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Juan Carlos Rodriguez Gamboa
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Funciones
Armónicas
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• Sea 𝑓 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 una función analítica (derivable en
todo el plano complejo).
• Entonces las funciones u y v son armónicas; es decir, cada una
por separado, cumple la ecuación de Laplace:
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑣𝑥𝑥 + 𝑣𝑦𝑦 = 0
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Teorema (funciones
armónicas)
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• Sea 𝑓 = 𝑢 𝑟, 𝜃 + 𝑖 𝑣 𝑟, 𝜃 una función analítica (derivable en
todo el plano complejo).
• Entonces las funciones u y v son armónicas; es decir, cada una
por separado, cumple la ecuación de Laplace:
1
1
𝑢𝑟𝑟 + 𝑢𝑟 + 2 𝑢𝜃𝜃 = 0
𝑟
𝑟
1
1
𝑣𝑟𝑟 + 𝑣𝑟 + 2 𝑣𝜃𝜃 = 0
𝑟
𝑟
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Teorema (funciones
armónicas)
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Ejemplo 1:
• Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑖 2𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3
𝑢𝑦 = 6𝑥𝑦
𝑣𝑥 = −6𝑥𝑦
𝑢𝑥𝑥 = −6𝑥
𝑢𝑦 = 6𝑥
𝑣𝑦𝑦 = 6𝑦
𝑣𝑥𝑥 = −6𝑦
Por lo tanto esta función es armónica.
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𝑢𝑥 = 2 − 3𝑥 2 + 3𝑦 2
𝑣𝑦 = 2 − 3𝑥 2 + 3𝑦 2
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Ejemplo 1:
• Sea 𝑓 𝑟, 𝜃 = 2𝑟 2 cos 2𝜃 + 𝑖 2𝑟 2 sin 2𝜃
𝑢𝑟𝑟 = 4 cos 2𝜃
𝑢𝜃𝜃 = −8𝑟 2 cos 2𝜃
𝑣𝜃𝜃 = −8𝑟 2 sin 2𝜃
𝑣𝑟𝑟 = 4sin 2𝜃
Por lo tanto esta función es armónica.
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𝑢𝑟 = 4𝑟 cos 2𝜃
𝑢𝜃 = −4𝑟 2 sin 2𝜃
𝑣𝜃 = 4𝑟 2 c𝑜𝑠 2𝜃
𝑣𝑥 = 4rsin 2𝜃
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Ejercicios.
Determinar si las siguientes funciones son armónicas:
2. 𝑓 =
3. 𝑓 =
2𝑥 2 +2𝑦 2 +2𝑥
𝑥 2 +𝑦 2
5𝑟 3 𝑒 𝑖3𝜃
2
4. 𝑓 = 𝑟 3 𝑒 −𝑖3𝜃
−𝑖
2𝑦
𝑥 2 +𝑦 2
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1. 𝑓 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 +i𝑒 𝑥 sin 𝑦
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• Se dice que 𝑣 𝑥, 𝑦 es armónica conjugada de 𝑢(𝑥, 𝑦) si 𝑢 y 𝑣
son ambas armónicas y satisfacen las ecuaciones de CauchyRiemann.
• Entonces, si 𝑣 es armónica conjugada de 𝑢, 𝑓 = 𝑢 + 𝑖𝑣 es
analítica en 𝐷.
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Armónica conjugada.
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Ejemplos.
• Sea 𝑓 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 una función analítica. Si 𝑢 𝑥, 𝑦 =
𝑒 𝑥 cos 𝑦 hallar su armónica conjugada 𝑣 𝑥, 𝑦 .
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• Demostrar que 𝑢 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 es una función
armónica y hallar su armónica conjugada 𝑣 𝑥, 𝑦 tal que la
función 𝑓 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 sea analítica.
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• Las funciones analíticas se refiere a los campos vectoriales que
describen el flujo de un fluido ideal, el flujo de calor o el
campo electrostático en dos dimensiones.
• Considerando un fluido bidimensional cuya velocidad en cada
punto
𝑥, 𝑦 se describe mediante el vector
=
𝑣
(𝑢 𝑥, 𝑦 , 𝑣 𝑥, 𝑦 ) siendo 𝑢 y 𝑣 las componentes del vector
velocidad a lo largo del eje horizontal y vertical,
respectivamente.
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Aplicación: Campos y fluidos.
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Aplicación: Campos y Fluidos
• Sea 𝑓 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 una función que representa la velocidad
de un fluido o un campo vectorial y 𝑓 ∗ = 𝑢 𝑥, 𝑦 − 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 su
conjugada.
• Suponiendo que el fluido es irrotacional (no tiene remolinos),
matemáticamente esto implica que 𝑟𝑜𝑡
= 0:
𝜕𝑣 𝜕𝑢
−
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
• Además, si el fluido es incomprensible (no sufre compresiones ni
expansiones) el 𝑔𝑟𝑎𝑑
= 0, lo cual implica:
𝑣
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
NOTA: Ecuaciones del rotacional y el gradiente aplicada a campos y
fluidos para funciones en coordenadas rectangulares. Las cuales se
aplican sobre la conjugada de la función.
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𝑣
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• Sea 𝑓 = 𝑢 𝑟, 𝜃 + 𝑖𝑣 𝑟, 𝜃 una función que representa la velocidad
de un fluido o un campo vectorial y 𝑓 ∗ = 𝑢 𝑟, 𝜃 − 𝑖𝑣 𝑟, 𝜃 su
conjugada.
• Suponiendo que el campo es irrotacional (campo es conservativo),
matemáticamente esto implica que 𝑟𝑜𝑡
= 0:
𝑣
𝜕𝑣 1 𝜕𝑢
−
=0
𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃
Además, si el campo está eléctrico está en una región donde no hay
cargas libres (no diverge) el 𝑔𝑟𝑎𝑑
= 0, lo cual implica:
𝑣
𝜕𝑢 1 𝜕𝑣
+
=0
𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃
NOTA: Ecuaciones del rotacional y el gradiente aplicada a campos y
fluidos para funciones en coordenadas polares. Las cuales se aplican
sobre la conjugada de la función.
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Aplicación: Campos y Fluidos
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• En electrostática el papel de la velocidad lo desempeña el
campo eléctrico y puede derivarse a partir del gradiente de
una función de potencial.
• Entonces a partir de una función de potencial 𝑓 = 𝑢 𝑥, 𝑦 +
𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 en coordenadas rectangulares o 𝑓 = 𝑢 𝑟, 𝜃 +
𝑖𝑣 𝑟, 𝜃 en coordenadas polares; se definen las curvas
equipotenciales Φ = C (parte real de la función) y las líneas de
flujo Ψ = C, ambas familias de curvas ortogonales entre sí.
• Y El campo eléctrico puede obtenerse a partir de la siguiente
forma:
= [𝐺(𝑧)]∗
𝐸
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Campo Eléctrico.
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• A partir de la siguiente función de potencial 𝐺 𝑧 = 𝑧1/2
determinar el campo eléctrico y encontrar si el campo es
conservativo y no diverge.
• Solución: Según la definición de la diapositiva anterior
podemos hallar el campo eléctrico hallando la derivada de la
función de potencial y obtener posteriormente su conjugado.
• Expresando la función de potencial 𝐺 𝑧 en coordenadas
polares por practicidad se tiene que: 𝐺 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃/2 .
• Aplicando la definición se obtiene un campo eléctrico igual a:
1 𝑖𝜃/2
=
𝑒
𝐸
2 𝑟
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Ejemplo de campo eléctrico.
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Continuando ejemplo de
campo eléctrico.
𝐺 𝑧 = 𝑟𝑒
−𝑖𝜃/2
𝜃
𝜃
= 𝑟 cos
− 𝑖 𝑟sin( )
2
2
• Aplicando el rotacional y el gradiente a esta función se puede
determinar que efectivamente es un campo conservativo y
que el campo no diverge.
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• Para poder determinar si es un campo conservativo y no
diverge, se parte del conjugado de la función de potencial :
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• Calandrini, G. (2013). Guía de Definiciones y Teoremas
estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja.
• David Sánchez Martín, 2008. Métodos de variable compleja
para la física. Universitat de les Illes Balears
• O’Neil Peter, 2007. Matemáticas avanzadas para ingeniería,
sexta edición. Cengage Learning.
• Diego Agudelo Torres, Matemáticas Especiales para Ingeniería
Nivel II. Textos Académicos ITM.
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REFERENCIAS
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