Download Ecuación de Continuidad

Conservación de Movimiento
Fenómenos de Transporte
ILQ – 230 (II – 2011)
Prof. Alonso Jaques
Cantidad de Movimiento - Momentum
p  mv

p    v dV

Conservación de momentum lineal:
“En un sistema cerrado donde colisionan particulas ideales el momentum
inicial es equivalente al final, es decir lo que una particula pierde lo gana
otra”
 Momenta antes   Momenta despues 


0
decolisión
 decolisión  

Conservación de momentum lineal
Velocidad de  Velocidad de   Fuerzas que actuan 



0
entrada
salida
sobreel
sistema

 
 

En estado transiente
 Acumulación de 
Velocidad de  Velocidad de   Fuerzas que actuan  




   cantidad

 entrada   salida
  sobreel sistema   de movimiento 


Fuerzas Actuando:
Gravedad
Presión
Acción de fuerzas sobre volumen de control
Gravedad
 g x xyz
Presión
( p |x  p |x x )yz
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• La cantidad de momentum
en el volumen de control
esta dada por
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝐯𝑑𝑉
Ω
• Las fuerzas actuando en la
superficie del elemento esta
dada por el tensor total de
esfuerzos (total stress
tensor), 𝛑 .
Tensor:
• Tensor es una generalización de los conceptos de vector y
matrix.
𝑇11 𝑇12 𝑇13
𝐓 = 𝑇21 𝑇22 𝑇23
𝑇31 𝑇32 𝑇33
• El concepto de tensor nos permite asociar cantidades con dos
direcciones.
• Algunas operaciones (multiplicación por escalar, suma, …)
siguen las operaciones definidas para matrices.
• Productos punto y otras operaciones son definidas para
tensores.
𝛻∙𝐓=
𝒌 𝜹𝒌
𝜕
𝑖 𝜕𝑥 𝑇𝑖𝑘
𝑖
Tensor:
• El concepto de tensor nos permite
asociar cantidades con dos
direcciones.
𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝛕 = 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑧
Tensor de Esfuerzos
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• Las fuerzas actuando en la
superficie del elemento esta
dada por el tensor total de
esfuerzos (total stress
tensor), 𝛑 .
−
𝑛 ∙ 𝛑𝑑𝑆
𝜕Ω
tensor total de esfuerzos (total stress tensor), 𝛑
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• Las fuerzas actuando en el
volumen del elemento,𝒈, se
pueden considerar
evaluando sobre el mismo.
𝜌 ∙ 𝒈𝑑𝑉
Ω
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• Las fuerzas actuando en el
volumen del elemento,𝒈, se
pueden considerar
evaluando sobre el mismo.
𝜌 ∙ 𝒈𝑑𝑉
Ω
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• El flujo de fluido sobre 𝑑𝑆
es dado por, 𝑛 ∙ 𝐯𝑑𝑆.
• El flujo de cantidad de
movimiento por volumen
de fluido es 𝜌 ∙ 𝐯.
• Para combinar ambos
términos se requiere usar el
producto diádico (dyadic
product)
𝑛 ∙ 𝜌𝐯𝐯𝑑𝑆
Producto Diadico:
• El producto diádico dedos vectores, 𝐯 = 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 y
𝐰 = 𝑤𝑥 , 𝑤𝑦 , 𝑤𝑧 esta dado por:
𝑣𝑥 𝑤𝑥 𝑣𝑥 𝑤𝑦 𝑣𝑥 𝑤𝑧
𝐯𝐰 = 𝑣𝑦 𝑤𝑥 𝑣𝑦 𝑤𝑦 𝑣𝑦 𝑤𝑧
𝑣𝑧 𝑤𝑥 𝑣𝑧 𝑤𝑦 𝑣𝑧 𝑤𝑧
El resultado del producto diádico de dos vectores es un tensor.
Ecuación de Movimiento,
Balance Integral
Consideraciones:
• Entonces el flujo de
cantidad de movimiento en
el volumen de control es
dado por:
−
𝑛 ∙ 𝜌𝐯𝐯𝑑𝑆
𝜕Ω
Ecuación de Movimiento,
• Agrupando todas las expresiones se tiene el siguiente balance
de momentum:
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝐯 = −
Ω
𝑛 ∙ 𝜌𝐯𝐯𝑑𝑆 −
𝜕Ω
𝑛 ∙ 𝛑𝑑𝑆 +
𝜕Ω
𝜌 ∙ 𝒈𝑑𝑉
Ω
• Ocupando el teorema de la divergencia se obtiene la ecuación
de conservación de momentum
𝜕
𝜌𝐯𝑑𝑉 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻 ∙ 𝛑 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
Generalización de la Ley de Newton de Viscosidad
𝜋𝑖𝑗
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
(𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
=
𝑝𝛿𝑖𝑗
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝜋𝑥𝑥 , 𝜋𝑦𝑦 , 𝜋𝑧𝑧 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝜋𝑥𝑦 , 𝜋𝑧𝑦 , … = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
+
𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜏𝑖𝑗
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
𝛿𝑖𝑗 =
𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖
𝜏: 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 (𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
1, 𝑖 = 𝑗
0, 𝑖 ≠ 𝑗
Ecuación de Movimiento
• Usando la definición anterior se puede expresar la ecuación
de movimiento en términos de presión y esfuerzo de corte.
𝜕
𝜌𝐯 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻 ∙ 𝑃𝛅 + 𝛕 + 𝜌 ∙ 𝒈
𝜕𝑡
Aplicando la divergencia a tensor de presión,
𝜕
𝜌𝐯 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 − 𝛻 ∙ 𝛕 + 𝜌 ∙ 𝒈
𝜕𝑡
Ahora podemos generar las ecuaciones de conservación para
cualquier componente y sistema coordenado.
Balance en un elemento Diferencial
Mecanismos de transporte
Sistema – Coordenada x:
𝝆𝝊𝒛 𝝊𝒛 |𝒛+∆𝒛
• Convección
𝝆𝝊𝒚 𝝊𝒚 |𝒚+∆𝒚
Coordenada x :
 v x v x |x yz
Coordenada y:
𝝆𝝊𝒙 𝝊𝒙 |𝒙
 v y v x | y xz
𝝆𝝊𝒙 𝝊𝒙 |𝒙+∆𝒙
Coordenada z:
 v z v x |z xy
Entrada:
y
z
𝝆𝝊𝒛 𝝊𝒛 |𝒛
𝝆𝝊𝒚 𝝊𝒚 |𝒚
x  x0
Salida:
x  x0  x
x
Balance en un elemento Diferencial
Mecanismos de transporte
Sistema – Coordenada x:
𝝉𝒚𝒙 |𝒛+∆𝒛
• Molecular
𝝉𝒚𝒙 |𝒚+∆𝒚
Coordenada x :
 xx |x yz
Coordenada y:
𝝉𝒙𝒙 |𝒙
 xy | y xz
𝝉𝒙𝒙 |𝒙+∆𝒙
Coordenada z:
 xz |z xy
Entrada:
y
z
𝝉𝒛𝒙 |𝒛
x
𝝉𝒚𝒙 |𝒚
x  x0
Salida:
x  x0  x
Conservación de momentum lineal
 Acumulación de 
Velocidad
de
Velocidad
de
Fuerzas
que
actuan

 
 
 




cantidad

 
 
 

entrada
salida
sobreel
sistema

 
 
  de movimiento 


  v x v x |x yz   v y v x | y xz   v z v x |z xy    v x v x |x x yz   v y v x | y y xz   v z v x |z z xy 





|

y

z


|

x

z


|

x

y

    xx |x x yz   xy | y y xz   xz |z z xy

xx x
xy y
xz z
  g x xyz  
 (  vx )

  xyz
t
( p |x  p |x x )yz 
: xyz
lim; lim ; lim
x  0 y  0 z  0
  (  v x v x )  (  v y v x )  (  v z v x )    ( xx )  ( xy )  ( xz )  
p   (  vx )






   g x   
x
y
z
y
z  
x 
t

  x
Conservación de momentum lineal
• Coordenada y
  (  v x v y )  (  v y v y ) (  v z v y )   ( yx ) ( yy ) ( yz )  
p  (  v y )








g

 
  y


x

y

z

x

y

z

y
t


 
 
• Coordenada z
  (  v x v z )  (  v y v z )  (  v z v z )   ( zx )  ( zy ) ( zz )  
p  (  vz )






   g z   
y
z
y
z  
z 
t
 x
  x
Se puede reconocer los términos para cada una de los componentes
dad por la forma general.
Ecuación de Movimiento
𝜕
𝜌𝐯 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 − 𝛻 ∙ 𝛕 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
velocidad
de aumento
de cantidad
de
movimiento
por unidad
de volumen
velocidad
de ganancia
de cantidad
de
movimiento
por
convección,
unidad de
volumen
fuerza de
presión
que actúa
sobre el
elemento
por unidad
de
volumen
velocidad de
ganancia de
cantidad de
movimiento
por
transporte
viscoso, por
unidad de
volumen
fuerza de
gravitación
que actúa
sobre el
elemento
por unidad
de volumen
Tensor de esfuerzo viscoso
𝜕
𝜌𝐯 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 − 𝛻 ∙ 𝛕 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
Considerando cómos e relacionan el esfuerzo
aplicado en un fluido, con el desplazamiento
de este, se expresar el tensor de esfuerzo en
función de la velocidad.
En varios fluidos el esfuerzo de corte es
proporcional al desplazamiento. La
viscosidad, 𝜇, corresponde a la esa constante
de proporcionalidad.
velocidad de
ganancia de
cantidad de
movimiento
por
transporte
viscoso, por
unidad de
volumen
Ley de newton de la Viscosidad
𝑡<0
𝑌
𝑡=0
Fluido
inicialmente
en reposo
Placa inferior
inicia
movimiento
𝑽
𝑣𝑥 𝑦, 𝑡
𝑡 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜
𝑽
𝑣𝑥 𝑦
y
x
𝑽
𝐹
𝑉
=𝜇
𝐴
𝑌
Formación
de velocidad
en estado no
estacionario
𝜏𝑦𝑥 = −𝜇
ν=
𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Distribución final
de velocidad en
estado
estacionario
𝜇
𝜌
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
Generalización de la Ley de Newton de Viscosidad
𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜏𝑥 = 𝜏𝑥𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑦𝑦 , 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 , 𝜏𝑧𝑧
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜏𝑥
y
z
𝜏𝑦
𝑝𝛿𝑥
x
𝑝𝛿𝑦
𝜏𝑧
𝑝𝛿𝑧
Generalización de la Ley de Newton de Viscosidad
Dirección normal
al plano
sombreado
Esfuerzo
molecular
Componente de las fuerzas actuando
Componente-x Componente-y Componente-z
x
𝜋𝑥 = 𝑝𝛿𝑥 + 𝜏𝑥
𝜋𝑥𝑥 = 𝑝 + 𝜏𝑥𝑥
𝜋𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦
𝜋𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧
y
𝜋𝑦 = 𝑝𝛿𝑦 + 𝜏𝑦
𝜋𝑦𝑥 = 𝜏𝑦𝑥
𝜋𝑦𝑦 = 𝑝 + 𝜏𝑦𝑦
𝜋𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧
z
𝜋𝑧 = 𝑝𝛿𝑥 + 𝜏𝑧
𝜋𝑧𝑥 = 𝜏𝑧𝑥
𝜋𝑧𝑦 = 𝜏𝑧𝑦
𝜋𝑧𝑧 = 𝑝 + 𝜏𝑧𝑧
𝜏𝑥
y
z
𝜏𝑦
𝑝𝛿𝑥
x
𝑝𝛿𝑦
𝜏𝑧
𝑝𝛿𝑧
Generalización de la Ley de Newton de Viscosidad
𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑣𝑖
2
𝜏𝑖𝑗 = −𝜇
+
+
𝜇−𝑘
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
3
𝜏 = −𝜇 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯
𝑇
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧
+
+
𝛿
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝑖𝑗
2
+
𝜇−𝑘
3
𝛻∙𝐯 𝛅
k: viscosidad dilatacional o viscosidad volumentrica (k = 0 para gases monoatómicos
ideales)
(𝛻 ∙ ν) = 0 para fluidos incompresibles
Coordenadas Rectangulares (x,y,z)
𝜏 = −𝜇 𝛻ν + 𝛻ν
𝜕𝑣𝑥
2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑥
3
𝜕𝑣𝑦
2
𝜏𝑦𝑦 = −𝜇 2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑦
3
𝜕𝑣𝑧
2
𝜏𝑧𝑧 = −𝜇 2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑧
3
𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = −𝜇
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = −𝜇
+
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧
𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧 = −𝜇
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧
𝛻∙ν =
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = −𝜇 2
𝑇
+
2
𝜇−𝑘
3
𝛻∙ν 𝛿
Coordenadas Cilíndricas (r,θ,z)
𝜏 = −𝜇 𝛻ν + 𝛻ν
𝜕𝑣𝑟
2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑟
3
1 𝜕𝑣𝜃 𝑣𝑟
2
𝜏𝜃𝜃 = −𝜇 2
+
+
𝜇−𝑘
𝑟 𝜕𝑦
𝑟
3
𝜕𝑣𝑧
2
𝜏𝑧𝑧 = −𝜇 2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑧
3
𝜕 𝑣𝜃
1 𝜕𝑣𝑟
𝜏𝑟𝜃 = 𝜏𝜃𝑟 = −𝜇 𝑟
+
𝜕𝑟 𝑟
𝑟 𝜕𝜃
1 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝜃
𝜏𝜃𝑧 = 𝜏𝑧𝜃 = −𝜇
+
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧
𝜏𝑧𝑟 = 𝜏𝑟𝑧 = −𝜇
+
𝜕𝑧
𝜕𝑟
1 𝜕
1 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧
𝛻∙ν =
𝑟𝑣𝑟 +
+
𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧
𝜏𝑟𝑟 = −𝜇 2
𝛻∙ν
𝑇
+
2
𝜇−𝑘
3
𝛻∙ν 𝛿
Coordenadas Esféricas (r,θ,φ)
𝜏 = −𝜇 𝛻ν + 𝛻ν
𝑇
+
2
𝜇−𝑘
3
𝜕𝑣𝑟
2
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝜕𝑟
3
1 𝜕𝑣𝜃 𝑣𝑟
2
𝜏𝜃𝜃 = −𝜇 2
+
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝑟 𝜕𝑦
𝑟
3
1 𝜕𝑣𝜑
𝑣𝑟 + 𝑣𝜃 cot 𝜃
2
𝜏𝜑𝜑 = −𝜇 2
+
+
𝜇−𝑘 𝛻∙ν
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑
𝑟
3
𝜕 𝑣𝜃
1 𝜕𝑣𝑟
𝜏𝑟𝜃 = 𝜏𝜃𝑟 = −𝜇 𝑟
+
𝜕𝑟 𝑟
𝑟 𝜕𝜃
sin 𝜃 𝜕 𝑣𝜑
1 𝜕𝑣𝜃
𝜏𝜃𝜑 = 𝜏𝜑𝜃 = −𝜇
+
𝑟 𝜕𝜃 sin 𝜃
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑
1 𝜕𝑣𝜃
𝜕 𝑣𝜑
𝜏𝜑𝑟 = 𝜏 𝑧 = −𝜇
+𝑟
𝑟𝜑
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑
𝜕𝑟 𝑟
1 𝜕 2
1
𝜕
1 𝜕𝑣𝜑
𝛻∙ν = 2
𝑟 𝑣𝑟 +
𝑣 sin 𝜃 +
𝑟 𝜕𝑟
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜃
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑
𝜏𝑟𝑟 = −𝜇 2
𝛻∙ν 𝛿
Ecuación de Movimiento
Entonces la ecuación de movimiento para flujo newtoniano,
compresible seria dado por:
𝜕
𝜌𝐯 = −𝛻 ∙ 𝜌𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 − 𝛻 ∙ −𝜇 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯
𝜕𝑡
𝑇
2
+
𝜇−𝑘
3
𝛻∙𝐯 𝛅
+ 𝜌𝒈
En muchas situaciones se puede considerar viscosidad y densidad
constantes.
Ecuación de Movimiento: Ecuación de Navier-Stokes
Considerando viscosidad y densidad constantes,
𝜕
𝜌 𝐯 = −𝜌𝛻 ∙ 𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 + 𝜇𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯 𝑇 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
Usando propiedades de la divergencia:
𝛻 ∙ 𝐯𝐯 = 𝐯𝛻 ∙ 𝐯 + 𝐯 ∙ 𝛻𝐯
𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯 𝑇 = 𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻 ∙ 𝛻𝐯
𝜕𝑣𝑗
𝛻𝐯 𝑖𝑗 =
𝜕𝑥𝑖
𝑇
Ecuación de Movimiento: Ecuación de Navier-Stokes
Considerando viscosidad y densidad constantes,
𝜕
𝜌 𝐯 = −𝜌𝛻 ∙ 𝐯𝐯 − 𝛻𝑃 + 𝜇𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯 𝑇 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
Usando propiedades de la divergencia:
𝛻 ∙ 𝐯𝐯 = 𝐯𝛻 ∙ 𝐯 + 𝐯 ∙ 𝛻𝐯
𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻𝐯 𝑇 = 𝛻 ∙ 𝛻𝐯 + 𝛻 ∙ 𝛻𝐯
𝜕𝑣𝑗
𝛻𝐯 𝑖𝑗 =
𝜕𝑥𝑖
𝑇
Ecuación de Movimiento: Ecuación de Navier-Stokes
Aplicando las simplificaciones, se obtiene la ecuacion de Navier-Stokes,
describiendo el campo de velocidades para fluido de viscosidad y
densidad constante.
𝜕
𝜌
𝐯 + 𝐯 ∙ 𝛻𝐯 = −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻 2 𝐯 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
También se representa usando la derivada substantiva 𝐷/𝐷𝑡,
𝐷𝐯
𝜌
= −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻 2 𝐯 + 𝜌𝒈
𝐷𝑡
Claude-Louis Navier (1785-1836)
George Gabriel Stokes (1819-1903)
http://www.mie.utoronto.ca/labs/atoms/images/Navier_Stokes.png
Ecuación de Navier-Stokes: Aplicaciones
La resolución de las ecuaciones se hace compleja, considerando la
descripción implícita del termino de presión. Aunque se pueden
desarrollar soluciones analíticas en sistemas simples, muchos de los
resultados requieren la aplicación de métodos numéricos.
𝜕
𝜌
𝐯 + 𝐯 ∙ 𝛻𝐯 = −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻 2 𝐯 + 𝜌𝒈
𝜕𝑡
𝛻∙𝐯=𝟎
Ecuación de Navier-Stokes: Aplicaciones
Perfil de Temperatura en Combustión
Evolución de contaminantes en ríos
http://utias.utoronto.ca/~groth/research.html
http://www.scielo.br/img/revistas/bjce/v21n4/a05fig05.gif
Ecuación de Navier-Stokes: Otros
Simulación, juegos electronicos
Millenium Prize
Prove or give a counter-example of the
following statement:
In three space dimensions and time, given an
initial velocity field, there exists a vector
velocity and a scalar pressure field, which are
both smooth and globally defined, that solve
the Navier–Stokes equations.
http://users.cms.caltech.edu/~keenan/images/fire.png
http://en.wikipedia.org/wiki/Clay_Mathematics_Institute
Condiciones de Borde para ecuación de movimiento:
A fin de conocer el campo de velocidades y de presión, se puede
evaluar las ecuaciones de movimiento (Navier-Stokes) y
continuidad. La resolución de esas ecuaciones requiere conocer
las condiciones de borde del sistema. En caso de interfaces las
siguientes condiciones aparecen.
y
• Interface sólido-líquido (Condición de No-Deslizamiento)
• Interface líquido-líquido (Condición de No-Deslizamiento)
• z Interface líquido gas
x
Esquema:
z
y
x
z
x
Condición de borde:
• Interface sólido-líquido: Un
fluido moviéndose en contacto
𝑽𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂𝟏
con un cuerpo sólido, no
tendrá velocidad relativa con
𝑽𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂𝟐 = 𝟎
𝑳í𝒒𝒖𝒊𝒅𝒐 el cuerpo en la superficie de
contacto. Es decir, en la
interface, la velocidad del
𝑽𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂𝟏
fluido será idéntica a la de la
superficie del sólido
𝑣𝑥 |𝑧=𝑧 = 𝑉𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎1
moviéndose. (Válido tanto
para componente tangencial
𝑣𝑥 |𝑧=0 = 𝑉𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2
como normal del vector de
𝑽𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂𝟐
𝑣𝑥 𝑧
velocidad)
Particularidad en Interface Sólido-Líquido
𝜕𝜌
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒. → 𝜕𝑡 = 0
𝛻∙𝝂=0
𝜏𝑧𝑧
 Fluido incompresible en contacto con
sólido quieto (ej.: cañería)
𝜕𝑣𝑧
2
= −𝜇 2
+
𝜇−𝑘
𝜕𝑧
3
𝜏𝑧𝑧 |𝑧=0 = −2𝜇
𝛻∙𝑣 =0→
𝑧=0
𝜏𝑧𝑧 = 0
 Fijar punto P en superficie de sólido y
establecer como origen de coordenadas
cartesianas
𝛻∙𝝂
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦
=−
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝑣𝑦 = 0 →
𝜕𝑦
𝑣𝑥 = 0 →
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝜌
= − 𝛻 ∙ 𝜌𝝂
𝜕𝑡
𝜏𝑧𝑧 |𝑧=0
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦
= 2𝜇
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧=0
 Análogo para 𝜏𝑥𝑥 y 𝜏𝑦𝑦
Esquema:
Condición de borde:
z
y
x
Líquido 1
𝑣𝑦
𝑣𝑧
Líquido 2
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝑝 + 𝜏𝑥𝑥
y
• Interface líquido-líquido: En un
plano interfacial a x constante,
los componentes tangenciales
de la velocidad 𝑣𝑥 y 𝑣𝑧 son
continuos a través de la
interface, así como también
las componentes del tensor de
esfuerzo molecular 𝑝 + 𝜏𝑥𝑥 ,
𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧
z
x
𝜏𝑥𝑥 : Fuerza en dirección x sobre área perpendicular a dirección x
𝜏𝑥𝑦 : Fuerza en dirección y sobre área perpendicular a dirección x
𝜏𝑥𝑧 : Fuerza en dirección z sobre área perpendicular a dirección x
Esquema:
Condición de borde:
z
y
x
Líquido
Gas
𝜏𝑥𝑦 = 0
y
z
x
𝜏𝑥𝑧 = 0
• Interface líquido-gas: En un
plano interfacial a x constante,
las componentes del tensor de
esfuerzo 𝜏𝑥𝑦 y 𝜏𝑥𝑧 se
consideran cero, dado que el
gradiente de velocidad del
lado del gas no es muy grande.
Esto es razonable dado que las
viscosidades de gases son
mucho menores que la de los
líquidos.
𝜏𝑥𝑦 : Fuerza en dirección y sobre área perpendicular a dirección x
𝜏𝑥𝑧 : Fuerza en dirección z sobre área perpendicular a dirección x
Flujo de Coutte:
Considere el flujo de un fluido newtoniano entre
dos placas planas, localizadas a 𝑦 = 0, y 𝑦 = ℎ. La
placa superior se mueve con velocidad 𝑈0,
determine la distribución de velocidades.
Flujo de Poiseuille en Canales
Determine la distribución de velocidades entre
dos placas planas localizadas a −ℎ, +ℎ.
Considere una caída de presión uniforme en el
canal.
Flujo laminar en tubería circular:
Obtener el perfil de velocidad en
un flujo descendente en una
tubería de longitud 𝐿 y radio 𝑅.
La diferencia de presion entre los
extremos es ∆𝑃.Considere los
siguientes supuestos:
• Estado estacionario
• Flujo Laminar
• Densidad constante
• Viscosidad constante
• No hay “efectos finales”
Flujo laminar en tubería circular:
(Balance Diferencial)
Navier Stokes,
coordenadas cartesianas
Navier Stokes,
coordenadas cilíndricas
Navier Stokes,
coordenadas esfericas
Viscosimetro de cono y placa
Determine el torque requerido
para hacer girar el viscosimetro
mostrado en la figura.
• Simplifique a un solo
componente del stress.
• No hay “efectos finales”
Viscosímetro de cono y placa
http://www.labequip.com/kz-content/images/large/Brookfield-CP52-ConePlateSample-Cup-Viscometer-Component-26371.jpg
http://moncon.co.za.dedi542.nur4.host-h.net/wp-content/uploads/2011/08/Cap1000+-Cap-2000+.jpg