Download Trazado geométrico - olimpiadamatematicaalonsocano

IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
1. Material de dibujo técnico.
1.1 Lápices.
Antes de descubrirse la mina de grafito en la segunda mitad del siglo XVI, los dibujos se hacían con
varillas formadas por una mezcla de plomo y estaño o de latón generalmente. Con la invención del lápiz, el
uso de estas varillas se fue abandonando poco a poco. Las minas de grafito se clasifican según su
dureza en:
Designación
8B
7B
6B
5B
4B
3B
2B
B
HB
F
H
2H
3H
4H
5H
6H
7H
8H
9H
Dureza
Aplicación
Extremablanda
Sombrear
Muy blanda
Blanda
Croquis
Dibujo artístico
Dibujo arquitectónico
Dibujos
Escritura
Estenografía
Dura
Dibujos técnicos
Muy dura
Dibujos a lápiz
Extradura
Cartografía
Litografía
Xilografía
La mina se fabrica en 19 graduaciones diferentes de dureza. La serie B comprende las minas blandas y la
serie H comprende las duras. Nosotros utilizaremos sólo dos tipos: Un lápiz 3H (proceso) y otro lápiz HB
(resultado).
1.2 Sacapuntas.
Para el afilado de las minas se utilizan diversos útiles, tales como el raspador, sacapuntas rotativo. El
sacapuntas se utiliza para sacar punta a un lápiz. Hay diferentes formas: sencillos, de sobremesa,
eléctricos… Para un correcto uso del lápiz, éste debe estar bien afilado.
1.3 Goma de borrar
Es una goma elástica a base de caucho, preparada especialmente para borrar los trazos de lápiz. La goma
no debe manchar y colorear; en el caso de estar sucia hay que frotarla sobre una superficie limpia antes
de usarla.
1
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
1.4 Reglas y escuadras
Las reglas se usan para medir longitudes y llevar magnitudes sobre los planos. Suelen ser de plástico, de
diferentes medidas y de buena calidad.
El juego de escuadras lo constituye la escuadra y el cartabón.
- La escuadra es la que tiene forma de triángulo rectángulo
isósceles con los ángulos iguales a 45º.
- El cartabón tiene forma de triángulo rectángulo cuyos ángulos
agudos son de 30º y 60º.
Las escuadras suelen ser de plástico, pudiendo tener un lado
graduado y/o biselado. Para que formen juego, la hipotenusa de
la escuadra ha de ser de igual longitud que el cateto mayor del
cartabón.
1.5 Transportador de ángulos
Sirve para medir ángulos. Puede tener forma de semicírculo o círculo entero,
de plástico y dividido en grados sexagesimales. Para medir un ángulo se
coloca el vértice del ángulo en el centro del transportador, de forma que uno
de los lados pase por el 0º (origen de ángulos); el otro lado marcará la
graduación.
1.6 Compás y bigotera
El compás sirve para trazar arcos de circunferencia y transportar medidas. Consta
de dos piezas metálicas articuladas, una terminada en una aguja de acero y la otra
con el elemento de trazo, bien lápiz o tinta. La mina debe ser semidura y afilada
con el bisel hacia dentro y no terminada en punta.
El manejo del compás se hace de la siguiente forma: con la ayuda de un dedo se
“pincha” la aguja en el papel y luego, cogiendo el compás por la parte superior con
los dedos pulgar e índice, se hace el trazado. Al compás se le puede aplicar el
accesorio alargadera cuando se tienen que trazar arcos de gran radio.
La bigotera es un compás pequeño que se utiliza para trazar arcos de
circunferencia de radio pequeño. Tiene la ventaja sobre el compás de que es más
preciso debido a que la abertura o cierre de las piezas se hace por medio de una
rueda moleteada montada sobre un eje roscado.
2
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
2. Paralelismo.
2.1 Definiciones
Se denomina recta a una sucesión ilimitada de puntos en la misma dirección; una semirrecta es una recta
limitada en uno de sus extremos; y se llama segmento a la parte de la recta limitada por dos puntos.
Recibe el nombre de lugar geométrico el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la
misma propiedad.
Dos rectas coplanarias, es decir, que pertenecen a un mismo plano, son paralelas cuando su punto de
intersección se encuentra en el infinito (se dice entonces que el punto es impropio).
2.2 Trazar por un punto la paralela a una recta dada.1
Elegido un punto cualquiera de la recta, punto M, trazar con centro en
el mismo un arco de circunferencia que pase por el punto dado P y
corte a la recta en dos puntos A y B. Transportar la cuerda PB a partir
de A sobre la semicircunferencia, obteniendo el punto C, que unido
con P nos proporciona la paralela pedida.
2.3 Trazar la paralela a una recta dada a una distancia determinada.
Trazar una perpendicular a la recta por un punto cualquiera de ella,
punto A (véase el apartado “Perpendicularidad”). Transportar sobre
dicha perpendicular la distancia dada a partir de A. El punto obtenido B
dista de la recta la distancia dada. Al segmento BA trazarle la
perpendicular por B, siendo CB perpendicular a BA y por consiguiente
paralela a r.
2.4 Trazar paralelas con escuadra y cartabón.
Situando la escuadra de forma que la hipotenusa coincida con la recta
dada, adosarle la otra plantilla que se mantendrá inmóvil. Deslizando la
primera plantilla sobre la fija, podemos trazar por su hipotenusa rectas
paralelas a la dada.
1
Por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a dicha recta (postulado de Euclides)
3
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
3. Perpendicularidad.
3.1 Definiciones
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90º.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento trazada por su punto medio.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.
3.2 Trazar la mediatriz de un segmento
Considerando AB el segmento dado, con centro en sus extremos y radio mayor que la mitad del mismo,
describir arcos, cuyas intersecciones, unidas entre sí, nos determinan la mediatriz del segmento.
3.3 Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo
Con radio arbitrario, pero fijo, describir sucesivamente arcos de circunferencia en los puntos P (dado) y A,
B y C (obtenidos), determinando final el punto D. Unir D con P para obtener la perpendicular buscada.
3.4 Trazar la perpendicular a una recta por un punto de la misma
Con centro en el punto dado P de la recta r, y con radio arbitrario, describir un arco que cortará a la recta
en los puntos A y B. Con centro asimismo en estos puntos y radio mayor que la mitad del segmento que
determinan A y B, describir arcos cuya intersección C unida con P resuelve el problema.
4
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
3.5 Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella
Con centro en el punto dado P, describir un arco que con radio arbitrario corte a la recta r en dos puntos A
y B, para lo cual el radio mayor que la distancia del punto a la recta. El problema queda reducido a trazar
la mediatriz del segmento AB.
3.6 Trazar perpendiculares con escuadra y cartabón
Para su realización basta con adosar la escuadra y el cartabón entre sí como indica la figura, colocando
estas plantillas de forma que la hipotenusa de la escuadra coincida con la recta dada. Una vez en esta
posición y manteniendo fijo el cartabón, dar un giro de 90º a la escuadra, de manera que quede igualmente
adosada el cartabón, si bien por su otro cateto. Deslizándose de este modo la escuadra, por su hipotenusa
puede trazarse cualquier recta perpendicular a la dada.
5
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
4. Ángulos.
4.1 Definiciones
Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con el
origen común. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice.
Un ángulo agudo es el que mide menos de 90º.
Un ángulo recto es el que mide 90º.
Un ángulo obtuso es el que mide más de 90º.
Un ángulo llano es el que mide 180º.
Un ángulo convexo es el que mide menos de 180º.
Un ángulo cóncavo es el que mide más de 180º.
Dos ángulos son suplementarios si suman 180º.
Dos ángulos son complementarios si suman 90º.
Se llama bisectriz t de un ángulo a la recta que divide a este en dos ángulos iguales, o lo que es lo
mismo, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Propiedades:
- Dos ángulos cuyos lados son paralelos son iguales.
- Los ángulos cuyos lados son perpendiculares son iguales.
4.2. Construcción de un ángulo igual a otro.
Trazar con centro en el vértice del ángulo dado un arco de radio arbitrario que nos
determinará los puntos N y M sobre los lados del mismo. Con el, mismo radio y
centro en O’, origen de una semirrecta, trazar un arco igual al anterior que nos
determina N’ en la semirrecta. Transportar sobre este arco, a partir de N’, el valor de
la cuerda NM, obteniendo el punto M’, que unido con O’ nos determina la posición del
otro lado del ángulo.
4.3. Construcción de un ángulo igual a la suma de otros dos dados.
Este problema se reduce a construir dos ángulos consecutivos e iguales
respectivamente a los dos dados. El ángulo suma A’O’D’ está formado por el lado
del origen del primer sumando (O’D’) y el lado extremo del último (O’A’).
4.4. Construcción de un ángulo igual a la diferencia de otros dos dados.
Construir dos ángulos con origen y vértices comunes. El ángulo diferencia será
A’O’C’.
6
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
4.5. Trazar la bisectriz a un ángulo dado.
Describir con centro en el vértice del ángulo un arco que nos determinará los
puntos A y B en los lados del ángulo. Con centro en estos puntos y radio mayor
que la mitad del segmento AB, trazar arcos de igual radio que se cortarán en C.
CO es la bisectriz del ángulo, la cual es, por tanto, mediatriz del segmento AB.
4.6 Construcción de ángulos con el compás.
Cuando no se dispone de un transportador de ángulos, es posible trazar determinados ángulos con
sencillas construcciones realizadas con un compás. Así, por ejemplo, se pueden trazar los ángulos de 15º,
30º, 45º, 60º, 75º y 90º, así como sus suplementarios.
4.7 Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón.
Con el simple manejo de la escuadra y el cartabón también pueden obtenerse determinados ángulos.
7
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
5. Circunferencia.
5.1 Definiciones.
Circunferencia: Es el Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
Círculo: Es la parte de plano interior a la circunferencia.
Sector circular: Es la porción de círculo comprendida entre dos radios.
Segmento circular: Es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su
arco.
5.2 Elementos de una circunferencia.
Centro (O): Punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de la
misma.
Cuerda (c): Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. A cada
cuerda le corresponden dos arcos, uno de menor longitud que el otro.
Diámetro (d): Cualquier cuerda que pasa por el centro O.
5.3 Posiciones relativas de un punto y una circunferencia.
Dada una circunferencia, un punto P puede situarse en diferentes posiciones respecto a ella.
1. Dentro de la circunferencia. P es un punto interior y se verifica que dist ( P, O ) < r .
2. Sobre la circunferencia. P es un punto de la circunferencia y se verifica que dist ( P, O ) = r .
3. Fuera de la circunferencia. P es un punto exterior y se verifica que dist ( P, O ) > r .
8
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
5.4 Posiciones relativas de un punto y una recta.
Una recta s puede situarse en tres posiciones respecto de una circunferencia.
1. Corta a la circunferencia en dos puntos. La recta es secante a la circunferencia. Se verifica que
dist ( s, O ) < r .
2. La recta y la circunferencia tienen un punto en común. La recta es tangente a la circunferencia. Se
verifica que dist ( s, O ) = r .
3. La recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. La recta es exterior a la circunferencia.
Se verifica que dist ( s, O ) > r .
5.5 Propiedad de las rectas tangentes a una circunferencia.
La recta s es tangente a la circunferencia en el punto P (punto de tangencia). Se
puede comprobar que en dicho punto la tangente es perpendicular al radio. Toda
recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de
tangencia.
5.6 Posiciones relativas de dos circunferencias.
Dos circunferencias, C y C’, con radios r y r’ pueden ocupar las posiciones siguientes:
Exteriores
Tangentes exteriores
Secantes
No tienen ningún punto común.
Tienen un solo punto común.
Tienen dos puntos comunes.
d > r + r′
d = r + r′
d < r + r′
Tangentes interiores
Interiores
Concéntricas
Tienen un punto común.
No tienen ningún punto común.
No tienen ningún punto común.
d = r − r′
d < r − r′
d =0
9
IES Alonso Cano – Dúrcal
Preparación Olimpiada de Matemáticas
TRAZADO GEOMÉTRICO: Trazados fundamentales
5.7 Ángulos en la circunferencia.
Ángulo central
Es el ángulo que tiene su vértice
en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito
Es el que tiene su vértice en la
circunferencia y sus lados son
dos secantes.
a 180º
r π
ϕ= ·
Ángulo interior
Es el ángulo que tiene su vértice
en un punto interior de la
circunferencia.
ϕ=
α +β
2
ϕ=
α
2
Ángulo exterior
Es el que tiene su vértice en un
punto exterior y sus dos lados
son secantes.
ϕ=
α −β
2
Ángulo semiinscrito
Es el que tiene un vértice en la
circunferencia, uno de sus lados
es tangente y el otro secante.
ϕ=
α
2
Ángulo circunscrito
Es el que tiene su vértice en un
punto exterior y sus dos lados
son tangentes.
ϕ=
α −β
2
5.8. Arco capaz
Se llama arco capaz de un ángulo dado φ respecto de un segmento también conocido, al lugar
geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento bajo el ángulo φ. Dados el
segmento AB y el ángulo φ, se traza la mediatriz del segmento AB. Por unos de los extremos A del
segmento dado, se traza una recta m perpendicular a AB, restando a continuación el ángulo φ hasta cortar
a la mediatriz en O1, de tal forma que el ángulo O1AB es de 90- φ. Se construye el ángulo simétrico de
90 – φ, respecto de AB hasta cortar a la mediatriz en O2. Con centros en O1 y O2 se trazan dos arcos de
circunferencia que comiencen en A y terminen en B. Dichos arcos son los arcos capaces buscados.
10