ese punto.
En el campo magnético no tenemos manantiales ni sumideros (las cargas eléctricas en el campo eléctrico), por lo tanto las líneas de campo
son curvas cerradas (no ha sido posible aislar una masa magnética, siendo imposible encontrar aislado un polo, el norte o el sur, sino que
se encuentran los dos ligados y hasta la fecha NO han sido detectados MONOPOLOS MAGNETICOS).
FLUJO MAGNÉTICO:
Flujo elemental:
Flujo a través de una superficie S:
Unidades:
LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO:
Como en el campo magnético las líneas de campo son cerradas, el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo,
por lo tanto:
El flujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al flujo saliente
CUESTIONARIO:
Desarrolle la relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
39
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
WORK PAPER # 6
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS: 4 Hojas
ELABORÓ:
CÓDIGO: MAT 212A
TÍTULO DEL WORK PAPER:
MOVIMIENTO DE CARGAS (I) EN CAMPOS
MAGNETICOS
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
40
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
MOVIMIENTO DE CARGAS (I) EN CAMPOS MAGNETICOS
FUERZA DE LORENTZ:
Una carga q moviéndose a velocidad en un campo magnético está sometida a una fuerza . Nótese que en todo momento es
perpendicular a , por lo que el trabajo realizado por esa fuerza es nulo, pero el campo NO es conservativo, es solenoidal.
Si además existe un campo eléctrico , entonces la fuerza que actúa sobre q es:
EFECTO HALL:
Cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético perpendicular a I, aparece una diferencia de
potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa.
PLACA METÁLICA:
Los portadores de carga son electrones (q = - e), por lo tanto la velocidad del electrón es opuesta a I.
Si es el indicado en la figura, resulta que la fuerza que actúa sobre el electrón es:
Vemos, por tanto, que sigue la dirección del eje y, con lo cual hay un desplazamiento de electrones hacia la derecha. El lado derecho de la
placa se carga negativamente y el izquierdo positivamente.
Aparece un campo eléctrico en el sentido del eje y, y en consecuencia una diferencia de potencial entre los bordes de la placa.
FUERZA ELECTROMOTRIZ (f.e.m.):
Esta fuerza es un claro ejemplo de la fuerza no electrostática, , que nos aparecía en el estudio de la f.e.m. en un generador, de manera que
en nuestro caso Fn = qvB.
Según se acumulan electrones en el borde, el campo eléctrico E va aumentando hasta que la fuerza Fe = qE que actúa sobre un electrón
debido a , contrarresta a la fuerza Fn, llegándose a un equilibrio estacionario en el que qE = qvB, con lo cual E = vB.
Recordando que la densidad de corriente es , en nuestro caso j = nqv, luego resulta que .
Recordad que y que I = jS, donde:
Por lo tanto, el efecto Hall nos permite determinar El número de cargas q por unidad de volumen: n
MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS MAGNETICOS
MOVIMIENTO CIRCULAR
Consideramos el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme, de tal manera que la partícula se mueve con una
velocidad perpendicular al campo .
La fuerza que actúa sobre la carga es , por lo tanto, en todo momento y son perpendiculares, existiendo exclusivamente una fuerza
normal, por lo cual la carga describe una circunferencia.
Como la aceleración normal es , si es r el radio de la órbita, resulta:
donde m es la masa de carga. La velocidad angular es v = wr, con lo cual
Nótese que w es independiente de v. Veamos la expresión vectorial de la velocidad angular: , y como
entonces tenemos que
Nótese que en la anterior expresión deducimos que , pero como , resulta finalmente la expresión recuadrada.
MOMENTO HELICOIDAL:
Consideramos el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme , pero ahora la velocidad no es perpendicular a .
Descomponemos en dos velocidades: una paralela a y otra perpendicular a : , y como , por superposición, resulta que , donde
Resulta que , lo que nos proporciona un movimiento rectilíneo y uniforme y, debido a , resulta un movimiento circular. La superposición de
estos dos movimientos es una hélice de paso constante. Nótese que en la figura la hélice corresponde a q negativa.
Si B no fuese constante, resultaría que r variaría y, por lo tanto, la anterior hélice no sería circular, sino que el radio de la hélice decrecería
(si B aumenta) o aumentaría (si B disminuye).
ESPECTROMETRO DE MASAS:
Consta de los siguientes elementos:
I = fuente emisora de iones (para electrones puede ser un simple filamento caliente).
S1 y S2 = rendijas estrechas, a una diferencia de potencial V, por las que pasan los iones.
P = placa fotográfica donde se registra el impacto del ion.
Por debajo de las rendijas existe un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del papel, y dirigido hacia el observador.
VELOCIDAD DE SALIDA DEL ION:
La variación de energía cinética del ion es igual a la energía potencial adquirida:
(1) Al incidir el ion perpendicularmente al campo , describirá una órbita circular de radio r, definido por
(2) Tratamos de determinar la relación ; combinando (1) y (2):
41
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
donde B, V y r son cantidades medibles.
APLICACIÓNES:
1.Conocida la carga q, podemos medir la masa del ion.
2.Detección de isótopos: dos partículas de igual carga pero diferente masa, describen circunferencias de radios diferentes.
3.Comprobación de los principios relativistas, es decir, de la variación de la masa con la velocidad: y, en consecuencia, determinar la
invarianza de la carga.
CUESTIONARIO:
1. Definir los siguientes términos: Fuerza de Lorente y Electromagnetica
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
42
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 001
HIDRODINÁMICA
1) Convertir 240 l/min en cm ³/s. Respuesta: 4000 cm ³/s
2) Calcular la presión hidrodinámica de una corriente estacionaria de 60 cm/s de agua, si la presión hidrostática es de 11,76
N/cm ².. Respuesta: 11,78 N/cm ²
3) La diferencia de presión de una corriente estacionaria de petróleo es de 120 gf/cm ². ¿Cuál es la diferencia de altura (ρ = 0,92
gf/cm ³). Respuesta: 1,30443 m
4) Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm ², ¿cuál es el caudal de la
corriente?. Respuesta: 800 cm ³/s
5) Por un caño de 5 cm ² de sección circula agua a razón de 30 cm/s. ¿Cuál será el volumen del agua que pasó en 25 s?.
Respuesta: 3,75 cm ³
6) Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando dos secciones de esa cañería,
S1 = 5 cm ² y S2 = 2 cm ², ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s?. Respuesta: 20 m/s
7) El caudal de una corriente estacionaria es de 18 dm ³/s, si las secciones son de 4 cm ² y 9 cm ², calcular las velocidades en
cada sección. Respuesta: 45 m/s y 20 m/s
8) Calcular la sección de un tubo por el cual circula un líquido a una velocidad de 40 cm/s, siendo su caudal de 8 dm ³/s.
Respuesta: 200 cm ²
9) Por un caño de 12 cm ² de sección llega agua a una pileta de natación. Si la velocidad de la corriente es de 80 cm/s, ¿cuánta
agua llegará a la pileta por minuto?. Respuesta:57,6 dm ³
10) Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del líquido. Respuesta: 108,4
cm/s
11) ¿A qué llamamos hidrodinámica?.
12) ¿Qué entiende por corriente estacionaria?.
13) ¿Qué es caudal de una corriente estacionaria?.
14) ¿Qué relación existe entre la velocidad y las presiones ejercidas sobre las paredes de una cañería?
15) Un prisma de hielo posee una densidad de 0,914 g/cm ³, colocado en agua de mar (δ = 1,025 g/cm ³) en forma vertical,
flota. Si sus dimensiones son 4 m de alto, 1,2 m de ancho y 2 m de largo,determinar que parte del prisma emerge del agua.
Respuesta: 0,316 m
16) Un prisma de hielo colocado verticalmente en agua de mar, sobresale 2,5 m,determinar su altura sabiendo que la densidad
del hielo es 0,914 g/cm ³ y del agua de mar g/cm ³. Respuesta: 23,08 m
17) Un barco pasa de agua del mar (δ = 1,025 g/cm ³) al agua de río (δ = 1 g/cm ³). Si desplaza 15000 toneladas de agua,
determinar que volumen extra desplazará en agua de río. Respuesta: 12000 m ³
18) Una boya esférica cuyo volumen es de 6,2 m ³ pesa 15400 N y el aparato luminoso pesa 3600 N, ¿cuál será el peso del
lastre para que se hunda hasta la mitad en agua de mar? (δ = 1,025 g/cm ³). Respuesta: 12775 N
19) Una barcaza de río se hunde hasta 0,8 m, está cargada y pesa 200000 N, ¿cuál será el área horizontal de la misma?.
Respuesta: 25 m ²
20) Un submarino desciende en el agua de mar hasta 10,92 m, ¿cuál es la variación de presión que soporta (δ = 1,025 g/cm ³)?.
Respuesta: 1,098 Pa
21) Una esfera de hierro pesa 150 gf (δ = 7,8 gf/cm ³) y flota en mercurio (δ = 13,6 gf/cm ³), ¿cuál es el volumen de la esfera
que sobresale de la superficie del líquido?. Respuesta: 8,21 cm ³
22) ¿Cuál será el volumen de un témpano (δ = 0,92 g/cm ³) que flota en agua de mar (δ = 1,025 g/cm ³) y de la cual sobresalen
84 m ³?. Respuesta: 820 m ³
43
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 002
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICO
PROBLEMAS.
1. Dos esferas pequeñas cada una de las cuales pesa 310–5 N, se hallan sujetas a hilos de seda de longitud a que penden de un punto en
común. Cuando se suministra a las esferas una cantidad igual de carga negativa, los hilos se separan formando un ángulo de 30°, tal como
se muestra en la figura 1. Determinar la longitud del hilo a.

30°
a

a
a
m
m
m
Fig. Prob. 1.
d
Fig. Prob. 2.
Fig. Prob. 3.
2. Dos esferas pequeñas de masa m, están sujetas a hilos de seda de longitud a, tal como se muestra en la figura 2. Cuando se suministra a
las esferas una cantidad igual de carga pero de signos opuestos las esferas se atraen, por lo cual los hilos forman un ángulo  con la
vertical. Determinar las longitudes de los hilos.
3. Dos esferas pequeñas de masa m, se hallan sujetas a hilos de seda de longitud a, como se muestra en la figura 3. Las dos esferas
poseen cargas +q, por lo cual las esferas se muevan un ángulo  de la vertical. Determinar la distancia recorrida por cada esfera, al
desplazarse las mismas este ángulo .
4. Calcular la velocidad que adquiere una esfera de 1 g de masa, cargada con 10 –4 C como consecuencia de su paso de un punto de
potencial V1 = 12000 V a otro potencial V2 = – 8000 V.
5. En cada una de las configuraciones de carga siguientes, determinar el campo y el potencial eléctrico en el centro de la configuración:
– q
+¼q
–q
a
–¾q
a
+q
–¼q
+q
a)
b)
6. En base a la figura a) del problema 5), determinar el trabajo necesario para llevar la carga –q hasta el centro de la línea que une las
cargas – ¾ q y +q.
7. En base a la figura b) del problema 5), determinar el trabajo necesario para llevar la carga +q hasta el centro de la configuración de
cargas.
8. ¿ A que distancia (punto P) situada en el eje de la configuración de cargas siguiente, el potencial es 2 V ?. Las cargas eléctricas se
encuentran separadas una distancia a.
– 3e
+e
P
9. Una esfera conductora uniformemente cargada de diámetro d posee una densidad de carga superficial . ¿ Cual es el flujo eléctrico que
abandona la superficie de la esfera ?.
10. Dos esferas huecas concéntricas de radios r1 y r2 (r2 > r1) dividen el espacio en tres zonas. En la zona comprendida entre ambas esferas
existe una densidad volumétrica de carga . Determínese el campo eléctrico y su potencial, en función del radio, de la zona intermedia entre
las dos esferas.
44
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 003
CAPACITANCIA, CORRIENTE ELÉCTRICA Y RESISTENCIA
PROBLEMAS.
1. Encontrar la capacidad efectiva en el sistema de condensadores de las figuras. Considere que todos los condensadores poseen una
capacidad de 5F.
C4
C4
C1
C2
C3
C1
C2
C5
C3
C5
Fig. Prob. 1a)
Fig. Prob. 1b)
2. En un condensador de placas paralelas se ponen cuatro dieléctricos llenándolo como se muestra en las figuras. Determinar la capacidad
efectiva de estos condensadores.
K1
K2
K3
K4
K1
K2
K3
K4
K5
K6
Fig. Prob. 2a)
Fig. Prob. 2b)
3. Graficar el circuito equivalente para cada figura del problema 2.
4. Dos condensadores de 5F y 6F se conectan en serie y se les aplica un potencial de 300 V. Calcular la energía total almacenada en el
sistema.
5. Determinar la densidad del Aluminio (Al) sabiendo que la velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre de dicho material
de calibre 10 (diámetro = 2.588 mm) es 410–3 cm/s, el cual transporta una corriente de 2 A.
6. El tercer carril (portador de corriente) de una vía de metro está hecho de acero y tiene un área de sección recta de aproximadamente 50
cm2. ¿ Cual es la resistencia de 15 km de esta vía ?.
7. En los circuitos eléctricos siguientes, determinar la resistencia efectiva. Todas las resistencias poseen un valor de 5 .
Fig. Prob. 7a)
Fig. Prob. 7b)
8. En los circuitos eléctricos siguientes,
45
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
a)
b)
determinar la corriente eléctrica en cada punto del circuito,
determinar la energía disipada en cada resistencia.
5
+
15
–
10 
5
–
18
+
5
10 
+
15
–
5
10 
5
10 
5
Fig. Prob. 8a)
5
+
15
–
Fig. Prob. 8b)
10 
5
10 
5
5
Fig. Prob. 8c)
–
18
+
5
5
–
18
+
+
15
–
10 
5
5
10 
–
18
+
5
5
Fig. Prob. 8d)
46
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 004
CAMPOS MAGNÉTICOS
PROBLEMAS.
1. Un conductor recto de 10 m de largo que lleva una corriente de 3 A, está en el interior de un campo magnético uniforme de 1.5 T. El
conductor forma un ángulo de 37° con la dirección de B. ¿ Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre el conductor ?.
2. Por el segmento de conductor de la figura 1) circula una corriente de 2 A desde a hasta b. Existe un campo magnético de B = 1 kT. Hallar
la fuerza total sobre el conductor y demostrar que es la misma que si todo el conductor fuese un segmento recto desde a hasta b.
3. Un protón se mueve en una órbita circular de radio 80 cm perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0.5 T. a) ¿ Cuál es el
periodo correspondiente a este movimiento ?. b) Hallar la velocidad del protón. c) Hallar la energía cinética del protón.
4. Un electrón que posee una energía cinética de 20 MeV se mueve en una órbita circular en el interior de un campo magnético de 20 T. a)
Hallar el radio de la órbita. b) Hallar la frecuencia angular y el periodo de movimiento.
5. Una partícula alfa se mueve en una trayectoria circular de radio 0.5 m en el interior de un campo magnético uniforme de 1 T. Hallar a) el
periodo, b) la velocidad y c) la energía cinética de la partícula alfa. La masa de la partícula alfa posee un valor de m = 6.6510–27 Kg.
6. Una partícula ionizada de 24Mg se acelera a través de un potencial de 2000 V y se desvía en un campo magnético de 50 T que existe en
un espectrómetro de masas. a) Hallar el radio de curvatura de la órbita del ión. b) ¿ Cuál es la diferencia de los radios para los iones de 24Mg
y 26Mg ?.
7. Si las corrientes de la figura 2) circulan en el sentido negativo del eje de las x, hallar B en los puntos situados en el eje y en a) y = –3 cm,
b) y = 0, c) y = 3 cm, d) 9 cm.
8. La corriente en el conductor de la figura 3) es 8 A. Hallar B en el punto P debido a cada segmento del conductor y sumar para hallar el
valor resultante de B.
9. Determinar el campo magnético en el centro de una espira circular que lleva una corriente I.
10. Hallar el campo magnético en el centro de una espira cuadrada de lado a = 1 m como se muestra en la figura 4), por la que circula una
corriente de 1 A.
z
z
4 cm
3 cm
y = – 6 cm
y
y
y = + 6 cm
x
Figura 1)
x
Figura 2)
2 cm
1 cm
a = 1m
P
Figura 3)
Figura 4)
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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 005
LEY DE FARADAY – LEY DE LENZ
LEY DE FARADAY – HENRY
PRIMER ENUNCIADO:
Consideremos los dos casos anteriores:
1º Trato de determinar el flujo de a través del circuito.
Para ello tomo el criterio de que tiene el sentido de avance del sacacorchos que gira con el sentido de la corriente inducida i.
Por lo tanto obsérvese que
2º Caso de la espira. De acuerdo con nuestro criterio, tiene el sentido indicado en la figura superior.
vemos por lo tanto que para este caso también se cumple que
Enunciamos pues la ley de Faraday-Henry como:
En un campo magnético variable con el tiempo, se induce una f.e.m. en cualquier circuito cerrado que es igual a menos la derivada respecto
al tiempo del flujo del campo magnético a través del circuito:
SEGUNDO ENUNCIADO:
El campo magnético es dependiente del tiempo, y en consecuencia lo es el flujo
Si existe , se induce una corriente en un circuito cerrado, lo cual implica la existencia de un campo eléctrico que, en general, también
depende del tiempo, de tal forma que en cada punto se induce un campo eléctrico (de origen no electrostático) tal que la f.e.m. del circuito
cerrado es
Enunciamos ahora la ley de Faraday-Henry así:
Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que su circulación a lo largo de un camino
arbitrario cerrado es igual a menos la derevada con respecto al tiempo del flujo magnético a través de una superficie limitada por el camino
cerrado:
LEY DE FARADAY – HENRY EN FORMA DIFERENCIAL:
Aplicando el teorema de Stokes:
Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que en cada punto del espacio el rotacional del
campo eléctrico es igual a menos la derivada parcial de con respecto al tiempo:
LEY DE LENZ:
"El sentido de una corriente inducida es tal que se opone a la causa que lo produce".
CAUSA: MOVIMIENTO DE UN CONDUCTOR EN UN CAMPO MAGNÉTICO:
1º Causa: La corriente i ha de tener un sentido tal que la fuerza que actúe sobre el conductor debida a esta corriente, por estar en presencia
de , ha de ser opuesta a .
2º Causa: La corriente i ha de tener un sentido tal que el momento sobre la espira se oponga al sentido de la rotación .
En la figura vemos por el par de fuerzas , y también a través del momento dipolar magnético:
CAUSA: LA VARIACIÓN DE FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE UN CIRCUITO FIJO:
Nota: Haz click sobre la figura para ver su evolución.
La corriente inducida i ha de tener un sentido tal que el campo magnético, , creado por esta corriente en el interior del circuito, se oponga al
campo en el caso en que , y aumenta el campo en el caso en que .
BETATRON:
DESCRIPCIÓN DEL APARATO:
Ideado en 1941 por D. Kerst, consta de un tubo toroidal colocado en un campo magnético con simetría axial, , en el que se inyectan
electrones a muy baja velocidad y son acelerados por el campo eléctrico inducido debido a que es oscilatorio y varía con t.
Los electrones describen una órbita circular mientras , y al final de esta etapa son deflectados para que puedan incidir en un blanco.
DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO INDUCIDO:
Debido a la simetría del problema , se desprende que depende exclusivamente de r, siendo las líneas de campo circunferencias con centro
en el eje del betatrón.
Aplicando la ley de Faraday a una línea del campo eléctrico , resulta:
Llamando al campo magnético medio en la región definida por S, es:
Por lo tanto, nos queda:
CONDICIÓN PARA QUE EL ELECTRÓN DESCRIBA UNA ÓRBITA CIRCULAR:
Suponemos que ; de acuerdo con la ley de Lenz, el campo eléctrico inducido tiene el sentido indicado en la figura.
Si e describe una trayectoria circular, sobre el electrón actúan dos fuerzas: debida a , y , debida a , con los sentidos indicados en la figura:
Como
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queda
FN = evB, y como nos queda p = erB
Si la trayectoria es circular: por lo tanto
VELOCIDAD MÁXIMA DEL ELECTRÓN:
La variación de B con t es la de la figura:
Como en la práctica se inyectan los electrones a muy baja velocidad , y como p = erB, han de inyectarse en el punto 1 del gráfico (B = 0).
Como la velocidad aumenta mientras , el electrón ha de expulsarse en el punto 2 del gráfico, por lo tanto:
pmáx = erB0
y la máxima energía cinética es:
ALTERNADOR Y DINAMO:
FUNDAMENTOS: Es la espira rectangular girando en un campo magnético uniforme con velocidad angular constante w. Como hemos visto,
ALTERNADOR: Es un generador de corriente alterna:
El esquema es el de la figura, siendo la diferencia de potencial vab en cada instante igual a la f.e.m. inducida:
DINAMO: Es un generador de corriente continua:
El anillo está partido, de forma que desde t=0 a la respuesta es idéntica a la del alternador, y desde a resulta que , siendo la respuesta la
de la figura:
Para que la respuesta sea una corriente continua, se ponen más espiras desfasadas un ángulo acorde con el número de espiras que se
coloquen.
DINAMO DE FARADAY Consiste en un disco metálico de radio R, que gira con velocidad angular constante , y se encuentra en un campo
magnético uniforme , paralelo a .
Considerando el elemento ds, de carga dq, la fuerza es , siendo . Como v = wr, resulta que En = wrB.
La f.e.m. inducida entre el centro y el borde en el pequeño sector circular es:
Todos estos sectores elementales están conectados en paralelo, por tanto
Aplicando la ley de Faraday:
por lo tanto, el módulo de la f.e.m. inducida es siendo
AUTOINDUCCION "Se llama autoinducción de un circuito a la formación de corrientes inducidas en el circuito cuando se produce en él
variación del propio flujo".
Consideramos un circuito por el que circula una corriente de intensidad I:
Esta corriente produce un campo magnético , que sabemos que en cada punto es proporcional a la intensidad I; recordad que el campo
creado por una espira cerrada es:
FLUJO PROPIO = ØI: Es el flujo magnético a través del circuito debido a su propio campo magnético.
Debido a que el campo es proporcional a I, resulta que el flujo propio es también proporcional a I, por tanto:
COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN, AUTOINDUCCIÓN O AUTOINDUCTANCIA = L:
Es la constante de proporcionalidad entre el flujo propio y la intensidad.
F.E.M. INDUCIDA: Si la intensidad I varía con el tiempo, el flujo propio ØI también varía con el tiempo, y por lo tanto se induce una f.e.m. en
el circuito, siendo: es decir:
SIGNO DE LA F.E.M. INDUCIDA:
Aplicamos la ley de Lenz:
Nota: Haz click sobre el dibujo para ver la siguiente figura.
"La f.e.m. inducida, , actúa de forma que se opone a la variación de corriente".
NOTAS:
1ª Consideramos circuitos de autoinducción constante, ya que L puede variar por ser función de la intensidad (sustancias ferromagnéticas) o
por variar la forma del circuito, y entonces sería
2ª Representamos una autoinducción por el símbolo
con lo que indicamos que un conductor tiene una autoinducción apreciable, pero ha de recordarse que la autoinducción es una propiedad
del circuito completo.
APLICACIÓN:
"Establecimiento de una corriente en un circuito RL"
Debido a la f.e.m. autoinducida, la corriente no alcanza inmediatamente su valor final en el instante de cerrar el circuito, si no que va
aumentando a un ritmo que depende de L y de R.
En el instante inicial .
Hemos visto que se opone a la variación de la corriente, por lo tanto se opone a , quedando:
Nótese que . Nos queda, por tanto:
Considerando las condiciones iniciales:
ENERGÍA ALMACENADA EN UNA AUTOINDUCCIÓN:
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Consideramos el circuito RL de la aplicación del apartado anterior (autoinducción):
donde se cumplía:
en donde:
Nótese que todas estas potencias dependen del tiempo.
La potencia es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer el campo magnético asociado a la autoinducción:
Por lo tanto, la energía total suministrada desde i = 0 hasta i = I es , por lo tanto
Por tanto, " es la energía cedida a la autoinducción y se utiliza para establecer el campo magnético que la rodea, en cuyo campo se
almacena en forma de energía potencial mientras se mantenga la corriente".
ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO:
Puede demostrarse, aunque no se hará, que la energía de un campo magnético puede calcularse a partir de la expresión:
donde dv es el elemento de volumen. Por tanto, todo ocurre como si la energía estuviera repartida por el espacio con una densidad:
INDUCCION MUTUA:
Consideramos dos circuitos C1 y C2, que en principio son fijos:
Si hacemos circular una corriente I1 por el circuito C1, aparece un campo magnético , de tal forma que B1 es proporcional en cada punto a
I1.
Como B1 es proporcional a I1, resulta que Ø2 es proporcional a I1, de tal manera que podemos poner:
donde M21 es el "coeficiente de inducción (o inductancia) mutua", y se mide en henrios.
Si I1 varía con el tiempo, se induce una f.e.m. en el circuito C2, siendo:
Si hacemos circular una corriente I2 por el circuito C2
entonces aparece un campo magnético , de tal forma que B2 es proporcional a en cada punto a I2.
Como B2 es proporcional a I2, resulta que Ø1 es proporcional a I2, de tal manera que podemos poner:
Si I2 varía con el tiempo, se induce una f.e.m. en el circuito C1, siendo:
Se puede demostrar que M21 = M12, es decir: "el coeficiente de inducción mutua depende de las formas de los circuitos y de su orientación
relativa":
quedando:
APLICACIÓN 1:
Calcular el coeficiente de inducción mutua entre los circuitos 1 y 2 de la figura:
El circuito 1 es un conductor rectilíneo infinito, recorrido por una intensidad I. El circuito 2 es una espira conductora cuadrada, de lado a,
situada a una distancia a del conductor infinito.
Solución:
APLICACIÓN 2:
Una bobina de N vueltas está enrollada en un solenoide toroidal con n vueltas por unidad de longitud y sección transversal S. Calcular el
coeficiente de inducción mutua en ambos circuitos:
S = área de la sección transversal del solenoide
Se trata de un flujo magnético a través del solenoide cuando circula una corriente por la bobina, o flujo magnético a través de la bobina
cuando circula una corriente por el solenoide.
Tenemos:
Ya sabemos que en el interior del toroide B = µ0nI :
quedando M = µ0nNS.
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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 006
ECUACION DE MAXWEL
Introducción a los campos físicos:
Un campo físico
-
f puede ser definido por dos magnitudes básicas: su cuadripotencial y la densidad de acción en vacío.
El cuadripotencial, a , es un cuadrivector que, para toda partícula de masa m y carga eléctrica e, verifica, en cualquier diferencial de
punto (dx1, dx2, dx3, dx4) del espacio (M4, R), y en cualquier base ortonormal, {u} que
   rx .dx r .dx s
e 
f (u j )  i.

. A j .u j ,
m.c 2 
  Ak .dx k
( j  1,2,3,4)
El vector A  ( A1 , A2 , A3 ) definido por las tres primeras componentes del cuadripotencial, se llama potencial vectorial del campo físico.
También, f = i.A4, donde es A4 la cuarta componente del cuadripotencial, se llama potencial escalar del campo físico.
La densidad de acción en el vacío viene dada por la expresión
U
i
c3
2
F jk 
.R.  
16c
16k
Donde es i la unidad imaginaria de los números complejos, k es una constante llamada gravitatoria, c es la velocidad de la luz en el vacío, R
es la curvatura escalar de Riemann, y Fjk es el tensor antisimétrico de segundo órden dado por:
F jk 
Ak A j

x j x k
y, finalmente, -  es el determinante de Fjk. Al tensor Fjk se le llama tensor campo electromagnético del campo físico.
1.Definición:
1.1.El campo electromagnético: Un campo electromagnético es un campo físico que tiene nula la curvatura escalar de Riemman:
R = 0
En estas condiciones, se verifican las expresiones siguientes: - Para el cuadripotencial:
o bien,
   rx .dx r .dx s
e 
f (u j )  i.

. A j .u j ,
m.c 2 
  Ak .dx k
f (u j )  i.A j .u j ,
( j  1,2,3,4)
( j  1,2,3,4)
La carga eléctrica de cada partícula material es, pues, la magnitud mediante la cual puede ponerse de manifiesto la existencia de un
campo electromagnético. O sea, una partícula material interactúa con un campo electromagnético solamente si tiene carga eléctrica no
nula, es decir, si está "cargada". Este es el sentido de algunas definiciones que damos a continuación al objeto de establecer un
criterio matemático para la causalidad del campo electromagnético.
Las causas del campo:
Se denominan causas del campo electromagnético en un punto fijo, N, del espacio-tiempo (M4,R), a la carga eléctrica de las partículas
constituyentes de las distribuciones materiales, y a sus movimientos respecto del punto fijo. N.
A la carga eléctrica de la distribución se le llama causa escalar del campo, y al producto de la carga eléctrica por la velocidad del
sistema respecto al punto N de referencia, se le llama causa vectorial del campo, o también, corriente eléctrica.
Se tienen, pues, las siguientes definiciones para un sistema de partículas inmerso en el campo:
Causa escalar:............... q = ek
Causa vectorial:............
n = q.v
Cuadricausa:.................
nj = q.xj, j = 1,2,3,4
Se definen, asimismo, las densidades de causa escalar, o densidad de carga eléctrica, la densidad de causa vectorial, o densidad de
corriente, y, finalmente, la densidad de cuadricausa, o cuadridensidad de corriente, como las respectivas causas escalar o vectorial, por
unidad de volumen en (M4,R).
Que pueden expresarse, utilizando la función Delta de Dirac, de la forma:
Densidad de carga:....................
Densidad de corriente:..............
   ek . (r  rk )
j  .v   ek . (r  rk ).v
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Cuadridensidad de corriente:.....
Siendo
 (r  rk )
J j  .
dx j
dt
  ek . (r  rk ).
dx j
dt
la función Delta de Dirac.
1.2.Los vectores campo:
Se definen dos vectores fundamentales a partir de las causas del campo:
- Vector campo eléctrico es el vector dado por la expresión
E 
- Vector campo magnético, que se define por:
1 A
  e
c t
H   xA
Estos vectores, así definidos, permiten expresar el tensor campo electromagnético sin necesidad de que aparezcan las derivaciones
parciales.
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