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Alfredo Zaragoza Cordero
UAEMéx.
FUNCIONES CARDINALES
EN HIPERESPACIOS
Funciones cardinales
Sea X un espacio topológico, definimos
- el peso X como
min{|B| : B es una base de X},
- la densidad de X como
min{|D| : D es denso en X},
- la celularidad X como
sup{|C| : C es una familia de abiertos ajenos dos
a dos}
El peso red como
min{|B| : B es una red de X},
El seudopeso como
min{|B| : B es seudobase de X}
donde una seudobase de X, B, es una cubierta
de X y para cada x ε X, el singular x es igual
a la intersección de todos los V ε B tales
que x ε V.
Usualmente denotamos al peso , la densidad ,la
celularidad, el peso red y el seudopeso como:
ω(X), d (X), c(X) , n ω(X), p ω(X),
respectivamente.
Proposición
Para un espacio topológico X,
c(X)≤ d (X) ≤ ω (X)
p ω (X)≤ ω (X).
Proposición
Si X es un espacio métrico, entonces :
c(X)=d (X)= ω (X).
Un ejemplo de un espacio en donde
d (X)<ω(X) es la recta de sorgenfrey.
Suponiendo la existencia de una línea de
Souslin S tenemos lo siguiente
c(S)<d(S).
Funciones cardinales en
hiperespacios
Hablaremos de la relación que hay entre las
funciones cardinales de X y su hiperespacio,
CL(X).
Dado un espacio topológico, definimos
CL(X) como el conjunto de todos los
subconjuntos cerrados no vacíos de X,
CL(X) es considerado con la topología de
Vietoris.
Proposición
Sea X un espacio T1 . Entonces
d(X)=d(CL(X)).
Proposición
En un espacio topológico X, se tiene que
ω (X)≤ω (CL(X)).
Se da la igualdad, si X es compacto.
Para un espacio discreto numerable, X,
ω (X)<ω (CL(X)).
Pues ω (X)=ω0 y ω (CL(X))> ω0
Proposición
Si X es un espacio métrico compacto, entonces
nω(CL(X))= ω(CL(X))= ω(X).
Proposición
Si X es un COTO compacto, entonces
nω(CL(X))= ω(CL(X))= ω(X).
Proposición
Si X es un COTO compacto, entonces
ω(CL(X))= c(X)p ω(X).
Proposición
Si X es un COTO, conexo y compacto, entonces
ω(CL(X))= d(X).
Proposición
Si X es T1 y compacto, entonces
|CL(X)|≤ 2ω(X).
Proposición
Si X es T3 , entonces
|CL(X)|≤ 2|P(d(X))|
Un caso particular donde se da la igualdad es si
X es un discreto numerable
Teorema
En un espacio topológico, se tiene que
c(CL(X))=supc (X n)nεω
Corolario
Si c(X)=d(X), entonces
c(CL(X))=c(X).
También, si suponemos el axioma de Martin
para (MA(ω1)), tenemos la siguiente
proposición
Proposición (MA(ω1))
c(CL(X)) tiene celularidad numerable si y solo si X
tiene celularidad numerable.
Para la Línea de Souslin S, es conocido que
c(S)<c(SxS).
Así,
c(S)< c(CL(S)).
Gracias