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Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
Geometría Analítica
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFEREN
CIA
DEFINICIÓN
1.
Angulo Central.
A
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro
punto llamado centro

O
ELEMENTOS
M
- Arco :
- Cuerda:
- Radio :
- Diámetro :
- Tangente:
- Secante :
B
B
E
AB
AB
OE
CD
T
L
A
C
N
O
 = AB
D
2. Angulo Inscrito
B
L
T

- Flecha o Sagita : MN
A
C
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
 = AC / 2
1. Circunferencias Exteriores
3. Angulo Semi – Inscrito
R
d > R+r
r
d
A
B

2. Circunferencias Tangentes Exteriores:
C
R
d = R+r
r
d
 = BC / 2
4. Angulo Interior
3. Circunferencias Secantes:
A
R-r < d < R+r
B

D
C
d
4. Circunferencias Tangentes Interiores:
R
 = ( AB + DC ) / 2
5. Angulo Exterior
d
o o1
d=R- r

r
d
B
A
A
A

m
m E

m
C
B
5. Circunferencias Interiores:
C
r
n
n
D
n
 =( n- m )/2
R
d
C
B
D
d<R-r
6. Angulo Ex - Interior
6. Circunferencias Concéntricas:
A
 = ABC / 2
r

d = cero
R
Prof. Edwin Meza Flores
C
B
Geometría Analítica
“Amar, adorar y servir”
Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
Geometría Analítica
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
PRÁCTICA DE CLASE
01. Calcular en la figura el arco QP
circunferencia
1.
siendo “O” centro de la
Q
T
x
x = 90°
O
80º
O
P
2.
a) 160°
d) 70°
A
c) 80°
b) 90º
e) N.a.
c) 50º
02. Hallar x .
B
O
b) 40°
e) N.a.
AB = BC
100°
B
C
A
3.
C
x
A
D
C
AB  BC
Si
O
a) 100º
d) 80º
AB = CD
B
D
Hallar x en la figura
03.
4.
x
A
A
B
C
D
Si:
AB
CD
AC  BD
C
20°
D
130°
B
a) 75º
d) 20º
05.
b) 105º
e) N.a.
c) 130º
PITOT
Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º
05.
C
B
Si :
ABCD : Cuadrilátero
Circunscrito
A
B
x
AB + CD = AD + BC
A
D
06. PONCELET
C
B
a) 110º
d) 100º
O
b) 55º
e) N.a.
c) 100º
r
F
A
C
06.
Hallar PQ , si QC = 105°
Si: OF = r, es el radio de la circunferencia inscrita
20°
AB + BC = AC + 2r
Q
P
07.
C
B
A
Si A B C D: Cuadrilátero
inscrito


C
180º
a) 105º
d) 20º
b) 40º
e) 110º
c) 65º
D
Prof. Edwin Meza Flores
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“Amar, adorar y servir”
Cuarto de secundaria
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Geometría Analítica
 si “O” es el centro.
07. Hallar el ángulo BOA
13.
A
68°
O
y
B
z
x
B
C
A
a) 56º
d) 28º
b) 34º
e) N.a.
c) 130º
a) 150º
d) 200º
 si “O” es el centro.
08. Hallar el ángulo AOC
A
14.
40°
O
b) 20º
e) 30º
c) 60º
Hallar x  y
y
b) 120º
e) 150º
20°
c) 130º
En la figura AB = 100º, CD = 120º, hallar BD si AB / / CD
A
B
C
D
a) 40º
d) 10º
15.
Si AB es diámetro y BD = 60º
Hallar x
C
A
a) 140º
d) 90º
b) 70º
e) N.a.
B
x
c) 80º
D
a) 120º
d) 80º
Hallar “R”. Si AB 3, BC  4
B
16.
R
O
b) 60º
e) N.a
c) 30º
Si PQ es diámetro, hallar x
R
S
x
P
C
A
a) 2
d) 4
11.
c) 100º
x
a) 100º
d) 140º
10.
b) 50º
e) 75º
B
C
09.
Si AB = 50º. Hallar x  y  z
b) 1
e) N.a.
30º
Q
c) 3
a) 30º
d) 15º
b) 60º
e) 90º
c) 120º
En la figura. Hallar PQ
Si O es el centro de la semicircunferencia, además AO  BC .
Hallar x
Si PR  9, r  2, QR  3
17.
Q
B
O
r
A
R
P
a) 11
d) 10
b) 9
e) 5
c) 13
a) 45º
d) 30º
12. Hallar x si AB  DC  18
A
Q 5 B
4
18.
S
a) 5
d) 9
6
b) 50º
e) 90º
c) 60º
 es 100º
Hallar x , si AOB
x
O
x
D
C
A
R
P
x
D
O
B
C
b) 4
e) 3
Prof. Edwin Meza Flores
c) 6
a) 40º
d) 50º
Geometría Analítica
b) 100º
e) N.a.
c) 80º
“Amar, adorar y servir”
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Geometría Analítica
PROBLEMAS PROPUESTOS
En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x
01.
08. Hallar el arco AB
 = 20º y BCO
 = 30º
Si BAO
A
B
30°
B
O
O
C
x
a) 120º
b) 40º
c) 60º
d) 80º
e) 100º
d) 130º
e) N.a.
A
09.
a) 70º
02.
b) 100º
c) 90º
d) 110º
En la figura, hallar x
A
e) 80º
x
Desde un punto E, exterior a una circunferencia se trazan las
 , si AC = 123º y AD es
secantes EBA y EDC . Hallar el ángulo AEC
E
D
perpendicular a BC
a) 33º
b) 28º
50°
c) 123º
d) 38º
B
e) 66º
En la figura AB = 70º.Calcular  + 
03.
a) 100º
B

c) 80º
en P, a AC en Q y a BC en R. Si la suma del ángulo A con el ángulo
C es 70°. Hallar el ángulo PQR.
A
04.
b) 50º
10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia inscrita, tangente AB

a) 40º
d) 70º
C
F
b) 50º
e) 80º
c) 60º
a) 35º
11.
Hallar x , si 4AB = ACB
b) 70º
c) 110º
d) 55º
e) N.a.
Calcular “α” P y Q son puntos de tangencia.
B
Q
40º
x
A
D
C
a) 72º
100º
b) 144º
c) 36º
d) 88º
e) 164º
05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por dos tangentes
trazadas a una circunferencia desde un punto exterior; si la cuerda que
une los puntos de tangencia es igual al radio de la circunferencia?
a) 300º
06.
b) 60º
c) 150º
d) 120º
P
a) 40
12.
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80
En la figura hallar el ángulo X, si: BC + FE = 130º
C
e) 30º
B
Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro de la circunferencia,
A
además AC  AP ; AP y PC son tangentes.
A

x
D
F
P
E
B
a) 25°
C
a) 40º
d) 30º
b) 60º
e) 150º
c) 120º
b) 20°
70°
O
N
Q
O
a) 50
Prof. Edwin Meza Flores
e) 35°
P
x
b) 70º
e) 60º
d) 30°
13. En la figura “O” es centro y la m PNQ = 130°. Calcular “x”
07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro de la circunferencia.
a) 20º
d) 30º
c) 50°
x
b) 40
c) 30
d) 25
e) 20
c) 40º
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“Amar, adorar y servir”