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Unidad 1 “Aritmética”
“Aprendiendo Aritmética”
Juan Adolfo Álvarez Martínez.
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
Antes de poder iniciar propiamente con el estudio de los temas de las operaciones que se realizan en
aritmética, se debe aclarar antes que nada que dichas operaciones se definen en un conjunto que se
denomina NUMEROS REALES, un conjunto en este caso es una cantidad de elementos que cumplen
todos las misma propiedades o son afines respecto a ciertas características.
También habrá que decir por ejemplo que hay algunas cuantas excepciones, como en casi todas las
cosas, ya que por ejemplo en el caso de la división, no puede hacerse dicha operación siempre que el
denominador sea cero. Esto es muy importante recordarlo; NO se puede dividir entre cero.
Los números reales no son otra cosa más que podemos entender de manera sencilla, como todos
aquellos que podemos localizar en la recta numérica y estos números, están divididos a su vez en
varios subconjuntos, por ejemplo, existen los números enteros, los fraccionarios, los llamados
irracionales, los negativos, etc…
Estos subconjuntos los definiremos a continuación sin tratar de entrar exhaustivamente en su
explicación, ya que en principio lo que mas interesa para nuestros propósitos es que los conozcas
pero sobre todo que los sepas aplicar.
Algunas propiedades de los números reales que se cumplen se basan en las operaciones que se
pueden hacer, es decir estas:
OPERACIONES ARITMETICAS son:
1. Suma o Adición
2. Resta o Sustracción
3. Multiplicación
4. División
5. Potenciación
6.- Radicación
Las propiedades son:
Propiedades de los IR
Son los siguientes: Si a, b, c,  IR
1. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
2. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
3. Elemento neutro:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo
número.
a+0=a
4. Elemento inverso
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
a + (− a) = 0
Resta
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.
a-b=c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c,
lo llamamos diferencia.
Al aparecer esta operación, es esencial tener en cuenta que por ejemplo para el caso de la
suma, tenemos que al sumar dos números positivos, el resultado siempre será positivo, con
cualesquiera números, pero por ejemplo en la resta no sucede lo mismo, es decir: si
tenemos:

3- 5, no da lo mismo que 5-3, porque en el primer caso el resultado tenemos dos
números positivas pero estamos al menor restando un numero mayor, y en
consecuencia el resultado YA NO pertenece a los números positivos, sino a los
negativos.
 Caso contrario en que si tenemos 5-3, entonces el resultado SI es un positivo por lo
cual es muy importante tener en cuenta estos aspectos.
Para que puedas mejorar tu habilidad en realizar operaciones aritméticas en números
enteros, realiza los ejercicios siguientes:
SECCION A.
REALIZA SIN USAR calculadora las siguientes operaciones indicando el resultado y en caso
donde sea posible la propiedad que se usa.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
30+ 60 = 60+ 30 = ?
53 - 0 =?
130 + (- 130) =?
30 + ( 40+ 20) =?
15 – 12=?
13 – 8=?
8- 13 =?
5- 9 =?
145- 123 =?
j) Como puedes explicarle a algún compañero como se resuelve una resta como en las
operaciones de los incisos g)? y h) para llegar al resultado?, ESCRIBE ALGUNOS
EJERCICIOS EN LOS QUE TE APOYES PARA EXPLICAR TU PROCEDIMIENTO.
LA MULTIPLICACION.
Sea una operación;
a·b=c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado
(a · b) · c = a · (b · c)
2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo
número.
a·1=a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por
cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
SECCION B.
Resuelve algunos ejemplos para practicar la multiplicación, indicando la propiedad usada.
EL PARENTESIS INDICA MULTIPLICACION.
A) (30 )(4) =?
B) (12) (2) (3) =?
C) 2 (3+4) = (2)(3) + (2)(4) =?
D) (6) (1) =?
E) (3)(1/3)=?
Es momento de introducir algunos ejemplos donde aparecen operaciones e multiplicación
con números negativos y positivos. Es importante poner mucha atención para evitar
confusiones posteriormente.
Primero escribiremos algunas operaciones con positivos y luego negativos con positivos,
poner especial atención en EL SIGNO del resultado.
1.- operación de multiplicación con positivos.
a)
b)
c)
(8) (3)(2) = 48
(5) ( 7) = 35
( 8) (6) = 48
Como es el signo del resultado al multiplicar siempre dos números positivos?
__________
Ahora hacemos multiplicaciones con números negativos:
d)
e)
(-2) (-3) = 6
( - 5) (-8) = 40
Como es el signo del resultado multiplicando dos números negativos?____________
Ahora realicemos multiplicaciones donde hay números de los dos tipos.
f) (5)( -3) = - 15
g) ( -2) ( 6) = -12
Como es el signo del resultado en las dos operaciones?___________
Como podrías explicarle a alguna persona que signo se tiene cuando se multiplican
dos números, con signos contrarios?
__________________________________________________________________________
____________________________________________________________
Ahora como ejercicios para analizar y pensar.
Tienes las siguientes multiplicaciones con números con diferentes signos cual es el
resultado y su signo?
h)
i)
j)
k)
l)
(-3) (2)( 4) = ?
(5)(-2)(-2)= ?
(2)(-3)(-3)= ?
(-4)(-2)(-5)= ?
(-2)(-2)(-2)(-2)=?
Podemos deducir que en la multiplicación:
-
Al multiplicar dos números de igual signo el signo es positivo y si son de signos diferentes,
entonces el signo es negativo.
Potenciación
Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si
mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se
representa bn, donde b es la base y n el exponente
Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54.
54
En esta operación 5 es la base y 4 el exponente.
54
Tenemos que multiplicar 5 por si mismo 4 veces.
54
5 x 5 x 5 x 5 = 625
Algunos ejemplos de potenciación:
22 = 2 x 2 = 4
43 = 4 x 4 x 4 = 64
75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807
Tenemos también dos casos especiales:
a) Cuando el exponente es cero:
Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1.
Ejemplos:
50 = 1
110 = 1
1230 = 1
b) Cuando el exponente es uno:
Si el exponente es 1, el resultado será el valor de la base.
Ejemplos:
01 = 0
31 = 3
431 = 43
Radicación
Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√ , donde n es el
grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo ira un numero denominado
cantidad subradical.
Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como
resultado la cantidad subradical.
Veamos el caso de 2√25:
√25
El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25
Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25
Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5.
Algunos ejemplos se detallan a continuación:
3√27
=3
=4
4√81 = 3
3√64
Porque 33 = 27
Porque 43 = 64
Porque 34 = 81
Logaritmación
La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación en la cual, a diferencia de la
radicación, se busca el exponente al cual debo elevar un numero (denominado base del
logaritmo) para llegar a otro número incluido también en la operación.
Por ejemplo, queremos resolver log3 9.
log3 9
El subíndice 3 representa la base del sistema (base del logaritmo).
log3 9
Necesitamos saber a que potencia debemos elevar 3 para tener 9.
log3 9
El número que cumple esa condición es 2: 32 = 9. La respuesta es 2.
Algunos ejemplos sobre logaritmación:
log7 49 = 2
log3 243 = 5
log2 256 = 8
Porque 72 = 49
Porque 35 = 243
Porque 28 = 256
Tenemos un caso especial en los logaritmos de base 10, también llamado logaritmos
vulgares.
En ellos la base del logaritmo se omite.
Por ejemplo:
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
Porque 100 = 1
Porque 101 = 10
Porque 102 = 100
Consideremos por el momento estas operaciones entre números enteros y naturales, con lo
que al introducir las fracciones (números racionales) entonces se cumple de la misma forma
las propiedades de la suma y la multiplicación con sus leyes de los signos:
Ejemplos de operaciones con racionales:
SUMA y RESTA:
Podemos observar que se trabaja tanto con operaciones de sumas, restas y multiplicaciones
en el numerador y el denominador
Practica ahora con las siguientes operaciones para poder determinar sus resultados y
comprobar tus respuestas.
1/2 - 3/5 =
2/3 + 4/7 =
(3/8)(4 /5) =
1/5 – 3 =
3/2 + 4 =
5/6 + 2/6 =
-8/3 – 2/5 =
-2 – 3/7 =
Es momento ahora de proceder a resolver algunos ejemplos donde se aplican las
operaciones y números reales en el tema llamado
RAZONES Y PROPORCIONES.
RAZÓN
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es
decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí
que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo
― o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la
razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados
numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división
(). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe
u 84 y se lee ocho es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la
razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
A → antecedente
B → consecuente
Algunos ejemplos:
Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años
SOLUCIÓN: 5/7
Hallar la razón geométrica entre 60 y 12
SOLUCIÓN: 60/12 = 5,
ES DECIR 60 ES 5 VECES EL VALOR DE 12.
Hallar la razón geométrica entre 12 y 60
SOLUCIÓN: 12/60 = 1/5, ES DECIR, 12 ES 1/5 PARTE DE 60.
ALGUNOS CASOS PRÁCTICOS DONDE SE APLICAN ESTOS CONCEPTOS SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN:
El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5. Hallar el número menor
SOLUCIÓN:
ESCRIBIMOS:
De donde se trata conocer “x”, para lo cual multiplicamos en forma cruzada antecedente y
consecuente e igualamos así:
7(x)= 63(5)
Es decir: 7(x) = 315
de donde la “x” que andamos buscando la obtenemos mediante lo que se denomina un
“despeje” dividiendo al final de la siguiente forma:
X= 315/ 7
Quedando:
X= 45
Y si comprobamos efectivamente resulta que:
7/5 = 63/45
PROPORCIÓN
Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente
Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos razones aritméticas o
diferencias.
En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y medios al segundo
y tercero términos. También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y
consecuentes al segundo y cuarto términos.
En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los
antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN DONDE ENCONTRAMOS LOS TEMAS
EXPLICADOS SON LOS SIGUIENTES:
DE DONDE “X” = $30
Puede notarse que se han realizado las operaciones de multiplicación cruzada y despeje de
la incognita como ya se ha explicado.
Ejemplos para practicar y resolver:
1. Si 4 cajas de dulce cuestan $ 20, cuanto costarán 3 docenas de cajas?
2. Entre dos hermanos rentan un local; el primero renta 5/11 por lo que paga 6000 pesos,
cuanto pagará el otro para completar el total?
3. Una bomba despacha 40 litros de combustible en 2 minutos, en cuanto despachara?
250 litros?
4. Un kilogramo de fruta de cítricos vale $ 75, cuanto valdrá 200 gramos?
5. Si en 15 minutos un auto recorre 400 metros, que distancia alcanzará a recorrer en una
hora a esta misma velocidad?
6. Por un préstamo que recibe una persona debe pagar 5% de cada 400 pesos. Cuanto
deberá pagar si pide 3600 pesos?
7. Si un vendedor de seguros por cada póliza vendida recibe $6000, y el valor de la póliza
es $75000, que porcentaje recibe por cada póliza?
8. Considerando el ejemplo anterior, si recibe en total $24000, cual es el valor total de las
pólizas vendidas y cuantas ha vendido?
9. En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie
y el número de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento
era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití?
10. Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como
reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron
vacunados?
BIBLIOGRAFIA.
Baldor A. (1998). Aritmética. México D. F. Publicaciones Cultural