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DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS SEP
COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN BÁSICA SEJ
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA SEJ
MANUAL DE ACTIVIDADES EMAT
CABRI GEOMETRE II
CONTENIDO
ACTIVIDADES
1° 2° 3°
LA BARRA DE HERRAMIENTAS
INICIACIÓN AL PROGRAMA CABRI
TRAZO DE: RECTA SEMIRRECTA, SEGMENTO Y VECTOR
TRAZOS AUTOMÁTICOS
ELEMENTOS Y MOVIMIENTO
CIRCUNFERENCIAS EN MOVIMIENTO
EL CÍRCULO LA CIRCUNFERENCIA Y SU RADIO
EXPLORANDO LA INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS
SISTEMA SOL-TIERRA-LUNA
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
TRIÁNGULO
EXPLORANDO EL TRIÁNGULO
LAS TANGENTES
CUADRILÁTEROS 2
EL NÚMERO PI
PARALELAS Y PARALELOGRAMOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
CUADRILÁTEROS 1
SIMETRÍA CENTRAL
SIMETRIA AXIAL
ÁREA DEL TRIÁNGULO
ALTURAS DEL TRIÁNGULO
ÁREA DEL RECTÁNGULO
DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
TRAZAR LA PARALELA A UNA RECTA POR UN PUNTO FUERA DE ELLA
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
RELACIÓN DEL APOTEMA Y EL RADIO
TRIÁNGULO Y CUADRILÁTERO DE ÁREAS IGUALES
EXPLORANDO LA TANGENTE A UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA
DIÁMETRO EN EL CÍRCULO
MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO
BISECTRIZ ALTURA Y MEDIATRIZ EN UN TRIÁNGULO
TEOREMA DE PITÁGORAS
UN ACERCAMIENTO AL TEOREMA DE PITÁGORAS
PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO ISÓSCELES EN UN CUADRADO
CUADRADO ANIDADO
TRIÁNGULOS SIAMESES
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y CONGRUENTES
ROTACIÓN ANGULAR (MODELO).
HOMOTECIA (MODELO).
PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DEDICADOS A NAPOLEÓN
TRIÁNGULOS A ESCALA
PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN Y CONSTRUCCIÓN
PAGS.
1
2-3
4
5
6
7-8-9
10
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19
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35
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37
38
39-41
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43
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47
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50
51-52
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EMAT
Presentación de Referencia
CONOCIMIENTO DE LA BARRA DE HERRAMIENTAS
Puntero
Puntos
1. PUNTERO
Rectas
Construir
Transformar
Curvas
Macro
Ver
Dibujo
Medir
Comprobar propiedades
5. CONSTRUIR
9. MEDIR
6. TRANSFORMAR
10. VER
2. PUNTOS
3. RECTAS
7. MACROS
11. DIBUJO
8. COMPROBAR
PROPIEDADES
4. CURVAS
1
GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
ACTIVIDAD
INICIACIÓN AL PROGRAMA CABRI
Después de conocer las dos barras de herramientas: Estándar y Formato.
Con la supervisión de tu asesor realiza los siguientes ejercicios:
1. En el botón 2 [puntos], genera tres puntos no alineados y edítalos simultáneamente o
posteriormente en el botón 10 [ver] con las etiquetas A, B y C. Activando el botón 1
[puntero], manipula por la pantalla esos puntos; finalmente bórralos uno a uno,
señalándolos con un (clic) del puntero y suprimiéndolos con la tecla (Supr).
2. En el botón 3 [rectas] activa el comando Rectas, con tres de ellas divide la pantalla en
6 partes. Bórralas suprimiendo los puntos de anclaje.
3. En [Rectas], activa el comando (Segmento) y genera los segmentos: AB, CD, EF, y
GH. A través del botón 9 [Medir] selecciona (Distancia y longitud), pide la medida de
cada uno. En el botón 11 [Dibujo], ponles (Color) a todos ellos, (Punteado) a dos de
ellos y diferente (Grosor) a los otros dos. Activa el botón 1 [puntero] manipula los
segmentos desde sus extremos y por último, júntalos al centro de la pantalla desde la
parte media de los mismos y bórralos, de una sola vez, generando un rectángulo que
los comprenda para luego suprimirlos con la tecla (Supr).
4. En el mismo archivo u hoja en blanco, botón 3 [rectas], genera dos (Semirrectas) que
formen un ángulo a partir del mismo punto inicial. En botón 9 [Medición] pide la
medida de ese (Angulo), marcando en este orden “lado-vértice-lado” con el puntero,
en botón 10 [Ver] ponle (Marca de ángulo) en la misma forma: “lado-vértice-lado”.
Activando el puntero botón 1, manipula el ángulo desde cualquiera de las semirrectas.
Borra tu construcción desde el comando Edición, Seleccionar todo y Borrar. Con ello
has visto algunas formas de borrar objeto en Cabri.
5. Pide Archivo Nuevo en la barra de herramientas. En botón 3 [Rectas], con la opción
Vector, encuentra la resultante de dos vectores cualesquiera que formen un ángulo
agudo a partir del mismo punto inicial; para ello ponles en botón de [Medición],
Distancia y longitud y desde el botón 5 [Construir] busca (Suma de vectores) genera
la resultante activando con el puntero en este orden: “vector-punto(vértice)-vector”.
Ponle (Distancia y longitud ) a la resultante manipula el sistema y verifica la ley del
paralelogramo como se estudia en Física, une con segmentos los vértices y desde el
botón 8 prueba que el sistema forma un paralelogramo.
6. Archivo nuevo: En mismo botón 3 [Rectas], genera un (Triángulo) que se llame ABC,
(Rellénalo) de color botón 11 [Dibujo], pide su perímetro botón 9 [Medición] mediante
(Distancia y longitud) así como su (Área) y medida de sus (Ángulos). Manipula sus
vértices para que aprecies su plasticidad.
7. Archivo nuevo: [Rectas], seguimos con la opción (Polígono), genera el cuadrilátero
ABCD, después del punto final cierras el polígono en el punto inicial. Ponle (Color) y
(Grosor) botón 11 [Dibujo], pon la medida de sus (Ángulos) internos botón 9
[Medición], Con auxilio de la calculadora de Cabri (Calcular) botón 9 [Medición],
encuentra la suma de sus 4 ángulos internos y arrástralo por la pantalla. Manipula sus
vértices defórmalo en un polígono cóncavo y convexo respectivamente, para observar
sus propiedades. Una limitante de Cabri, es que sólo mide ángulos menores a 180°.
Para tomarlo en cuenta en los polígonos cóncavos y/o cruzados.
8. Archivo Nuevo: Botón 3 [Rectas], en la opción (Polígono regular), genera un triángulo
equilátero, un cuadrado y un pentágono, girando el puntero a favor del reloj. En la
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
misma forma genera 2 polígonos estrellados de 5 y 7 puntas, girando el puntero contra
reloj.
9. En archivo: Nuevo, genera una (Circunferencia) botón 4 [Curvas], y en ella un (Arco)
mismo botón 4 [Curvas], requieres marcar tres puntos, sobre la circunferencia. En
botón [Rectas] con (Segmento) genera el ángulo central e inscrito correspondiente a
ese arco, pide sus medidas y verifica la propiedad de esos ángulos, al manipular la
longitud del arco, desde cualquiera de sus extremos.
10.- En la construcción anterior genera un ángulo semi-inscrito para el mismo arco y
verifica su medición, con respecto al arco o ángulo central.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad dirigida
TRAZO DE: RECTA, SEMIRRECTA, SEGMENTO Y VECTOR
1) Traza una recta libre: Botón 3 eliges "recta", marcas un punto le das dirección con el puntero y das un
clic.
2) Trazo de una recta que pase por el punto "p": Botón 2 "punto", das un clic sobre la pantalla donde
quieras que aparezca el punto, pulsas la tecla p, vas a botón 3 eliges "recta" pasea el puntero sobre el
punto hasta que aparezca la leyenda "Este punto" das clic y eliges la orientación, y das un segundo
clic.
3) Traza una recta en la que los puntos Q y T sean parte de ella: Botón 2, eliges "punto" elige donde
poner el primero, da un clic y presiona la tecla P mayúscula, elige el segundo punto da un clic y
escribes T. Botón 3 "recta", sobrepón el puntero en el punto P hasta que aparezca la leyenda "Por este
punto", da un clic, desplaza el puntero al segundo punto hasta que aparezca la leyenda "y este punto" y
das otro clic.
4) Traza una semirrecta que parta del punto s: En el botón 2, eliges "punto", da un clic en el lugar
elegido y presiona la tecla s, en el botón 3 elige semirrecta, paseas el puntero sobre el punto hasta que
aparezca la leyenda "Este punto" das un clic, eliges la orientación y das el segundo clic.
5) Traza el segmento AB y electrónicamente busca su longitud: Botón 3 "segmento", da un clic para el
primer punto y presionas A, orientas el segmento das un clic para el segundo punto y presionas B. En el
botón 9, eliges "Distancia y longitud", sobrepones el puntero sobre el segmento hasta que aparezca la
leyenda "Longitud de este segmento" y das un clic, activa el primer botón (puntero azul) para que
puedas manipular los objetos geométricos, con el puntero sobre el punto B, aparece la leyenda "Este
punto" das un clic y el puntero cambia a una forma de mano cerrada, que te permite halar el segmento.
6) Por último traza un vector libre de 3 cm: Elige un punto, en botón 3 elige "vector" pon el puntero
sobre el punto y cuando aparezca la leyenda "Desde este punto" das un clic y halas el vector en el
sentido y orientación que desees y das un clic. En el botón 9, eliges "Longitud y distancia" con el
puntero sobre el vector, aparece la leyenda "Longitud de este vector" das un clic; para modificar la
longitud, activas el puntero azul (primer botón) y desde el extremo del vector halas hasta que ajustes en
3 cm aproximadamente ahí das clic.
7) Manipula tus objetos para que reconozcas los elementos dependientes de los independientes.
Preguntas para un análisis intuitivo y de reflexión
1.¿Cuántas líneas rectas pasan por un punto? ____________
2.¿Cuántas líneas rectas pasan por dos puntos? ___________
3.¿En cuantas partes divide una recta al plano que la contiene? ________________________________
4.¿Escribe y comenta el concepto de semirrecta?
___________________________________________________________________________________
¿Cómo defines un segmento de recta? ____________________________________________________
¿Pregunta a tu profesor(a) de Física qué son los vectores y para que sirven?
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad de ambientación
TRAZOS AUTOMÁTICOS
1.
2.
3.
Traza un triángulo como el de la figura. (Botón 3) comando Triángulo.
Marca un punto exterior frente al lado BC (botón 2) comando Punto.
Etiqueta los puntos A, B, C y P (botón11) comando Etiqueta. Se edita cuando el puntero cambia a una I latina
mayúscula.
4. Trazar una perpendicular al lado BC que pase por el punto P. (Botón 5) comando Recta perpendicular. Señala
con el puntero el punto P, Cabri te envía el mensaje "Por este punto" da un clic, luego señala el lado con el puntero,
Cabri te envía de nuevo este mensaje "Perpendicular a este lado del triángulo" da un clic y el trazo se genera
automáticamente.
5. Trazar una paralela al lado BC que pase por el punto P. (Botón 5) comando Recta paralela. De manera similar al
trazo anterior, señalas primero el punto y luego el lado, dando clic en ambos casos hasta que Cabri te envíe el
mensaje.
6. Trazar la bisectriz al ángulo ACB. (Botón 5) comando Bisectriz. Señala con el puntero el vértice A y das un clic
cuando Cabri te envíe el mensaje "Este punto", señalas C dando un clic después del mensaje de Cabri y en la
misma forma señala el punto B dando un clic después del menaje. Como puedes ver el orden puede ser B, C y A;
lo importante es no perder de vista el vértice del ángulo.
7. Localizar el punto medio del lado AB. De nuevo en el (botón 5) busca el comando Punto medio. Con el puntero
señala el punto A, Cabri te envía un mensaje: "Punto medio entre este punto", da un clic, ahora señala el punto B.
Cabri te pregunta: "y este punto" tu le dices sí con un clic.
8. Trazar la perpendicular mediatriz al lado AB. La perpendicular mediatriz a un segmento, es la recta que pasa por el punto medio de los extremos
del segmento formando un ángulo de 90º. De nuevo en el (botón 5), activa el comando Mediatriz y con el puntero señalas el
lado AB, cuando Cabri te pregunte "Mediatriz de este lado del triángulo" le contestas con un clic.
9. Agregar comentarios. En el (botón 10) activa el comando Comentarios y como se muestra en la figura superior
escribe los mismos comentarios a cada elemento geométrico.
10. Poner color en las figuras. Para colorear figuras cerradas como el triángulo; en el (botón 11) activa el comando
Rellenar, aparece una tableta con las opciones para el color, selecciona uno con el puntero lo llevas al triángulo y
cuando aparece un tarro y el mensaje "Este triángulo" das un clic, cierra la tableta con un clic en el cuadro pequeño
de la parte superior izquierda. Ahora ponle color a las líneas. En el mismo botón selecciona el comando Color,
aparece de nuevo la tableta de colores, elige un color para cada recta, cuando termines cierra la tableta. Puedes si
lo deseas cambiar el grueso de las líneas, activando en el mismo botón, el comando Grosor.
11. Manipula el triángulo desde cualquiera de los vértices y observa que las propiedades de los trazos no se pierden.
Antes de manipular la figura, cerciórate que el puntero azul del primer botón este activo.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad de ambientación
ELEMENTOS Y MOVIMIENTO
1. Dibuja una recta (botón 3).
2. Traza un segmento (botón 3) y muévelo hasta
que corte a la recta.
3. Marca un punto (botón2) sobre el segmento y el
punto de intersección de la recta con el segmento.
4. Dibuja dos circunferencias: una con centro en el
punto de intersección de la recta y el segmento y
otra con centro en el punto generatriz de la recta.
5. Desplaza el segmento hasta que no tengas
intersección con la recta. Después vuelve a la
posición anterior.
¿Por qué crees que desaparece la circunferencia?
__________________________________________
Intenta desplazar los centros de las circunferencias
¿Por qué una de ellas no se mueve?
__________________________________________
Indica con un SI o un No los elementos geométricos que practicaste en esta actividad.
Punto
Recta
Segmento
Círculo
Circunferencia
Intersección
Ángulo
Mediatriz
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad de ambientación
CIRCUNFERENCIAS EN MOVIMIENTO
I.
TÚNEL CON ANIMACIÓN SENCILLA
1) Dibuja un segmento en posición horizontal, marca un punto y sobre ese punto
dibuja una circunferencia como se aprecia en la figura 1.
2) Marca la circunferencia (dando un clic sobre ella) y en el botón 10 activa el
comando Traza activada, sobre la circunferencia, después, en el mismo botón
selecciona el comando Animación (simple). Con el puntero del ratón,
selecciona el punto (centro de la circunferencia) y hálalo en dirección horizontal
hasta que aparezca la figura de un resorte, al liberar el botón del ratón el
resorte se activa y se genera la figura 2.
El lugar geométrico formado por los puntos en movimiento de la circunferencia
tiene esa apariencia de túnel formado por óvalos circulares.
Con esta idea abre dos archivos nuevos y genera el cono y la dona como lugar
geométrico de circunferencias en movimiento.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
II.
Actividad de ambientación
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS
Abre archivo nuevo:
1)
2)
3)
Dibuja una recta en posición horizontal y
sobre la misma marca los puntos 1 y 2.
Sobre el punto 1 genera una
circunferencia que tenga por radio la
distancia al punto 2.
En el botón 10 activa el comando Traza
activada y marca la circunferencia con
un clic, regresa al botón 10 y activa el
comando Animación. Con el puntero
del ratón señala el punto 2 y hálalo hasta
que aparezca la figura del resorte, al
soltar el botón del ratón el movimiento
del punto 2 genera el lugar geométrico
de la familia de circunferencias
concéntricas al rededor del punto 1.
Con esta idea genera la Almeja que aparece en la parte inferior.
Tip: A continuación se dan los elementos básicos la circunferencia pequeña se activa con
Traza activada y al punto central de la circunferencia mayor se le da Animación.
ELEMENTOS BÁSICOS
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad de ambientación
CIRCUNFERENCIAS EN MOVIMIENTO
III.
CORAZÓN ESFÉRICO
Dibuja una circunferencia con centro en punto1 y sobre la misma otra circunferencia
menor, que tenga su centro en el punto 2 y de radio la distancia del punto 2 al punto 3.
Como se aprecia en la figura 1. Procura que el punto 3 se defina sobre la circunferencia
1.
Genera el lugar geométrico de todas las circunferencias respecto al punto 2, cuando este
se mueve sobre la circunferencia 1.
En el (botón 5), busca el comando “Lugar Geométrico”, activas la segunda circunferencia,
luego el punto 2 (centro de la misma). Con ello automáticamente se genera la figura que
vemos abajo y que tiene la forma de un corazón esférico.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
1.
2.
3.
4.
5.
EL CÍRCULO LA CIRCUNFERENCIA Y SU RADIO
Círculo de centro libre y radio libre: Selecciona del botón 4, "circunferencia", del botón
3 "segmento", del botón 10 "etiqueta" y pon el nombre a cada elemento; del botón 11
"rellenar" escoge el color al gusto y colorea tu círculo. Fig.1.
Circunferencia de centro en el punto "o" y radio libre: En el botón 1, seleccione "punto"
dé un clic y pulse la tecla o, en el botón 4 "circunferencia" y a partir de o genérela, en
el botón 11 elija "color" póngale color al gusto. Fig.2.
Trazar un círculo de centro libre y radio definido por el segmento AB, usando la
herramienta compás. Tercer botón "segmento", da un clic para el primer punto y
pulsas A, da un clic para el segundo punto y pulsas B, ya tienes el segmento; en el
botón 5 selecciona "compás", marca el punto libre y lleva el puntero sobre el segmento
hasta que aparezca la leyenda "Este segmento" entonces das otro clic. Fig. 3.
Circunferencia con centro en el punto m y radio definido por el segmento CD, usando
el comando "compás": Traza y marca el segmento CD, marca el punto m, en el botón
5 selecciona "compás", lleva el puntero sobre el punto y cuando aparezca la leyenda
"Este punto" da un clic, lleva el puntero al segmento y cuando aparezca la leyenda
"Este segmento" da un clic. Fig. 4.
En los ejercicios 2,3 y 4, escoge un punto sobre la circunferencia y traza el radio.
Preguntas para discusión
¿Qué es una circunferencia?
_____________________________________________________________________
¿Qué es un círculo?
_____________________________________________________________________
¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?
_____________________________________________________________________
¿Para qué sirven en la realidad la circunferencia y el círculo?
_____________________________________________________________________
¿Históricamente que usos han tenido la circunferencia y el círculo?
_____________________________________________________________________
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad




EXPLORANDO LA INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Traza dos circunferencias de centros O y o que se intercepten en dos puntos.
Por los puntos de intersección traza una recta.
Establece la medida del ángulo que guardan entre sí las dos rectas; para ello,
genera un punto donde las dos circunferencias se interceptan y márcalo con la
letra w, genera otro punto en la intersección de las rectas y márcalo con la letra t.
En el botón 9, activa el comando ángulo, señala con el puntero el punto w, hasta
que aparezca la leyenda "Este punto" das un clic, te continúas con el punto t que
será el vértice del ángulo y haces lo mismo y por último con el punto o en igual
forma.
Mueve una, cualquiera, de las dos circunferencias con el puntero azul activado. La
recta que une a los dos puntos de intersección se desplaza con respecto a la recta
que une los centros de las dos circunferencias.
Contesta lo siguiente:
a) ¿Qué posición guarda la recta que une los puntos de intersección con respecto a la
recta que une a los centros de las dos circunferencias? ______________________
b) Al mover una de las circunferencias, ¿en qué momento desaparece ésta recta de la
pantalla? _______________________________________________________
c) Al manipular la figura, ¿cuántas posiciones existen, donde las dos circunferencias
permanezcan tangentes entre sí?________.
d) Agrega y comenta con tus compañeros otra observación que hayas
hecho._____________________________________________________________
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad de animación
SISTEMA SOL-TIERRA-LUNA
CONSTRUCCIÓN DINÁMICA
Dibuja una elipse (botón 4) activando el comando Cónica marcando cinco puntos. Esta
será la trayectoria de la tierra alrededor del sol.
Dibuja en uno de los focos de la elipse, como se aprecia en la figura de referencia, un
polígono regular estrellado (Botón 3) comando Polígono regular, el cual simulará al sol.
Los polígonos regulares estrellados se generan contra las manecillas del reloj.
Marca un punto sobre la elipse y en él una circunferencia pequeña que simulará a la
tierra.
Con centro en ese mismo punto genera una circunferencia mayor que simulará la
trayectoria de la luna, sobre esa circunferencia genera una circunferencia pequeña que
simulará la luna.
Ya está listo el sistema, hay que ponerle color al sol, la tierra y la luna.
Haz la animación múltiple de la tierra y la luna alrededor del sol. Activa en el (botón 10) el
comando Animación múltiple y con el puntero genera un resorte pequeño para la tierra y
un resorte más largo para la luna, presiona la tecla enter o return del teclado para liberar
los resortes y poner en movimiento el sistema.
figura de referencia
Investiga en tu Clase de Geografía, cuáles son las leyes de Kepler que cumplen los planetas y
satélites del Sistema Solar.
R:
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Problema: Dado un ángulo cualquiera por medio de circunferencias trazar la bisectriz.





Para formar el ángulo usa semirrectas
Utiliza la circunferencia con centro en el vértice, para generar patrones iguales
para los radios de las otras dos circunferencias.
Marca los puntos necesarios.
Genera la medida de los ángulos.
Manipula cualquiera de los lados del ángulo y observa regularidades.
Puntos para reflexión y comentario:
1. ¿Qué elementos u objetos geométricos participan en esta construcción?
_____________________________________________________________________
2. ¿Cómo defines la bisectriz?
_____________________________________________________________________
3. Como puedes ver, la bisectriz, biseca también al ángulo conjugado. Un ángulo
conjugado generado por una bisectriz mide 360º menos el valor del ángulo. Verifica si
se cumple en todos los casos.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
TRIÁNGULO
Problema: Dados tres segmentos construye un triángulo con la herramienta Compás de
Cabri.
Traza tres segmentos con longitudes muy semejantes como se aprecia en la figura
inferior; etiquétalos como a, b y c.
Ponle la medida a cada segmento, antepenúltimo botón comando “Distancia y
longitud”.
Traza una recta horizontal, para que sirva de base, en ella genera un punto x cualquiera.
En el (botón 5) está la opción de “Compás” luego de activado, generas la primera
circunferencia: primero tomando la distancia del segmento a como radio y luego damos
un clic sobre el punto x como centro.
En la misma forma tomamos el segmento b y con centro en la intersección derecha de la
recta y la circunferencia anterior, se traza la circunferencia correspondiente –con radio b-.
Hacemos lo mismo con el segmento c, con centro en el punto x. La intersección de estas
dos últimas circunferencias será uno de los vértices del triángulo y los otros dos vértices
son el punto x y la intersección de la recta y la primera circunferencia.
Por esos tres puntos traza el triángulo abc, busca el comando “Triángulo” en el Botón 3.
Oculta los trazos auxiliares con el comando Ocultar/Mostrar que está en botón 10, -los
que se ven punteados en la figura inferior.
Ya está lista nuestra construcción de un triángulo.
Presiona la tecla ESC o da un clic en el primer botón, para poder manipular los objetos
geométricos que haz generado.
Estira o acorta los segmentos y observa lo que pasa, nota la siguiente propiedad: “La
suma de dos lados cualesquiera en un triángulo es siempre mayor que el tercer lado”
Enuncia la propiedad inversa:
R:
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Si se contraviene una de estas propiedades desaparece el triángulo.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
EXPLORANDO EL TRIÁNGULO







Traza un triángulo ABC.
Indícale a Cabri que te muestre las medidas de los lados y las medidas de los
ángulos.
Genera en Cabri la medida de los ángulos: Habilite la calculadora de Cabri, está en
el botón 9 como comando "calcular" y encuentre la suma de los tres ángulos (pida
al instructor) le enseñe cómo usar la calculadora en este caso.
Una vez que usó la calculadora deshabilítela de la pantalla con un clic en la tecla
off.
Pida en forma automática el perímetro del triángulo. Botón 9 comando "Distancia y
longitud". También pida el área, en el mismo con el comando "Área".
Separe las etiquetas fuera del triángulo y edítelas dando doble clic en ellas para
cambiar nombres.
De animación simple a cualquiera de los vértices y observe que la suma de la
medida de los ángulos interiores es invariante es decir permanece constante.
Preguntas para discusión en grupo; acorde a lo que hemos observado:
1) ¿Qué es el perímetro en un polígono cualquiera?
R:_____________________________________________________________________
2) ¿Cuáles son las propiedades que distinguen a los triángulos: escalenos, isósceles,
equiláteros, acutángulos y rectángulos?
R: _____________________________________________________________________
3) ¿Cómo enunciarías la propiedad invariante de los ángulos internos, que acabas de
observar?
4) R: __________________________________________________________________
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
LAS TANGENTES
Problema directo: Dada una circunferencia desde un punto exterior a ella trazar las dos tangentes
utilizando Cabri.
Para trazar una recta tangente desde P a la circunferencia C:
 Determinamos el punto medio del segmento CP.
 Trazamos la circunferencia de centro M y radio MP.
 Los puntos de intersección R y T son los puntos de tangencia de las rectas s y t.
DADO
CONSTRUIR
Problema inverso: Dadas dos rectas concurrentes PR y PT construir una circunferencia tangente a
ambas.
Para encontrar la circunferencia tangente a las rectas PR y PT:
 Trazamos la bisectriz del ángulo RPT.
 Desde un punto O cualquiera sobre esa mediatriz, trazamos perpendiculares a las rectas PR y
PT.
 Los puntos S y K son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio OS.
CONSTRUIR
DADO
En ambos trazos mueve la circunferencia tangente y observa el comportamiento del segmento PC y
la recta PO.
¿Qué propiedades percibes en las figuras? Discútelas con tus compañeros.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
CUADRILÁTEROS 2
Verificar mediante construcción medición
propiedades de los cuadriláteros.
y manipulación dinámica
las
siguientes
Propiedad (1): La suma de las longitudes de las diagonales de cualquier cuadrilátero
es igual al perímetro del cuadrilátero formado por los puntos medios de los lados del
cuadrilátero original.
Propiedad (2): El área del cuadrilátero ABCD es doble que el área del cuadrilátero
interno EFGH.
Propiedad (3): El cuadrilátero interno EFGH resulta ser un paralelogramo.
Construcción:
 Construya el cuadrilátero ABCD.
 Trace las diagonales del cuadrilátero.
 Localice los puntos medios de los lados del cuadrilátero.
 Trace el nuevo cuadrilátero por esos puntos medios.
 Mida el perímetro del cuadrilátero formado por los puntos medios y edítelo fuera de la
figura.
 Sume las longitudes de las diagonales del cuadrilátero original, utilizando la
calculadora de cabri. Edite esa suma junto al perímetro.
 Arrastre el polígono original desde cualquiera de sus vértices y observe que pasa con
las dos mediciones.
Compare las áreas de los dos cuadriláteros y verifique la segunda propiedad.
Manipulando la figura.
Verifique la tercera propiedad con argumentos del teorema de Thales. Pero antes en el
Botón 8, confirme el paralelismo de los lados opuestos en el cuadrilátero interior.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
EL NÚMERO PI
Descubra que resulta de dividir el perímetro de un círculo por su diámetro.
Construcción
 Construya un círculo y por su centro trace una recta.
 Marque los puntos de intersección de la recta con el círculo.
 Oculte la recta. En el botón 10 está el comando "Ocultar/Mostrar".
 Trace el segmento que une los puntos de intersección, que no es otro que el
diámetro.
 Mida el perímetro y el diámetro del círculo.
 Con apoyo de la calculadora de Cabri, calcule la suma, resta, producto y cociente.
 Edítelos fuera de la figura.
 Arrastre el círculo de manera que se dilate y contraiga.
¿Qué valor permanece constante y cuánto vale?
¿Cuál es el nombre universal de este número?
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
PARALELAS Y PARALELOGRAMOS
Problema de trazo y construcción (primera parte):
1. A la manera clásica: "Por un punto exterior a una recta dada trazar una paralela"
Procedimiento
 Traza una recta e identifícala con t.
 Marca un punto exterior "P".
 Traza una circunferencia con centro en P que intercepte a la recta t en dos puntos.
 Marca esos puntos como Q y R.
 Traza los segmentos PQ y QR.
 En el botón 5, activa el comando "compás" y traza una circunferencia con centro en R y radio
PQ. Traza otra circunferencia con centro en P y radio QR.
 Marca el punto de intersección con S.
 Traza los segmentos PS y RS.
 Traza la recta que pase por P y S.
 Mueve la construcción desde t o P.
¿De cuál circunferencia depende la validez de la construcción, cuando el punto exterior sigue
quedando del mismo lado?
 Trazo automático de prueba. En el botón 11, activa el comando "Ocultar/Mostrar" y ocultas la
recta PS el segmento PS y las tres circunferencias (cuando aparezcan punteadas activas el
Botón 1 " puntero azul").
 En el botón 5, activa el comando "Recta paralela”, lleva el puntero al punto P hasta que Cabri
lo elija, das un clic y te desplazas a la recta t, cuando te aparezca la leyenda " Paralelo a esta
recta" das otro clic. Como podrás ver la construcción es válida.
 Elimina la paralela y reaparece la construcción, activando de nuevo del botón 11 el comando
"Ocultar/Mostrar"; da un clic a cada elemento.
PRIMERA PARTE
SEGUNDA PARTE
Propiedad de los paralelogramos (segunda parte):
2. En la construcción anterior:
 Sobretraza el polígono PQRS.
 Genera la medida de los lados del polígono tomando como objetos los segmentos.
 Genera la medida de los ángulos del polígono.
 Oculta las dos rectas y las tres circunferencias.
 En el botón 11, hay dos comandos que te permiten darle color y grosor al polígono.
 Por el punto t, dale animación al polígono para que observes lo que pasa en las medidas.
¿Cómo son las medidas de los lados y los ángulos opuestos de ese polígono?
Por estar comprendidos entre lados paralelos a estos cuadriláteros se les llama paralelogramos.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Traza dos rectas que se intercepten en un punto.
Indícale a Cabri que te de la medida de los cuatro ángulos.
Compara la medida de los ángulos
1. ¿Qué relación encuentras entre las parejas de ángulos 1 y 3, y , 2 y 4?
2. Usa la calculadora de Cabri, para que encuentres la suma de los ángulos:
1+4=
4+3=
3+2=
2+1=
3. ¿Cuánto suman los ángulos?
1+2+3+4=
Mueve cualquiera de las rectas y observa si estas relaciones se mantienen constantes.
A la relación no. 1 se le llama de ángulos opuestos por el vértice. Con tus palabras
escribe la propiedad encontrada:
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
La relación no. 2 corresponde a los ángulos colineales. ¿Cuál es la propiedad que los
caracteriza?
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
La tercera relación, corresponde a los ángulos perigonales o conjugados. ¿Puedes
enunciar la propiedad?___________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
CUADRILÁTEROS 1
Traza un cuadrilátero.
Indícale a Cabri que te muestre las medidas.
Con la calculadora de Cabri suma los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD.
¿Cuánto suman los ángulos interiores? __________________________.
Manipula la figura desde cualquiera de sus vértices
Como puedes ver, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero permanece
invariante.
Enuncia esta propiedad:
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
SIMETRÍA CENTRAL
Completa la siguiente figura que quedó iniciada utilizando la propiedad de simetría
central.
Decora del mismo color los triángulos simétricos.
Ilumina del mismo color los centros de simetría.
Preguntas para reflexión:
1. Con tus palabras establece un concepto general sobre lo que entiendes por simetría
central.
R:
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. En archivo nuevo genera un diseño interesante utilizando simetría central axial y ponle
color a las figuras obtenidas.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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ACTIVIDAD
SIMETRÍA AXIAL
“Explorando la transformación de reflexión.”
Traza una recta o segmento.
En una de las dos regiones traza el punto M.
Refleja ese punto en la otra región y etiquétalo como M´ (utiliza el comando “Simetría Axial” sexto
botón).
Figuras de referencia
Une los puntos con un segmento. Identifica el punto O como Punto de Intersección (botón 1) pide
la Distancia o longitud de O a M y de O a M´. Ahora solicita la medida del ángulo formado por la
recta y el segmento MM´. Activa el puntero para poder manipular el punto M.
Con el puntero, sujeta al punto M y arrástralo por la pantalla. ¿Qué observas respecto a las
distancias y al ángulo?
Escribe: ________________________________________________________
Oculta los trazos y datos innecesarios dejando sólo la recta y los puntos M y M´.
Activa el comando “Traza” del botón 10 para los puntos M y M´ y manipulando el punto M, genera
un diseño artístico, se sugiere un insecto desde una vista superior. Compártelo con tu
compañero(a) de al lado.
Si no te gustó el diseño, en la Opción Edición eliges Deshacer. Dibuja una Cara o cualquier otro
motivo que requiera simetría.
Pregunta a tu Maestro(a) de Biología: ¿En el reino animal qué especies tiene simetría axial en su
cuerpo?
R:
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
ÁREA DEL TRIÁNGULO
Traza un triángulo.
Tomando como base cualquier lado del triángulo, construye la altura.
Calcula el área.
Mueve los vértices, del triángulo.
Anota tus observaciones, con relación entre la base y la altura con respecto al número
que corresponde al área:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
______________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
ALTURAS DEL TRIÁNGULO
Traza un triángulo ABC.
Traza las tres alturas CD, AF, y BE.
Calcula el área del triángulo tomando como base cada uno de los lados del triángulo.
Anota tus observaciones.
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
Mueve cada uno de los vértices del triángulo.
Anota tus observaciones en cada caso:
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
Mueve cada uno de los lados del triángulo.
Anota tus observaciones en cada caso:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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EMAT
Actividad
ÁREA DEL RECTÁNGULO
Traza un rectángulo, utilizando rectas perpendiculares y paralelas.
Calcula su área, utilizando la calculadora de Cabri.
Mueve los vértices y las rectas.
Anota tus observaciones:
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTE IGUALES
Traza el segmento AB.
Divídelo en 5 partes iguales.
¿Cómo pruebo que las 5 partes son iguales?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
______________________________________________________________.
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Actividad
TRAZAR LA PARALELA A UNA RECTA POR UN PUNTO FUERA DE ELLA
Traza una recta.
En una de las dos regiones traza un punto N.
Traza una paralela a la recta que pase por el punto N. Utilizando sólo los comandos
:"Recta", "Punto" y "Simetría".
Verifica tu trazo con la opción automática para trazar una recta “paralela” a otra recta
dada.
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Actividad
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Traza dos líneas (rectas) que sean paralelas entre sí.
Traza una transversal a las dos paralelas.
Encuentra la medida de los ángulos: a,b,c,d,e,f,g,h.
Compara la medida de los ángulos. ¿Qué relaciones encuentras? Para los ángulos:
Opuestos por el vértice:____________________________ejemplo: ______________.
Correspondientes: _____________________________ ejemplo: _______________.
Alternos internos:______________________________ ejemplo: ________________.
Alternos externos: _____________________________ ejemplo: ________________.
Manipula cualquiera de las rectas y observa si estas propiedades se pierden.
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Actividad
RELACIÓN DEL APOTEMA Y EL RADIO
Traza una circunferencia y tres polígonos regulares inscritos como se pide:
Traza polígonos regulares de 6, 12 y 24 lados.
Traza la apotema de cada polígono regular e indícale a Cabri que de sus medidas.
Traza un radio e indícale a Cabri que te de su medida.
Pídele a Cabri que te de el perímetro de la circunferencia y los tres polígonos.
Compara la medida de los apotemas con respecto al radio.
En la medida en que el número de lados del polígono crece:
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
Compara las medidas del los perímetros de los polígonos con respecto al perímetro de la
circunferencia en la medida en que el número de lados crece:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
TRIÁNGULO Y CUADRILÁTERO DE ÁREAS IGUALES
Problema de Construcción: Dado un triángulo cualquiera, construye un
paralelogramo que tenga la misma área.
Procedimiento
Traza un triángulo ABC.
Localiza el punto medio de AB, llámale D.
Traza la paralela a AC que pase por B.
Escoge un punto sobre la paralela, llámale E.
Traza el segmento ED.
Traza la paralela a ED que pase por C, al punto de intersección de las paralelas llámale
F.
Genera el polígono DEFC y oculta las rectas.
Calcula el área del triángulo ABC.
Calcula el área del cuadrilátero (paralelogramo) DEFC.
¿Cómo son las áreas?________________________.
¿A qué crees que se deba esa coincidencia?
Explícalo en función de las fórmulas para el cálculo de sus áreas:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
______________________________________________________________.
Manipula la construcción desde el vértice B, para ver si la relación permanece invariante.
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Actividad
EXPLORANDO LA TANGENTE A UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA
Traza una circunferencia de centro O y radio OF.
Elige un punto M, cualquiera sobre la circunferencia y traza la secante que pase por F y
M.
Indícale a Cabri que te de la medida del ángulo MFO.
Al mover M sobre la circunferencia el ángulo MFO cambia. Contesta lo siguiente:
a) Si M y F son distintos, ¿entre qué valores está el ángulo MFO?
___________________________________________________________________.
b) Si M y F coinciden , ¿qué valor toma el ángulo MFO?
___________________________________________________________________.
c) Si M, O y F están alineados, ¿qué valor tiene el ángulo MFO?
___________________________________________________________________.
d) Agrega otras observaciones, no contempladas en los incisos anteriores:
___________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
DIÁMETRO EN EL CÍRCULO
Traza un círculo y rellénalo en color verde.
Sobre la circunferencia de ese círculo marca los puntos A y B.
Traza la cuerda AB y ponle color amarillo.
DADO
ENCONTRAR
El reto es encontrar el centro y el diámetro del círculo de color. Con base en la siguiente
propiedad:
"La perpendicular mediatriz a una cuerda dada en un círculo pasa por el centro del
mismo".
Dale "animación" simple al vértice A o B y observa si la propiedad es invariante.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
Traza el triángulo ABC.
Traza las rectas perpendiculares mediatrices a sus lados.
Observa que las tres rectas concurren en un punto, etiqueta con la letra "P" a ese punto.
A este punto se le conoce en geometría como "Circuncentro".
Traza los segmentos desde P (circuncentro) a los tres vértices del triángulo y pídele a
Cabri que te ponga las medidas de los mismos.
¿Qué regularidad observas en esas medidas? _______________________________.
Manipula cualquiera de los vértices y observa. ¿Persiste la regularidad? __________.
Tomando como centro el punto P y como radio el segmento PA genera el círculo
circunscrito al triángulo ABC.
Pídele a Cabri que te de la medida de los ángulos interiores del triángulo.
Manipula cualquiera de los vértices del triángulo y observa el comportamiento de P.
¿Para qué clase de triángulos el circuncentro permanece fuera del triángulo?
__________________________________________________________________.
¿Para qué clase de triángulo el circuncentro permanece en uno de los lados del triángulo
ABC?
__________________________________________________________________.
¿Para qué clase de triángulos el circuncentro permanece dentro del triángulo ABC?
_________________________________________________________________.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
Traza el triángulo ABC.
Traza las bisectrices de sus tres ángulos.
Etiqueta el punto donde concurren con la letra "Q". A este punto en geometría se le
conoce como "Incentro".
¿Cuál es la distancia mínima del punto de intersección de las bisectrices a los lados del
triángulo ABC?
La distancia mínima corresponde al segmento perpendicular desde Q a cada uno de los
lados del triángulo.
Utilizando el comando "Recta perpendicular", encuentra los segmentos que tienen la
distancia mínima a cada uno de los lados (oculta las rectas).
Pídele a Cabri que te de la medida de esos segmentos.
¿Qué regularidad encontraste en los segmentos? ____________________________.
Con centro en Q y radio igual a cualquiera de los tres segmentos traza una circunferencia.
¿Cómo son los lados del triángulo respecto a la circunferencia? _________________.
Este es el procedimiento geométrico que se puede utilizar para inscribir una
circunferencia en un triángulo de manera que sus tres lados sean tangentes a la misma.
Manipula cualquiera de los vértices del triángulo y observa si la propiedad se cumple para
otros triángulos.
Con tus palabras escribe la propiedad del Incetro de un triángulo:
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
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Actividad
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
Problema: Encontrar el centro de equilibrio de un triángulo cualquiera. Esto es encontrar
el punto donde la distribución del área del triángulo sea la misma en cualquier dirección.
Traza el triángulo ABC.
Busca los puntos medios de sus lados: P, Q, R.
Une los vértices opuestos con esos puntos a estos segmentos se les llama "medianas del
triángulo". Observa que las tres se cortan en un punto común "O".
A este punto en Geometría se le llama "Baricentro" del triángulo.
Edita los 6 triángulos generados por las medianas y pídele a Cabri te de sus áreas.
Hagamos el siguiente experimento mental:
Imagina que el triángulo ABC es de una lámina uniforme y con la misma densidad en
todos sus puntos.
Si recortamos el triángulo ABC y lo sobreponemos en un alambre tenso y muy delgado,
haciendo coincidir el segmento AR con el alambre ¿estarás de acuerdo en que el
triángulo se mantiene en equilibrio? _________ y lo mismo pasaría con los segmentos:
CQ y BP.
Ahora imagina un clavo en posición vertical con la punta hacia arriba. Si se pone el punto
"O" sobre la punta del clavo. ¿Qué crees que pasaría?
_____________________________________________________________________.
Como los triángulos opuestos tienen la misma área se equilibran en ese punto y por lo
tanto ese punto es el centro de equilibrio de toda la superficie del triángulo.
Con base en lo anterior, ¿cómo enunciarías la propiedad del "Baricentro" ?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________.
Manipula cualquiera de los vértices del triángulo ABC y observa si la propiedad se
mantiene invariante.
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GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO
Verifica la siguiente propiedad:
"Las alturas de un triángulo se interceptan en un punto común llamado Ortocentro"
Traza un triángulo ABC.
Utilizando el comando "Recta perpendicular" encuentra las alturas a cada lado del
triángulo.
Como puedes ver las rectas correspondientes a las alturas se interceptan en un punto
común "O". A este punto se le conoce en geometría como "Ortocentro".
Pídele a Cabri la medida de los tres ángulos del triángulo ABC.
Manipula el triángulo ABC desde cualquiera de sus tres vértices y observa lo que pasa
con el Ortocentro.
El Ortocentro puede ser interior, pertenecer al contorno o ser exterior al triángulo.
a)Indica para que clase de triángulos es Interior:
___________________________________________________________________.
b) Indica para que clase de triángulos pertenece a uno de sus vértices:
___________________________________________________________________.
c) Indica para que clase de triángulos es exterior:
__________________________________________________________________.
d) ¿En que clase de triángulos coinciden el Incentro, Circuncentro y Ortocentro?
R :_____________________________
37
GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
BISECTRIZ, ALTURA Y MEDIATRIZ EN UN TRIÁNGULO
Traza un triángulo ABC.
Encuentra el Circuncentro, el Incentro y el Ortocentro.
Indícale a Cabri que proporcione la medida de los tres lados.
Mueve uno de los vértices para que puedas contestar las siguientes preguntas:
1. ¿Para qué clase de triángulos, los tres puntos notables (Ortocentro, Incentro y
Circuncentro ) quedan alineados? ______________________________________.
2. ¿Para qué clase de triángulos los tres puntos notables coinciden?
_______________________________________.
38
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Actividad
TEOREMA DE PITÁGORAS
CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS UTILIZANDO UNA MACRO
(FIGURAS DE REFERENCIA)
FIG 1.
FIG. 2
FIG. 1
Traza el segmento AB. Tanto en A como en B levanta una recta perpendicular al segmento, en el cuarto botón
está la opción automática para trazar Recta perpendicular.
Con una circunferencia de centro en B y radio AB, encuentra el punto de intersección con la recta perpendicular
por B.
Por ese punto traza una perpendicular a la misma recta o una paralela al segmento AB, la opción Recta
paralela, se encuentra en el mismo cuarto botón. Pon los puntos, en las intersecciones de las rectas
perpendiculares con la paralela al segmento AB, ya encontrada.
Traza un polígono que una los 4 puntos, ese polígono es un cuadrado, no importa que se vean los lados como
quebrados.
FIG. 2
Oculta los trazos auxiliares, como se ve en la figura, utilizando la opción Ocultar/Mostrar.
Para definir la Macro, en el séptimo botón de izquierda a derecha, elige como objetos iniciales los puntos A y
B.
Regresa al miso botón y elige como Objetos finales, el polígono.
Vuelve de nuevo al mismo botón y señala Definir macro. Al hacerlo aparece una ventana de ayuda, en el
Campo que dice Nombre de la construcción, escribe cuadrado, y pulsa el botón OK.
Con esto queda definida la macro y, se puede ya utilizar en otros archivos.
39
GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
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DISEÑO DEL MODELO
PARA ILUSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS
UTILIZANDO LA MACRO: CUADRADO.
FIG. 1
FIG. 2
FIG. 3
FIG. 4
CONSTRUCCIÓN
FIG. 1
Traza el segmento CA , como se ve en la figura, por el punto C levanta una Recta perpendicular al segmento.
Coloca el punto B sobre dicha perpendicular.
FIG. 2
Con la opción Triángulo, une los tres puntos ABC. En la opción Ocultar /mostrar,
perpendicular.
esconde la recta
FIG. 3
En el botón (7), buscamos la macro Cuadrado, que ya definimos, una vez activa señalamos por parejas los
puntos de los lados del triángulo con un clic en cada punto. Si el cuadrado generado resulta invertido, en la
barra de herramientas; dentro de la opción Edición, buscamos Deshacer y cambiamos el orden de
señalamiento en los puntos, después de activar la macro de nuevo. Al término debe quedarnos la figura 3.
FIG. 4
Vamos al botón de medición (9) y activamos Área, señalando para cada cuadrado su área correspondiente.
Hala el área del cuadrado de la hipotenusa a la parte superior de la figura y dale un doble clic, con ello puedes
editar al lado izquierdo el texto que dice ÁREA DEL CUADRADO SOBRE LA HIPOTENUSA =.
En el mismo botón (9) está la opción Calcular, que es la calculadora virtual propia de Cabri. Después de
activarla, da un clic al número de una de las áreas de los catetos, suma y da otro clic al número de la otra área,
luego al signo =, con clic sostenido en la respuesta, arrástrala a la parte inferior de la construcción.
Desactiva la calculadora y regresa a la respuesta, da un doble clic, borra el letrero Respuesta y en su lugar
edita: SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS =.
Ya está listo el modelo, si lo prefieres ponle color al triángulo, a los cuadros etc. Pide la medida de los lados del
triángulo etc. Para manipular la construcción y variar el triángulo, hazlo desde el punto A o B.
40
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ACTIVIDAD
TEOREMA DE PITÁGORAS
Después de haber realizado el trazo de la construcción del Teorema de Pitágoras. Manipula y registra lo
que se pide:
Calcula el área de cada uno de los cuadrados con base en la longitud de los lados del triángulo.
Con la calculadora de Cabri, verifica la siguiente relación: a2 + b2 =c2 .
Manipula el triángulo rectángulo desde cualquiera de los vértices A o B y comprueba que la relación se
mantiene constante.
Enuncia el Teorema de Pitágoras:
_________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
41
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Actividad
UN ACERCAMIENTO AL TEOREMA DE PITÁGORAS
Traza un cuadrado con el comando "Polígono regular".
Cada lado del cuadrado divídelo en a+b.
Une los puntos de división. ¿Qué figura se genera? ______________________
4(1/2 ab) +c2 = (a +b)2
2 ab +c2 = a2 + b2 + 2 ab
¿Cómo asegurar que cada uno de los lados mide a+b? Los trazos aparecen ocultos.
___________________________________________________________________.
Une las distancias que miden a, ¿qué tipo de triángulos se forman?
____________________________________________________________________.
Como puedes ver, el análisis algebraico al lado derecho de la figura, cumple con la
relación del Teorema de Pitágoras. Para que sea válida, ¿qué propiedad deben tener los
triángulos? ________________________________________________________.
42
GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
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Actividad
PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES
Traza un pentágono regular.
Divídelo en triángulos y encuentra la apotema del polígono o altura del triángulo.
Calcula el perímetro del pentágono y multiplícalo por la altura del triángulo (apotema), el
resultado anterior divídelo entre dos.
Verifica si las dos relaciones dan la misma área. Para ello usa la calculadora de Cabri.
Por último pide automáticamente el área del polígono, con ella verifica si hay congruencia
en las dos relaciones anteriores.
Mueve tu pentágono, ¿sigue siendo lo mismo? Anota tus observaciones:
________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
43
GEOMETRÍA DINÁMICA CON CABRI II
Compilador: Mtro. Fortino Fregoso Fregoso
EMAT
Actividad
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Verifica la siguiente propiedad: “En un triángulo rectángulo el punto medio de la hipotenusa
equidista de los tres vértices”
 Traza dos rectas perpendiculares entre sí.
 Utilizando la opción de “triángulo” genera un triángulo rectángulo, tomando como vértice
del triángulo rectángulo el punto de intersección de las rectas.
 Busca el punto medio de la hipotenusa y pide a Cabri la medida desde ese punto a los
tres vértices.
¿Qué observas? __________________________________________________________
 Haciendo centro en el punto medio P, traza una circunferencia con radio PA.
¿Por qué el punto B y C también se encuentran en la circunferencia?
________________________________________________________________________
Mueve el punto A o B y Observa regularidades.
¿Qué es lo que cambia?
_________________________________________________________________
¿Qué permanece constante?
_________________________________________________________________
Como puedes observar tres puntos de una circunferencia determinan un triángulo rectángulo
siempre y cuando dos de ellos sea los extremos del diámetro.
Para verificarlo traza un triángulo rectángulo con esta propiedad.
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Actividad
TRIÁNGULO ISÓSCELES EN UN CUADRADO
Dado un cuadrado, verifica que el triángulo que se forma al unir el punto medio de uno de
sus lados con los vértices del lado opuesto es un triángulo isósceles.
Los triángulos isósceles tienen dos lados congruentes o iguales y los ángulos opuestos a
esos lados también congruentes o iguales.
Mueve cualquiera de los vértices del cuadrado y observa si la propiedad permanece
invariable.
¿Cómo son los dos triángulos entre sí, que se forman a los lados del triángulo isósceles?
______________________________________________________________________
¿Qué clase de triángulos son? ______________________
¿Cómo puedes probarlo? Escribe un argumento convincente:
______________________________________________________________________
Como puedes ver, el triángulo isósceles que resulta en esta construcción es un caso
particular.
Sin embargo esta propiedad se puede generalizar para cualquier triángulo isósceles, si la
figura de referencia es un rectángulo.
Verifica la propiedad construyendo un rectángulo, con rectas paralelas y perpendiculares,
pídele a Cabri que asigne medida a los ángulos congruentes del triángulo isósceles y
manipula los vértices del rectángulo, para que veas la variedad de triángulos isósceles que
se forman.
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Actividad
CUADRADO ANIDADO
Dado un cuadrado ABCD traza los puntos medios de los lados.
Únelos mediante segmentos y verifica la figura que se forma.
Para asegurar que la figura que se forma al interior es otro cuadrado, debes probar que los
cuatro lados son iguales y que los cuatro ángulos interiores son rectos o bien que las
diagonales son iguales y los ángulos interiores son rectos.
Verifica, esa conjetura y manipula la figura para asegurarte de la validez de la propiedad.
Enuncia con tus palabras la propiedad encontrada:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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Actividad
TRIÁNGULOS SIAMESES
1. Verifica la siguiente propiedad: “Si dos triángulos isósceles: ABC y ABD comparten en
forma opuesta el lado desigual AB, el ángulo CAD es congruente con el ángulo CBD”
Figura 1
¿Cómo puedes probar la propiedad anterior, antes de pedirle a Cabri la medida de los
ángulos? Tip: verifica por simetría.
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________.
Pide a Cabri la medida de los ángulos; manipula la figura desde los vértices y observa si la
propiedad se mantiene invariante.
1. Verifica la siguiente propiedad: “Si dos triángulos isósceles ABC y ABD se construyen de
un mismo lado de la base común AB entonces el ángulo CBD es congruente al ángulo
CAD”
Figura 2
¿Cómo puedes probar la propiedad anterior antes de pedirle a Cabri la medida de los
ángulos?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Pide a Cabri la medida de los ángulos; manipula la figura desde los vértices y observa si la
propiedad se mantiene invariante.
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Actividad
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y CONGRUENTES
Verificar la siguiente propiedad:
“Dado un triángulo ABC cualquiera, el triángulo que se forma al unir los puntos medios de los
lados, resulta semejante al triángulo ABC y en posición opuesta.
Pide la medida de los lados y de los ángulos de ambos triángulos.
Utilizando la calculadora de Cabri encuentra la relación:
AC/PQ =
AB/PR=
BC/QR=
¿Es constante la razón de lados homólogos? ___________________
¿Cómo resultaron los ángulos homólogos? ______________________
Entonces el triángulo ABC es semejante al triángulo interior PQR.
Manipula el triángulo ABC desde cualquiera de sus vértices y observa si la propiedad se
mantiene invariante.
¿Cómo son los cuatro triángulos interiores, entre sí? ______________________________
¿Consideras que la propiedad de semejanza se repite para polígonos de 4 lados?
¡Verifica antes de emitir tu respuesta ¡ ___________________
En el caso de los cuadriláteros (polígonos de 4 lados) ¿Qué clase de polígono se genera en
su interior cuando unes los puntos medios de los lados? ___________________________
Desde cualquiera de sus vértices manipula el cuadrilátero y observa si el polígono interior se
mantiene como paralelogramo (cuadrilátero de lados opuestos paralelos), aun cuando
tuerzas el polígono exterior.
¿A qué crees que se deba esta propiedad?
__________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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ROTACIÓN ANGULAR
(MODELO)
PROPIEDAD: Una rotación angular de 180° o –180° de una figura en un plano con respecto a un punto dado, equivale a
una simetría central de la figura con respecto a ese punto.
FIGURAS DE REFERENCIA
FIG. 1
FIG. 2
FIG. 3
FIG. 4
CONSTRUCCIÓN
FIG. 1
Alrededor de un punto O genera un polígono convexo como el polígono base ABCDE, luego une los vértices del polígono
con circunferencias concéntricas a partir del punto O, las cuales servirán de guías para el desplazamiento de los puntos que
forman el polígono.
En Edición numérica, indica dos valores para los ángulos de giro uno positivo y otro negativo se sugiere 60 y –60 grados.
Vamos a pedir una primera rotación. En el sexto botón está el comando Rotación, pide la rotación positiva y negativa de
acuerdo a los ángulos indicados; siguiendo este orden: señala el valor numérico, luego el polígono y por último el centro de
giro, en este caso el punto O.
FIG. 2
Genera un arco sobre las circunferencias guías a partir de cada vértice del polígono base a sus correspondientes
homólogos en las figuras giradas.
Con el comando Ocultar/Mostrar, botón (11), esconde las circunferencias.
FIG. 3
Ponle Color y forma Punteado a los arcos, botón (11).
FIG. 4
Rellena de diferente color los tres polígonos y une el punto O mediante rectas con los puntos extremos izquierdo y derecho
del polígono base. Luego ponle forma punteada a cada recta.
Para probar tu modelo tiene que estar activo el primer botón en puntero.
Por separado da doble clic a cada valor numérico y cuando aparezca la corredera pon el puntero al lado derecho del número
y ya puedes girar tu polígono los ángulos que quieras, pulsando el avance positivo o negativo.
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HOMOTECIA
(MODELO)
FIGURAS DE REFERENCIA
FIG. 1
FIG. 2
FIG. 3
FIG. 4
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
FIG. 1
Genera el polígono ABCD como el de la figura y ubica un punto O del lado derecho
FIG. 2
Une con rectas desde el punto O a cada uno de los puntos que forman los vértices del polígono. Las rectas
serán las guías para desplazar la figura base, puntéalas y ponles color a tu gusto.
En Edición numérica, elige el número –1.
FIG. 3
Para generar la primer figura semejante por homotecia del polígono ABCD, activa en el botón (6), la opción de
Homotecia y sigue este orden: Señala primero el número o factor de homotecia, luego el polígono ABCD y al
final el punto correspondiente al centro de homotecia.
Rellena con diferente color cada polígono.
FIG. 4
Para poner a prueba otras escalas de semejanza, activa el factor numérico, con un doble clic y coloca del lado
derecho del número el cursor, ya puedes hacer avanzar la corredera o contador para visualizar homotecias
directas o inversas de la figura base.
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PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DEDICADOS A NAPOLEON
AUTOR: Lorenzo Mascheroni (1750-1800)
Resolver los siguientes problemas usando solamente el compás o bien del Programa Cabrí
los comandos, Arco, Circunferencia y Compás.
PROBLEMA (1): Dividir un círculo en cuatro partes iguales. (Hallar los vértices de un
cuadrado inscrito en una circunferencia). Sólo con compás.
INSTRUCCIONES
TRAZO
1. Sea O el centro de un círculo y sea A
cualquier punto situado en la
circunferencia.
2. Haciendo centro en A con radio OA,
trazar sobre el círculo los puntos P, Q
y C.
3. Con radio AQ y centros en A y C
trazar los arcos que se corten en R.
4. Con centro en A y radio OR, localizar
sobre el círculo los puntos D y B.
Entonces ABCD es un cuadrado.
“No olvides ocultar trazos auxiliares”
Recomendable que las tres prácticas de Mascheroni, se realicen con auxilio de un compás
verdadero.
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PROBLEMA (9): Dividir una circunferencia en tres partes iguales.
INSTRUCCIONES
1. Sea O el centro del círculo y P un punto
cualquiera situado en la circunferencia.
2. Con radio PO trazar el arco que corte en
A y B a la circunferencia.
3. Con radio BA trazar el arco que intercepte
a la circunferencia en el punto C, haciendo
centro en B.
4. Los puntos A, B y C dividen a la
circunferencia en tres partes iguales.
TRAZO
Los puntos A, B y C corresponde a los tres
vértices de un triángulo equilátero, inscrito en
la circunferencia (O, P).
PROBLEMA (10): Dividir una circunferencia en cinco partes iguales. Es decir encontrar los
vértices de un pentágono regular inscrito.
INSTRUCCIONES
1. Sea A un punto de la circunferencia
dada (φ ).
2. Con radio OA, sobre la circunferencia
encontramos los puntos B, C y D a
partir de A.
3. Con A y D como centros y radio AC,
tracemos los arcos que se cortan en
X.
4. Con radio OX y centro en A, encontrar
el punto F, que es punto medio del
arco BC.
5. Con radio OA y centro en F encontrar
con el mismo arco los puntos G y H.
6. Con centro en G y H y radio OX,
encontrar el punto Y.
7. AY es igual al lado del pentágono
buscado.
Los puntos: 1, 2, 3, 4 y 5 dividen a la
circunferencia en cinco partes iguales.
TRAZO
φ
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Actividad
Triángulos a Escala
Una aplicación de la homotecia, con Cabrí, es la exploración de figuras semejantes, en este caso el ∆ABC y su
semejante el ∆A´B´C´, para estudiar las escalas elaboremos el modelo dinámico como aparece en la parte
inferior:
PASOS
1. Genere el punto O como centro de homotecia, y como se ve en la figura, dibuje el triángulo ABC que será el
(triángulo objeto).
2. En Edición numérica (botón 10), escriba el factor de homotecia 0.5 en la parte superior derecha de la pantalla
(Este número representa el cociente: objeto entre reproducción, que no es otra cosa que la escala de
semejanza).
3. Generemos el ∆A´B´C´ (triángulo a reproducir como semejante). Activa en el botón (6), la opción de
Homotecia y sigue este orden: Señala primero el número o factor de homotecia, luego el ∆ABC y al final el
punto O correspondiente al centro de homotecia.
4. En el botón de medición (9) solicita las medidas de longitud del lado AB y su homólogo A´B´, así como los
perímetros y las áreas de los dos triángulos.
5. Con apoyo de la Calculadora de Cabri (botón 9), establece las relaciones que aparecen en la parte inferior
izquierda de la figura. Ya está listo el modelo para estudiar escalas y semejanza de triángulos.
ESTUDIO
En Geometría definimos una escala como la relación numérica que resulta de dividir las dimensiones de un
objeto de referencia entre las correspondientes de otro que se ha reproducido del primero. Matemáticamente
hablando: ESCALA = OBJETO / REPRODUCCIÓN.
Para poner a prueba otras escalas de semejanza, activa el factor numérico, con un doble clic y coloca del lado
derecho del número el cursor, ya puedes hacer avanzar la corredera o contador para visualizar la semejanza
con otras escalas.
1. Pon los triángulos en escala 1:1 (Escala natural).
¿Qué se observa en las figuras?
R: ________________________________________________________________________________
¿Qué resultados se recatan de las relaciones entre lados, perímetros y áreas de los dos triángulos semejantes?
R: __________________________________________________________________________________
2. Pon los triángulos en escala 2 :1 (reproducción aumentada factor 2).
¿Qué se observa en las figuras?
R: ________________________________________________________________________________
¿Qué resultados se recatan de las relaciones entre lados, perímetros y áreas de los dos triángulos semejantes?
R: __________________________________________________________________________________
3. Pon los triángulos en escala 1 : 2 (reproducción reducida factor 0.5).
¿Qué se observa en las figuras?
R: ________________________________________________________________________________
¿Qué resultados se recatan de las relaciones entre lados, perímetros y áreas de los dos triángulos semejantes?
R: __________________________________________________________________________________
En el estudio de los triángulos semejantes, resulta sorprendente las relaciones de semejanza entre sus áreas.
En el estudio de los puntos 1 y 3 ¿que propiedad encontraste, respecto a las áreas?
R: ________________________________________________________________________
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Actividad
Problemas de investigación y construcción
1. Encontrar la cuarta proporcional de tres segmentos conocidos:
2. Encontrar la media proporcional de dos segmentos dados:
3. Encontrar la solución gráfica de la ecuación:
4. Dado un rectángulo ABCD encontrar un cuadrado con área equivalente PQRS.
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