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PPTCANLCLC003001V3
MT-21
Clase
Operatoria en racionales
PPTCES019MT21-A17V1
Resumen de la clase anterior
Recordemos la clase anterior…
-
¿Cuáles son los números primos?¿Es el 1 un número primo?
-
¿Qué significan para ti las siglas m.c.m. y M.C.D.?
-
¿En qué se diferencian el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de
un número? ¿Todos los números reales tienen ambos inversos?
Aprendizajes esperados
• Comprender el conjunto de los reales como un conjunto ordenado, donde se
puede establecer siempre una relación de orden entre dos elementos del
conjunto.
• Comprender que una fracción puede ser expresada como un número decimal.
• Aplicar técnicas de transformaciones de números decimales a fracciones, y
viceversa.
• Establecer equivalencias entre números racionales mediante la simplificación y
amplificación de fracciones.
• Establecer la prioridad de las operaciones (PAPOMUDAS).
• Aplicar operaciones con números racionales.
Contenidos
1. Transformación de números racionales.
2. Operatoria básica en los números racionales (adición, sustracción, multiplicación
y división).
3. Comparación de números racionales.
4. Orden, desigualdades e intervalos de números racionales en la recta numérica.
Pregunta oficial PSU
En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el
punto C es un punto tal que AC = AB . ¿En cuál(es) de ellas C = 0, 3 ?
3
I)
A
C
0,4
0,3
II)
A
C
0,33
III)
A
B
0,34
C
0,333
A)
B)
C)
D)
E)
B
Gráficamente,
¿qué significado
tiene esto?
¿De qué otra forma
se puede expresar
este número?
B
0,444
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En I, en II y en III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de Admisión 2015.
1. Definición
2. Transformación
3. Desigualdad
4. Orden
5. Operatoria
1. Definición
Números racionales
El conjunto de los racionales es un conjunto infinito, ordenado y denso,
definido de la siguiente manera:
Q=
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
a: numerador
y
b: denominador
a NO es racional
0
2. Transformaciones
2.1 De fracción a decimal
Ejemplos:
81  81: 4  20,25
4
231 231: 25  9,24
25
2.2 De decimal finito a fracción
Ejemplos:
2,35= 235 = 47
100
20
3,04 = 304 = 76
100 25
2.3 De decimal periódico a fracción
Ejemplos:
0,57 = 57 – 0 = 57 = 19
99
99
33
2,4 = 24 – 2 = 22
9
9
Se llama periodo al conjunto de números
que se repite indefinidamente.
2. Transformaciones
2.4 De decimal semiperiódico a fracción
Ejemplo:
5,368 = 5.368 – 53 = 5.315 = 1.063
198
990
990
Se llama anteperiodo a la parte decimal
que no se repite.
2.5 De fracción impropia a número mixto
Ejemplo:
81: 4  20, con resto 1.
 20  1
 81
4
4
 20 1
4
3. Desigualdades
3.1 Definición
Una desigualdad es una comparación entre a y b, tal que:
a>b
a<b
Se lee “a mayor que b”
cuando la diferencia (a – b)
es positiva.
Se lee “a menor que b”
cuando la diferencia (a – b)
es negativa.
La simbología utilizada es:
< : Menor que
> : Mayor que
≤ : Menor o igual que
≥ : Mayor o igual que
3.2 Propiedades
• Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un
mismo número a ambos lados de la desigualdad.
Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad a ≤ b,
resulta:
a+m≤b+m
3. Desigualdades
3.2 Propiedades
• Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos
miembros por un mismo factor positivo, o cuando se dividen por un
mismo divisor positivo.
Si multiplicamos por m > 0 ambos
miembros de la desigualdad a ≤ b,
resulta:
am≤bm
Si dividimos por m > 0 ambos
miembros de la desigualdad a ≤ b,
a ≤ b
resulta:
m
m
• Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos
miembros por un mismo factor negativo, o cuando se dividen por un
mismo divisor negativo.
Si multiplicamos por m < 0 ambos Si dividimos por m < 0 ambos
miembros de la desigualdad a ≤ b, miembros de la desigualdad a ≤ b,
a ≥ b
resulta:
am≥bm
resulta:
m
m
3. Desigualdades
3.2 Propiedades
• Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a
una misma potencia positiva, la desigualdad no cambia de sentido.
• Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan
a una misma potencia impar positiva, no cambia el sentido de la
desigualdad. En cambio, si la potencia es par positiva, la
desigualdad cambia de sentido.
• Si ambos miembros de una desigualdad se invierten, es decir, se
elevan a – 1, la desigualdad cambia de sentido. En este caso,
ambos miembros deben ser distintos de cero.
Las desigualdades se pueden escribir como intervalos:
a ≤ x ≤ b ⟺ x ∈ [a, b]
a ≤ x < b ⟺ x ∈ [a, b[
a < x ≤ b ⟺ x ∈ ]a, b]
a < x < b ⟺ x ∈ ]a, b[
3. Desigualdades
3.3 Ejemplo
¿En cuál de los siguientes intervalos están solo los números reales
que pertenecen a ]– 3, 5] y no pertenecen a [– 1, 7[ ?
A) ]– 3, –1[
B) ]– 3, – 1]
C) [– 1, 5]
ALTERNATIVA
CORRECTA
D) ] – 3, – 7[
A
E) [5, 7[
Más información en las páginas 52 y
53 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 3 y 4 de tu guía.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de Admisión 2016.
4. Orden
4.1 Comparación
• Comparación de fracciones
Multiplicación cruzada
Ejemplo:
Comparar
12
8
y
11
6
(Multiplicando cruzado)
• Comparación de fracciones
Igualdad de denominadores
Ejemplo:
Comparar
7
5
y
12
9
(Igualando denominadores)
4. Orden
4.2 Ejemplo
8
27
yc
Sean a  2, 3, b 
. El orden correcto para a, b y c es
3
12
A)
B)
C)
D)
E)
abc
ac b
c a b
c ab
a c b
ALTERNATIVA
CORRECTA
D
Más información en la página 17 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 1 y 6 de tu guía.
5. Operatoria
5.1 Amplificación y simplificación
Amplificación
Amplificar una fracción significa multiplicar tanto el numerador como el
denominador por un mismo número.
Al amplificar una fracción formamos una fracción
equivalente a la original, es decir, representa lo mismo.
Simplificación
Simplificar una fracción significa dividir tanto el numerador como el
denominador por un mismo número. Las fracciones que no se pueden
simplificar se llaman fracciones irreductibles.
Al simplificar una fracción formamos una fracción
equivalente a la original, es decir, representa lo mismo.
5. Operatoria
5.2 Operaciones en Q
Adición y sustracción
Existen distintas
ejemplificaremos:
maneras
de
sumar
y/o
restar
1. Si los denominadores son iguales:
4
7 = 11
+
15
15
15
y
4
7 = –3
–
15
15
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
7
2∙3 + 7∙1
+
=
15
45
45
=
6+7
45
=
13
45
fracciones.
Las
5. Operatoria
5.2 Operaciones en Q
Adición y sustracción
3. Si los denominadores son primos entre sí:
4
+
5
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
= 32 + 35
=
40
67
40
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
5
7
+
=
12
18
5∙3 + 7∙2
36
= 15 + 14
36
=
29
36
En este conjunto, para la adición y la sustracción se
cumplen las mismas propiedades que en Z.
5. Operatoria
5.2 Operaciones en Q
Multiplicación
Se multiplican numeradores y denominadores entre sí. Los productos
pasan a ser el nuevo numerador y el nuevo denominador.
Para la multiplicación se cumplen las mismas propiedades que en Z, solo
se agrega la siguiente:
Elemento inverso multiplicativo o recíproco: Todo número racional, distinto
de cero, posee un elemento recíproco, que cumpla
a ∙ a-1 = 1 = a-1 ∙ a
División
Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Al igual
que en Z, el divisor debe ser distinto de cero.
5. Operatoria
5.3 Ejemplo
La suma entre el triple de 2 y el recíproco de 1, 2 es igual a
5
A) 2,68
B) 2,42
C) 2,018
D) 2,18
E) 2,62
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
Más información en las páginas 16 y
19 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 18 y 19 de tu guía.
Cuando resuelves un ejercicio de operatoria de fracciones,
¿hay algún error que cometes frecuentemente? ¿Has visto a
tus compañeros(as) incurrir en algún otro error?
1
5

2
:
Intenta realizar con tus compañeros la operación
4
3
cometiendo los errores mencionados, y comprueba cuántos
resultados distintos se podrían obtener si no se tiene cuidado
al resolver una operatoria.
Pregunta oficial PSU
En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el
punto C es un punto tal que AC = AB . ¿En cuál(es) de ellas C = 0, 3 ?
3
I)
A
C
0,4
0,3
II)
A
C
0,33
III)
A
B
0,34
C
0,333
A)
B)
C)
D)
E)
B
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En I, en II y en III
B
0,444
ALTERNATIVA
CORRECTA
D
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de Admisión 2015.
Síntesis de la clase
Recordemos…
-
¿Qué estrategias conoces para transformar un número decimal a
fracción?
-
Si dos fracciones distintas tienen el mismo numerador, ¿cuál de ellas
sería mayor?
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Resolución de problemas en los
racionales
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
Dificultad
estimada
1
C
Números racionales
Comprensión
Fácil
2
E
Números racionales
Comprensión
Media
3
E
Números racionales
Aplicación
Media
4
E
Números racionales
Aplicación
Media
5
D
Números racionales
Aplicación
Fácil
6
D
Números racionales
ASE
Media
7
E
Números racionales
ASE
Difícil
8
C
Números racionales
ASE
Media
9
C
Números racionales
ASE
Difícil
10
B
Números racionales
Aplicación
Media
11
E
Números racionales
Aplicación
Media
12
D
Números racionales
Aplicación
Media
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
Dificultad
estimada
13
A
Números racionales
Aplicación
Media
14
C
Números racionales
Aplicación
Media
15
D
Números racionales
Aplicación
Media
16
D
Números racionales
Aplicación
Fácil
17
B
Números racionales
Aplicación
Fácil
18
D
Números racionales
Aplicación
Fácil
19
B
Números racionales
Aplicación
Media
20
A
Números racionales
Aplicación
Fácil
21
C
Números racionales
ASE
Media
22
D
Números racionales
ASE
Media
23
E
Números racionales
ASE
Media
24
D
Números racionales
ASE
Fácil
25
B
Números racionales
ASE
Fácil
Equipo Editorial
Matemática
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Pregunta oficial PSU