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CAPÍTULO 1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.
1.1.
Concepto
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa
en la forma canónica:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de
0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
1.2.
Clasificación
a. Completa
Se le llama ecuaciones completas de segundo grado a la forma ax + bx + c = 0
con a., b, c distintos de 0.
b. Incompleta
Se les llama ecuaciones incompletas de segundo grado a la forma ax + c = 0 o
bien ax + bx = 0.
2
1.3.
Raíces
Las raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de la incógnita que
satisfacen la ecuación.
1.4.
Métodos de resolución
Resolver una ecuación de segundo grado consiste en determinar las raíces o
ceros de dicha ecuación.
a. Ecuaciones completas
a.1. Método de factorización
La resolución de una ecuación de segundo grado por el método de factorización
se realiza mediante al siguiente procedimiento:
 Escriba la ecuación en la forma ax2 + bx + c = o, luego de efectuar
operaciones indicadas, si las hay.
 Factorice el primer miembro en factores binomios de primer grado.
 Iguale a cero a cada factor. Esto se basa en el principio de que si un
producto es cero entonces al menos uno de los factores es cero.
 Resuelva las ecuaciones resultantes.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0
(𝑥 − 4)(𝑥 − 3) = 0
𝑥−4=0 𝑜
𝑥−3 =0
𝑥 = 4 𝑜 𝑥 = 3; 𝑜 𝑠𝑒𝑎; 𝑆 = (3,4)
Ejemplo dos
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0
𝑥−5 =0𝑜𝑥+2 =0
𝑥 = 5 𝑜 𝑥 = −2; 𝑜 𝑠𝑒𝑎; 𝑆 = (5, −2)
Ejemplo tres
12𝑥 2 − 11𝑥 − 5 = 0
3
(3𝑥 + 1)(4𝑥 − 5) = 0
3𝑥 + 1 = 0
4𝑥 − 5 = 0
3𝑥 = −1
𝑥= −
4𝑥 = 5
1
3
𝑥=
5
4
Práctica Uno
A. Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización
1. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
2. 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0
3. 3𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0
4. 3𝑥(𝑥 − 5) + (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) + 18 = 0
5. 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 5) + (𝑥 − 2)2 = 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 + 4) − 2
6. 𝑥 + 3 = 30𝑥 2
7. 2(1 + 𝑥)2 + (𝑥 + 4)2 = −3(𝑥 + 2)(𝑥 − 8) − 18
8. 7(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) − 5(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 0
9. (𝑚 − 1)3 − (𝑚 − 5)3 = 208
2𝑑
10. 𝑑−5 =
4𝑠−5
11. 3𝑠−2 =
3𝑑
𝑑−2
−
2
3
6𝑠−3
2𝑠−5
12. 9𝑤 2 + 14 = 65𝑤
13. 𝑢 + 3 = 30𝑢2
14.
𝑝+4
10
=
(𝑝+2)2
20
−
3𝑝−5
5
15. 3𝑢(𝑢 + 6) − (𝑢 − 4)(𝑢 + 4) = (3𝑢 + 5)2 + 𝑢(3 − 𝑢)
16.
2𝑟−4
3
−
𝑟−5
5
= (1 − 𝑟)2
17. 3(𝑥 − 2)2 + 8(7 + 5𝑥) = 4(𝑥 + 5)2
18. 𝑟 2 + 6𝑟 + 8 = 0
19. 7𝑥 − 6 = 𝑥 2
20. 5𝑡 − 6 = 𝑡 2
4
a.2. Método de completar trinomio cuadrado perfecto
Todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por un método llamado
completar cuadrado. Este método está basado en los productos notables:
𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)2
𝑦
Para conseguir esto desarrollamos los siguientes pasos:
 Observa que ya tenemos el cuadrado del primer término; es decir, 𝑥 2 .
 Ahora observamos el término en cx, el cual debe ser el doble producto del
primero (x) por el segundo (b); 2xb; es decir,
𝑐𝑥 = 2𝑥𝑏
𝑐
Entonces el segundo término del binomio buscado es 𝑏 = 2 .
 El tercer término del trinomio es el cuadrado 𝑏 2 del segundo término; es
decir,
𝑐
𝑏 2 = ( )2
2
Por lo tanto, el trinomio cuadrado perfecto es:
𝑐
𝑐
𝑥 2 + 𝑐𝑥 + ( )2 = (𝑥 + )2
2
2
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 0
𝑥 2 − 10𝑥 = −16
𝑥 2 − 10𝑥 + (5)2 = −16 + (5)2
(𝑥 − 5)2 = −16 + 25
(𝑥 − 5)2 = 9
√(𝑥 − 5)2 = ±√9
𝑥 − 5 = ±3
𝑥−5=3
𝑥 = 3+5
𝑥=8
𝑥 − 5 = −3
𝑥 = −3 + 5
𝑥=2
5
Ejemplo dos
5𝑥(𝑥 + 2) + 7(𝑥 − 1) + 13 = 0
5𝑥 2 + 10𝑥 + 7𝑥 − 7 + 13 = 0
5𝑥 2 + 17𝑥 + 6 = 0
* Como el coeficiente de x2 es distinto de uno, es necesario dividir por él toda la
ecuación.
5𝑥 2 17𝑥 6
+
+ =0
5
5
5
17𝑥
6
= −
5
5
𝑥2 +
𝑥2 +
17𝑥
17
6
17
+ ( )2 = − − ( )2
5
10
5
10
(𝑥 +
17 2
6 289
) = − −
10
5 100
(𝑥 +
√(𝑥 +
17 2
169
) = ±√
10
100
𝑥+
𝑥+
17 2 169
) =
10
100
17
13
= ±
10
10
17 13
=
10 10
𝑥=
𝑥+
13 17
−
10 10
𝑥=−
2
5
𝑥=−
x2 +6x – 16 = 0
x2 – 8x -20 = 0
3x2 – 24x + 45 = 0
2x2 – 11x +15 = 0
13 17
−
10 10
𝑥 = −3
PRÁCTICA
1.
2.
3.
4.
17
13
=−
10
10
6
5. 3x2 + 2x -8 = 0
6. 20x2 + 3x = 9
7. 6x2 – 24x = -18
8. (x+5)(2x-3) = 2x-3
9. 3x(x-8) + 2(x-7) = 2
10. (2x+3)2 – 4(x-1)(x+3) = x2
11. 3(x-2)(x+4) – x(x+8) + (3x+1)2 + (x+5)2 = 0
12. 16x2 = 38x + 30
a.3. Método de la fórmula general o cuadrática
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:
x
La expresión:
b  b 2  4ac
.
2a
b 2  4ac
conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La
tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de
solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
b 2  4ac
positivo
cero
negativo
dos soluciones reales
una solución real
dos soluciones imaginarias
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
X2 + 2x – 8 = 0
a = 1, b = 2, c = -8
7
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6
2
x = -2 - 6
2
x=4
2
x=2
x = -8
2
x=-4
Ejemplo dos
9x2 - 30x + 25 = 0
Solución
Sean a = 9, b = -30 y c = 25 en la fórmula cuadrática:
PRÁCTICA
1. x2 + 6x - 7 = 0
2. x - 2x -15 = 0
3.
x2 + 12x + 36 = 0
4.
4x2 - 8x + 3 = 0
5. 3x2 + x - 1 = 0
6. x2+ 6x - 3 = 0
7. (x-5)(x+5) – 5(x-6) = x – 4
8. (x+2)2 + (x+1)(x-6) = x(x-6)2
9. (x+7)(x-7) = 3(x+1)2 – (x+3)(x-2)
10.
11.
12.
𝑥 2 +1
2
3𝑥+4
6
3𝑥−1
4
+
𝑥 2 −3𝑥
3
1
=6
+ (𝑥 − 3)2 =
3
−𝑥 =1
5𝑥+5
3
−
𝑥−8
2
8
13.
14.
15.
(𝑥−3)(𝑥+3)
10
𝑥
𝑥−2
𝑥−5
𝑥−2
−
(𝑥−4)(𝑥+1)
5
= −
2𝑥+14
15
𝑥−3
+ 𝑥+1 = 0
𝑥−4
− 𝑥+2 = 3
b. Ecuaciones incompletas
Las ecuaciones incompletas son de la forma ax2 + bx = 0
El procedimiento recomendado es el siguiente:
 Resuelva operaciones indicadas si las hay, y exprese la ecuación en la
forma ax2 + bx =0
 Descomponga en factores el miembro izquierdo.
 Iguale a cero cada factor
 Resuelva cada ecuación resultante.
OBSERVACIONES: las ecuaciones de este tipo:
1. Siempre tendrán una raíz igual a cero
2. Pueden resolverse aplicando la fórmula general haciendo c=0
3. Pueden resolverse por el método de completar cuadrados
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
2x2 + 3x = 0
x(2x+3) = 0
x1 = 0
2x + 3 = 0
x1 = 0
2x = -3
x2 = -3/2
Ejemplo dos
(𝑥 − 5)(𝑥 − 3)
= (𝑥 − 1)2
15
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:
9
(𝑥−5)(x-3)
=
15(x-1)2
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 = 15 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
x2 – 8x +15 = 15x2 -30x +15
x2-8x+15-15x2+30x-15=0
-14x2 +22x = 0
7x2 -11x = 0
x(7x-11) = 0
x1 = 0
7x-11 = 0
7x=11
x= 11/7
PRÁCTICA
1. 3x2 – 27x = 0
2. 81x2 = ax
3. (x-4)2 -4(x+2)2 = 0
4. (2x+5)(x-3) -3(x-5) = x
5. x(x+3) -2x2 = -3x(1-x)
6. (x+6)(x-6) = (2x+9)(x-4)
7. 2x(1-x) + x(4+5x) -3x(2x-1) = 0
8.
9.
10.
1.5.
1
2
1
(x-3)(x-4) - 3 (x-6)(x-3) = 0
2
+
𝑥+4
𝑥−2
5
𝑥2
𝑥 2−16
−1=
=
2
4−𝑥
5𝑥 2 +𝑥
10𝑥
Ecuaciones irracionales
a. Conceptos
Se llaman ecuaciones irracionales a aquellas en las cuales la incógnita aparece
bajo signo radical.
1. √𝑥 − 1 + 2√𝑥 = 3
2. 2√𝑥 2 − 2𝑥 − √3𝑥 + 4 = 3√𝑥 2 3𝑥 − 1
10
b. Resolución
Una ecuación irracional se resuelve mediante el procedimiento:
 Si la ecuación consta de un solo radical, éste se despeja y se eleva la
ecuación a una potencia igual a su índice.
 Realice operaciones indicadas y reduzca términos semejantes
 Resuelva la ecuación resultante
 Compruebe el resultado obtenido porque pueden aparecer valores que
NO satisfacen a la ecuación dada y que son considerados soluciones
extrañas.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
√𝑥 + 3 + 3 = 𝑥
√𝑥 + 3 = 𝑥 − 3
2
(√𝑥 + 3) = (𝑥 − 3)2
𝑥 + 3 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9
0 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 3 − 𝑥
0 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 6
0 = (𝑥 − 6)(𝑥 − 1)
𝑥−6=0
𝑥=6
𝑥−1=0
𝑥=1
Ejemplo dos
PRÁCTICA
1. √𝑥 − 3 = 𝑥 − 3
2. √3𝑥 2 + 13 = 𝑥 + 5
3. 4√𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 3√𝑥 2 + 4𝑥 + 3
4. 4𝑥 − √6𝑥 − 2 = 5𝑥 + 1
5.
𝑥−1
√3𝑥−2
− √3𝑥 − 2 = 1
6. √2𝑥 − √𝑥 + 1 = 1
7. √5𝑥 + 6 − √𝑥 + 2 = 2
11
8. √4𝑥 + 3 + √2𝑥 + 5 = √6𝑥 + 2
9. √4𝑥 − 1 − √8𝑥 − 6 − √2 = 0
10. √𝑥 + 1 √𝑥 − 1 = √2𝑥 − √12
12
CAPÍTULO 2
DESIGUALDADES
2.1. Desigualdad
a. Concepto
Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos
miembros no son necesariamente iguales (como sí ocurre en una igualdad).En
la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor
que" o "es menor que". El primero es > y el segundo <. También existen otros
derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado
por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o
igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19
Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto.
b. Clasificación atendiendo el signo
En particular, las desigualdades que presentan los símbolos > o < se llaman
estrictas y las que presentan los símbolos ≤ o ≥ se llaman no estrictas.
c. Propiedades
Propiedades de las desigualdades.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un
mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b"
para ser igual a "a", se tiene:
a=b+c
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede
escribir:
a+m=b+c+m
Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
a + m > b +m
13
Ejemplos:
9>5
9+2>5+2
11 > 7
-2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9
Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro
de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término
simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a
otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma
cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos
miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor,
también positivo.
Sea
la
desigualdad
a
>
b,
es
decir,
a
=
b
+
c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m",
resulta:
am = bm + cm.
Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se
tiene:
am > bm
Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte
de esta propiedad.
Ejemplos:
12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21
15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5
14
3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos
miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor,
también negativo.
Sea
la
desigualdad
a
>
b,
es
decir,
a
=
b
+
c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se
obtiene:
-an = -bn -cn
Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
-an < -bn
Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte
del enunciado.
Ejemplos:
3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60
64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de
una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto
equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo:
-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x
4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la
misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.
Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus
dos miembros por "b", resulta:
ab < b2
En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se
refuerza; por tanto:
a2 < b2
Ejemplo:
15
7 < 10
73 < 103
343 < 1000
5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una
potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay
cambio de sentido si el grado de la potencia es par.
Sea
la
desigualdad
-a
2
a) Multiplicando sus dos miembros por b se obtiene:
-ab2 < -b3
<
-b
En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza;
luego se puede escribir:
-a3 < -b3
b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo
análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus
términos cambian de signo, y se tiene:
a2 > b2
Ejemplos:
-3 > -6
(-3)3 > (-6)3
-27 > -216
-8 < -4
(-8)2 > (-4)2
64 > 16
6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido,
resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.
Sean
las
desigualdades
Se puede escribir:
a
>
b;
a'
>
b';
a"
>
b"
a=b+c
a' = b' + c'
a" = b" + c"
Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene,
sucesivamente:
a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"
Ejemplo:
16
Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36
7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario,
resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.
Sean
las
desigualdades
a
>
b
y
c
<
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene
a>b
d>c
d
a + d > b +c
Restando d + c de cada miembro, resulta:
a - c > b -d
Ejemplo:
Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4
2.2. Desigualdad lineal
a. Concepto
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal
pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los
signos
de
desigualdad
son
. Para resolver una
desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una
ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3>x-8
3+8>x-8+8
11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un
número
negativo,
el
signo
de
desigualdad
cambia.
Ejemplo:
17
b. Intérvalos
Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes
simbolos:
1. Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}.
2. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b}
En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un
punto abierto ( ) y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto
cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:
Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos
abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se
utilizan ambas denotaciones a la misma vez.
Por ejemplo:
Si tenemos (a, b], la gráfica sería:
Si tenemos [a, b), la gráfica sería:
Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números
reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a,
). El
conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la
notación de intérvalo (-
, a).
18
2.3. Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra
negativa.
Por ejemplo:
| 10x - 2| 9
 10x - 2
-9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10
 10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Complete el siguiente cuadro
Nombre del
intervalo
Abierto
Semi-abierto
Simbología
(-4,-2)
[0,3)
Extremo
infinito
[4,+∞)
Cerrado
[8,11]
Notación de conjunto
{xЄℜ⁄-4<x<-2}
{xЄℜ⁄0≤x<3}
{xЄℜ⁄x≥4}
{xЄℜ⁄8≤x≤11}
El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-¥, -13/7]
Gráfica
19
El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-¥, 3/8[
El conjunto solución lo escribimos así: S = ]30/17, +¥[
PRÁCTICA
a. Di si en la gráfica de la desigualdad se debe usar un punto abierto o
cerrado.
1. x < 3
2. x > 10
3. x ≥ 5
4. 3x + 5 < 4
5. 5x - 3 ≥ 12
6. -2x - 1 ≤ 3
b. Resuelve la desigualdad y representa gráficamente su solución.
1. -2 + x < 5
2. -3 ≤ y + 2
3. -2b ≤ -8
4. x - 4 > 10
5. 5x > - 45
6. -6y ≤ 36
c. Resolver y representar gráficamente.
20
1.
x+6<8
2.
-5 < 4 + x
3.
4.
5.
-4 + x < 20
8 + x ≤ -9
p -12 ≥ -1
6.
-2 > b - 5
7.
x -3 > 2
8.
x -5 ≥ 1
9.
6≤c+2
10.
-8 ≤ x - 14
11.
M + 7 ≥ -10
12.
-6 > x - 4
13.
-2 + x < 0
14.
-10 > a o 6
15.
5 + x ≥ -5
16.
15p < 60
17.
-10a > 100
18.
(x-3)(x+3)-12 ≥ x(x-9)
19.
(x-3)2 ≥ (x-7)(x+9)
20.
-2(x-5)(x+3) < -(2x-4)(x-1)
21.
22.
𝑥−9
3
2
3
−
𝑥+1
2
<
5𝑥
(3𝑥 + 1) −
6
7
18
4
(𝑥 + 2) ≥ 9 (𝑥 + 5)
21
d. Complete el cuadro siguiente
Nombre del
Simbología
Notación del conjunto
Gráfica
intervalo
[-6,2)
{xЄℜ⁄ 4 ≤ x < 8 }
{xЄℜ⁄ x ≥ -2 }
[2,4]
2.4. Desigualdades simultáneas
a. Concepto
Dos o más desigualdades se dicen que son simultáneas si tienen soluciones
comunes.
b. Resolución
La solución de las desigualdades simultáneas está dada por la intersección de
sus conjuntos soluciones.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
x(x+4) -3 < (x-1)(x+3)
y
2(3x-1) < (x+8)
x2 + 4x -3 < x2 + 2x -3
6x -2 < x + 8
x2 – x2 +4x -2x < -3 +3
6x – x < 8 + 2
2x < 0
5x < 10
x < 0/2
x < 10/5
x<0
x<2
22
La primera desigualdad se satisface para x<0 y la segunda para x<2; por lo
tanto, la solución general de ambas es x<0 puesto que todo número menor que
cero también es menor que dos. La gráfica anterior nos ilustra esta situación.
El límite superior de las soluciones comunes es cero y el intervalo solución es:
(-∞, 0)
Ejemplo dos
(x+3)(x-2) -2 ≥ (x-2)(x+2)
x2 + x -6 -2 ≥ x2 – 4
y
2(x-1) + 3(x+4) > x + 6
2x – 2 + 3x + 12 > x + 6
x2 + x – x2 ≥ -4 +6 +2
2x + 3x – x > 6 +2 -12
x≥4
4x > -4
x > -4/4
x > -1
[]
PRÁCTICA
1. 3x – 5 < 1 y
4 -2x ≥ 8
2. 2x+ 6 < x -2 y
x -1 < 5 + 3x
3. 2 (x+8) – 3(2-x) > 0 y 4x + 3 – 5(x-1/5) ≤ 0
4. 3(x-2) – 4(x+1) < 0 y 5(1-x9 – 3(x-1) ≥ 2(x-6)
5. 2(x-8)2 > 2(x-6)(x+2) y x(x-5) – 2 < (x+3)2
6. 2/3 (x+1) - 3/4(x-1) > 1/2 y 3/4(3x+2) – 4/5 (3x+2) > - 3/20
7. 1/8(2x-4) + x-6/4 - 5/6x ≤ 0 y 3/5(x-4)(x+5) > 1/3(x-6)(x+6) + 4x2/15
8. 2/9 (x-3) – 5/27(1+x) ≤ - 7x/18
y 5/6(x-4) – 2/3(5x+3) ≥ 1/12 (17 – 3x)
2
2
9. 3(x+2) + (x-4)(x+5) < (2x+3) y (x-7)(x+9) – 2(x-4)2 ≥ 6(x+1) – (x-1)2
10. -2/5 (m+2) < 3/25 (-4 –m) – 1/10(2m-4) y 1/14(4m+6) > 1/7m + 2/21(3+m)
11. i(2i-9) + 2i(1-i) < 21 y 5i(2-i) – (3+i)(4-5i) < 0
23
2.5. Desigualdades que incluyen valor absoluto
a. Definición de valor absoluto
El concepto de valor absoluto es extremadamente útil en cálculo. El valor
absoluto de un número real x, denotado por |x| está definido por:
|x| = x
si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Por ejemplo, |6| = 6, |0| = 0 y |-5| = 5. Esta definición dada en dos partes
merece un estudio cuidadoso. Observe que no dice que |-x| = x (para ver por
qué pruebe con -5). Es cierto que |x| siempre es no negativo; también es
verdadero que |-x| = |x.
Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto de un número es
como una distancia no dirigida. En particular, |x| es la distancia entre x y el
origen. De manera análoga, |x –a| es la distancia entre x y a.
|x-a| = |a-x|
a
x
El valor absoluto se comporta de manera adecuada con la multiplicación y la
división, pero no así con la suma y la resta.
Propiedades del valor absoluto:
1.
2.
3.
4.
|ab|= |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
| a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad del triángulo)
|a – b| ≥ ||a| - |b||
b. Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto
Para resolver desigualdades que incluyen valor absoluto, debemos tener en
cuenta que éste siempre es positivo. Así, siendo c > 0:
1.
2.
3.
4.
|ax+b| < c ↔ -c < ax + b < c
|ax+b| ≤ c ↔ -c ≤ ax + b ≤ c
|ax+b| > c ↔ c < a + b < -c
|ax+b| ≥ c ↔ c ≤ax b ≤ -c
24
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
|3i – 5| ≥ 1
3i- 5 ≤ -1
3i ≤ - 1 + 5
3i ≤ 4
o
3i – 5 ≥ 1
3i ≥ 1 + 5
3i ≥ 6
i ≤ 4/3
i ≥ 6/3
i ≤ 4/3
i≥2
El conjunto solución es la unión de dos intervalos (-∞, 4/3] U [2, + ∞).
Ejemplo dos.
|-2x – 3| ≤ 5
-2x – 3 ≥ -5
-2x ≥ -5 + 3
-2x ≥ - 2
2x ≤ 2
-2x – 3 ≤ 5
-2x ≤ 5 + 3
-2x ≤ 8
2x ≥ -8
x ≤ 2/2
x ≥ -8/2
x≤ 1
x ≥ -4
PRÁCTICA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
|x-2|> 1
|2x-7|> 1
|x – 2|≥ 5
|5x – 6| > 1
|1/x – 3| > 6
|2x -7| > 3
25
7. |x+1|< 1
8. |2 + 5/x| > 1
9. |4/9 – 5/7x| < 37/63
10. |6(x-2/3)| ≤ 2
11. |- 7/12x – 4| < 2/3
12. |-15 -8x|> 1
13. |1/5x + 1/2| ≤ 3/10
14. |x/4 + 1|< 1
15. |2 + 5/x| > 1
2.6.Desigualdades cuadráticas
La clave para resolver las desigualdades cuadráticas es la factorización, ya
que todo polinomio cuadrático es factorizable si se permiten coeficientes
complejos. Nuestro trabajo en este nivel exceptuará estos casos.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo uno
x2 + 3x – 10 > 0
(x+5)(x-2) > 0
x+5>0
x -2 > 0
x > -5
x>2
Intervalo: (2, + ∞)
Ejemplo dos
2x2 + 7x + 3 ≤ 0
(2x + 1) (x +3) ≤ 0
2x + 1 ≤ 0
2x ≤ - 1
x+3≤0
x ≤ -3
26
x ≤ -1/2
x ≤ -3
Los valores que hacen cero a cada uno de los factores -1/2 y -3. Localizamos
estos puntos sobre la recta numérica y observamos que la dividen en tres
partes que determinan los siguientes intervalos:
(- ∞, -3)
(-3, -1/2)
-3
(-1/2, + ∞)
-1/2
Seleccionamos valores de prueba (k) en los intervalos para determinar el signo
en cada uno de ellos. Resumimos en la siguiente tabla:
Intervalo
k
Valor de 2x2 + 7x + 3
Signo de 2x2 + 7x + 3 en el
intervalo
(- ∞, -3)
-4
7
+
(-3, -1/2)
-1
-2
-
(-1/2, + ∞)
0
3
+
Concluimos que la solución 2x2 + 7x + 3 < 0 está dada por el intervalo (-3, -1/2).
Además, como en la desigualdad propuesta el producto de ambos factores puede
ser cero, entonces debemos incluir los valores -3y – ½ en el conjunto solución y
tendríamos [-3, -1/2].
PRÁCTICA
1. x2 – 5x – 14 < 0
2. x2 + 2x - 3 < 0
3. x(x-3) + (x+1)(x-1) – (x+4)2 ≤ - 5
4. (3x-1)2 + (x-2)(x+3) ≤ x (x+5) + 3x (x-3)
5. (x+1) (x-1) + 3x (x-5) – (x-7)(x+5) + 4(x2 – 9) > 0
6. 3 (x+2)3 – 2(3x-1)2 – 3x2(x+4) > -38
7. (x+1)(x-3) – (2x-1)2 ≥ (x-5)(x+5) – 6x
8. 1/2 + 2/x + x/3 ≤ 5x/6 – 1/3
9. x-1/3 + 4/x – 3x-4/5 ≥ 8/15x + 4/15
10. 1/2 (x+2)(x+3) – 1/2 (x-1)(x-2) + 1/6 (x-6) (x+5) - ≤ 6
27
CAPÍTULO 3
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
3. Semejanza de triángulos
3.1. Concepto
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente
congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son
los opuestos a ángulos iguales) Es decir:
C
b
a
A
c
C’
a’
b’
B
A’
c’
B’
 ABC   A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ ) si y
sólo si :
i)
ii)
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
a
b
c
=
=
a'
b'
c'
3.2. Caracteres de semejanza
Se llama carácter de semejanza de triángulos a las propiedades que satisfacen
la relación. Estos son:
a. Reflexivo: todo triángulo es semejante así mismo.
∆ABC ~ ∆ABC
b. Simétrico: si un triángulo es semejante a otro, este es semejante al
primero.
∆ABC ~A’B’C’ ⟹∆A’B’C’ ~ ∆ABC
28
c. Transitivo: si un triangulo es semejante a otro y este a su vez es
semejante a un tercero, entonces el primero y el tercero son
semejantes entre sí.
∆ABC ~ ∆MNO ⋀ ∆MNO ~ PQR ⟹ ∆ABC ~ ∆PQR
Como una relación de equivalencia cumple con las tres propiedades
anteriores, entonces la semejanza de triángulos es una relación de
equivalencia.
3.3. Proporcionalidad
a. Razón de semejanza
Es la razón r de dos lados homólogos, y es constante a dos triángulos
semejantes. Para el ∆ABC y el ∆MNP, si se establece una relación del primero
y el segundo, entonces pueden presentar los siguientes casos:
 Que el ∆ABC sea el más chico que el ∆MNP. Si esto ocurre entonces r<1.
 Que ambos triángulos sean del mismo tamaño. En este caso se dice que
sean congruentes y en caso se dice que los triángulos son congruentes en
consecuencia r = 1.
 Que el ∆ABC sea más grande que ∆MNP. Si esto ocurre, entonces r>1.
b.Segmentos proporcionales
Si los dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente, entonces:
1. Los segmentos parciales son correspondientes son proporcionales.
Esto es:
𝐴𝐷
𝐶𝐸
=
𝐷𝐵
𝐸𝐵
2. Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos parciales
C
homólogos son proporcionales.
Observando la figura adjunta tenemos:
𝐴𝐵
𝐴𝐷
𝐵𝐶
= 𝐸𝐶 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝐴𝐵
𝐸𝐶
𝐶𝐵
= 𝐸𝐵 Lo último permite afirmar que: ∆ABC ~ ∆DBE
A
D
E
B
29
c. Principios de proporcionalidad
1. Si una de las rectas es paralela a uno de los lados de un triángulo,
entonces divide a los otros dos en segmentos proporcionales. En el ∆ABC,
si DE║BC, entonces:
C
𝐴𝐷
𝐷𝐵
=
𝐴𝐸
E
𝐸𝐶
El reciproco de este principio también es válido.
A
D
B
2. Dos transversales cualquiera, cortada por tres o más paralelas, quedan
divididas en segmentos proporcionales.
Este principio se conoce como Principio de Tales. Si AB║CD║EF,
entonces:
𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐹
=
, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 ∶
=
,
=
𝐴𝐸 𝐵𝐹
𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐴 𝐹𝐵
A
B
C
D
E
F
3. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos
segmentos proporcionales a los lados contiguos.
B
Si CD es bisectriz del < ACB, entonces:
𝐴𝐷
𝐴𝐶
= 𝐶𝐵
𝐵𝐷
C
D
30
3.4. Criterios de semejanza de triángulo
a. Para triángulo no rectángulo
A
Dos triángulos son semejantes si tienen:
1. esto nos permite afirmar que los tres ángulos de los triángulos son
correspondientes iguales.
C’
C
∆ABC~∆A’B’C’
30°
80°
A
80°
30°
B
B’
2. Dos lados proporcionales e iguales al ángulo comprendido (|.a.|.)
3. Sus tres lados proporcionales (l.l.l.)
A’
31
4. Sus lados homólogos paralelos entre sí.
5. Sus lados correspondientes perpendiculares entre sí.
6. Las alturas correspondientes proporcionales a sus lados.
32
b. Para triángulo rectángulo
1. Si en el criterio 6 la altura es relativa a la hipotenusa, entonces ésta
divide al triángulo dado en otros dos semejantes a él y semejantes entre
sí.
Además, dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen:
2. Un ángulo agudo igual.
3. Los catetos proporcionales
4. La hipotenusa y un cateto proporcionales.
33
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Los siguientes triángulos son semejantes, halle la razón de semejanza.
2. Demuestre que los siguientes triángulos son semejantes y determine el
valor de x.
Puesto que AC biseca al < BAD, entonces divide al lado opuesto (BD) en dos
segmentos proporcionales a los lados contiguos, (AB y AD). Principio 3 de
proporcionalidad.
34
Los triángulos ABC y ACD son semejantes y en consecuencia:
35
PRÁCTICA
1. Los triángulos indicados son semejantes. Determine la razón de semejanza.
36
37
38
39
40
CAPÍTULO 4
TRIGONOMETRÍA
4.Ángulo
4.1. Concepto
Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,
entonces su reunión es un ángulo. Los dos rayos se llaman lados del ángulo y el
extremo común es el vértice. Por lo general, en trigonometría se considera que
un ángulo se genera por la rotación de un rayo (lado terminal) alrededor de un
punto fijo (vértice) perteneciente a un rayo estacionario (lado inicial). Si la
rotación es contraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo y en caso
contrario, negativo. Inicialmente, lo representaremos con letras del alfabeto
griego y utilizaremos el grado como unidad de medida. El grado es la medida
del ángulo formado por 1/360 de una revolución completa en sentido positivo.
Lo anterior queda ilustrado en la siguiente gráfica:
Lado terminal
Θ
Vértice
V
Lado inicial
4.2.
Ángulo en posición normal
Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, un ángulo está
en posición normal cuando su vértice coincide con el origen de
coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las X. El
ángulo queda localizado en el cuadrante donde se encuentra su lado
terminal. Si éste coincide con un eje coordenado, entonces el ángulo
se llama ángulo de cuadrante.
41
En las ilustraciones, (a) representa un ángulo en el primer cuadrante,
(b) en el tercer cuadrante y e (c) en el cuarto cuadrante, porque en
ellos se encuentran sus lados terminales. Un ángulo de cuadrante
aparece en la figura (d). Obsérvese la dirección de rotación y el signo
de cada ángulo.
4.3.
Ángulos coterminales
Son ángulos coterminales los que, colocados en posición normal,
tienen lados terminales coincidentes:
Así, 45° y 405°; 170° y -190°, son pares de ángulos coterminales que
representamos gráficamente:
4.4.
Ángulo relacionado:
Toda función trigonométrica de un ángulo mayor que 90° puede
expresarse en términos de una función trigonométrica de un ángulo
del primer cuadrante (ángulo positivo) y ello es posible mediante el
uso del ángulo relacionado.
Sea Θ un ángulo en posición normal mayor que 90° y no múltiplo de
él. El ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje x se
denomina ángulo relacionado. Si el ángulo dado en posición normal es
42
un múltiplo de 90°, entonces su ángulo relacionado es 0° ó 90°, según
su lado terminal coincida con el eje X o con el eje Y, respectivamente.
Las figuras que aparecen a continuación nos muestran cuatro
ángulos en posición normal con sus correspondientes relacionados (Θ)
en los diferentes cuadrantes.
ilustraciones anteriores tenemos expresiones que nos permiten determinar el
ángulo relacionado en los diferentes cuadrantes.
Cuadrante
Relacionado
Primero
Segundo
-A
Tercero
– 180°
Cuarto
- A
Un ángulo A mayor que 360° tiene su relacionado en cualquiera de los
cuadrantes cuando se le sustraen n veces 360°.
Cuadrante
Relacionado
Primero
Segundo
-180° -
Tercero
Cuarto
Un ángulo menor que -360° tiene su relacionado
se le suman n veces 360°.
-
en cualquiera de los cuadrantes cuando
43
Ejemplos:
1. Determine el ángulo para cada uno de los ángulos dados y construya la gráfica que
muestre los dos ángulos:
a. A = 248°
Como A se localiza en el tercer cuadrante, su relacionado
es
= A – 180°
= 248° - 180°
= 68°
2. A = - 377°
Como A es menor que -360°, sumamos una vez 360° (-377° + 360° = -17°).
El relacionado
del ángulo obtenido (-17°) es:
= - (-17°)
= 17°
4.5.
Funciones Trigonométricas
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los
lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos
determinar.

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos
determinar.
44
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo
que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En
consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se
encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación
definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese
rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que
elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de
triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente
y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto
y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la del opuesto:
45
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y
la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa
y la longitud del cateto opuesto:
4.5.1. Signos algebraicos
Al tomar en consideración los signos de las coordenadas de un punto
cualquiera, se pueden determinar los signos que tendrán las funciones
trigonométricas en los diferentes cuadrantes (la distancia es siempre positiva)
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y
teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de
coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las
funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones
trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
46
seno
coseno tangente cotangente secante cosecante
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-
4.5.2. Valores de las funciones trigonométricas cuando se conoce una de
ellas.
Conocidos los cuadrantes donde se localiza el ángulo y el valor de una de sus
funciones trigonométricas, se puede calcular el valor del resto de ellas
haciendo uso de las definiciones. Si el cuadrante no se indica, entonces
procedemos a contemplar aquellos para los cuales se cumple el signo de la
función dada.
PROBLEMA RESUELTO
1. Calcule el valor de las funciones trigonométricas si tan 𝜃 = −
4
3
localiza en el II cuadrante.
Como el ángulo se encuentra en el II cuadrante y tomando en
consi
significa que la ordenada
(y) es 4 y la abscisa (x) es -3 (signos
correspondientes al II cuadrante). Calculamos la distancia utilizando el
Teorema de Pitágoras.
𝑑 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑑 = √(−3)2 + (4)2
𝑑 = √9 + 16
47
𝑑 = √25 = 5
El resto de las seis funciones para el ejemplo serían:
-3/5
-3/4
-5/3
PRÁCTICA
1. Dé cinco pares de ángulos coterminales, incluyendo positivos y
negativos.
2. Tomando en consideración los signos de las funciones trigonométricas
en los diferentes cuadrantes, indique en qué cuadrante(s) queda(n)
localizados los ángulos que satisfacen las condiciones indicadas:
a. Secante y tangente negativas.
b. Cosecante positiva
c. Todas son negativas; excepto seno y cosecante
d. Seno y coseno del mismo signo
e. Cotangente y secante son signos contrarios
f. Cosecantes y secante con igual signo
g. Seno y tangente negativas
h. Cotangente positiva
i. Tangente y coseno de signos contrarios.
3. Determine el ángulo relacionado para cada uno de los ángulos que se
dan a continuación. Construya la gráfica que muestre ambos ángulos.
a. 134°
b. 319°
c. -204°
d. -562°
48
e. -1080°
f. 865°
4. Construya el ángulo en posición normal y encuentre los valores de las
funciones trigonométricas que se indican.
a.
-
b.
c.
√2
d.
4.3.
√3
Funciones trigonométricas para ángulos relacionados de 30°, 45° y
45°
Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 45 0,
construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 450 en posición
normal y los dos lados iguales. Recuerda que un triángulo rectángulo contiene
un ángulo de 900. Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal. Observa la
ilustración a continuación.
b
(1,1)
1
450
a
1
49
Como a = 1 y b = 1 entonces:
r  (1) 2  (1) 2  2
Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con
ángulos para
 = 450 tenemos:
sin 450 
b
1
2


r
2
2
a
1
2


r
2
2
b 1
tan 450    1
a 1
cos 450 
csc 450 
r
2

 2
b
1
r
2

 2
a
1
a 1
cot 450    1
b 1
sec 450 
Para hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 30 0, construimos el
triángulo rectángulo con los ángulos agudos de 300 y 600, y la hipotenusa es el
doble del largo del lado opuesto al ángulo de 300. Construimos el ángulo de 300
en posición normal y seleccionamos el punto (a,1) en el lado terminal de
manera que la hipotenusa es de longitud 2. Observa la figura a continuación.
(a,1)
r=2
1
300
0
a
a
De manera que, el valor de y = 1, r = 2 y por el teorema de Pitágoras:
50
2
 (a ) 2  (1) 2
( 2) 2 

( a ) 2  (1) 2
4
 x2  1
3
 x2

2
 3x
Como el valor de x en el Cuadrante I es positivo entonces:
x  3.
Así que las coordenadas del punto en el lado terminal del ángulo de 300 son:


3,1
y r  2.
Al utilizar la definición de funciones trigonométricas para  = 300 tenemos:
b 1

r 2
a
3
cos 30 0  
r
2
sin 30 0 
tan 30 0 
b
1
3


a
3
3
r

b
r
sec 30 0  
a
csc 30 0 
cot 30 0 
2
2
1
2
2 3

3
3
a
3

 3
b
1
Al construir el triángulo rectángulo con el ángulo de 600 en la posición normal
tenemos que:
r  2, a  1,
y b  3.
51
1, 3 r=2
600
0
b

r
a
cos 60 0  
r
b
tan 60 0  
a
sin 60 0 
3
2
1
2
3
 3
1
1
r

b
r
sec 60 0  
a
a
cot 60 0  
b
csc 60 0 
a
2
2 3

3
3
2
2
1
1
3

3
3
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Utilizando los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de
30°, 45° y 60° y sus múltiplos, demuestre las siguientes igualdades.
a. Sen 30° . cot 210° = cos 330°
1/2 . √3 = √3/2
√3/2
= √3/2
b. Sen2 135° = 1 – cos2 315°
(√2/2)2
2/4
1/2
= 1 - (√2/2)2
= 1 – 2/4
= 1/2
PRÁCTICA
1. Utilizando los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de
30°, 45° y 60° y sus múltiplos, demuestre las siguientes igualdades.
a. Sen2 225° + Cos2 315° = 1
52
b. Csc 120° - Cot 240° = Tan 390°
c. Sen 120° = 2 Sen 60°.Sen 30°
d. Cos 240° = Cos2 240° - Sen2 60°
e. Csc 60° - Tan 30° = Tan 210°
f. Cos 150° = Cos 90°. Cos 60° - Sen 90°. Sen 60°
g. Sen 60° - Cos 60°.Tan 30° = Tan 30°
1+𝑆𝑒𝑛 150°
h. Sen 60° = √
2
1+𝐶𝑜𝑠 300°
i. Cos 30° = √
j.
𝐶𝑜𝑠 135°
𝑆𝑒𝑛 45°
+
𝑆𝑒𝑛 135°
𝐶𝑜𝑠 45°
2
= 2 𝐶𝑜𝑡 90°
CAPÍTULO 5
53
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5. Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa encontrar todos sus elementos, la longitud de
los tres lados y la medida de los tres ángulos. En el caso del triángulo
rectángulo, uno de los ángulos siempre es de 90°. Cuando se conocen la
longitud de uno de los lados y uno cualquiera de los otros elementos variables,
es posible calcular el resto de ellos.
Se tienen los siguientes casos:
 Dados un ángulo aguo y un lado
 Dados dos lados
Se selecciona la función trigonométrica en la que entran los dos elementos
conocidos y el tercero es el que se desea calcular.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dados a = 0.9560, B = 49°20’, resuelva el triángulo rectángulo.
Como A + B = 90°
A = 90° - B
A = 90° - 49°20’
A = 40°40’
Utilizamos el ángulo B y el lado a para encontrar los lados restantes
TanB = b/a
Tan49°20’ = b/0.9560
b= 0.9560 . Tan 49°20’
b = 0.9560 x 1.1640
b = 1.113
CosB = a/c
Cos 49°20’ = 0.9560/c
54
c= 0.9569/Cos49°20’
c= 0.9560/0.6517
c= 1.467
2. Dados c = 324.1, b=89.45, resuelva el triángulo rectángulo.
Para el ángulo A:
Cos A = b/c
Cos A = 89.45/324.1
Cos A = 0.2760
A = Cos -1 0.2760
A = 73°
A + B = 90°
B = 90° - A
B = 90° - 73°
B = 17°
Tan 73° = a/b
a= Tan 73° . b
a= 89.45 x 3.484
a= 311.6
PRÁCTICA
1. Resuelva los siguientes triángulos rectángulos ABC para los valores que
se dan.
a. A = 37°47’, b = 5.07
b. B = 63°26’, c = 849.3
c. a= 15.68, b = 19.77
d. b= 0.235, c = 0.987
e. B = 68°27’, b = 0.508
f. A = 54°39’, c = 59.33
55
2. Resuelve los siguientes problemas de interpretación con triángulos
rectángulos
a. En un Triángulo Rectángulo un cateto mide 12 cm y el ángulo agudo
opuesto a dicho cateto mide 30o. ¿Cuál es la longitud de su Hipotenusa?
Redondea
tu
respuesta
a
un
decimal.
A) 12 cm B) 6 cm C) 10.4 cm D) No está la respuesta
b. La base de un triángulo isósceles mide 80 cm y los lados iguales 100 cm.
Calcula la medida de sus ángulos iguales. Redondea a un decimal tu
respuesta.
A) 23.6o B) 66.4o C) 53.1o D) 36.9o
c. Si sabemos que en un triángulo rectángulo sus catetos miden 15 cm y 12
cm. Hallar la medida de los ángulos agudos. Redondea a un decimal tu
respuesta.
A) 53.1o y 36.9o B) 51.3o y 38.7o C) 58o y 32o D) No está la respuesta
d. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia
de radio 8 cm. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 12.9 cm B) 4.7 cm C) 8 cm D) 9.4 cm
e. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 5 m de su pie vemos la
parte más alta bajo un ángulo de 75º. Redondea a un decimal tu
respuesta.
A) 1.3 m B) 18.7 m C) 5.2 m D) 19.3 m
f. Andrés mide 175 cm y su sombra 105 cm. ¿Qué ángulo forman en ese
instante los rayos de sol con la horizontal? Redondea a un decimal tu
respuesta.
A) 53.1o B) 31o C) 59o D) 36.9o
g. Calcula la altura de una casa si sabemos que en el momento que el sol se
encuentra a una altura de 55º con respecto a la parte superior de la casa
este proyecta una sombra de 8 m. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 8.7 m B) 5.6 m C) 6.1 m D) 11.4 m
h. Un poste de 6 m de altura es alcanzado por un rayo partiéndolo a una
altura “h” del suelo. La parte superior se desploma quedando unida a la
parte inferior formando un ángulo de 60º con ella ¿Cuánto mide la parte
rota más larga del poste? Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 3.2 m
i. El viento troza un árbol, la punta se apoya en el suelo, en un punto
situado a 10 m del pie, formando un ángulo de 30º con el plano
horizontal. ¿Cuál era la altura del árbol?. Redondea a un decimal tu
respuesta. A) 17.3 m B) 5.7 m C) 25.8 m D) 14.2 m
j. Desde una altura de 2500 m un piloto observa la luz de un aeropuerto
bajo un ángulo de depresión de 40º. Determina la distancia horizontal
entre el avión y el aeropuerto. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 2097.7 m B) 2979.4 m C) 3889.3 m D) 3263.5 m
56
k. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm.
Redondea
a
un
decimal
tu
respuesta.
A) 72 cm2 B) 144 cm2 C) 62.4 cm2 D) 124.8 cm2
l. Calcula el área del octágono regular de 8 cm de lado. Redondea a un
decimal
tu
respuesta.
A) 512 cm 2 B) 256 cm 2 C) 309 cm2 D) 106 cm 2
m. Se sabe que un faro tiene una altura sobre el nivel del mar de 145 m.
Desde un barco en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 15º. ¿A qué
distancia se encuentra el barco de la costa? Redondea a un decimal tu
respuesta.
A) 541.1 m B) 38.9 m C) 560.2 m D) 150.1 m
n. Dos amigos van a subir una montaña de la que desconocen la altura. A la
salida del pueblo han medido el ángulo de elevación y obtuvieron que era
de 30º. Han avanzado 300 m hacia la montaña y han vuelto a medir y
ahora es de 45º. Calcula la altura de la montaña. Redondea a un decimal
tu respuesta. A) No está la respuesta B) 450.5 m C) 389.5 m
CAPÍTULO 6
MEDIDAS ANGULARES Y CIRCULARES
57
6.1. Sistema sexagesimal
Aunque progresivamente ha sido abandonado con el paso del tiempo, el sistema
sexagesimal se utilizó con profusión en el pasado para medir ángulos y resolver
triángulos y funciones trigonométricas. En la actualidad, se sigue empleando
en este contexto, aunque en menor medida. También quedan vestigios del
mismo en el sistema horario de división del tiempo.
Definición y usos del sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60. En sentido
estricto, un sistema semejante debería asignar nombres diferentes a los dígitos
1, 2, 3, ..., 59, lo cual resulta a todas luces imposible. Por tanto, en todos los
sistemas sexagesimales utilizados a lo largo de la historia se ha empleado una
notación basada en el nombre de los dígitos decimales.
En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema
sexagesimal:

La medida de ángulos en grados, minutos y segundos (por ejemplo
23º15?47?). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el
grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el
radián.

La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un
minuto, en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema
duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas
del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones
tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito científico, se
trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con un sistema de
numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,... ).
6.2. Cambios de base
58
El cambio de base de sexagesimal a decimal y a la inversa, no ofrece ninguna
novedad conceptual con respecto a cualquier otro cambio de este tipo (ver t2).
No obstante, como en la práctica no se usan cantidades sexagesimales «puras»,
sino expresadas en unidades y sus fracciones (grados, minutos y segundos para
los ángulos; horas, minutos y segundos para el tiempo), las conversiones
presentan ciertas peculiaridades.
Para pasar de una cantidad de tiempo medido en formato sexagesimal a la
unidad decimal (el segundo), se procede según la siguiente fórmula de
conversión:
h (horas) m (?) s (?) = h × 602 + m × 60 + s (segundos).
Por ejemplo, 2 h 50? 34? = 2 × 602 + 50 × 60 + 34 = 10.234 segundos (símbolo s).
El paso inverso, de decimal a sexagesimal, se efectúa del modo siguiente:

Dividiendo la cantidad decimal por 602; el cociente obtenido son las
horas.

Dividiendo el resto de la operación anterior por 60; el cociente son los
minutos.

El resto de esta segunda operación son los segundos.
6.3. Medida de ángulos
En el sistema decimal habitual, los ángulos planos se miden en términos de
una unidad denominada radián. No obstante, es muy frecuente efectuar esta
medida según el sistema de numeración sexagesimal, en grados, minutos y
segundos.

Un radián (símbolo rad) se define como un ángulo central cuyo arco mide
un radio de circunferencia. De esta forma, para barrer toda una
circunferencia se necesitan 2P radianes.
59

Un grado sexagesimal (símbolo º) es la 90ª parte de un ángulo recto,
entendido éste como el que forman dos rectas perpendiculares entre sí.
Por tanto, una circunferencia completa describe un ángulo de 360º.
La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es la siguiente:
2P rad = 360º Þ P rad = 180º.
El grado sexagesimal se divide en unidades menores llamadas minutos (?) y
segundos (?), según las siguientes equivalencias:
1º = 60?, 1? = 60?.
6.4. Relaciones entre ángulos
En el estudio de los ángulos se distinguen varias relaciones sencillas que
facilitan los cálculos con funciones trigonométricas y la resolución de
triángulos:

Ángulos complementarios son aquellos que suman 90º (P / 2 rad).

Ángulos suplementarios son los que suman 180º (P rad).

Cuando dos ángulos suman 360º (2P rad) se llaman opuestos.
Los ángulos que se diferencian en un número exacto de vueltas de
circunferencia se consideran equivalentes en el estudio de sus funciones
trigonométricas asociadas (por ejemplo, a y b tales que b = a + 2P × n, siendo n
un número entero).
60
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Exprese cada ángulo en radianes:
a. 60°
b. 12°30’
Como el grado tiene 60’, convertimos los 30’ a fracción de grado
dividiendo por 60.
Sería: (12 30/60)° = (12 1/2)° = (25/2)°
Multiplicando como en el caso anterior tenemos:
/72
c. 8°25’12’’
Convertimos los minutos a segundos multiplicando por 60 y luego
sumamos los 12’’. La fracción de grados tendría como denominador
de esta suma a 3600, que representa el número de segundos del
grado (60x60)
En 25’ hay 25x60 = 1500”. Sumando los 12” tenemos:
1500” + 12” = 1512”. Se tiene entonces: (8 1512/3600)° = (421/50)°
d. 1.54 rad
os hacerlo por su valor
aproximado.
Tendríamos: 1.54 x 57.2958° = 88.235532°
Los decimales de grado se convierten a minutos y los de estos a
segundos.
Así: 0.235532 x 60’ = 14.13192’ y 0.13192’ x 60” = 7.9” ≈ 8
Finalmente, 1.54 rad ≈ 88°14’8”.
PRÁCTICA
61
1. Exprese cada ángulo en radianes.
a. 300°
b. 270°
c. 930°
d. 2.5 revoluciones
e. Un ángulo llano
f. 3.6 ángulos llanos
g. 6°45’
h. 19°17’33”
i. 9°30’24”
2. Convierta a grados, minutos y segundos los siguientes ángulos
expresados en radianes.
a.
b.
c.
d.
e.
f. 5.4 rad
g. 1.73 rad
h. 8.12 rad
i.
CAPÍTULO 7
62
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
7.1.
Identidades trigonométricas
Se dice que dos funciones f y g son idénticamente iguales si
f(x) = g(x)
Para todo valor de x para el cual estén definidas ambas funciones. A tal
ecuación se le llama identidad. Una ecuación que no es una identidad se le
llama ecuación condicionada.
Por ejemplo, las siguientes expresiones son identidades:
(x+1)2 = x2 + 2x + 1
sen2x + cos2x = 1
cscx = 1/senx
Las siguientes expresiones son ecuaciones condicionadas:
2x + 5 = 0……… cierta sólo si x = -5/2
Senx = 0……….. cierta sólo si x = k
Senx = Cosx ….. cierta
entero.
Los siguientes cuadros resumen las identidades trigonométricas que hemos
establecido hasta ahora:
Identidades de cociente
tanx= senx/cosx
Identidades recíprocas
cscx = 1/senx
cotx = cosx/senx
secx = 1/cosx
cotx = 1/tanx
Identidades pitagóricas
sen2x + cos2x = 1
tan2x + 1 = sec2x
1 + cot2x = csc2x
Identidades par e impar
sen(-x) = -senx
cos(-x) = cosx
tan(-x) = -tanx
csc(-x) = -cscx
sec(-x) = secx
cot(-x) = -cotx
Esta lista de identidades comprende lo que llamaremos identidades
trigonométricas fundamentales.
PROBLEMAS RESUELTOS
63
1. Demostrar las siguientes identidades.
a. secx . senx = 1/cosx . senx
(1/cosx) (senx) = senx/cosx
senx/cosx = senx/cosx
tanx = tanx
b. sen2 (-x) + cos2 (-x) = 1
sen2(-x) + cos2(-x) = [sen(-x)]2 + [cos(-x)]2
= (-senx)2 + (cosx)2
= (senx)2 + (cosx)2
=1
c. sen2(-x) – cos2(-x)/sen(-x) – cos(-x) = cosx – senx
sen2(-x) – cos2(-x)/sen(-x) – cos(-x) = [sen(-x)]2 – [cos(-x)]2/sen(-x) – cos(-x)
= (-senx)2 – (cosx)2/-senx –cosx
= (senx – cosx) (senx + cosx)/-(senx +cosx)
= cosx – senx
64
65
Bibliografía
 Trigonometría y Geometría Analítica. Michael Sullivan. Pearson
Prentice Hall. Cuarta Edición. 1997.
 Matemática I Liceo – Un enfoque diferente. Zoila Bendiburg y Ubaldino
Sandoval. Undécima edición. 2005.
 Álgebra. Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo. Tercera edición. Pearson
Prentice Hall. 2007.
 http://math2.org/math/trig/es-identities.htm
66
 http://alumno.ucol.mx/~enrique_montes/matedes.htm
 http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/Ni
velIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm
 http://www.aprendizajevirtual.org/trigonometria.html
 http://74.125.47.132/search?q=cache:_rIo6McdmdwJ:web.usal.es/~manue
67