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IPEP de Granada
MATEMÁTICAS MAYORES 25
Ejercicios del tema 1
Expresiones numéricas
Dpto. de Matemáticas
Números reales
Con los números reales podemos realizar
todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando
negativo, y la división por cero.
Ejercicio 1: Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del
diagrama, explicando brevemente el porqué:
Solución:
Solución:
son números irracionales, es decir, tienen
parte decimal infinita no periódica, por tanto son números reales,
pero no son ni racionales, ni enteros, ni naturales.
son números que se
pueden escribir como cociente de números enteros, es decir, son
números con un número finito de cifras decimales o con un número
infinito pero periódico, son por tanto números racionales, pero no
enteros ni naturales
es un número entero (luego también racional y real),
pero no es natural; es el opuesto de 8
son números naturales (luego también son enteros,
racionales y reales)
Ejercicio 2: Razona cuál de las siguientes frases es cierta.
a) Todo número decimal se puede expresar como una fracción.
b) Los números reales se pueden expresar como un número decimal limitado o periódico.
c) Todo número racional es real.
d) Todo número entero es racional
e) Hay números reales que no pueden expresarse como fracción.
f) Entre dos números racionales hay infinitos irracionales.
g) Los números irracionales no se pueden expresar en forma de fracción (cociente de números enteros).
Solución: a) Todo número decimal se puede expresar como una fracción. Falsa. Tiene que ser decimal exacto o
decimal periódico para poderse poner como fracción.
b) Los números reales se pueden expresar como un número decimal limitado o periódico. Falso. Eso son los
números racionales. Los irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
c) Todo número racional es real. Verdadero.
d) Todo número entero es racional Verdadero.
e) Hay números reales que no pueden expresarse como fracción. Verdadero (Los irracionales)
f) Entre dos números racionales hay infinitos irracionales. Verdadero.
g) Los números irracionales no se pueden expresar en forma de fracción (cociente de números enteros).
Verdadero.
Propiedades de las potencias
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
a n 
Potencias de exponente entero negativo
índice
Potencia de exponente racional
a
numerador
denomínador
a
exp onente
1
an
a
a 0
exp onente
índice
o dicho de otra forma
 denomímador a numerador
Ejercicio 1: Utilizando las propiedades de las potencias, expresa com o potencia de base 2
a)
25 ·8
·2
16
6
b)
32·
16
2
25·8
25·23
28
·2  4 ·2  4 ·2  2 4·2  25
Solución: a)
16
2
2
6
16
b) 32·
 25
2
6
4
4
6
5
2
5
4
5 4
1
 1
2
2
2
 2226  22 6  2
2
2
15 4 6
6
2
13
6
Ejercicio 2: Expresa en forma de potencia, lo más simplificada posible:
3
a)
Solución: a)
4
4
5 125 25
5 125 253  4
 125   25 
b) 
  
 9   27 
3
5  125 25
2 2
2
3
  5 
 16 5 4 · 53
2
2 3
2
16
 16 5 4 ·56 ·56  16 516  516  5
3
2
 125   25   9   25   3 
b) Solución: 
   
     3 
 9   27   125   27   5 
2
3
2
Ejercicio 3: Expresa en forma de potencia a)
Solución: a)
b)
c)
3
2 2 .4
2 2 23 =
35 12 2 8.315
=

23
29
2
 52 
36 5 4 5 4 1
 3   9 · 6  9  5  5 5
5 3
5
5
3 
2 2 2
3
b)
3
35
2. 3
2
2 4
.2 2.2 3 = 24 2 5 = 8 2 4.2 5 = 8 2 9 = 2 9 / 8
2
12
3
315 315 / 12
= 1 / 12  3 4 / 5.2 1 / 12
2
2
25·8
25·23
28
·2  4 ·2  4 ·2  2 4·2  25
16
2
2
Ejercicio 4: Realiza las siguientes operaciones:
a) 3 2  3 2 b) 2 3.2 5 c) 2 3 / 2 6 d) 3(6 / 5) 2 e) 2 1.(2 / 3) 2 .(1 / 6) 2  2 3 f) 5 2.(1 / 5) 4
Solución: a) 3 2  3 2 = 3 2 
1
1 81  1 80
9 

2
9
9
9
3
1 5 25
.2  3  2 2  4
3
2
2
3
6
3 6
c) 2 / 2 = 2 .2  2 9
52
3.5 2
5 2 25
2
2
d) 3(6 / 5) = 3(5 / 6) = 3
=
=
=
(2.3) 2 2 2.32 2 2.3 12
b) 2 3.2 5 =
1
2
e) 2 .(2 / 3) .(1 / 6)
f) 5 2.(1 / 5) 4 =
2
1 63
1 2 2 6 2 1 2 2 2 32 1
2 22 1
 3  .  3  8 =
2 = . 2 . 2  3 = 2 .
8 8
2 3 1
1
1 1 2
2 3
2
3
1 4
.5  5 2  25
2
5
Ejercicio 5: Escribe en forma de potencias de base 10 las siguientes expresiones:
a) 1/10000
b) 0,000001
c) 1/0,001
d) 10.000.000
Solución: a) 1/10000=
1
 10  4
4
10
b) 0,000001= 10 6
1
 10 3
10 3
d) 10.000.000= 10 7
c) 1/0,001 =
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
c)
25 ·8
·2
16
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de números racionales
3 9 1
c) :   
4 2 6
3
5
Ejercicio 1: Calcula
a) 3  6
b) 4   2  
5
3
1 1 1 1 2 3
5
 
Solución: a) 3 2  6 1  2  1   
3 6 9 6 18 18 18
3
5 1 3 6 5 1 3 1 1 1 5 4 9

b) 4 1   2          ·   
5
3 4 5 3 3 4 5 3 4 5
20
20
2
3 9 1
c) :   
4 2 6
1

1
1
1
3·2
1
1  36
35
6  6 

4·9
6
6
6
2
2 8  3
b) 3  :  6 
9 3 2
1  3
 4
a) :     5·1  
2  2
 5
Ejercicio 2: Calcula
1
2
1  3
1 2 5 2
2 9 11
 4 1 9
5 4 4
 5·     1   
Solución: a) :     5·1    :  5·   
2  2
5 9 5 9
9 9 9
 5 2 4
 5 5  2·9
2 8  3
b) 3  :  6 
9 3 2
1
 3
2·3
2
1 12
1
1 84  1 83
 6·  3  
 3  4  7  

9·8
3
12 3
12
12
12
12
Expresión de un radical en forma de potencia
De esta forma podemos expresar un radical como una potencia fraccionaria o
viceversa (una potencia fraccionaria como un radical)
Por ejemplo, para expresar una potencia fraccionaria como un radical:
a)
b)
c)
Ejemplos de cómo expresar un radical como una potencia fraccionaria
a)
b)
c)
Ejercicio 1: Escribe estas expresiones en forma de potencias de exponente fraccionario:
a)
3
a7
b) 2 5
Solución: a)
3
c)
4
a7 = a 7 / 3
33 d) 12 59
e)
3
a7
f) a 3 .3 a 2
5
g)
3
23
2
2
h)
31 .3 32
i)
5 5 5 5
b) 2 5 = 2 5 / 2
33 = 3 3 / 4 
c)
4
d)
12
e)
3
1
3
3/ 4
 53 / 4
5 =5
1
1
1
=
 4 / 3  2 4 / 3
42 3 24 2
9 / 12
9
f) a 3 .3 a 2 = a 3 .a 2 / 3  a 3 2 / 3  a 7 / 3
5
g)
3
23
2 2
=
23 / 5
 2 3 / 5.2 2 / 3  2 3 / 5 2 / 3  219 / 15
2 2 / 3
h)
31 .3 32 = 31 / 2.3 2 / 3  3 1 / 2 2 / 3  31 / 6
i)
5 5 5 5 = 51 / 2.51 / 4.51 / 8.51 / 16  5 (8 4 21) / 16  515 / 16
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se
obtiene un radical equivalente.
Ejercicio 1: Simplifica los radicales:
Solución: a)
4
52  5
b)
14
a) 4 52
b)
14
77
77  7
c)
8
36  4 33
8
c)
36
d)
d)
12
12
216
216  3 24
Reducción de radicales a índice común
1
Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se
multiplica por sus exponentes correspondientes.
Ejercicio 1: Escribe un radical equivalente a los radicales
Solución:
3  12 36 ;
3
32  12 38 ;
4
3;
3
32 y
4
33 , con el índice común (mismo índice).
33  12 39
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si un exponente es menor que el índice, el factor
correspondiente se deja en el radicando.
Si un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Si un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente
obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro
del radicando.
Ejercicio 1: Simplifica las siguientes operaciones extrayendo factores fuera del radical:
6048 x 2 y 3
a)
3
7938 xy 4
6048 x 7 y 3
Solución: a)
3
b)
7938 xy 4
(3 a 2 ) 4 .(a 2 . a ) 3
6
a5
(3 a 2 ) 4 .(a 2 . a ) 3
b)
3
=
2 5.33.7.x 7 y 3
=
3
2.7 2.3 4 x. y 4
a 8 .a 6 . a 3
6
a5
=
6

6
6
a5
215.39.7 3.x 21. y 9
2 2.7 4.38.x 2 . y 8
a 6 .a 2 .a.3 .a 2 . a
6
a5
=

6
213.3.x19 . y
2.3xy
 2 2.x 3 .6
7
7
a 9 .6 .a 4 .6 a 3
6
a5
= a 9 .6
a7
= a 9 .6 a 2  a 9 .3 a
a5
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos
índices.
Ejercicio 1: Escribe como un radical:
Solución: a)
5 5·3 5  2·2·3 52  535  12 510
3
b) 3 2 3
a) 5 5·3 5
3
c) 2·4 2 3
b) 3 2 3  3·2 2 2 3  6 12
 
2
c) 3 2·4 2 3  3·4·2 2 4 2 2 3  24 2103  24 3072
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si
son radicales con el mismo índice e igual radicando.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Ejercicio 1: Calcula 3 18·5 32
Solución: 3 18·5 32  3 32·2·5 25  3·3· 2·5.22· 2  9 2·20 2  29 2
Ejercicio 2: Calcula 2 5  45  180  80
Solución:
Ejercicio 3: Calcula:
Solución:
3 8  5 72  50  4 18
3 8  5 72  50  4 18 = 3 23  5 23.32  2.52  4 2.32 = 6 2  30 2  5 2  12 2 =  7 2
Ejercicio 4: Simplifica al máximo la expresión 33 16  23 250  53 54  43 2
Solución: Descomponemos primero cada uno de los radicandos para extraer factores del
radical. Tenemos que 16=2 4 =2·2 3 , 250=2·5 3 , 54=2·3 3 ; por lo que tenemos
33 16  23 250  53 54  43 2  33 2·2 3  23 2·53  53 2·33  43 2  3·2·3 2  2·5·3 2  5·3·3 2  43 2 
 63 2  103 2  153 2  43 2  73 2
Ejercicio 5: Simplifica la expresión
3
2 ·3 16 
1
32  50  98
2
Solución: Tenemos que conseguir radicales semejantes, para ello tenemos en cuenta que
3
3
16  3 24  6 28
3
2 6 2
(Para poder multiplicar radicales deben tener mismo índice) 
2 3 16  6 2 6 28  6 29  23  2 2 Se puede simplificar un radical dividiendo el índice del radical y
el exponente por un mismo número. Sacamos factores de los demás radicales:
1
1 5 1
32 
2  ·4 2  2 2
2
2
2
Sustituyendo todo ello en
3
2 ·3 16 
50  52·2  5 2
98  7 2·2  7 2
1
32  50  98  2 2  2 2  5 2  7 2  8 2
2
Otra forma de hallar la solución: Se puede hacer utilizando las propiedades de las potencias
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones
como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1
Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
Ejemplos: a)
b)
2
Del tipo
, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un
radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
a)
b)
c)
1 3
Ejercicio 1: Racionaliza
2 3
Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su denominador por el
conjugado del denominador (2  3 ) con lo que obtenemos:
1 3
2 3

1  3 (2 
3)
(2  3 )( 2  3 )

2 3 2 3 3
2  ( 3)
2
Ejercicio 2: Racionaliza y simplifica la fracción
Solución: Para racionalizar la fracción dada
simplificar y después racionalizar, es decir
2

3 3 5 3 3 5

 3 3  5 o también 5  3 3
43
1
2
18  8
2
, lo más sencillo es sacar factores de los radicales,
18  8
2
2
2
2 2
2 2
2





10
5
18  8 3 2  2 2 5 2 5 2 2
Otra forma de racionalizar esta fracción es multiplicar su numerador y su denominador por el conjugado del
denominador (la misma expresión radical con el signo opuesto en medio). En este caso
2

18  8



18  8 . Luego
2 18  8
2 18  2 8 6 2  4 2 2 2
2




Como se observa en el
18  8
10
10
5
18  8 18  8


tercer paso, lo que hemos hecho es sacar factores de los radicales y simplificar la expresión obtenida
Ejercicio 3: Efectúa la siguiente operación simplificando al máximo el resultado
2 2
4

2 2
2
Solución:
Ejercicio 4: Racionaliza:
a)
1 2
2 3
3
2 3
1 2
2 3
b)
3
2 3
Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su
denominador por
b)
a)
3 con lo que obtenemos
1  2 (1  2 ) 3
3 6
3 6
·


2·3
6
2 3
2 3 3
Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su
denominador por el conjugado del denominador (2  3 ) con lo que obtenemos:
3
2 3

3(2  3 )
2 33
2 33 2 33
 2


 2 33
2
43
1
( 2  3 )( 2  3 ) 2  ( 3 )
Ejercicio 5: Racionaliza:
a)
3
4 33
b)
2
27
a) Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su denominador por
el conjugado del denominador ( 4 3  3) con lo que obtenemos:
3
3( 4 3  3)
12 3  9
12 3  9 12 3  9 4 3  3

 2



2
2
16·3  9
39
13
4 3  3 ( 4 3  3)( 4 3  3) 4 ( 3 )  3
27  33  3 3 , por
b) Solución: Para racionalizar esta fracción extraemos factores del radical
lo que multiplicamos su numerador y su denominador por
3 con lo que obtenemos
2
2
2 3
2 3



9
27 3 3 3 3 3
6
5 2
Ejercicio 6: Racionaliza:
Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su denominador por el

conjugado del denominador
6

5 2




5  2 con lo que obtenemos:
6 5 2
6 56 2 6 56 2


2 52 2
5 2
3
5 2 5 2


Ejercicio 7: Racionaliza:
a)
5
8 3
3
18
b)
a) Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su denominador por
el conjugado del denominador
5

8 3





8  3 con lo que obtenemos:



 

5 8 3
5 8 3
5 8 3 5 8 3



 8 3
2
2
83
5
8  3 8  3 ( 8 )  ( 3)


 23  3  2 2  3
18  32 ·2  3 2 ,
b) Solución: Para racionalizar esta fracción extraemos factores del radical
por lo que multiplicamos su numerador y su denominador por
2 con lo que obtenemos
3
3
1
2
2




2
18 3 2
2
2 2
Logaritmos
Definición de logaritmo
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para
obtener el número.
Ejemplo: Calcula el valor de log 25 . Se nos pide que calculemos a qué exponente hay que elevar 5 para
5
obtener 25. Como 52 = 25 entonces log 25 = 2 (El exponente al que hay que elevar 5 para que dé 25 es 2)
5
Ejercicio 1: Calcula el valor de los siguientes logaritmos (sin utilizar la calculadora), explicando en cada uno de
ellos el concepto de logaritmo:
a) log 81 =
b) log
3
5
3
5=
Solución: El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de la expresión dada
(expresión de la que se nos pide calcular el logaritmo),
a) Se nos pide que calculemos a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 81. Como 81=34 el
exponente al que hay que elevar 3 para que dé 81 es 4, luego log 81 = 4
3
1
5  5 3 y según
1
la definición de logaritmo queda claro que el exponente al que hay que elevar 5 para obtener 3 5 es . En
3
3
definitiva log 5 = 1/3
b) Se nos pide a qué exponente hay que eleva 5 para obtener
5
3
5 Tenemos en cuenta que
3
log x 32  
Ejercicio 2: Calcula el valor de x sabiendo que
5
3
Solución: Utilizamos la definición de logaritmo, luego x elevado a 
5
da 32, es decir:
3
Ejercicio 3: Calcula log 2 x  1
5
Solución: Utilizamos la definición de logaritmo, luego 2/5 elevado a –1 es x, es decir:
log 2 / 5
2
x  1   
5
1
xx
5
2
Ejercicio 4: Calcula el valor de los siguientes logaritmos (sin utilizar la calculadora), explicando en
3
cada uno de ellos el concepto de logaritmo:
a) log 9· 27
b) log
3
5
5
25
Solución: El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de la expresión
dada (expresión de la que se nos pide calcular el logaritmo),
a) Se nos pide que calculemos a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 9 · 27 .
3
Utilizando las propiedades de las potencias
=log
32
3

3
2 =
log 3
3
43
2
=
log 9· 27
3
=
log 32 · 33 = log 3 2 ·3 2
3
3
=
7
2
3
b) Se nos pide a qué exponente hay que eleva 5 para obtener
5
25
Primero utilizamos las
propiedades de las potencias y por último la definición de logaritmo
3
log
5
1
3
1
2
5
5
3
=
log
= log 5
5
= log
5 52
5
5
25
1 6
3
= –
5
3
EJERCICIOS
Ejercicio 1: Da 4 ejemplos, lo más variados posibles, en cada uno de los siguientes apartados
(en caso en que lo pedido sea imposible explica por qué):
a) Un número racional que no sea entero
Solución: Ejemplos de números racionales que no sean números enteros son todos aquellos
números que se escriben como cociente de números enteros en que la división no sea exacta,
o bien todos aquellos números con cifras decimales bien finitas o bien periódicas, luego
servirían:
– 3/5
2/7
5´39 –7´322222…
b) Un número racional que no sea real
Solución: No existen números racionales que no sean reales. Todos los números racionales son
reales. Luego lo que se nos pide es imposible. No puede haber ejemplos.
64·32·7 3
Ejercicio 2: Simplifica las siguientes expresiones: a)
14 3·32·107
2
3
1  4  2
b)   .  . 
3  3  3
5
c)
215·57·152·34
2 8·362
1
6 4.3 2.7 3
2 4.3 2.7 3
2 4.34.32.7 3
Solución: a)
= 3 3 2 7 7 = 4  3 2 7  7  5  7
3 2
7
5
14 .3 .10
2 .7 .3 .2 .5 2 .7 .3 .5
2
3
5
2 3
5
2 6 5
7 6
 (2 )   3  3 .2 .3 3 .2
1  4  2
b)   .  .  = 3 2. 3 . 5  
= 3 5 = 3 4 .2
3 5
3 .2
3 .2
3  3  3
 3  2 
215.5 7.15 2.3 4 35.7 5.5 7.(3.5) 2 .3 4 35.7 5.5 7.3 2.5 2.3 4 37.7 5.5 5 37 .7 5.2 4
c)
=
=
=
=
2 8.(2 2.3 2 ) 2
2 8.36 2
2 8.2 4.3 4
2 4
55
Ejercicio 3: Sitúa cada número en su lugar
correspondiente dentro del diagrama: 100 ,

,  32 ,
2
 2
,
0'32 ,
7
5
, 234523 ,
2
3
5,
8
,
2
4 ,  5'232323...
Solución:
Ejercicio 4: Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
2
2 
b)   1
3 
2
a)    1
3
2
3
2
Solución: a)    1 =
 2  2 
c)    1
 3 

2
1
4
49 5
22

1 = 1=
2
9
9
9
3
(1) 2 1
 2   2  3   1
b)   1 = 
 =   2 
9
3
3   3   3 
2
2
 2  2 
c)    1

 3 
1
2
1
1
2
 2  2    2  2 
d)     1 .1     
 3 
   3  
1
1
1
 3  2   3 2
 9  9  4
4
5
=    1 =  2  1 =   1 = 
=  

5
4
 4   4 
  2
 2 
2
2
2
2
2
 2  2    2  2   3  2    2  2   9  2  4  2
d)     1 .1      =    1 .1     =   1 .1   =
 3 
   3    2 
   3    4   9 
2
2
2
9  4  9  4   5   5   2 
=
=
=
.
.
 
2
2
 

 4   9   2   3   5 
2
2
2
4
2
4 2
2 4 16
 5   2   5  2 .5
. 2  =  2 . 4  = 2 4  4 
81
3
 3   5   3  5 .3
2
Ejercicio 5: Completa la siguiente tabla, escribiendo sí o no, según corresponda:
natural
entero
racional
real
16
8
4

3
5'01001
5'010010001...
3
2
Solución: Calculamos el valor de los números que no tengamos claros con la calculadora
natural
entero
racional
real
sí
sí
sí
sí
16
8
4

3
5'01001
5'010010001...
3
2
no
sí
sí
sí
no
no
no
no
no
no
no
no
no
sí
no
no
sí
sí
sí
no
Ejercicio 6: Calcula el valor exacto de:
a) 3 - 2 + 6 - 1
Solución: 3 2  6 1 
1 1 1 1 2 3
5
 1    
2
3 6 9 6 18 18 18
b)
Solución: 3 18·5 32  3 32·2·5 25  3·3· 2·5.22· 2  9 2·20 2  29 2
Ejercicio 7: Utilizando las propiedades de las potencias, expresa como potencia de base 2
6
16
25 ·8
b) 32·
·2
2
16
5
5 3
8
2 ·8
2 ·2
2
·2  4 ·2  4 ·2  2 4·2  25
Solución: a)
16
2
2
a)
6
b)
16
32·
 25
2
6
4
5
2
4
6
5
4
5 4
1
 1
2
2
2
 2226  22 6  2
2
2
15 4 6
6
Ejercicio 8: Realiza las siguientes operaciones: a) 5 2.(1 / 5) 4
2
13
6
b) (2 3  5 ) 2
1 4
.5  5 2  25
2
5
2
2
b) (2 3  5 ) = (2 3 )  2.2 3. 5  ( 5 ) 2  2 2.3  4 15  5  17  4 15
Solución: a) 5 2.(1 / 5) 4 =
3 8  5 72  50  4 18
Ejercicio 9: Calcula:
Solución:
3 8  5 72  50  4 18 = 3 23  5 23.32  2.52  4 2.32 = 6 2  30 2  5 2  12 2 =  7 2
Ejercicio 10: Expresa como un único radical 2 8a 3  288a 3  3 128a 3  72a 3  2 32a 3 , siendo a
un número real positivo
Solución: Para expresar 2 8a3  288a3  3 128a3  72a3  2 32a3 como un único radical,
descomponemos cada número en factores y extraemos factores del radical
2 8a 3  288a 3  3 128a 3  72a 3  2 32a 3  2 23 a 3  2532 a 3  3 27 a 3  2332 a 3  2 25 a 3 
 4a 2a  12a 2a  24a 2a  6a 2a  8a 2a  28a 2a  26a 2a  2a 2a
Ejercicio 11: Efectúa las siguientes operaciones, simplificando al máximo:
a)
6
8  4 4  7 72
b)
75 
18 3 12
2


3
4
25
8  4 4  7 72 = 6 23  4 2 2  7 32.23 =
2  2  7.3.2 2 = 2 2  42 2  40 2
2 3 3
2
3 2 3.2 3
2
18 3 12
2




b) 75 
=5 3 
=5 3 
=


1
2
5
3
4
5
3
4
25
50 3  10 2  15 3  2 2 65 3  12 2 13
6
3
2

=
=
10
10
2
5
Solución: a)
6
Ejercicio 12: Siendo x un número real positivo, exprese como un único radical la siguiente expresión
4 x 3x  108x3  4 3x  12 x3  243x
y calcule el valor de dicha expresión para x  3
Solución: En primer lugar, descomponemos en factores y sacamos factores del signo radical
4 x 3x  108 x 3  4 3x  12 x 3  243x  4 x 3x  2 233 x 3  4 3x  2 23x 3  35 x 
 4 x 3 x  2·3·x 3x  4 3x  2 x 3x  9 3x  4 x 3x  6 x 3x  4 3x  2 x 3x  9 3x 
 4 x  6 x  2 x  4  9 3x  13 3x
Ejercicio 13: Simplifica la siguiente expresión y calcula su valor para x=8
2x2
x 8x  3 2 x 
 x 6 26 x 3
x
3
Solución: En primer lugar, descomponemos en factores, racionalizamos y sacamos factores del signo radical
26 x3  22 x dividiendo el índice y los exponentes entre 3
2x2
2x2 x
2x2 x
x 8 x  3 2 x3 
 x 6 2 6 x 3  x 23 x  3 2 x 3 
 x 6 26 x 3  2 x 2 x  3 x 2 x 
 2x x 
x
x
x x
(simplificamos el radical
6
 5x 2 x  2 x x  2 x x  5x 2 x
Ejercicio 14: Simplifica las expresiones:
a)
512  648 
128
81
b)
6
6561a 2  3 3993a  3 3a 4
27
23
128
9
3 4
4
2
Solución: a) 512  648 
=
2  2 .3  4  2 2  2.3 . 2  2 2 
3
81
3
8
306 2  8 2 298
8
2  34 2 
2

2
= 16 2  18. 2 
9
9
9
9
6561a 2  3 3993a  3 3a 4 = 6 38 a 2  3 3.113 a  3 3a 4 = 36 32 a 2  11.3 3a  a3 3a =
= 33 3a  11.3 3a  a3 3a = (3  11  a )3 3a = (14  a)3 3a
b)
6
Ejercicio 15: Realiza las siguientes operaciones:
a) (2 3  5 ) 2
b) 2 6 (2 5  2 ) 2
Solución: a) (2 3  5 ) 2 = (2 3 ) 2  2.2 3. 5  ( 5 ) 2  2 2.3  4 15  5  17  4 15
b) 2 6 (2 5  2 ) 2 = 2 6[( 2 5 ) 2  4 10  ( 2 ) 2 ]  2 6[20  4 10  2] 
= 2 6 (22  4 10 )  44 6  8 60  44 6  8 2 2.3.5  44 6  16 15
Ejercicio 16: Efectúa estos cálculos:
a) ( 2  1) 2 . 3


c) ( 2  1) 2  1 . 2
b) (2 2  3 ).( 3  3)
d) (1  2 ).( 2  1)
Solución: a) ( 2  1) 2 . 3 = (2  2 2  1) 3  (3  2 2 ) 3  3 3  2 6
b) (2 2  3 ).( 3  3) = 2 6  6 2  3  3 3


c) ( 2  1) 2  1 . 2 = (2  2 2  1  1). 2 = ( 2  2 2 ). 2 = 2 2  2 2. 2  2 2  4
d) (1  2 ).( 2  1) = 2  1  2  2  1
Ejercicio 17: Racionaliza:
a)
1 5
3 3
Solución:
denominador por
b)
a)
1 5
3 3
2
2 2
Para racionalizar esta fracción multiplicamo s su numerador y su
3 con lo que obtenemos
2
b)
1  5 (1  5 ) 3
3  15
3  15



3·3
9
3 3
3 3 3
Solución: Para racionalizar esta fracción multiplicamos su numerador y su
2 2


denominador por el conjugad o del denominador 2  2 con lo que obtenemos:
2
2 2



2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2



 2 1
2
42
2
2 2 2 2
22  2



 
Ejercicio 18: Racionaliza las siguientes expresiones:
3 1
a)
2
3 1
Solución: a)
b)
c)
1 5
2
=
1 5
b)
=
2 5 1
( 3  1) 2
( 2) 2
(1  5 )( 2 5  1)
2 5  1 (2 5  1)( 2 5  1)
7
33 2
=
7 3.3 2 2
33 2 33 22

c)


7
33 2
3
d)
2 3
6 2
2
2 5  1  2( 5 ) 2  5
(2 5 ) 2  12
76 33 .6 2 4
( 3 ) 2 .3 2 3


3 5  1  2.5 3 5  11


4 .5  1
19
76 33.2 4
76 33.2 4 7 6 432


6
3.2
6
3
d)
=
2 3
3
=
2 23
3
4
2 2.3

3.4 2 2.33
4
2 2.3.4 2 2.33

4
3 2 .4 2 2.33
4

2 4.3 4
Ejercicio 19: Calcula el valor de x sabiendo que log x 25 
4
35.2 2 3.4 3.2 2 4 12
=

2
2.3
6
3
2
Solución: Utilizamos la definición de logaritmo, luego x elevado a
3
da 25, es decir:
2
3
x 2  25  x 3  25  x 3  252  625  x  3 625  3 54  53 5
Ejercicio 20: Calcula log 3 x  2
Solución: Utilizamos la definición de logaritmo, luego 3 elevado a –2 es x, es decir:
log 3 x  2  32  x 
1 1
1
 x
2
3
9
9
Ejercicio 21: Calcula los siguientes logaritmos: a) log 1 / 3 3
b) log 2 0,0625
c) log
3
729
d) log 1 / 5 3 78125
Solución: a) log 1 / 3 3 = log 31 31 / 2  log 31 (31 ) 1 / 2  1 / 2
b) log 2 0,0625 = log 2
c) log
3
625
1
54
54
 log 2

log
 log 2 4  log 2 2 4  -4
2
4
4 4
10000
2
(2.5)
2 .5
729 = log 31 / 2 36 = log 31 / 2 (31 / 2 )12  12
d) log 1 / 5 3 78125 = log 1 / 5 3 5 7 = log 51 (51 ) 7 / 3 =-7/3
Ejercicio 22: Calcula el valor de los siguientes logaritmos (sin utilizar la calculadora), explicando en cada uno de
3
ellos el concepto de logaritmo:
a) log 16· 8 =
b) log
2
3
9
27
=
Solución: El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de la expresión dada
(expresión de la que se nos pide calcular el logaritmo),
a) Se nos pide que calculemos a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 16· 8 . Utilizando las
propiedades de las potencias
4
log 16· 8 = log 2 · 2
2
2
3
= log
2
4
2 ·2
3
2 =
log 2
2
4
3
2 =
log 2
2
8 3
2 =
11
2
3
b) Se nos pide a qué exponente hay que elevar 3 para obtener
9
Primero utilizamos las propiedades de
27
las potencias y por último la definición de logaritmo
2
3
2
3
3
3
9
log
=
log
= log 3
3
= log
3 27
3 33
3
3
3
29
3
= –
7
3
Propiedades de los logaritmos
1ª
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2ª
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
Ejemplo
3ª
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ejemplo
4ª
raíz:
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la
Ejemplo
5ª
Cambio de base:
Ejemplo
Logaritmos decimales y neperianos
Logarítmos decimales
Los logarítmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).
Logarítmos neperianos
Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
 a3 
1
2
3
Ejercicio 15: Sabiendo que log( a )  , log( b) 
y log( c )  , halla log  2 
2
3
4
b c
Solución: