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MOVIMIENTO
CIRCULAR
Un
cuerpo
describe
un
movimiento
circular
cuando
gira alrededor de
un punto fijo
central llamado
Eje de rotación.
Por ejemplo, la
rueda
de
la
fortuna.
Movimiento en una trayectoria
circular
De este tipo simple de
movimiento se deriva
El movimiento
Circular
uniforme
Movimiento
Uniformemente
acelerado
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Cuando un objeto
que se mueve en una
trayectoria circular
con y con rapidez
constante
Propiedades del Movimiento circular uniforme
 Trayectoria circular.
 El periodo (T) no cambia
 Gira con la misma velocidad angular 𝝎
 La magnitud de la velocidad (rapidez 𝑣)
permanece constante.
 La velocidad siempre tiene una
dirección tangente al círculo (velocidad
tangencial 𝑣𝑡 )
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
EL PERIODO (T) es el tiempo que
tarda un cuerpo en dar una vuelta
completa.
LA FRECUENCIA (f) es el número
de vueltas que realiza un cuerpo
por unidad de tiempo.
Movimiento circular uniforme
Propiedades:
¿El objeto está acelerado o no?
La magnitud de la velocidad (rapidez) es constante.
La dirección de la velocidad cambia.
La velocidad es un vector:
Si la dirección de un vector cambia, el vector cambia.
∆𝑣
𝑎=
≠ 0 Entonces, si hay aceleración (centripeta).
∆𝑡
FIS109C – 2: Física para Ciencias
1er semestre 2014
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
Relación que existe entre el
periodo y la frecuencia de un
cuerpo en revolución:
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
Un radián es el ángulo en que
el arco correspondiente tiene
una longitud igual a la del
radio con la que se ha trazado
dicho arco.
Propiedades del Movimiento circular uniforme
Rapidez tangencial de un círculo de radio 𝒓
con período 𝑻 es :
𝟐𝝅𝒓
𝒗𝒕 =
𝑻
Velocidad angular 𝝎:
𝟐𝝅
𝝎=
𝑻
Movimiento circular uniforme
La rapidez de un objeto rotando en
un círculo de radio 𝑟 con período 𝑇:
2𝜋𝑟
𝑣𝑡 =
𝑇
Unidades
La frecuencia de oscilación 𝑓:
La velocidad angular 𝜔:
1
𝑓=
𝑇
2𝜋
𝜔=
𝑇
𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑟𝑎𝑑
𝑠
360 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
Aceleración Centrípeta
Por triángulos equivalentes
∆𝑟 ∆𝑣
=
𝑟
𝑣
∆𝑣 es perpendicular a 𝑣1
∆𝑣
𝑎=
∆𝑡
𝑣 ∆𝑟
𝑎=
𝑟 ∆𝑡
𝑣2
𝑎=− 𝑟
𝑟
Entonces la aceleración centrípeta está dirigida hacia el
centro del círculo.
𝑣2
𝑎𝑐 =
𝑟
Aceleración centrípeta
 Responsable de que la
trayectoria del móvil sea una
circunferencia
 Está dirigida hacia el centro de
la circunferencia.
 Las unidades son las mismas
que las de la aceleración lineal.
 En el SI, las unidades de v²/R
son
𝒎

( ) 𝒎²/𝒔²
𝒔
=
𝒎
𝒎
= 𝐦/𝐬²
Aceleración Tangencial y Radial
Una partícula moviéndose a lo largo de una trayectoria
curva como aparece en la figura tiene una aceleración
que cambia con el tiempo.
𝒂𝒕
radial
𝑎 = 𝑎 𝑟 + 𝑎𝑡
𝒂𝒓
𝒂
𝒂𝒕
tangencial
𝒂𝒕 provoca un cambio en la rapidez de la partícula:
𝒂𝒓 𝒂
∆𝑣
𝑎𝑡 =
∆𝑡
𝒂𝒓 provoca un cambio en la dirección del vector velocidad:
El módulo de la aceleración 𝑎 será:
𝑎=
𝑎𝑟2 + 𝑎𝑡2
𝑣2
𝑎𝑟 =
𝑟
Aceleración Tangencial y Radial
En el movimiento circular uniforme es un caso especial de un
movimiento a lo largo de una trayectoria curva:
• 𝑣 es constante (𝑎𝑡 es nula),
• 𝑎 es siempre radial.
En un movimiento en una dimensión:
• La dirección de 𝑣 es constante (𝑎𝑟 es nula).
• 𝑎𝑡 puede no ser nula.
FIS109C – 2: Física para Ciencias
1er semestre 2014
Resumen
 Propiedades de un movimiento circular
uniforme.
2𝜋𝑟
𝑣𝑡 =
𝑇
𝜔=
2𝜋
𝑇
 Aceleración centrípeta en un movimiento
circular uniforme.
𝑣2
𝑎𝑐 =
𝑟
 Aceleraciones tangenciales y radiales en una
trayectoria curva.
∆𝑣
𝑎𝑡 =
∆𝑡
𝑣2
𝑎𝑟 =
𝑟
𝑎=
𝑎𝑟2 + 𝑎𝑡2
Ejemplo: Aceleración Centrípeta
Una pelota en el extremo de un cordel gira
uniformemente en un círculo con un radio de 0,60
m. La pelota efectúa 2,0 revoluciones por
segundo. ¿Cuál es su aceleración centrípeta?
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
La velocidad angular es
la relación que existe
entre el desplazamiento
angular, expresado en
radianes, y el intervalo
de tiempo que tarda el
móvil en realizar dicho
desplazamiento.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
MOVIMIENTO CIRCULAR
La aceleración angular
es la relación que existe
entre el cambio de la
velocidad angular y el
intervalo de tiempo que
tarda en realizar dicho
cambio.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
MOVIMIENTO CIRCULAR
(Aceleración angular constante)
  0  o  t 
  t
2
2
Fuerza centrípeta
Se define fuerza centrípeta como la fuerza
dirigida hacia el centro
que se requiere para mantener un movimiento
circular uniforme.
Angulo:
Es la abertura comprendida entre dos radios que
limitan un arco de circunferencia.
Radian:
Es el ángulo central que corresponde a un arco de
longitud. La equivalencia de un radian en grados
sexagesimales se determina sabiendo que :
I rad= 360°=180° = 57.3° = 57°18’
2п
п
Angulo y Velocidad angular
• El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre
la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.
• La longitud del arco y el radio son magnitudes de longitud, por lo que
el desplazamiento angular es el radian.
• La Velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por
unidad de tiempo:
• W= d1
dt
PERIODO Y FRECUENCIA
PERIODO
Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en
completar un circulo. Las unidades del periodo son :
T= Segundos transcurridos
1 ciclo
FRECUENCIA
Es el numero de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un móvil en un
segundo.
F= Numero de ciclos
1 Segundo
Velocidad Angular
La velocidad angular se representa:
W=
t
Donde: W= Valor de la velocidad angular en rad/s
= Desplazamiento angular en rad.
T= tiempo que efectúa el desplazamiento en segundos (s)
Entonces el valor de la velocidad angular se puede expresar,
respecto al desplazamiento y al cambio de tiempo de esta
forma :
W=∆ = 2 - 1
∆t t2-t1
También la podemos determinar si conocemos su periodo (T).
La expresión que utiliza es:
w= 2 rad = 2 en rad/s
T
T
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
Cuando la velocidad angular de un cuerpo es constante
podemos determinar la magnitud de la velocidad angular
media al conocer la velocidad angular inicial y su velocidad
angular final:
Wm = Wf – Wo
2
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Este movimiento se produce cuando un cuerpo con velocidad
angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales. En
un MCU se mantiene constante su magnitud pero no su dirección
,toda vez que esta siempre se conserva tangente a la trayectoria
del cuerpo.
La velocidad lineal o
tangencial representa la
velocidad que llevara un
cuerpo al salir disparado en
forma tangencial a la
circunferencia que describe.
Interpretación de las Graficas de desplazamiento angular-tiempo
y Velocidad angular-tiempo en el MCU.
En el movimiento circular uniforme de un cuerpo se obtuvieron los datos
contenidos en el cuadro:
1.- Graficar los valores del desplazamiento angular en función del tiempo,
interpretar la pendiente y obtener el valor de dicha pendiente.
2.- Graficar la magnitud angular del cuerpo en función del tiempo e interpretar
el sig. físico del área.
(rad)
Tiempo (s)
Desplazamiento angular
=(rad)
50
0
0
1
9
2
18
3
27
20
4
36
10
5
45
40
30
0
t(s)
1
2
3
4
5
Solución
Calculo del valor de la pendiente recta:
a)Como se observa la pendiente de la recta representa la magnitud de la velocidad
angular.
w= ∆ = 36rad- 18rad
∆t
4s- 2s
W=18rad = 9rad/s
2s
b) Como la velocidad no cambia su magnitud graficamos el mismo
valor cada segundo
W(rad/s)
20
1O
=wt
1
2
3
t(s)
4
5
El área del rectángulo representa el producto wt, el cual equivale al valor
desplazamiento angular. Por lo tanto el valor de desplazamiento será :
=wt= 9rad/s x 5s = 45 rad.
0
La pendiente de la recta representa la
magnitud de la velocidad angular de un
cuerpo (w)
(RAD)
50
-(w)
40
30
∆
20
∆t
10
t(s)
0
1
2
3
4
5
Este movimiento se presenta cuando un móvil con
trayectoria circular tiene una aceleración angular que
permanece constante.
1 ( en lugar de d)
2 (w en lugar de v)
3.- (β en lugar de a ).
1.-Para calcular el valor de los desplazamientos angulares:
1.1 Si el cuerpo parte del reposo, su velocidad angular inicial es 0 y
las anteriores ecuaciones se reducen a :
1)
1.
=Wot+βt²
2
2. = Wf²- Wo²
2β
3.- =Wf- Wo t
2
1.1 1.- =βt²
2
2.- = Wf²
2β
3.-
= Wf t
2
Velocidad Angular Instantánea
Representa el desplazamiento angular de un cuerpo en un
tiempo muy pequeño que casi tiende a cero.
Winst = lim ∆
∆t 0 ∆t
Aceleración Angular Media
Cuando durante el movimiento circular de un cuerpo su
velocidad angular no permanece constante, si no que sufre
una aceleración angular.:
Βm = wt - w0 =∆w
t f - t 0 ∆t
Donde
Βm = Valor de la aceleración angular media en rad/s²
Wf =Magnitud de la velocidad angular final en rad/s
W0= Magnitud de la velocidad angular inicial en rad/s
∆t= Tiempo durante el cual varia la velocidad en segundos (s)
ACELERACION ANGULAR INSTANTANEA
Cuando el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una
trayectoria circular y el intervalo de tiempo es tan pequeño que
tiende a cero, la aceleración angular del cuerpo será la
instantánea.
PROBLEMAS
1.- Un engrane adquirió una velocidad angular cuyo valor es de 2512 rad/s en
1.5 s ¿Cuál fue su aceleración angular?
DATOS:
Wf= 2512 rad/s
T= 1.5 s
Β=?
Formula:
Β=w
t
Sustitución y resultado:
Β= 2512 rad/s = 1674.66 rad/s²
1.5 s
Ejemplo
Un pelota colgada de una cuerda de 0.5 m de longitud se balancea en
forma circular bajo la influencia de la gravedad. Cuando la cuerda forma
un ángulo de 20° con la vertical, la pelota tiene una rapidez de 1,5 m/s.
Encontrar:
a) La magnitud de la aceleración radial en ese instante.
b) La magnitud de la aceleración tangencial en ese instante.
c) La magnitud y dirección de la aceleración total en ese instante.
FIS109C – 2: Física para Ciencias
1er semestre 2014