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PPTCCO001MT21-A17V1
MT-21
Clase
Generalidades de números reales
Aprendizajes esperados
 Identificar los conjuntos numéricos y sus características.
 Comprender los conjuntos numéricos en función de los problemas
asociados a ellos.
 Reconocer las propiedades de los números reales.
 Clasificar los números enteros en función de sus características.
 Determinar divisores y múltiplos de números naturales.
Pregunta oficial PSU
1. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número
entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un
número divisor
de 12. ¿Cuál
¿Qué significa
que pde las siguientes expresiones tiene por
resultado siempre
un número racional NO entero?
sea un múltiplo
A)
p
s
B)
r
q
C)
q
p
D)
E)
positivo de 6?
¿ Qué valores
¿Cuáles son los
podrían ser r?
números racionales
¿Por qué?
NO enteros?
s
r
s
q
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016
1. Conjuntos numéricos
2. Propiedades
3. Clasificación
4. Posición y valor absoluto
1. Conjuntos numéricos
1.1 Conjuntos numéricos
Diagrama representativo
IN
IN0
Z
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z = {…, – 3,Q*
– 2,
3, …}
= – 1,...0,
 1,32,
, 
2 ,  ,
Q
Q=
Q*
II
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
C
bII = {─ i, ─ 2i, 3i,…}
C = {─IR
3 ─= i,Q─Ui, Q*
176,…}
i: unidad imaginaria, cuyo valor es  1
a
R
IN  IN0  Z  Q  IR  C
 ,...
1. Conjuntos numéricos
1.2 Ejemplo
Si a y b son números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I.
a
representa a número irracional.
a
pertenece a los enteros, entonces a y b son enteros.
b
II.
Si
III.
Si c  a  b 
ALTERNATIVA
CORRECTA
 1 , entonces c es un número complejo.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas.
C
Más información en la página 12 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 3 y 4 de tu guía.
2. Propiedades
2.1 Propiedades en los reales
Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
Conmutatividad
a+b=b+a
a∙b=b∙a
Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Distributividad
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c
2. Propiedades
2.1 Propiedades en los reales
Elemento neutro aditivo
a+0=0+a=a
Elemento neutro multiplicativo
a∙1=1∙a=a
Inverso aditivo (opuesto)
El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a)
Inverso multiplicativo (recíproco)
Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es
1
a
2. Propiedades
2.2 Ejemplo
La suma entre el doble del recíproco de
1
y el neutro multiplicativo,
4
menos la diferencia entre el opuesto de (– 3) y el neutro aditivo, es
A) 13
B)
6
C) 12
D)
7
E) 13
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Más información en las páginas
12 y 13 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 1 y 2 de tu guía.
3. Clasificación
3.1 Paridad e imparidad
• Números pares:
Números de la forma 2n, con n perteneciente a ℤ.
• Números impares: Números de la forma (2n + 1), con n perteneciente a ℤ
3.2 Múltiplos
Los múltiplos de un número entero son aquellos que se obtienen al
multiplicarlo por algún otro número entero.
3. Clasificación
3.3 Divisores
Los divisores de un número entero son aquellos números enteros que
lo dividen exactamente (división con resto cero).
3.4 Números primos
Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí
mismos (solo tienen 2 divisores).
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}
El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.
3. Clasificación
3.5 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales,
corresponde al menor de los múltiplos positivos que tienen en común.
3.6 Máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números naturales corresponde
al mayor de los divisores positivos que tienen en común.
3. Clasificación
3.7 Ejemplo
La suma entre los divisores primos de 186, es múltiplo de
A) 37
B) 31
C) 17
D) 10
E) 6
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
Más información en las páginas
13 y 14 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 13 y 17 de tu guía.
4. Posición y valor absoluto
4.1 Consecutividad numérica
• Sucesor
Todo número entero tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su sucesor será (n + 1).
• Antecesor
Todo número entero tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su antecesor será (n – 1).
Enteros consecutivos
(n – 1)
antecesor
n
(n + 1)
sucesor
4. Posición y valor absoluto
4.2 Valor absoluto
El valor absoluto de un número representa la distancia del número al cero
en la recta numérica.
Por ejemplo, la distancia del 2 al origen es dos unidades, igual que la
distancia del (– 2) al origen. La notación es: |2| = 2 y |– 2| = 2
-2
0
2
2 unidades 2 unidades
4. Posición y valor absoluto
4.3 Ejemplo
La suma entre el antecesor del sucesor par de |– 4| y el antecesor del
doble de | 8 | es
A)
12
B)
21
C)
20
D)
15
E) – 11
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
Más información en la página 13 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 8 y 9 de tu guía.
Pregunta oficial PSU
Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero
positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número
divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por
resultado siempre un número racional NO entero?
A)
p
s
B)
r
q
C)
q
p
D)
E)
s
r
s
q
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Síntesis de la clase
Recordemos…
-
¿Qué propiedades de los números reales conoces?
-
¿Cómo se puede expresar la suma de dos números pares
consecutivos?
-
¿Cuál es la diferencia entre los número racionales e irracionales?
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
D
Números racionales
ASE
2
C
Números racionales
ASE
3
C
Números racionales
ASE
4
E
Números racionales
ASE
5
E
Números racionales
ASE
6
A
Números racionales
ASE
7
D
Números racionales
Comprensión
8
D
Números racionales
Comprensión
9
A
Números racionales
Comprensión
10
D
Números racionales
Comprensión
11
C
Números racionales
Comprensión
12
B
Números racionales
Comprensión
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
E
Números racionales
ASE
14
D
Números racionales
ASE
15
C
Números racionales
ASE
16
C
Números racionales
ASE
17
E
Números racionales
18
B
Números racionales
ASE
Aplicación
19
B
Números racionales
ASE
20
B
Números racionales
ASE
21
C
Números racionales
ASE
22
E
Números racionales
ASE
23
E
Números racionales
ASE
24
A
Números racionales
ASE
25
B
Números racionales
ASE
Equipo Editorial
Matemática
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