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UNIDAD DIDÁCTICA 12
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que aprehender.
1. LA ESTADÍSTICA: conceptos y terminología.
2. LAS TAREAS ESTADÍSTICAS.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Determinar la Población y las Variables Estadísticas.
Recoger la Información: Encuesta, Entrevista, Observación o Registros.
Organizar y Presentar la Información.
Caracterizar y Resumir la Información.
Analizar, Comparar y Establecer Conclusiones.
Predecir Resultados.
3. EL INFORME ESTADÍSTICO: estadística descriptiva.
4. EL ESTUDIO ESTADÍSTICO: estadística inferencial.
1. ESTADÍSTICA: conceptos y terminología.
La Estadística es la rama de la matemáticas que tiene como objetivo el desarrollo de
TÉCNICAS para el conocimiento numérico de un conjunto numeroso de datos empíricos
(recogidos mediante experimentos o encuestas) Es decir, se ocupa de recoger, organizar,
resumir y analizar una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad para hacer visible
lo invisible, e inferir conclusiones respecto de ellos.
Por ejemplo, la estadística interviene cuando se quiere conocer el estado sanitario de un
país, a través de ciertos parámetros como la tasa de morbilidad o mortalidad de
la población. En este caso la estadística describe la muestra en términos de datos
organizados y resumidos, y luego infiere conclusiones respecto de la población.
Aplicada a la investigación científica, también provee los medios matemáticos para
establecer si una hipótesis debe o no ser rechazada. La estadística puede aplicarse a
cualquier ámbito de la realidad, y por ello es utilizada en física, química, biología,
medicina, astronomía, psicología…
Características de la estadística
La Estadística es un conjunto de técnicas. Técnicas analíticas para ver en unos datos lo
que nuestra mirada no es capaz de ver porque son muy numerosos. En Estadística hay
tres tipos de técnicas, tres actividades básicas, tres acciones: Descripción, Relación y
Comparación.
Descripción: Técnicas donde no se infiere, sólo se mira lo que se tiene: la muestra. Se le
calculan descriptores que capten aspectos relevantes de ella. Se dibujan gráficos que la
resuman. La muestra es el fin, no un medio.
Relación: Técnicas que buscan relaciones entre variables, entre diferentes características
medidas a una serie de individuos. Se busca la existencia de relación entre ellas y se
pretende establecer relaciones matemáticas entre ellas.
Comparación: Técnicas que comparan poblaciones de individuos. El objetivo es poder
hablar de la igualdad o de la diferencia entre esos grupos, entre esas poblaciones.
La Relación y la Comparación sí son técnicas donde se infiere, son técnicas inferenciales.
La muestra ahora es un medio, no un fin. Se pretende desde la muestra sacar
conclusiones poblacionales. Desde la relación entre las variables a nivel muestral o desde
la comparación de dos o más muestras se busca hacer afirmaciones poblacionales,
afirmaciones que vayan más allá de lo que se ve, más allá de la muestra.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Es muy importante situar desde el principio cuál es el papel básico de la Estadística. Y ver
la simplicidad que hay detrás de una aparente complejidad. La Estadística es, en realidad,
un mundo caracterizado, aunque desde fuera parezca que no, por un paisaje muy
homogéneo. En Estadística estamos siempre describiendo, relacionando o
comparando. Pero, ¿qué hace cualquier científico en su actividad diaria? También
describir, relacionar y comparar.
Sosteniendo a la Estadística, desde la base, existe un básico paisaje de conceptos del
mundo de la probabilidad: especialmente la noción de variable aleatoria, la noción de
función de distribución, de modelización matemática. Estos conceptos se verán como
complementos de lo que constituye el hilo conductor de la Estadística: la construcción de
técnicas para describir lo que vemos en la muestra y para inferir acerca de lo que no
vemos en la muestra.
Ramas de la estadística
Según el colectivo a partir del cual se obtenga la información y el objetivo que persiga a la
hora de analizar esos datos, le estadística de llama descriptiva o inferencial.
Estadística Descriptiva: Se fundamenta en la descripción y análisis de las
características de un conjunto de datos, de donde se extrae información y conclusiones
sobre el comportamiento de los datos y relaciones existentes con entre ellos o de ellos
con otras poblaciones con las cuales se comparan. Se trata de estimar, pronosticar y
definir comportamientos que se puedan reproducir bajos similares condiciones de
experimentación.
Estadística Inferencial: Está fundamentada en los resultados obtenidos del análisis de
una muestra de población, con el fin de inferir el comportamiento o característica de la
población, de donde procede, por lo que recibe también el nombre de Inferencia
estadística. El objetivo de la inferencia en investigación científica y tecnológica radica en
conocer clases numerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras relativamente
pequeñas compuestas por los mismos elementos.
Los problemas por los que se ocupa la Estadística Inferencial se relacionan con la
estimación de parámetros tanto muéstrales como poblacionales y la definición de
criterios para verificar si lo que se ha hecho u obtenido tiene la suficiencia en calidad
estadística, y si se puede utilizar como elemento de pronostico o de representación del
fenómeno estudiado, con los cual se pueda tomar una decisión objetiva y lo mas
aproximada a la realidad.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Conceptos y Terminología
Población: Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un
estudio estadístico. No debe confundirse la población en sentido demográfico y la
población en sentido estadístico. La población en sentido demográfico es un conjunto de
individuos (todos los habitantes de un país, todas las ratas de una ciudad), mientras que
una población en sentido estadístico es un conjunto de datos referidos a determinada
característica o atributo de los individuos (las edades de todos los individuos de un país,
el color de todas las ratas de una ciudad).
Individuo: Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que
componen la población.
Muestra: Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el
número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
Muestreo: El muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de
población. Éste se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral
representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra
aunque hay muchos diseños de la muestra.
Tipos de muestreo: Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el
muestreo no aleatorio y el aleatorio. En este último todos los elementos de la población
tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra. También puede ser estratificado o
no.
Censo: Se entiende por censo aquella numeración que se efectúa a todos y cada uno de
los caracteres componentes de una población.
Encuesta: Se entiende por encuesta las observaciones realizadas por muestreo, es decir
son observaciones parciales.
Datos Estadísticos: Son los resultados del experimento o mediciones de las
observaciones realizadas, son el general, el producto de las observaciones efectuadas en
los cuales se produce el fenómeno que queremos estudiar. Un dato es cada uno de los
valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al
aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. El conjunto de datos de los
cuales se ocupa un determinado estudio estadístico se llama población.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Valor
Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio
estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.
Clasificación de los datos
Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos
(series de tiempo) y geográficos (series de espacios), etc. Cuantitativos, cuando son
representados por un número. Cualitativos, cuando señalan cualidades y no están
representados numéricamente. Cronológicos, cuando los valores de los datos varían en
diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos;
y son Espaciales cuando los datos están referidos a una localidad, espacio, área,
Fuentes de datos Estadísticos
Los datos estadísticos necesarios para la comprensión de los hechos pueden obtenerse a
través de fuentes primarias y fuentes secundarias: Primarias, cuando se va ala origen
mismo de la información o experimento y se toman los datos directamente, y son
Secundarias, cuando se obtienen sin el experimento u observación directa
Método para la recolección de datos
En estadística se emplean una variedad de métodos distintos para obtener información
de los que se desea investigar. Entre ellos tenemos: Entrevista personal, encuestas,
observación con o sin control de un experimento o de poblaciones, Cuestionarios,
Mediciones, conteos, etc.
Variables estadísticas
Un Carácter Estadístico es cada una de las características o cualidades que poseen los
individuos de una población.
Cuantitativos: Son aquellos que se pueden medir. Determinan variables estadísticas que
pueden ser:
Discretas: Sólo pueden tomar un número finito de valores enteros, los valores posibles
de estas variables son aislados.
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2. Las Tareas Estadísticas
2.1 Recoger la Información.
CUESTIONARIOS: Un cuestionario consiste en un conjunto de preguntas respecto a una o
más variables a medir. El contenido de las preguntas de un cuestionario puede ser tan
variado como los aspectos que mida. Y básicamente, podemos hablar de dos tipos de
preguntas: cerradas y abiertas.
Las preguntas cerradas contienen categorías o alternativas de respuestas que han sido
delimitadas. Es decir, se presentan a los sujetos las posibilidades de respuestas y ellos
deben circunscribirse a ellas. Pueden ser dicotómicas (dos alternativas de respuestas) o
incluir varias alternativas de respuestas.
ENCUESTAS: El diseño de encuestas es exclusivo de las ciencias sociales y parte de la
premisa de que si, queremos conocer algo sobre el comportamiento de las personas, lo
mejor, lo más directo y simple, es preguntárselo directamente a ellas. Se trata por tanto
de requerir información a un grupo socialmente significativo de personas acerca de los
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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problemas en estudio para luego, mediante un análisis de tipo cuantitativo, sacar las
conclusiones que se correspondan con los datos recogidos.
La encuesta es un método de trabajo relativamente económico y rápido. Si se cuenta con
un equipo de entrevistadores y codificadores convenientemente entrenado, resulta fácil
llegar rápidamente a una multitud de personas y obtener una gran cantidad de datos en
poco tiempo. Su costo, para los casos simples, es sensiblemente bajo.
ENTREVISTA: La entrevista, desde el punto de vista del método, es una forma específica
de interacción social que tiene por objeto recolectar datos para una indagación. El
investigador formula preguntas a las personas capaces de aportarle datos de interés,
estableciendo un diálogo peculiar, asimétrico, donde una de las partes busca recoger
informaciones y la otra es la fuente de esas informaciones. Por razones obvias sólo se
emplea, salvo raras excepciones, en las ciencias humanas.
La ventaja esencial de la entrevista reside en que son los mismos actores sociales quienes
proporcionan los datos relativos a sus conductas, opiniones, deseos, actitudes y
expectativas, cosa que por su misma naturaleza es casi imposible de observar desde
fuera. Nadie mejor que la misma persona involucrada para hablarnos acerca de todo
aquello que piensa y siente, de lo que ha experimentado o proyecta hacer.
OBSERVACIÓN: Es un método clásico de investigación científica. Puede asumir muchas
formas; puede ser simple en la cual tanto el observador como los observados participan
de la manera más natural posible, y en este caso el observador deberá tener un plan
previo para la información a partir de las notas que vaya levantando a lo largo de la
observación.
Pero en muchos casos es necesario una observación más sistemática con controles tanto
para el observador como para el observado, para aumentar la precisión de su trabajo y
protegerse de las críticas; no se pretende limitar en ningún grado las actividades de los
individuos sino sistematizar el proceso de observación por medio de dispositivos
sincronizadores mecánicos, observación en equipo, películas y grabaciones, planes e
inventarios, casi a un paso de la situación que se vive en un laboratorio. Lo que depende
de el grado de conciencia que tengan los observados respecto a lo que se está realizando,
y si se introduce el concepto de variables experimentales. Es muy importante señalar que
la observación en sí puede conducir a una alteración de las condiciones de la realidad que
se procura observar.
REGISTROS: A veces existe información documental en registros. Conviene saber si es así,
y el tipo de registros que se guardas… Sobre todo, para solicitarla.
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2.2 Organizar la Información.
Los datos de las encuestas se “vuelcan” en una matriz de datos, y a partir de ellos se
elaboran:
Las Tablas de Frecuencias
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma
de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un
estudio estadístico. Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa
por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que
se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor
y el número total de datos: es un tanto por uno.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores
inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un
determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas
máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31,
30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en
la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi
Recuento
fi
Fi
ni
Ni
27 I
1
1
0.032
0.032
28 II
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16 0.226
0.0516
31
8
24 0.258
0.774
32 III
3
27 0.097
0.871
33 III
3
30 0.097
0.968
34 I
1
31 0.032
1
31
1
Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si
las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases.
A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase:
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Amplitud de la clase:
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Marca de clase:
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo
el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13,
22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.
2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea
divisible por el número de intervalos de queramos poner.
Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.
En este caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50: 5 = 10 intervalos. Se
forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al
intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente
intervalo.
Ci
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12”5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.2775
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
42.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1
40
1
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
10
2.3 Presentar la Información.
Los Gráficos Estadísticos
Según sea el carácter estadístico estudiado, se utilizan las siguientes tipos de gráficas:
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos
cuantitativos de tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan
los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas
o acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
Ejemplo
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo
sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo
fi
A
6
B
4
AB
1
0
9
N 20
Polígonos de frecuencias
Variables discretas
Los polígonos de frecuencias se realizan trazando los puntos que representan
las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Ejemplo
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes
variaciones:
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Hora Temperatura
6
7º
9
12°
12
14°
15
11°
18
12°
21
10°
24
8°
Variables continuas o datos agrupados
Los polígonos de frecuencias se realizan trazando los puntos formados las marcas de
clase y las frecuencias, y uniéndolos mediante segmentos.
También se puede construir el polígono de frecuencia uniendo los puntos medios de
cada rectángulo de un histograma.
Ejemplo: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci
fi
Fi
[50, 60)
55
8
8
[60, 70)
65
10
18
[70, 80)
75
16
34
[80, 90)
85
14
48
[90, 100)
95
10
58
[100, 110)
110
5
63
[110, 120)
115
2
65
65
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
12
Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa
frecuentemente para las variables cualitativas.
Los datos se
representan
en
un círculo,
de
modo
que
cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
el ángulo de
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplo
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al
fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Alumnos
Ángulo
Baloncesto
12
144°
Natación
3
36°
Fútbol
9
108°
Sin deporte
6
72°
Total
30
360°
Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se
utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos,
y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del
intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con
el punto medio de cada rectángulo.
Ejemplo: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci
fi
Fi
[50, 60)
55
8
8
[60, 70)
65
10
18
[70, 80)
75
16
34
[80, 90)
85
14
48
[90, 100)
95
10
58
[100, 110)
105
5
63
[110, 120)
115
2
65
65
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene
el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Histogramas con intervalos de amplitud diferente
Para costruir un histogramas con intervalo
de
amplitud
que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.
diferente tenemos
hi es la altura del intervalo
fi es la frecuencia del intervalo
ai es la amplitud del intervalo
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas pr un grupo de 50 alumnos.
fi
hi
[0, 5)
15
3
[5, 7)
20
10
[7, 9)
12
6
[9, 10)
3
3
50
2.5 Resumir y Caracterizar la Información.
Estamos ahora en condiciones de caracterizar la información, resumiendo la misma
mediante un conjunto reducido de valores que describan las características generales de
la distribución de frecuencias.
Parámetros estadísticos
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de
una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por
una gráfica.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Hay tres tipos parámetros estadísticos:
De centralización.
De posición.
De dispersión.
Medidas de centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
Las medidas de centralización son:
Media aritmética
La media aritmética es el valor promedio de la distribución.
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado
entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que
muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
xi
fi
xi · fi
[10, 20)
15
1
15
[20, 30)
25
8
200
[30,40)
35
10
350
[40, 50)
45
9
405
[50, 60
55
8
440
[60,70)
65
4
260
[70, 80)
75
2
150
42
1 820
Propiedades de la media aritmética
1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a
la media de la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es
igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable
con respecto a un número cualquiera se hacemínima cuando dicho número coincide con
la media aritmética.
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media
aritmética queda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número.
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ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Observaciones sobre la media aritmética
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con
los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la
distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
xi
fi
[60, 63)
61.5
5
[63, 66)
64.5
18
[66, 69)
67.5
42
[69, 72)
70.5
27
[72, ∞ )
8
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de
clase de último intervalo.
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distribución.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es
la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de
las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
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Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63)
5
[63, 66)
18
[66, 69)
42
[69, 72)
27
[72, 75)
8
100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
19
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
fi
hi
[0, 5)
15
3
[5, 7)
20
10
[7, 9)
12
6
[9, 10)
3
3
50
Parámetros de posición
Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número
de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados
de menor a mayor.
La medidas de posición son:
Mediana: La mediana divide la serie de datos en dos partes iguales.
Cuartiles: Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
Deciles: Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Percentiles: Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
20
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución
y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de
menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la
misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta
la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
21
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
Fi
[60, 63)
5
5
[63, 66)
18
23
[66, 69)
42
65
[69, 72)
27
92
[72, 75)
8
100
100
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución
y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de
menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la
misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
22
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de
los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
.
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
frecuencias acumuladas.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
, en la tabla de las
23
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de cuarteles: Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Cálculo del primer cuartel
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
24
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
las frecuencias acumuladas.
, en la tabla de
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Cálculo del primer decil
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
25
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
26
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles: En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra
, en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65
65
Percentil 35
Percentil 60
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
27
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de
la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución
estadística.
Desviación media
La desviación media
es la media
las desviaciones respecto a la media.
aritmética de
los valores
absolutos
de
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable
estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media.
La desviación media se representa por
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
28
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación
media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
xi
fi
xi · fi
|x - x|
|x - x| · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
9.286
27.858
[15, 20)
17.5
5
87.5
4.286
21.43
[20, 25)
22.5
7
157.5
0.714
4.998
[25, 30)
27.5
4
110
5.714
22.856
[30, 35)
32.5
2
65
10.174
21.428
21
457.5
98.57
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
29
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que
son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones
sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
30
3 Si
todos
los valores de
la
variable
se multiplican por
un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones
extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las
desviaciones están elevadas al cuadrado.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
31
Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
32
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la desviación típica
1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación
típica.
3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de
datos alrededor de la media.
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y
su media.
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones
distintas, siempre que sus medias sean positivas.
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan
entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
Ejercicio
Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos
presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media
aritmética.
xi = Xi − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre
la desviación típica. Este proceso se llamatipificación.
Las puntuaciones típicas se representan por z.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
33
Observaciones sobre puntuaciones típicas
La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.
La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.
Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las
unidades utilizadas.
Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en
distintas distribuciones.
Ejemplo
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el
de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente,
3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede,
dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?
José es más grueso respecto de su grupo el Pilar respecto al suyo.
3. EL INFORME ESTADÍSTICO: estadística descriptiva.
El Estudio Estadístico es un PROCESO que se plantea como objetivo el describir cómo se
distribuye una variable estadística en una determinada POBLACIÓN a partir de los
resultados obtenidos en una MUESTRA. Como todos los procesos consta de una serie de
fases o tareas que debemos abordar sucesivamente mediante la utilización de ciertas
TÉCNICAS ESTADISTICAS que tenemos que conocer y saber aplicar.
PRIMERA FASE: Determinar el objetivo del Informe.
SEGUNDA FASE: Recoger la Información.
TERCERA FASE: Organizar y presentar la Información Obtenida.
CUARTA FASE: Caracterizar y resumir la Información.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
34
4. EL ESTUDIO ESTADÍSTICO: estadística inferencial.
El Estudio Estadístico es un PROCESO que se plantea como objetivo el describir cómo se
distribuye una variable estadística en una determinada POBLACIÓN a partir de los
resultados obtenidos en una MUESTRA. Como todos los procesos consta de una serie de
fases o tareas que debemos abordar sucesivamente mediante la utilización de ciertas
TÉCNICAS ESTADISTICAS que tenemos que conocer y saber aplicar.
El siguiente cuadro es una primera aproximación a lo dicho:
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
35
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
36
Ejercicios resueltos
Variable cuantitativa discreta
Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes:
5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7.
a) Ordenar los datos y calcular las frecuencias absolutas de cada nota.
b) Hacer un diagrama de barras de las frecuencias absolutas y dibujar el polígono de
frecuencias.
a) Tabla para calcular la frecuencia relativa hi y la frecuencias acumuladas.
Ordenamos los datos contando los alumnos que han sacado un 0 han sido 2, un 1 han
sido 3 y así sucesivamente. Construimos la tabla correspondiente:
N: número total de datos N = 30.
xi: variable estadística, nota del examen.
fi: frecuencia absoluta, número de veces que se repite una nota. El sumatorio nos da los
datos totales N = 30.
Fi: frecuencia absoluta acumulada. Para calcularla vamos sumando los valores de la
frecuencia absoluta fi. F 2 = f 1 + f2 => 2 + 3 = 5 F 3 = F 2 + f 3 => 5 + 1 = 6
hi: frecuencia relativa. Cociente f i / N
Hi: frecuencia relativa acumulada
∑: sumatorio (suma de todos los datos de la columna correspondiente)
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
37
b) Diagrama de barras de frecuencia absoluta y polígono de frecuencias
Representar el diagrama de barras de frecuencia absoluta
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
38
Dibujar el polígono de frecuencias
Variable cuantitativa continua
Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados:
a) Formar la tabla de frecuencias.
b) Representar gráficamente la distribución.
a) Tabla de frecuencias
La tabla de frecuencias se hace igual que en el ejemplo anterior
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
39
b) Histograma, gráfica de la distribución
Interpretación
La mayoría de los niños, 23 tiene un peso comprendido entre 3 y 3,5 kg.
Los niños con menor peso [2,5 - 3) son muy pocos solo 6.
Ejemplo de un diagrama de sectores
En un hipermercado se han producido las siguientes ventas en euros: juguetes 125,
plantas 175, discos 250, alimentación 450.
a) Calcular las frecuencias, porcentajes y ángulo correspondiente.
b) Realizar un diagrama de sectores.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
40
a) Colocamos los datos en una tabla.
Las variable xi son los productos vendidos.
Las frecuencias absolutas f i son las ventas en euros de cada producto.
Las frecuencias relativas hi se obtienen dividiendo las frecuencias absolutas entre el total
de euros 1000 €.
El porcentaje % se calcula multiplicando la frecuencia relativa por 100.
b) Diagrama de sectores
Para realizar el diagrama de sectores necesitamos conocer el ángulo. Para hallar el ángulo
multiplicamos la frecuencia relativa por 360 º que se corresponden con el total. Ver datos
en la tabla.
Dibujamos los ángulos obtenidos en un círculo, unos a continuación de otros.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
41
Problemas de desviación típica
Problemas de desviación típica. Cálculo de la media aritmética y la desviación típica en
variables continuas y variables discretas. Diagramas
Variable discretas
Media aritmética, mediana, moda y desviación típica
Para resolver esto construimos una tabla, debemos fijarnos en las columnas que
necesitamos para calcular lo que nos piden.
Fi La frecuencia absoluta acumulada la necesitamos para calcular la mediana.
xi·fi Necesitamos el sumatorio de esta columna para la fórmula de la media aritmética.
Los valores se hallan multiplicando xi·fi de cada fila.
xi2·fi Necesitamos este sumatorio para hallar la desviación típica. Para conseguir los
valores se multiplica en cada fila el valor de xi por xi·fi.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
42
Se ha preguntado a 40 familias el número de personas que forman el hogar familiar
obteniéndose los siguientes resultados:
Número de personas en el hogar
2 3 4 5 6 7
Frecuencia
4 11 11 6 6 2
a) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.
b) Haz el diagrama correspondiente.
Tabla para calcular la media y desviación típica
personas xi
2
3
4
5
6
7
∑
frecuencia fi
4
11
11
6
6
2
40
Fi
4
15
26
32
38
40
xi · f i
8
33
44
30
36
14
165
xi2 · fi
16
99
176
150
216
98
755
Diagrama de barras por ser variables discretas
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
43
En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los
resultados siguientes:
Puntuación
30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90
Número de personas
6
18
76
70
22
8
a) Calcula la media, y la desviación típica.
b) Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos, haz también el
polígono de frecuencias.
Media aritmética y desviación típica
Es una variable continua, debemos hallar la marca de clase para cada intervalo sumando
los valores extremos y dividiendo entre dos. Esta marca de clase la trataremos como xi.
El resto de los sumatorios que necesitamos se hallan como en el ejemplo anterior.
Intervalos
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
∑
Marca de clase xi
35
45
55
65
75
85
Frecuencia fi xi · fi
6
210
18
810
76
4180
70
4550
22
1650
8
680
200
12080
xi2 · fi
7350
36450
229900
295750
123750
57800
751000
Histograma y polígono de frecuencias: Para construir el polígono de frecuencias se unen
las marcas de clase de cada intervalo.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
44
Cálculo del coeficiente de variación
La media y la desviación típica de los puntos conseguidos por Ana y Rosa en una semana
de entrenamiento jugando al baloncesto han sido las siguientes: media de Ana 22 puntos
y desviación típica 4,106. Media de Rosa 22 puntos y desviación típica 2.
a) Calcula el coeficiente de variación de cada una de ellas.
b) ¿Cuál de las dos ha sido más regular?
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
45
Varianza. Se define la varianza como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto
de la media.
Para calcularla, aplicamos la fórmula:
Si desarrollamos esta fórmula, podemos encontrar otra expresión más sencilla para el cálculo de la
varianza:
_____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________
ESTADISTICA: El Informe Estadístico
1
Desviación típica. Se define la desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
De todas los parámetros estudiados, los más significativos son la media para las medidas de
centralización y la desviación típica para las medidas de dispersión.
Vamos a hacer un estudio conjunto de ambas para entender mejor su significado.
La media aritmética es el centro de gravedad de la distribución estadística. Si nos imaginamos el
diagrama de barras o el histograma de frecuencias apoyado en un punto del eje horizontal de forma
que quedase en equilibrio, el valor de este punto en dicho eje sería el valor de la media.
Como ya hemos comentado, no es suficiente con un parámetro de centralización, es necesario un
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parámetro de dispersión que nos indique si los datos estudiados están más concentrados o más
dispersos. Y este parámetro de dispersión va a ser la desviación típica. Lógicamente si los datos están
más concentrados la desviación típica será menor, y si los datos están más dispersos la desviación típica
será mayor.
El significado de ambos parámetros se podrá comprender mejor con la siguiente escena:
Escena 16. Significado de la media y la desviación típica.
Coeficiente de variación. Si hemos realizado un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes, y
queremos comparar resultados, no podemos acudir a la desviación típica para ver la mayor o menor
homogeneidad de los datos, sino a otro parámetro nuevo, llamado coeficiente de variación y que se
define como el cociente entre la desviación típica y la media.
Por ejemplo, en una exposición de ganado estudiamos un conjunto de vacas con una media de 500 kilos
y una desviación típica de 50 kilos. Y observamos también un conjunto de perros con una media de 40
kilos y una desviación típica de 10 kilos. ¿Qué grupo de animales es más homogéneo?
Un razonamiento falso sería decir que el conjunto de perros es más homogéneo porque su desviación
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típica es más pequeña, pero si calculamos el coeficiente de variación para ambos:
Vv = 50/500 = 0.1
Vp = 10/40 = 0.25
Por tanto, es más homogéneo el conjunto de las vacas.
Puntuaciones normalizadas. Si antes hemos comparado variables, también podemos estar interesados
en comparar datos de distribuciones distintas y saber, cuál destaca más o menos dentro de su grupo
según la característica observada. Esto lo vamos a hacer tipificando la variable con la fórmula:
obteniendo así una nueva variable estadística de media 0 y desviación típica 1, con la que resultará más
fácil poder comparar los datos.
Por ejemplo, si en la exposición de ganado anterior, escogemos una vaca que pesa 550 kilos y un perro
que pesa 55 kilos, ¿cuál tiene más peso dentro de su grupo?
Naturalmente no vale decir la vaca que pesa mucho más. Tipificamos ambos valores y obtenemos:
zv = (550-500)/50 =1
zp = (55-40)/10 = 1.5
Como las dos variables tipificadas tienen la misma media y la misma desviación típica, tiene más peso el
animal que tiene mayor puntuación normalizada, es decir, el perro.
En la siguiente escena se puede calcular el coeficiente de variación y las puntuaciones normalizadas o
tipificadas:
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4
1.
4 , 7 , 4 , 3 , 9 , 1 , 6 , 8 , 5 , 1 , 7 , 7 , 2 , 4 , 8 , 10 , 8 , 3 , 6 , 7
2.
3.7 , 4.8 , 5 , 5.4 , 6.1 , 6.2 , 6.7 , 7.5 , 7.8
3.
Calificación de los alumnos de 3º E.S.O. en un examen de Matemáticas.
Calificación 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº alumnos 8
10
12
21
19
21
16
13
11
4
135
4.
El precio de dos productos en 40 supermercados distintos viene reflejado en las siguientes tablas.
1 l. leche
0.67 0.69 0.70 0.71 0.72 0.74 0.77
Nº mercados
3
7
10
6
6
5
3
40
1 kg azúcar
0.84
0.87
0.88
0.90
0.91
0.93
0.95
Nº mercados
4
4
5
7
8
8
4
2
2.2
40
5.
xi
2.4
2.6
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2.8
3
5
fi
12
38
63
112
150
75
450
xi
0
1/6
1/4
1/3
1/2
2/3
3/4
1
fi
85
75
66
60
45
39
22
8
6.
7.
400
La siguiente tabla refleja el peso de 1000 niños en el momento del nacimiento.
Peso
[2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5) [4.5,5]
Nº de niños
248
317
206
145
84
1000
8.
Número de horas diarias de televisión que ven los alumnos de un instituto:
Horas
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
Nº de alumnos
39
74
92
92
46
17
360
9.
Estatura de un grupo de personas asistentes a un congreso.
Altura
en
[1.4,1.5) [1.5,1.6) [1.6,1.7) [1.7,1.8) [1.8,1.9) [1.9,2]
metros
Nº de personas 2
13
49
33
19
12
128
10.
Horas de funcionamiento de dos tipos de pilas fabricadas por una determinada empresa.
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Horas
[80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
Nº pilas
880
951
1450
1324
1450
1118
827
8000
11. A continuación se detalla la puntuación en un test realizado a las personas de una empresa.
Puntuación [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
Nº personas 1
3
7
15
23
29
37
40
155
12. Ordenar los siguientes conjuntos de datos de mayor a menor concentración:
A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
B = { 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 5 , 9 , 9 , 10 , 10 , 10 }
C={5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5}
13. Con los datos del ejercicio 4,
a) Si en un supermercado encontramos la leche a 0.74 euros y el azúcar a 0.97 euros, ¿ qué producto se
puede considerar más barato dentro de su grupo ?
b) En otro supermercado un litro de leche vale 0.70 euros y un kilo de azúcar 0.89 euros, ¿ qué producto
es más barato ?
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