Download geometría con cabri - Mauricio Contreras

16.
Geometría
con el ordenador
Ámbito científico
310
1.
Geometría con Cabri
2.
Transformaciones
geométricas
3.
Lugares geométricos y
cónicas
4.
Poliedros con Poly
Geometría con el ordenador
1.Geometría con Cabri
 INTRODUCCIÓN
CabriGeomètre II permite construir y explorar figuras geométricas planas de forma interactiva, de
manera que se pueden manipular las construcciones realizadas para formular conjeturas y
comprobarlas.
En las siguientes actividades estudiaremos el manejo básico del programa y sus aplicaciones para la
resolución de triángulos, la construcción de curvas, lugares geométricos y cónicas, el estudio de
propiedades y transformaciones geométricas.
 INTRODUCCIÓN A CABRI. MENÚS, COMANDOS Y HERRAMIENTAS.
 Haz clic en el icono de Cabri situado sobre el escritorio o selecciona el comando Inicio /
Programas / CabriGéomètre II / CabriGéomètre II. De esta forma se inicia el programa.
 Observa que la pantalla de Cabri consta de una barra de menús, una barra de herramientas y el
área de trabajo.
 En la barra de menús encontramos cinco menús: Archivo, Edición, Opciones, Ventana, Ayuda.
Con ayuda del ratón, abre cada uno de ellos y observa las opciones y comandos que contiene.
 La barra de herramientas consta de 11 botones: Puntero, Puntos, Rectas, Curvas, Construir,
Transformar, Macros, Comprobar, Medir, Ver, Dibujo.
 Haz clic en cada uno de los botones y observa las opciones y comandos que contiene.
311
Ámbito científico
En las siguientes tablas tienes una descripción de cada uno de los elementos de la barra de
herramientas:
PUNTERO
Puntero
Selecciona, mueve y manipula objetos.
Giro
Gira un objeto respecto de un punto seleccionado o el centro
geométrico del objeto.
Semejanza
Amplia o disminuye el objeto respecto de un punto seleccionado o el
centro del objeto.
Giro y semejanza
Gira y amplia o reduce simultáneamente un objeto respecto de un
punto seleccionado o el centro del objeto.
PUNTOS
Punto
Construye un punto definido en un espacio libre, en un objeto o en
la intersección de dos objetos.
Punto sobre objeto
Construye un punto en un objeto.
Punto(s) de intersección
Construye un punto definido en cada intersección de dos objetos
seleccionados.
RECTAS
Recta
Construye una recta a través de un punto con una pendiente definida
haciendo clic por segunda vez en un espacio libre o en un punto
Segmento
Construye un segmento, definido por dos puntos, que pueden crearse en un
espacio libre o en un objeto
Semirecta
Construye una semirecta, definida por un punto y una dirección
Vector
Construye un vector con una longitud y dirección definidas por dos puntos
Triángulo
Construye un triángulo, definido por los tres vértices, que pueden crearse
en un espacio libre o en un objeto definido
Polígono
Construye un polígono de n lados, de forma que el último punto ha de
coincidir con el primero. Cada punto es un vértice.
Polígono
regular
Construye un polígono regular de n lados, haciendo clic para el centro y el
radio, desplazando en sentido de las agujas del reloj (convexo) o en sentido
contrario (estrellado) para definir n (n30).
CURVAS
Circunferencia Construye una circunferencia definida por un centro y un radio.
Arco
Construye un arco definido por un punto inicial, un punto de radio y un punto
final.
Cónica
Construye una cónica (elipse, parábola, hipérbola) definida por cinco puntos.
312
Geometría con el ordenador
CONSTRUIR
Recta perpendicular
Construye una recta perpendicular a una recta, segmento, semirecta,
vector, eje o lado de un polígono seleccionado, pasando por un punto
creado o seleccionado.
Recta paralela
Construye una recta paralela a una recta, segmento, semirecta, vector,
eje o lado de un polígono seleccionado, pasando por un punto creado
o seleccionado.
Punto medio
Construye un punto medio de dos puntos, un segmento o un lado de
un polígono.
Mediatriz
Construye una recta perpendicular por el punto medio de dos puntos,
un segmento o un lado de un polígono.
Bisectriz
Construye una recta que divide en dos partes iguales un ángulo,
identificado por tres puntos, de los cuales el segundo es el vértice.
Suma de vectores
Construye la suma de dos vectores especificando los vectores y el
punto final del nuevo vector.
Compás
Construye una circunferencia desde un centro con un radio definido
por un segmento o la distancia entre dos puntos seleccionados.
Transferencia de
medidas
Crea puntos en objetos específicos basados en valores numéricos
proporcionales o equivalentes.
Lugar geométrico
Construye un lugar geométrico de un solo punto u objeto seleccionado
definido mediante el movimiento a lo largo de una trayectoria.
Redefinir objeto
Redefine en una nueva posición un punto definido previamente.
TRANSFORMAR
Simetría axial
Crea una imagen de un objeto reflejado respecto de una recta, segmento,
semirecta, vector, eje o lado de un polígono.
Simetría
Crea la imagen de un objeto que gira 180º respecto de un punto
Traslación
Crea una imagen de un objeto traladado por un vector especificado.
Rotación
Crea una imagen de un objeto que gira alrededor de un punto mediante
un valor angular especificado.
Homotecia
Crea la imagen de un objeto ampliado desde un punto por un factor
especificado.
Inversión
Crea la imagen de un punto reflejándolo de manera inversa respecto al
radio de una circunferencia seleccionada.
MACRO
Objeto inicial
Especifica el objeto u objetos iniciales necesarios para definir la macro.
Objeto final
Especifica el objeto u objetos finales resultantes del objeto u objetos iniciales
Definir macro
Abre un cuadro de diálogo para dar nombre y guardar la macro definida por
los objetos iniciales y finales. La macro se añade al cuadro de herramientas
macro.
313
Ámbito científico
COMPROBAR
Alineado
Indica si tres puntos seleccionados están o no en la misma recta.
Paralelo
Indica si dos rectas, segmentos, semirectas, vectores, ejes o lados de un
polígono seleccionados son o no paralelos.
Perpendicular
Indica si dos rectas, segmentos, semirectas, vectores, ejes o lados de un
polígono seleccionados son o no perpendiculares.
Equidistante
Indica si tres puntos seleccionados son o no equidistantes.
Pertenece
Indica si los puntos seleccionados están o no en un objeto seleccionado.
MEDIR
Distancia y
longitud
Muestra la distancia entre dos puntos seleccionados o la longitud de un
segmento, perímetro, longitud de circunferencia o radio.
Área
Muestra el área de un polígono, círculo o elipse seleccionado.
Pendiente
Muestra la pendiente de una recta, segmento, semirecta o vector
seleccionado.
Ángulo
Muestra la medida de un ángulo marcado o ángulo definido por tres puntos (el
segundo punto es el vértice).
Ecuación y
coordenadas
Muestra las coordenadas de un punto o la ecuación de una recta,
circunferencia o cónica.
Calcular
Abre la calculadora para efectuar cálculos con las medidas, valores
numéricos, resultados de cálculos o entradas numéricas del teclado.
Tabular
Recopila en una tabla de datos las medidas, cálculos, valores numéricos o
coordenadas seleccionadas de un punto.
VER
Etiquetas
Adjunta a un punto, recta o circunferencia una etiqueta creada por el
usuario. Esta etiqueta puede tener texto y números.
Comentarios
Introduce un comentario en el dibujo. La ventana de comentarios está
definida por la posición y tamaño.
Edición numérica
Edita cualquier medida, coordenada o ecuación; el valor, precisión,
unidades, fuente, tamaño y estilo pueden modificarse.
Marca de ángulo
Sitúa una marca de ángulo en un ángulo definido por tres puntos, el
segundo de los cuales es el vértice.
Fijar/Liberar
Fija la posición de un punto. Desbloquea un punto fijo.
Traza activada
/ desactivada
Traza un objeto seleccionado a lo largo de una trayectoria. Abandona el
modo de traza.
Animación
Automáticamente traslada, gira, amplia o reduce un objeto en la
dirección especificada por el soporte de animación. Se ha de hacer clic
una vez para interrumpir la animación.
Animación múltiple
Anima varios objetos a lo largo de varias trayectorias.
314
Geometría con el ordenador
DIBUJO
Ocultar / Mostrar
Oculta o muestra objetos (incluidas etiquetas y medidas).
Color
Abre una paleta de colores para cambiar el color de un objeto.
Rellenar
Rellena un triángulo, polígono o circunferencia con un color
seleccionado.
Grosor
Cambia el grosor de las líneas de un objeto seleccionado.
Modificar apariencia
Abre una paleta de atributos para cambiar el aspecto de los objetos.
Ocultar / Mostrar ejes Oculta o muestra el sistema de coordenadas por defecto.
Nuevos ejes
Crea un sistema de coordenadas definiendo el punto para el origen,
un punto para el eje X y un punto para el eje Y.
Definir cuadrícula
Muestra una cuadrícula para los ejes seleccionados.
 ALGUNOS EJEMPLOS
Ejemplo 1. Dibuja un polígono regular convexo de 14 lados y un polígono regular
estrellado de 10 / 3 lados.
 Haz clic en el botón Rectas y selecciona el comando Polígono regular.
 Sitúa el cursor en el área de trabajo, haz clic para señalar el centro y desplaza el ratón. Haz clic
para señalar el radio. Desplaza el ratón en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta que el
indicador central muestre un número de lados igual a 14. Haz clic y se mostrará un polígono
regular convexo de 14 lados.
 Haz clic en el botón Rectas y selecciona el comando Polígono regular.
 Sitúa el cursor en el área de trabajo, haz clic para señalar el centro y desplaza el ratón. Haz clic
para señalar el radio. Desplaza el ratón en el sentido de las agujas del reloj hasta que el indicador
central muestre un número de 10 / 3. Haz clic y se mostrará el polígono estrellado.
Ejemplo 2. Construye una macro que permita hallar el baricentro de un triángulo.
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Triángulo dibuja un triángulo de vértices A,B y C.
 Haz clic en la herramienta Etiqueta, haz clic en cada uno de los vértices e introduce las etiquetas
correspondientes, A, B y C.
315
Ámbito científico
 Haz clic en la herramienta Distancia y longitud y mide cada uno de los lados del triángulo. Para
ello sitúa el puntero en un vértice de un lado, haz clic, señala el otro vértice del lado y haz clic. Se
mostrará la longitud del lado. Repite el procedimiento con los otros dos lados.
 Dibuja el punto medio de cada lado. Para ello haz clic en la herramienta Punto medio, sitúa el
ratón sobre cada lado y haz clic. Se señalará sobre el dibujo el punto medio de cada lado.
 Dibuja la mediana correspondiente al vértice C. Para ello haz clic en la herramienta Segmento,
sitúa el puntero sobre el vértice C, haz clic y arrastra el puntero hasta el punto medio del lado
opuesto. Haz clic y se dibujará la mediana.
 Dibuja las medianas correspondientes a los vértices A y B. Comprueba que las tres medianas se
cortan en un punto, llamado baricentro. Selecciona la herramienta Punto y señala al baricentro.
Cuando aparezca el texto "Punto en esta intersección", haz clic para marcar el baricentro. Elige la
herramienta Etiqueta, sitúa el ratón sobre el baricentro y etiquétalo con la letra O.
 Utilizando la herramienta Distancia y longitud, calcula la distancia del vértice C al baricentro O.
Calcula también la distancia del baricentro O al punto medio del lado opuesto al vértice anterior C.
 Comprueba la propiedad del baricentro: La distancia del vértice al baricentro es el doble de la
distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto. Es decir, el baricentro divide a la mediana
en dos partes que están en la proporción 2:1.
 Construye una macro que permita dibujar el baricentro de cualquier triángulo. Para ello haz clic en
la herramienta Objetos iniciales y haz clic sobre un lado del triángulo ABC. Selecciona la
herramienta Objetos finales y haz clic sobre el baricentro O. Haz clic en el botón Definir macro y en
el siguiente cuadro de diálogo guarda la macro con el nombre baric.mac.
 Veamos cómo funciona la macro anterior. Con la herramienta Triángulo, dibuja un triángulo
cualquiera. A continuación haz clic en la macro baric y haz clic sobre el triángulo. Repite el
procedimiento con otros triángulos y observa el resultado.
Ejemplo 3. Crea una macro que permita dibujar el circuncentro y la circunferencia
circunscrita a un triángulo.
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Triángulo dibuja un triángulo de vértices A,B y C.
 Haz clic en la herramienta Etiqueta, haz clic en cada uno de los vértices e introduce las etiquetas
correspondientes, A, B y C.
316
Geometría con el ordenador
 Selecciona la herramienta Mediatriz, sitúa el ratón sobre el lado AB y haz clic. De esta forma se
dibuja la mediatriz del lado AB. Dibuja las mediatrices de los otros dos lados.
 Comprueba que las tres mediatrices se cortan en un punto, llamado circuncentro. Selecciona la
herramienta Punto y señala al circuncentro. Cuando aparezca el texto "Punto en esta
intersección", haz clic para marcar el circuncentro. Elige la herramienta Etiqueta, sitúa el ratón
sobre el baricentro y etiquétalo con la letra O.
 Dibuja una circunferencia de centro el circuncentro que pase por los tres vértices del triángulo.
Para ello, selecciona la herramienta Circunferencia, haz clic sobre el circuncentro O para señalar
el centro y sobre un vértice para indicar el radio. Observa que se dibuja la circunferencia
circunscrita.
 Con la herramienta Pertenece comprueba que los otros vértices están sobre la circunferencia.
 Haz clic en la herramienta Distancia y longitud y mide cada uno de los lados del triángulo. Para
ello sitúa el puntero en un vértice de un lado, haz clic, señala el otro vértice del lado y haz clic. Se
mostrará la longitud del lado. Repite el procedimiento con los otros dos lados.
 Utiliza la herramienta Distancia y longitud para medir el radio de la circunferencia circunscrita.
 Con la herramienta Ángulo, dentro del bloque Medidas, mide los ángulos del triángulo. Para medir
el ángulo con vértice en A, haz clic con el ratón sobre un punto situado en uno de los lados del
ángulo, haz clic sobre el vértice A y sobre un tercer punto situado en el otro lado del ángulo. En
pantalla aparecerá la medida del ángulo en grados sexagesimales. Usa la misma técnica para
medir los ángulos B y C.
 Arrastra el triángulo por la pantalla y observa como la circunferencia siempre está circunscrita al
triángulo.
 Crea una macro que permita dibujar el circuncentro y la circunferencia circunscrita a un triángulo.
Para ello, haz clic en Objetos iniciales y selecciona el triángulo. Haz clic en Objetos finales y
selecciona el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Haz clic en Definir macro y en el
siguiente cuadro de diálogo, guarda la macro con el nombre circunc.mac.
 Comprueba que la macro funciona. Dibuja varios triángulos y aplícales la macro circunc. Observa
los resultados.
317
Ámbito científico
Ejemplo 4. Comprueba que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de
Pitágoras
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Segmento dibuja un segmento de vértices A y B. Utiliza la herramienta
Etiqueta para nombrar dichos vértices.
 Traza una perpendicular al segmento AB por el punto A. Selecciona la herramienta Recta
perpendicular, haz clic con el ratón sobre el vértice A y sobre el segmento.
 Dibuja un punto C sobre la recta anterior. Utiliza la herramienta Etiqueta para nombrar dicho
vértice.
 Con la herramienta Segmento, dibuja el segmento AC.
 Haz clic en el botón Ocultar / Mostrar y oculta la recta perpendicular al segmento inicial.
 Con la herramienta Triángulo, dibuja el triángulo ABC.
 Utiliza la herramienta Medida y longitud, para medir los lados del triángulo.
 Utilizando la herramienta Edición numérica, escribe en el área de trabajo 90 y 90.
 Selecciona la herramienta Rotación, haz clic sobre el segmento AB y sobre el vértice A y haz clic
sobre el valor numérico 90. De esta forma se dibuja un segmento de la misma longitud,
perpendicular al segmento AB. Utiliza esta técnica para dibujar un cuadrado en cada lado del
triángulo rectángulo ABC.
 Con la herramienta Ocultar / Mostrar, oculta los segmentos de cada cuadrado.
 Elige la herramienta Polígono y dibuja un cuadrado sobre los extremos de los segmentos
anteriores.
 Elige el comando Área, en el bloque Medidas, para medir el área de cada cuadrado.
 Comprueba que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
318
Geometría con el ordenador
ACTIVIDADES
 INCENTRO
Define una macro que permita dibujar el incentro y la circunferencia inscrita de un
triángulo.
 ORTOCENTRO
Construye una macro que permita obtener el ortocentro de cualquier triángulo.
 PITÁGORAS
Comprueba si se verifica el teorema de Pitágoras cuando en lugar de cuadrados se
construyen triángulos isósceles sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo.
2. Transformaciones geométricas
Con Cabri podemos realizar transformaciones geométricas como traslaciones, giros y simetrías; y
podemos analizar y estudiar sus propiedades. Estas transformaciones son muy utilizadas en la
construcción de mosaicos. Veamos algunos ejemplos.
 COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS
Ejemplo 1. A la figura F aplícale dos simetrías de ejes paralelos, primero la de eje l y
después la de eje r. Llama F” a la figura transformada. ¿Qué movimiento
transforma directamente F en F” ?. Defínelo completamente.
319
Ámbito científico
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Polígono, dibuja la letra F.
 Dibuja la recta l. Usa la herramienta Recta y con el botón Etiqueta, llama l a la recta obtenida.
 Selecciona el comando Recta paralela para dibujar la recta r. Con la herramienta Etiqueta, llama r
a la recta obtenida.
 Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F y sobre la recta l. Con la
herramienta Comentarios, llama F' a la imagen obtenida.
 Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F' y sobre la recta r. Con la
herramienta Comentarios, llama F'' a la imagen obtenida. ¿Qué relación hay entre la F inicial y F''?
 Dibuja un vector que una dos puntos homólogos de F y F''. Selecciona el comando Perpendicular
en el bloque Comprobar, haz clic en el vector anterior y en la recta l. Haz clic en una zona libre del
área de trabajo. Observa que aparece el mensaje "Los objetos son perpendiculares".
 Halla los puntos de intersección del vector con las rectas l y r. Con la herramienta Etiqueta, llama
A y B a dichos puntos.
 Selecciona el comando Distancia y longitud y mide la longitud del vector y la distancia entre los
puntos A y B. Comprueba que la longitud del vector es doble de la distancia AB.
 Por tanto: "la composición de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación de vector
perpendicular a dichos ejes y de longitud igual al doble de la distancia entre dichos ejes".
Ejemplo 2. A la figura F aplícale dos simetrías de ejes secantes, primero la de eje l y
después la de eje r. Llama F” a la figura transformada. ¿Que movimiento
transforma directamente F en F” ?. Defínelo completamente.
320
Geometría con el ordenador
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Polígono, dibuja la letra F.
 Dibuja la recta l. Usa la herramienta Recta y con el botón Etiqueta, llama l a la recta obtenida.
 Dibuja la recta r, de manera que corte a la recta l en un punto O. Usa la herramienta Recta y con el
botón Etiqueta, llama r a la recta obtenida.
 Con el comando Punto, halla la intersección de dichas rectas. Con la herramienta Etiqueta, llama
O al punto obtenido.
 Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F y sobre la recta l. Con la
herramienta Comentarios, llama F' a la imagen obtenida.
 Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F' y sobre la recta r. Con la
herramienta Comentarios, llama F'' a la imagen obtenida. ¿Qué relación hay entre la F inicial y F''?
 Con la herramienta Etiqueta llama A a un vértice de la F inicial. Llama B al punto homólogo de
dicho vértice en la figura F''.
 Dibuja el segmento que une O con A. Dibuja también el segmento que une O con el punto B
homólogo del vértice anterior en la figura F''.
 Con la herramienta Ángulo del bloque de Medidas, mide el ángulo AOB y el ángulo que forman las
rectas l y r. Comprueba que el ángulo AOB es el doble del ángulo formado por dichas rectas.
 Por tanto: "La composición de dos simetrías de ejes concurrentes en un punto O, es igual a un giro
de centro O, con ángulo de giro igual al doble del ángulo que forman los ejes".
 CONSTRUCCIÓN DE MOSAICOS
Ejemplo. Utilizando las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye
diversos tipos de mosaicos.
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Con la herramienta Polígono regular, dibuja un octógono regular.
 Con la herramienta Etiqueta, llama ABCDEFGH a los vértices de dicho octógono.
 Con la herramienta Vector, dibuja los vectores GB y HE.
 Selecciona el comando Traslación, haz clic sobre el polígono ABDCEFGH y sobre el vector GB.
Haz clic sobre el polígono ABCDEFGH y sobre el vector HE. Observa el resultado.
 Procede de la misma forma hasta completar el mosaico semiregular de octógonos regulares y
cuadrados.
321
Ámbito científico
ACTIVIDADES
 MOSAICO 1
Utiliza las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye un mosaico con
hexágonos regulares y triángulos equiláteros.
 MOSAICO 2
Con las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye un mosaico con
cuadrados y triángulos equiláteros. ¿Hay una única solución?.
 EL CABALLO Y EL RÍO
¿Cuál es el camino más corto que debe recorrer el caballo para ir de A a B pasando
antes a beber agua en el río ?.
B
A
___________________________________________
3. Lugares geométricos y cónicas
Con Cabri podemos construir fácilmente lugares geométricos, incluyendo cónicas y algunas curvas
conocidas. Además el programa dispone de la herramienta Animación que permite realizar
simulaciones de procesos reales sobre movimientos y trayectorias.
Ejemplo 1. Construcción de una parábola.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y
de una recta denominada directriz. Veamos cómo se puede construir con Cabri.
322
Geometría con el ordenador
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Dibuja la recta directriz. Con la herramienta Comentarios, llama d a dicha recta.
 Dibuja un punto exterior a la recta d. Con la herramienta Etiqueta, llama F a dicho punto. Este
punto será el foco.
 Dibuja un punto sobre la recta d. Con la herramienta Etiqueta, llama H a dicho punto.
 Dibuja la recta t perpendicular a la recta d que pasa por el punto H. Utiliza para ello la herramienta
Recta perpendicular, haz clic sobre la recta d y sobre el punto H. Con la herramienta Comentarios,
llama t a dicha recta.
 Dibuja la recta r mediatriz del segmento FH. Utiliza el comando Mediatriz y haz clic sobre el punto
F y sobre el punto H. Con la herramienta Comentarios, llama r a la recta obtenida.
 Con la herramienta Punto, halla la intersección de las rectas r y t. Con la herramienta Etiqueta,
llama X al punto obtenido.
 Comprueba con la herramienta Distancia y longitud que d(X, F) = d(X, d) = d(X, H).
 Dibuja el lugar geométrico del punto X al variar H sobre la recta d. Para ello, selecciona el
comando Lugar geométrico y haz clic sobre el punto X y sobre el punto H. Observa que se dibuja
una parábola de foco F y directriz d.
Ejemplo 2. Construcción de cónicas.
Con la herramienta Cónica es muy fácil obtener dibujos de elipses, hipérbolas, parábolas y otras
cónicas, siempre que señalemos cinco puntos de la curva.
 Haz clic en Archivo / Nuevo.
 Haz clic en el botón Cónica.
 Haz clic sobre el área de trabajo cinco veces para señalar cinco puntos de la cónica.
323
Ámbito científico
 Dependiendo de la distribución de los cinco puntos, obtendrás una elipse, una hipérbola o una
parábola.
4. Poliedros con Poly
 INTRODUCCIÓN
Poly es un programa que permite visualizar diferentes familias de poliedros (regulares, semiregulares,
platónicos, de Catalán, etc). Este software permite asociar cada poliedro con su desarrollo, lo que
supone una ayuda inestimable para el proceso de construcción y para resolver problemas métricos
sobre poliedros. En las siguientes actividades veremos cómo utilizar el programa.
 SÓLIDOS PLATÓNICOS Y SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
Ejemplo 1. Sólidos platónicos
 Selecciona el comando Inicio / Programas / Poly / Poly para iniciar el programa.
 Maximiza la ventana de visualización de poliedros. Selecciona en la lista desplegable la familia
Sólidos platónicos y elige el Tetraedro. Arrastra el cuadro de desplazamiento y verás como se
transforma el poliedro en su desarrollo plano. Si lo haces lentamente, se activará una animación
que convierte el desarrollo plano en poliedro y viceversa.
 Selecciona sucesivamente el cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Observa los desarrollos
planos de cada sólido. Si haces clic sobre el sólido y arrastras el ratón, verás como gira el
poliedro.
324
Geometría con el ordenador
 Para mostrar únicamente el desarrollo plano de un poliedro, haz clic sobre el tercer icono de la
barra superior.
 Para mostrar el diagrama de Seigel del poliedro, haz clic sobre el cuarto icono de la barra superior.
 Para ver el poliedro, sin sus aristas, haz clic en el primer icono. Para ver el poliedro con sus aristas
remarcadas, selecciona el segundo icono de la barra superior.
 Selecciona en la lista desplegable la familia Sólidos de Arquímedes. Elige sucesivamente los
poliedros Tetraedro truncado, Cuboectaedro,
Rombicuboctaedro y el resto de la familia.
Cubo
truncado,
Octaedro
truncado,
 Cuenta el número de caras, aristas y vértices de cada poliedro.
Ejemplo 2. Prismas y antiprismas
 Selecciona en la lista desplegable la familia Prismas y antiprismas. Elige sucesivamente los
prismas triangular, pentagonal, hexagonal, octogonal y decagonal.
 Haz clic sobre cada prisma y arrastra con el ratón, para que el poliedro gire.
 Arrastra el cuadro de desplazamiento para visualizar los desarrollos planos de cada prisma.
 Haz clic en cuarto icono para mostrar el diagrama de Seigel de cada prisma.
 Cuenta el número de caras, vértices y aristas de cada prisma.
 Elige sucesivamente los antiprismas cuadrangular, pentagonal, hexagonal, octogonal y decagonal.
 Haz clic sobre cada prisma y arrastra con el ratón, para que el poliedro gire.
 Arrastra el cuadro de desplazamiento para visualizar los desarrollos planos de cada prisma.
 Haz clic en cuarto icono para mostrar el diagrama de Seigel de cada prisma.
 Cuenta el número de caras, vértices y aristas de cada antiprisma.
 ¿Qué diferencias encuentras entre un prisma y un antiprisma?.
325
Ámbito científico
ACTIVIDADES

DIPIRÁMIDES Y DELTAEDROS
Utilizando el programa Poly, investiga las propiedades de las dipirámides y los
deltaedros. Estudia: a) desarrollos planos, b) número de caras, vértices y aristas, c)
diagrama de Seigel.

SÓLIDOS DE CATALÁN Y SÓLIDOS DE JOHNSON
Utilizando el programa Poly, investiga las propiedades de los sólidos de Catalán y de los
sólidos de Johnson. Para cada uno de los poliedros, estudia: a) desarrollos planos, b)
número de caras, vértices y aristas, c) diagrama de Seigel.
326