Download Unidad temática 1 – Definición y Tipo de Conjuntos

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO
Bienvenido(a) al módulo “matemáticas y estadística” de la escuela de Hotelería y Turismo IDEE, desarrollado
bajo la modalidad e-learning, buscando llevar al estudiante a romper las barreras de la presencialidad,
abriendo paso a la tecnología virtual.
En épocas antiguas las personas que aprendían la matemática no solamente se consideraban inteligentes, sino
sabias y capaces de tomar decisiones en todas las áreas de su vida.
Muchas personas actualmente piensan que la matemática es una materia de relleno en los pensum, pero en el
transcurso del tiempo se ha comprobado que la matemática ayuda a razonar y entender mejor el transcurrir de
la vida en todas sus facetas del conocimiento. Precisamente, la palabra “matemática” en el griego original
significa “aprender”.
OBJETIVO DEL MÓDULO
Brindar un contacto no traumático con las formas de razonamiento riguroso de las matemáticas, enfocando al
estudiante a tener un enfoque de análisis por encima de lo estrictamente numérico; además de proporcionarle
conceptos matemáticos y estadísticos para su posterior aplicación, explotando la capacidad de razonamiento
para resolver situaciones y problemas próximos a la vida cotidiana.
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: TEORÍA DE
CONJUNTOS
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
 Conocer la definición de conjuntos, sus tipos, y sus diferentes formas de expresión.
 Familiarizarse con los diferentes símbolos y operadores utilizados en conjuntos.
 Resolver problemas de la vida cotidiana con los conocimientos adquiridos sobre la teoría de conjuntos.
UNIDAD TEMÁTICA 1 – DEFINICIÓN Y TIPO DE CONJUNTOS
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos que tienen una característica común. Cada objeto
recibe el nombre de elemento o miembro del conjunto. Normalmente en álgebra, los elementos suelen ser
números, pero también (de acuerdo al área de estudio) pueden ser figuras, cosas, nombres, símbolos, etc.
Un conjunto se define normalmente con una letra mayúscula, seguida del signo igual, y sus elementos entre
llaves “{ }” (las llaves son los delimitadores de los elementos del conjunto). Una característica principal de un
conjunto es que debe estar claramente definido, de acuerdo a lo que quiero mostrar. He aquí ejemplos de
conjuntos:
A = {los países latinoamericanos}
B = {2 , 4 , 6 , …}
C = {a , b , c , … , x , y , z}
D = {las consonantes de la frase “razonamiento matemático”}
E = {los meses del año}
F = {los apellidos de mis compañeros que terminan en z}
Hay varias maneras de definir un conjunto:
 Por Expresión Verbal: Cuando describo el conjunto de una manera general y verbal.
 Por Extensión o numeración: Cuando enumero cada uno de los elementos que pertenecen al conjunto.
 Por Comprensión o notación matemática: Cuando utilizo simbología matemática que me permite
describir el conjunto matemáticamente.
Veamos ejemplos que nos permitan conocer estas notaciones:
EJEMPLO 1:
A = {Las vocales de la palabra “equitación”}  Expresión Verbal
A = {a, e, i, o, u}  Extensión o numeración. Como podemos observar, enumero cada uno de los elementos que
están contenidos en el conjunto. Escribo cada elemento sin repetirlo (la i está repetida, sólo la escribo una sola
vez).
A = {𝑥/𝑥 son las vocales de la palabra “equitación”}  Por Comprensión o Notación matemática. En esta
última descripción, podemos ver que no hay mucha diferencia entre esta manera de denotar un conjunto con la
de expresión verbal, solamente por el adicional “x/x” (que se lee “x tal que x” /  Tal que). En ejemplos
numéricos, cambia radicalmente esta notación. Veamos otro ejemplo:
EJEMPLO 2:
B = {2, 4, 6, 8}  Extensión o numeración. Enumeramos cada elemento del conjunto.
B = {los números naturales pares entre 2 y 8}  Expresión Verbal. Describimos en palabras el conjunto.
B = {𝑥/𝑥 ∈ ℕ 𝑦 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 }  Comprensión o Notación Matemática. Aquí si se observa un gran
cambio con respecto al ejemplo anterior, debido a que se observan símbolos que se manejan normalmente en
conjuntos. Si quisiéramos leer lo que hemos escrito, sería como sigue: “B es el conjunto de los x tales que x
pertenecen a los números naturales y x es mayor o igual a 1 y menor o igual a 4”.
Se puede observar en este ejemplo que si yo hubiese escrito B = {los números entre 1 y 4} no estoy siendo lo
suficientemente claro, porque puedo colocar entre ellos números decimales y/o complejos, fraccionarios entre
1 y 4, lo que me haría el conjunto infinito y diferente al que ya expresé por extensión. Es por eso que coloco que
son números naturales, lo que me restringe la cantidad de elementos del conjunto.
Conozcamos algunos símbolos matemáticos utilizados y su significado:
Símbolo
Significado
Ejemplo
Lectura Ejemplo
Observación
∈
“Pertenece a”
a∈A
El
elemento
“a”
pertenece al conjunto A.
Hace referencia a la pertenencia
de un elemento a un conjunto
determinado.
∉
“No Pertenece
a”
7∉B
El elemento “7” no
pertenece al conjunto B.
Hace referencia a la no
pertenencia de un elemento a
un conjunto determinado.
“Tal que”
C = {x/x ∈ ℕ}
C = {x:x ∈ ℕ}
C es el conjunto de los x
tales que x pertenecen
al conjunto de los
números naturales.
Hace referencia a la variable
que toma diferentes valores en
el conjunto.
“Subconjunto
de”
“Está
contenido en”
E⊂F
E es subconjunto de F.
Relación entre dos conjuntos. E
es subconjunto de F si todos los
elementos
de
E
están
contenidos en F.
“Mayor que” ,
“Mayor o igual
que”
1. 3 + 2 > 4
2. 45 ≥ 90/3
/ó:
⊂
>, ≥
E está contenido en F.
1. 3 más 2 es mayor
que 4.
2. 45 es mayor o igual
que 90 dividido 3.
Hace referencia a la relación
entre dos o más números. Nota:
El número mayor siempre es el
que está al lado de la abertura
del símbolo.
<, ≤
“Menor que” ,
“Menor o igual
que”
1. 12 < 5
2. 15 ≤ 3*5
1. 12 es menor que 5
2. 15 es menor o igual
que 3 por 5.
Hace referencia a la relación
entre dos o más números. Nota:
El número menor siempre es el
que está al lado del pico del
símbolo.
EJEMPLO 3:
C = {x/x ∈ ℤ y -3 < x < 2 o 5 < x < 10}  Comprensión o Notación Matemática
C = {-2, -1, 0, 1, 6, 7, 8, 9}  Extensión o Numeración. Como se puede observar, los números de los extremos no
se ponen, debido a que los signos son mayores que -3, es decir, no incluye el -3, ni tampoco el 2, ni el 5 ni el 10,
pero los números si están entre ellos.
C = {los números enteros mayores que -3 y menores que 2 ó mayores que 5 y menores que 10}  Expresión
Verbal
TIPOS DE NÚMEROS EXI STENTES
Complejos
Reales
Racionales - Irracionales
Enteros
Naturales
Este gráfico nos ilustra cada uno de los tipos de números que existen. A continuación se describirá cada uno de
ellos:
NÚMEROS NATURALES:
Son los números enteros positivos, sin incluir el 0. Se denotan con la letra ℕ.
ℕ = {1, 2, 3, …}
NÚMEROS ENTEROS:
Corresponden a los números enteros negativos, positivos y el 0. Se denotan con la letra ℤ.
ℤ = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
NÚMEROS RACIONALES:
Son los números que se pueden expresar con fracciones de números enteros, con el denominador distinto de 0.
Se denotan con la letra ℚ. Ejemplos: 1/2 ; 3/4 ; 0.753 ; 0.184
NÚMEROS IRRACIONALES:
Son los números que no se pueden expresar como fracciones de números enteros. Se denotan con la letra ℚ′
(Están al mismo nivel que los racionales). Ejemplos: el número pi 𝜋 = 3,141592…, el número ℯ = 2.7182…
NÚMEROS REALES:
Son los números que contienen tanto a los Racionales como a los Irracionales. Se denotan con la letra ℝ.
NÚMEROS COMPLEJOS:
Son los números que contienen a los números Reales, y a su vez introducen el número 𝒾 = √−1 (ya que en los
reales no se conoce la raíz cuadrada de un número negativo). Se denotan con la letra ℂ.
A su vez, cada conjunto más pequeño es subconjunto de cada conjunto más grande. El Conjunto que los
contiene a todos es el conjunto de los números complejos.
Podemos hacer las siguientes relaciones:
ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ ; ℕ ⊂ ℝ ; entre otros.
De acuerdo al número de elementos, cada elemento se puede clasificar en:
 Conjunto Vacío
 Conjunto Finito
 Conjunto Infinito
 CONJUNTO VACÍO: Cuando el conjunto carece de elementos.
Ejemplo
A = {los meses del año que terminan en i}
Ningún mes del año termina en i, por lo tanto, el conjunto no contiene elementos. Lo que quiere decir
que el conjunto A es vacío. Y se denota de la siguiente manera:
A = {} ó A = ∅
Nota: Es incorrecto escribir que A = {∅}, puesto que allí diría que el símbolo “∅” es un elemento del
conjunto.
 CONJUNTO FINITO: Cuando el conjunto contiene un número de elementos se puede contar.
Ejemplo
B = {los días de la semana}
Si escribimos este mismo conjunto por extensión, tenemos que:
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
Como puedo contar los elementos del conjunto (son 7 en total), entonces, puedo decir que el conjunto
B es finito.
 CONJUNTO INFINITO: Cuando el conjunto el número de elementos no se pueden contar.
Ejemplo
C = {los números naturales}
Escribimos el conjunto por extensión:
C = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Como no puedo contar el número de elementos del conjunto (puesto que son infinitos), entonces puedo
decir que el conjunto C es infinito.
Para profundizar sobre estos conceptos, visite los siguientes hipervínculos:
http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm
http://www.liccom.edu.uy/bedelia/cursos/metodos/material/conjuntos.html
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD TEMÁTICA
1. Determine si son Verdaderas (V) o Falsas (F) las siguientes afirmaciones
 -2 pertenece al conjunto de los números naturales ( )
 El conjunto de los números enteros es un conjunto infinito ( )
 Los números enteros son un subconjunto de los números naturales ( )
 10/12 es un número racional ( )
2. Escriba cada uno de los siguientes conjuntos en las tres maneras de denotarlos, identificando cada una
de ellas.
A = {los días de la semana}
B = {los números pares mayores que 5 y menores o iguales a 20}
C = {x:x ∈ ℤ y -10 < x < -5}
D = {3, 6, 9, 12, 15}
E = {las consonantes de la frase “Dios es mi pastor”}
F = {x:x ∈ ℤ y -8 ≤ x < -2 ó 14 < x < 20}
3. Determine a qué tipo de número corresponde
a) 23
b) -1.523
c) 12.385474692587…
d) -12
e) 𝜋
f) 12/450
UNIDAD TEMÁTICA 2 – OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las distintas operaciones entre conjuntos se ven a continuación:
Símbolo
“Unión”
∪
“Intersección”
∩
-
‘ó
Significado
“Diferencia”
c
“complemento”
Ejemplo
Lectura Ejemplo
Definición Matemática
A∪B
A Unión B : Todos los
elementos que
pertenecen a A o
pertenecen a B.
A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}
A∩B
A Intersección B: Todos
los elementos que
pertenecen a A y
pertenecen a B.
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}
A–B
A Menos B: Todos los
elementos que
pertenecen a A pero no
pertenecen a B.
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∉ B}
A Complemento: Todos
los elementos que no
pertenecen a A.
A’ = {x/x ∉ A }
A’ ó
Ac
Para profundizar los conceptos, visite los siguientes hipervínculo:
http://es.geocities.com/conjunto8/page3.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO – DIAGRAMAS DE VENN
Hay una cuarta forma de representar uno o varios conjuntos entre si. Esta manera se conoce actualmente como
Diagramas de Venn, las cuales nos permiten mirar los elementos del conjunto de una manera gráfica, lo que
agiliza la comprensión de los conjuntos:
Veamos un ejemplo de representación de un conjunto:
A = {las vocales del alfabeto castellano}  Expresión Verbal
A = {a, e, i, o, u}  Extensión
A = {x/x son las vocales del alfabeto castellano}  Comprensión o Notación Matemática
Este conjunto se pudiese expresar gráficamente de la siguiente manera:
A
•a
•e
•i
•o
•u
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Ejemplo:
A = {1, 3, 5, 7}
B = {5, 7, 9, 11}
UNIÓN
De acuerdo al ejemplo que tenemos, el conjunto unión entre A y B corresponde a todos los elementos que se
encuentran en A reunidos con todos los elementos que se encuentran en B, sin repetir elementos. Sabiendo esto,
nos queda que:
A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
La Unión cumple con la propiedad conmutativa. Esto es: A ∪ B = B ∪ A
INTERSECCIÓN
El conjunto intersección entre A y B corresponde a todos los elementos que se encuentran al mismo tiempo en A
y en B. Entonces nos queda que:
A ∩ B = {5, 7}
En la gráfica del diagrama de Venn, podemos ver que el 5 y el 7 están tanto en A como en B, por eso se colocan
en la zona que comparten los dos conjuntos.
La intersección también cumple con la propiedad conmutativa. Esto es: A ∩ B = B ∩ A
DIFERENCIA
El conjunto diferencia entre A y B corresponde a todos los elementos que se encuentran en A pero no en B. Una
forma sencilla de entenderlo es parándome en A y quitando lo que es de B. Entonces nos queda que:
A – B = {1, 3} (Quito el 5 y el 7, ya que también pertenecen a B)
Si hago la operación contraria:
B – A = {9, 11} (Quito el 5 y el 7, ya que también pertenecen a A}
A diferencia de la Unión y la Intersección (y como ya se comprobó) A – B ≠ B – A
COMPLEMENTO
Para entender el concepto de complemento, debemos entender el concepto de Conjunto Universal:
Conjunto Universal
El conjunto Universal es aquel que contiene todos los conjuntos previamente definidos. Se denota con la letra U
mayúscula. En el ejemplo anterior, podemos definir un conjunto universo como sigue:
A = {1, 3, 5, 7} ; conjunto A del ejemplo
B = {5, 7, 9, 11} ; conjunto B del ejemplo
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, y se cumple que
A ⊂ U y B ⊂ U  A y B son subconjuntos del conjunto Universo.
Ahora, dibujemos el diagrama de Venn con el conjunto Universo:
El conjunto complemento de A corresponde a todo lo que está fuera de A. En otras palabras, todo lo que le falta
a A para ser Universo. De acuerdo al ejemplo, tenemos que:
A’ = {2, 4, 6, 8, 9, 10, 11}
Se cumple que A’ = U – A; o también A = U – A’. Lo que quiere decir que A ∪ A’ = U
De la misma manera:
B’ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Si quisiéramos saber A’ ∪ B’ y A’ ∩ B’, de acuerdo al ejemplo:
A’ ∪ B’ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11} ; A’ ∩ B’ = {2, 4, 6, 8, 10}
Ejemplo:
Tenemos los siguientes conjuntos:
X = {números primos menores que 10}
Y = {números naturales pares menores que 10}
Z = {números naturales múltiplos de 3, menores o iguales que 12}
U = {números naturales menores o iguales que 12}
Si escribimos cada conjunto por extensión, tenemos que:
X = {2, 3, 5, 7}
Y = {2, 4, 6, 8}
Z = {3, 6, 9, 12}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Colocando estos conjuntos en un diagrama de Venn – Euler, tenemos que:
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD TEMÁTICA
Se tienen los siguientes conjuntos:
A = {x/x ∈ ℕ y 1 < x < 10}
B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
C = {1, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
U = {x/x ∈ ℕ y 1 ≤ x ≤ 15}
Realizar tanto analíticamente como con Diagramas de Venn los siguientes ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A∪B
B –C
A’
(A – B) ∪ (C ∩ A)
B – (C ∪ A)’
C’ ∪ A
(C ∩ A) – B
A∪B∪C
A’ ∪ B’ ∪ C’
A’ ∩ B’ ∩ C’
UNIDAD TEMÁTICA 3 – PROBLEMAS CON DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Para abordar los temas que vienen a continuación, vamos a interpretar los elementos de un determinado
conjunto como un número, que puede ser de personas, de objetos, de cifras, etc. Es decir, ya no nos va a
importar tanto la individualidad de los elementos, sino la cantidad de elementos que conforman un conjunto.
Para visualizar la resolución de problemas, veamos un ejemplo de la vida cotidiana:
http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna1.htm
Ejemplo 1:
Para realizar un estudio sobre dos de los productos de una reconocida marca de carnes frías, se realiza una
encuesta durante el mes de febrero de 2009 sobre la preferencia de los clientes en su consumo en varios
centros comerciales. La encuesta realizada arrojó los siguientes resultados:




280 personas consumieron mortadela.
130 personas sólo consumieron salchicha ranchera.
100 personas consumieron mortadela y la salchicha ranchera.
90 personas no consumieron ni mortadela ni salchicha ranchera.
De acuerdo a la encuesta realizada, se desea saber lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
¿Cuántas personas fueron encuestadas?
¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera?
¿Cuántas personas solamente consumieron mortadela?
¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera pero no mortadela?
¿Cuántas personas no consumieron salchicha ranchera?
¿Cuántas personas no consumieron mortadela?
¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera o mortadela?
¿Cuántas personas consumieron solamente uno de los dos productos?
Solución Ejemplo 1:
Para resolver este tipo de problemas, lo primero que debemos hacer es definir los conjuntos que intervienen en
el problema. Los conjuntos los podremos denotar como sigue:
M = {Número de personas que consumieron mortadela}
S = {Número de personas que consumieron ranchera}
U = {Número de personas que fueron encuestadas}
Como se puede observar, hay dos (2) conjuntos definidos, junto con su universo. Entonces el diagrama de Venn
tendrá dos conjuntos relacionados entre si (en esta caso M y N) y un conjunto universo (U) que los contiene.
Después de definir los conjuntos, podemos armar el Diagrama de Venn – Euler:
DIAGRAMA VENN – EULER: EJEMPLO 1

Para llenar un diagrama de Venn – Euler, el secreto es empezar de ADENTRO HACIA FUERA. Tenemos que
ubicar inicialmente cuál es el lugar más interno del diagrama. En este caso, es la intersección entre los dos
conjuntos (de acuerdo al diagrama, región amarilla). Debemos buscar en la información del problema cuál
de los datos que me dan corresponde a este sitio. Si observamos la información suministrada, hay un punto
que dice: “100 personas consumieron la mortadela y la salchicha ranchera”. La palabra “y” está
íntimamente relacionada con la intersección, ya que nos está diciendo que esas 100 personas consumieron
los dos productos al mismo tiempo. Entonces, el número 100 irá en esta región.

Ahora, vamos un poco más afuera hacia donde está el conjunto M (De acuerdo al diagrama, región roja:
personas que solo consumen mortadela). La información que tenemos sobre el conjunto es la siguiente:
“280 personas consumieron mortadela”. Lo que nos quiere decir esta información es que dentro del
conjunto M debe haber 280 personas. Ya hay 100 personas dentro del conjunto M (La intersección
pertenece también a M). Por lo tanto, en la región roja (donde están las personas que sólo consumen
Mortadela) tendrá:
Región Roja : 280 – 100 = 180 personas.

Continuando en el mismo nivel, observemos el conjunto S (De acuerdo al diagrama, región azul). La
información que tenemos sobre el conjunto es la siguiente: “130 personas sólo consumieron salchicha
ranchera”. Esta información es diferente a la anterior, puesto que tiene la palabra “sólo”. Cuando en una
premisa se encuentran las palabras “solo”, “solamente”, “únicamente”; lo que está haciendo es excluir los
demás conjuntos de su expresión. En otras palabras, nos está dando el dato directamente, y no debemos
realizar ninguna operación. Por consiguiente, las 130 personas deben ir en la región azul.

Por último, debemos analizar qué pasa afuera de los dos conjuntos M y S. Hay una información (la única
que falta) que nos dice: “90 personas no consumieron ni mortadela ni salchicha ranchera”. Son personas
que también fueron encuestadas, pero no consumieron ninguno de los dos productos. Lo que quiere decir
que debe ir afuera de los dos conjuntos M y S, pero dentro del conjunto Universo (Conjunto U). Las 90
personas debe ir en la región azul claro.
Después de tener todo el diagrama de Venn – Euler realizado, podemos empezar a resolver las preguntas
que se han planteado, ya que el Diagrama de Venn – Euler me permite resolverlas rápida y fácilmente:
a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Lo primero que debemos identificar es qué es lo que nos están preguntando en notación de conjuntos.
De acuerdo a lo que definimos previamente, observamos que nos están preguntando por el conjunto
universo: U = {Número de personas que fueron encuestadas}
Ahora, para hallar el número de personas, lo que debemos hacer es sumar cada una de los números que
están dentro del conjunto Universo.
U = 180 + 100 + 130 + 90
U = 500
R/ 500 personas fueron encuestadas.
b) ¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera?
Identificando lo que nos están preguntando, es por el conjunto S, así como ya lo definimos previamente.
Entonces, sumamos los números que están dentro del conjunto S:
S = 130 + 100
S = 230
R/ 230 personas consumieron salchicha ranchera.
c) ¿Cuántas personas solamente consumieron mortadela?
Aquí lo que nos están preguntando es sobre el conjunto M, excluyendo los demás conjuntos. Lo que en
otras palabras sería: “¿Cuántas personas consumieron mortadela pero no salchicha ranchera?”. Esto, en
notación de conjuntos corresponde a una diferencia y es M – S.
M – S = 180
Nota: La diferencia entre conjuntos no corresponde a una simple diferencia numérica, sino al concepto
aplicado a conjuntos de observar un conjunto y excluir los otros.
R/ 180 personas solamente consumieron mortadela.
d) ¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera pero no mortadela?
Al igual que el ejemplo anterior, corresponde a una diferencia: S – M.
S – M = 130
R/ 130 personas consumieron salchicha ranchera pero no mortadela.
e) ¿Cuántas personas no consumieron salchicha ranchera?
Al revisar los conceptos de cada operación entre conjuntos, observamos que la que cumple con la
pregunta es el complemento: S’. Para resolverlo, sumamos los números que están afuera de S.
S’ = 180 + 90
S’ = 270
R/ 270 personas no consumieron salchicha ranchera.
Otra manera de resolver este problema, pudo ser la observación de cuánto le falta al conjunto S para ser
U. Sabemos que U = 500 y S = 230. Entonces 500 – 230 = 270 ; que corresponde al complemento.
f) ¿Cuántas personas no consumieron mortadela?
Al igual que la pregunta anterior, nos preguntan por el complemento: M’. Entonces, sumo los números
que están afuera de M.
M’ = 130 + 90
M’ = 220
R/ 220 personas no consumieron mortadela.
De igual manera U = 500 y M = 280; 500 – 280 = 220 (lo que le falta al conjunto M para ser universo).
g) ¿Cuántas personas consumieron salchicha ranchera o mortadela?
Observando las operaciones, nos están hablando de la Unión: S ∪ M. Para hallar el resultado,
simplemente sumo la reunión de los números que se encuentran tanto en S como en M.
S ∪ M = 180 + 100 + 130
S ∪ M = 410
R/ 410 personas consumieron salchicha ranchera o mortadela.
h) ¿Cuántas personas consumieron solamente uno de los productos?
Si escribimos la pregunta de otra manera, puede ser: “¿Cuántas personas consumieron solamente
mortadela o solamente salchicha ranchera?”. Entonces, aquí tenemos una operación compuesta:
Solamente mortadela = M – S
Solamente salchicha ranchera = S – M
Como están unidas por la letra “o”, entonces, uno las dos cosas con Unión:
(M – S) ∪ (S – M)
M – S = 180
S – M = 130
Entonces:
(M – S) ∪ (S – M) = 180 + 130
(M – S) ∪ (S – M) = 310
R/ 310 personas consumieron solamente uno de los dos productos.
Ejemplo 2:
En la cadena de hoteles “El Sueño Feliz” se desea conocer las preferencias de sus clientes a la hora de elegir un
día para utilizar sus instalaciones. Para ello, se realiza un censo general en cada hotel por días durante la
última semana del mes de marzo de 2009. Se hace énfasis en tres días: Viernes, Sábado y Domingo. Los datos
recogidos fueron los siguientes:








114 personas fueron los Viernes.
117 personas fueron los Sábados.
109 personas fueron los Domingos.
53 personas fueron el Viernes y el Sábado.
17 personas sólo fueron el Sábado y el Domingo.
60 personas fueron el Viernes y el Domingo.
27 personas fueron el Viernes, el Sábado y el Domingo.
403 personas fueron en toda la semana.
Con esta información, resolver las siguientes preguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
¿Cuántas personas fueron de Lunes a Jueves?
¿Cuántas personas fueron el Sábado pero no el Viernes?
¿Cuántas personas fueron el Viernes y el Sábado, pero no el Domingo?
¿Cuántas personas Solamente fueron el Domingo?
¿Cuántas personas fueron el Viernes y el Domingo o el Sábado y el Domingo?
¿Cuántas personas no fueron ni el Viernes ni el Sábado?
¿Cuántas personas no fueron el Viernes o no fueron el Sábado o no fueron el Domingo?
¿Cuántas personas fueron únicamente dos días a la semana?
Solución Ejemplo 2:
Así como el problema anterior, lo primero que vamos a hacer es definir los conjuntos:
V = {Personas que fueron el Viernes}
S = {Personas que fueron el Sábado}
D = {Personas que fueron el Domingo}
U = {Personas que fueron en toda la semana}
En este problema, hay tres (3) conjuntos relacionados, y un conjunto universo (U) que los contiene. Entonces,
realizamos el diagrama de Venn correspondiente:
Al igual que el ejemplo anterior, empezamos analizando de ADENTRO HACIA FUERA.








La Intersección entre los tres conjuntos (región blanca), está determinado por el dato donde nos dice:
27 personas fueron el Viernes, el Sábado y el Domingo. Entonces, el número 27 va en esta región.
Ahora, vamos un poco más afuera (Región morada). Hay una premisa que dice lo siguiente: 53 personas
fueron el Viernes y el Sábado. Como no está la palabra sólo, entonces, realizamos la resta:
53 – 27 = 26. Entonces, el número 26 debe ir en esta región.
En el mismo nivel de la región morada, está la Región Azul Claro. Hay una premisa que dice lo siguiente:
17 personas sólo fueron el Sábado y el Domingo. Como aparece la palabra sólo, entonces, no realizamos
la resta y colocamos el dato sin restar. El número 17 debe ir en esta región.
La otra región que está al mismo nivel es la Región Amarilla. Hay una premisa que dice lo siguiente: 60
personas fueron el Viernes y el Domingo. Como no está la palabra sólo, entonces, realizamos la resta:
60 – 27 = 33. Entonces, el número 33 debe ir en esta región.
Ahora, seguimos más afuera, a la Región Roja. Hay una premisa que dice lo siguiente: 114 personas
fueron el Viernes. Como no está la palabra sólo, entonces debo de hacer las restas correspondientes.
Dentro del conjunto V debe haber 114 personas, entonces, el valor que falta se halla de la siguiente
manera:
114 – (26 + 27 + 33) = 28. Entonces, el número 28 debe ir en esta región.
En el mismo nivel, seguimos con la Región Azul. Hay una premisa que dice lo siguiente: 117 personas
fueron los Sábados. Como no está la palabra sólo, se resuelva tal y como se resolvió la región anterior:
117 – (26 + 27 + 17) = 47. Entonces, el número 47 debe ir en esta región.
Sigue ahora Región Verde. Hay una premisa que dice lo siguiente: 109 personas fueron los Domingos.
Como no está la palabra sólo, también se resuelve de la misma manera:
109 – (33 + 27 + 17) = 32. Entonces, el número 32 debe ir en este lugar.
Falta el número que está afuera de los tres conjuntos, Región Gris. En las premisas no hay alguna
premisa que nos diga exactamente este valor, pero se puede averiguar, ya que tenemos el número de
personas que fueron toda la semana. Hay una premisa que dice: 403 personas fueron toda la semana.
Esto quiere decir que todos los números deben sumar 403 (lo que representa el Conjunto Universo). Por
ende, el número que falta lo podemos hallar de la siguiente manera:
403 – (28 + 26 + 47 + 33 + 27 + 17 + 32) = 193. Entonces, el número 193 debe ir en este lugar.
Así hemos terminado el diagrama de Venn – Euler. Ahora, podemos empezar a resolver las preguntas
correspondientes:
a) ¿Cuántas personas fueron de Lunes a Jueves?
Aquí nos preguntan por todas las personas que no fueron ni el Viernes, ni el Sábado, ni el Domingo.
Entonces, nos preguntan por el complemento de la Unión entre estos 3 conjuntos.
(V ∪ S ∪ D)’ = 193.
b) ¿Cuántas personas fueron el Sábado pero no el Viernes?
Esta pregunta corresponde claramente a una diferencia. Debemos pararnos en el conjunto S y sacar lo
que es del conjunto V. Esto es:
(S – V) = 47 + 17 = 64. (el 26 y el 27 pertenecen también al conjunto V, entonces los excluyo).
c) ¿Cuántas personas fueron el Viernes y el Sábado, pero no el Domingo?
Cuando nos hablan de la palabra “y” nos están hablando de Intersección, y cuando nos hablan de “pero
no” nos hablan de diferencia. Si armamos la notación en conjuntos, nos queda:
(V ∩ S) – D = 26. (La intersección contiene el 26 y el 27, pero el 27 también pertenece al conjunto D,
entonces lo excluyo).
d) ¿Cuántas personas fueron solamente el Domingo?
Cuando nos hablan con la palabra “solamente” o “únicamente”, estoy excluyendo los demás conjuntos
del conjunto D. Como hay dos conjuntos más (V y S), entonces los uno y los pongo en diferencia con del
conjunto D, así:
D – (V ∪ S) = 32 (33, 27 y 17 pertenecen al conjunto D, pero también pertenecen a la unión entre V y S,
entonces los excluyo).
e) ¿Cuántas personas fueron el Viernes y el Domingo o el Sábado y el Domingo?
Ya sabemos que la palabra “y” nos habla de intersección, y la palabra “o” nos habla de unión. Entonces,
podremos armar la notación de conjuntos:
(V ∩ D) ∪ (S ∩ D)
Ahora, observemos que:
(V ∩ D) = 33 + 27
(S ∩ D) = 27 + 17
Ahora, vemos en el gráfico que el 27 pertenece a las dos intersecciones. A la hora de sumar, debo tomar
el cuenta el 27 UNA SOLA VEZ. Entonces:
(V ∩ D) ∪ (S ∩ D) = 33 + 27 + 17 = 77
f) ¿Cuántas personas no fueron ni el Viernes ni el Sábado?
Cuando nos dicen la palabra “ni” en otras palabras nos dicen “no y”. Entonces, podremos armar lo que
necesitamos en notación de conjuntos, sabiendo que la palabra “no” nos está sugiriendo un
complemento del conjunto en cuestión.
V’ ∩ D’
De acuerdo a una de las leyes de Morgan para conjuntos: V’ ∩ D’ = (V ∪ D)’
Entonces, nos damos cuenta que el resultado está afuera de la Unión del conjunto V con el conjunto D.
Esto es:
V’ ∩ D’ = (V ∪ D)’ = 47 + 193 = 240.
g) ¿Cuántas personas no fueron el Viernes o no fueron el Sábado o no fueron el Domingo?
Claramente nos preguntan por lo siguiente:
V’ ∪ S’ ∪ D’
Ahora, de acuerdo a otra ley de Morgan para conjuntos: (V’ ∪ S’ ∪ D’) = (V ∩ S ∩ D)’
Entonces, lo que nos preguntan es por lo que está afuera de la intersección de los tres conjuntos. Esto
es:
(V’ ∪ S’ ∪ D’) = (V ∩ S ∩ D)’ = 28 + 26 + 47 + 33 + 17 + 32 + 193 = 376.
Nota: También lo pudimos interpretar de la siguiente manera:
(V ∩ S ∩ D)’ = U - (V ∩ S ∩ D)
U = 403 y (V ∩ S ∩ D) = 27 ; entonces 403 – 27 = 376. Debemos tener cuidado con la diferencia, puesto
que solamente es igual a una diferencia aritmética cuando hablamos del Universo.
h) ¿Cuántas personas fueron únicamente dos días a la semana?
Esta pregunta debe ser interpretada de acuerdo a sus partes. Si decimos que fueron únicamente dos
días a la semana, estamos hablando de: Únicamente fueron el Viernes y el Sábado, o únicamente fueron
El Sábado y el Domingo, o únicamente fueron el Viernes y el Domingo. Entonces, en notación de
conjuntos:
[(V ∩ S) – D] ∪ [(V ∩ D) – S] ∪ [(S ∩ D) – V]
Resolvamos cada uno por aparte:
[(V ∩ S) – D] = 26
[(V ∩ D) – S] = 33
[(S ∩ D) – V] = 17
Como no hay valores repetidos por zonas, entonces podremos sumar con tranquilidad cada cifra:
[(V ∩ S) – D] ∪ [(V ∩ D) – S] ∪ [(S ∩ D) – V] = 26 + 33 + 17 = 76
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD TEMÁTICA
1. Para estimar los gustos sobre los equipos de fútbol de la ciudad, se realiza una encuesta en un barrio de
la ciudad de Cali, exactamente a 100 personas. Los datos que se recogieron fueron los siguientes:
 A 50 personas les gusta el América.
 A 45 personas les gusta el Cali.
 A 7 personas les gusta los dos equipos al tiempo.
Con esta información, defina los conjuntos, realice el Diagrama de Venn – Euler, y resuelva las siguientes
preguntas, tanto en notación de conjuntos como numéricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
¿A cuántas personas les gusta otros equipos diferentes al América y al Cali?
¿A Cuántas personas solamente les gusta el América?
¿A Cuántas personas les gusta el Cali pero no el América?
¿A Cuántas personas no les gusta el Cali?
¿A Cuántas personas les gusta el América y el Cali?
2. Para verificar la asistencia de personas a las asignaturas más importantes del tercer semestre de la
carrera de Contaduría Pública en la Universidad, se verifican los listados de los estudiantes que
pertenecen a tercer semestre en las tres asignaturas: Cálculo, Contabilidad e Informática aplicada. Para
realizar el estudio, se toma como punto de estudio la sexta semana. Estos fueron los resultados:





30 personas asistieron a Matemáticas.
29 personas asistieron a Contabilidad.
25 personas asistieron a Informática Aplicada.
20 personas asistieron a Matemáticas y Contabilidad.
19 personas asistieron a Contabilidad e Informática Aplicada.
 18 personas asistieron a Matemáticas e Informática Aplicada.
 17 personas asistieron a Matemáticas y a Contabilidad y a Informática Aplicada.
 3 personas no asistieron a ninguna de las tres Asignaturas.
Con esta información, defina los conjuntos, realice el Diagrama de Venn – Euler, y resuelva las siguientes
preguntas, tanto en notación de conjuntos como numéricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántas personas pertenecen al tercer semestre de la Universidad en Cuestión?
¿Cuántas personas asistieron a Matemáticas o a Contabilidad, pero no a Informática Aplicada?
¿Cuántas personas asistieron solamente a Matemáticas?
¿Cuántas personas no asistieron a Contabilidad o no asistieron a Informática Aplicada?
¿Cuántas personas asistieron solamente a dos asignaturas al tiempo?
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: ECUACIONES
LINEALES Y CUADRÁTICAS
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
 Conocer la definición de ecuaciones lineales y cuadráticas, y familiarizarse con su terminología.
 Aprender los distintos métodos para resolver cada tipo de ecuación.
 Resolver problemas de la vida cotidiana con los conocimientos adquiridos sobre la resolución de
ecuaciones tanto lineales como cuadráticas.
UNIDAD TEMÁTICA 1 – ECUACIONES LINEALES
Una ecuación es un expresión algebraica que consta de dos miembros igualados entre si, donde pueden existir
una o más variables, las cuales se denominan incógnitas.
A su vez, cada miembro de la ecuación consta de uno o más términos. Los términos son cada una de las
cantidades que están conectadas entre si por los signos “+” ó “-“ ,
3𝑥 + 10 = 18 − 𝑥
El primer miembro de la ecuación es el izquierdo, y el segundo miembro es el derecho. El primer miembro, de
acuerdo al ejemplo es 3x + 10 ; y el segundo miembro es 18 – x. El primer miembro consta de dos términos: 3x
y 10, al igual que el segundo miembro: 18 y x.
El objetivo de una ecuación es despejar la incógnita o variable, para darle un valor numérico que satisfaga la
ecuación. En otras palabras, que nos de una identidad (esto es, que ambos miembros de la ecuación den como
resultado el mismo valor numérico). Resolvamos la ecuación del ejemplo:
Ejemplo 1:
3𝑥 + 10 = 18 − 𝑥
En esta ecuación, la incógnita es la variable “x”. Entonces, debemos despejar la variable “x” para hallar su valor.
Lo primero que debemos hacer es tratar de agrupar los valores que tengan la “x” en el primer miembro, y los
términos independientes (valores que no tienen la “x”) en el segundo miembro. Inicialmente, restemos 10 en
ambos miembros de la ecuación:
3𝑥 + 10 − 10 = 18 − 𝑥 − 10
Como 10 – 10 = 0, entonces
3𝑥 = 18 − 𝑥 − 10
Como se puede observar, si resto 10 en ambos miembros de la ecuación, da lo mismo que pasar el 10 de signo
positivo a signo negativo al otro miembro de la ecuación. Ahora, sumemos “x” en ambos miembros:
3𝑥 + 𝑥 = 18 − 𝑥 − 10 + 𝑥
Como –x +x = 0, entonces
3𝑥 + 𝑥 = 18 − 10
Al igual que pasó con el 10, observamos que al sumar “x” en ambos miembros de la ecuación, pasa lo mismo que
si pasara el “x” que está negativo en el segundo miembro al primer miembro con signo positivo. En otras
palabras, puedo pasar un término de un miembro a otro, simplemente cambiando el signo.
3𝑥 + 𝑥 = 18 − 10
Reduciendo términos semejantes
4𝑥 = 8
Ahora, dividamos ambos miembros por 4:
4𝑥 8
=
4
4
Como 4/4 = 1, entonces:
𝑥=
8
4
Como se puede observar, si divido por 4 en ambos miembros de la ecuación, nos damos cuenta que es lo mismo
si paso el 4 de multiplicar en el primer miembro a dividir en el segundo miembro (debo tener en cuenta el signo
del 4. Si hubiese sido negativo, debo pasarlo a dividir también con el signo negativo).
Finalmente, resolviendo la división
𝑥=2
De acuerdo al problema; x = 2 es la respuesta, la cual se le denomina solución o raíz de la ecuación.
Ahora, para comprobar que está bien resuelta la ecuación, debo verificar si existe identidad. Esto lo puedo
hacer reemplazando x = 2 en la ecuación original:
Comprobación:
3𝑥 + 10 = 18 − 𝑥 ; Ecuación Original.
3(2) + 10 = 18 − 2
6 + 10 = 18 − 2
16 = 16 ; Identidad.
Como ambos miembros tienen el mismo valor numérico, hay identidad. Entonces se comprueba que la
ecuación está bien desarrollada.
A este tipo de ecuaciones se le denomina ecuación lineal, puesto que el mayor exponente de la variable es 1. Si
el mayor exponente de la variable es 2, la ecuación se denominaría ecuación cuadrática.
Ejemplo 2:
4𝑥 − 8 = 6𝑥 − 4
Como hemos aprendido, pasemos el término “-8” con signo negativo del primer miembro al segundo miembro
con signo positivo:
4𝑥 = 6𝑥 − 4 + 8
Ahora, pasemos el “5x” con signo positivo del segundo miembro al primer miembro con signo negativo:
4𝑥 − 6𝑥 = −4 + 8
Ahora, reduciendo términos semejantes:
−2𝑥 = 4
A continuación, pasemos el -2 de multiplicar en el primer miembro a dividir al segundo miembro:
𝑥=
4
−2
𝑥 = −2 ; Solución o raíz de la ecuación.
Ahora, comprobemos si la ecuación está bien desarrollada, reemplazando x = -2 en la ecuación original:
4𝑥 − 8 = 6𝑥 − 4 ; Ecuación Original.
4(−2) − 8 = 6(−2) − 4
−8 − 8 = −12 − 4
−16 = −16 ; Identidad.
Como hay identidad, se comprueba el buen desarrollo de la ecuación.
Ejemplo 3:
3𝑥 6𝑥
𝑥
+
=5+
2
5
5
Este tipo de ecuaciones se les denomina ecuaciones fraccionarias, puesto que tiene términos fraccionarios. Hay
varias maneras de resolver este tipo de ecuaciones, pero lo que se recomienda es convertir estas ecuaciones en
ecuaciones enteras, que son las que hemos venido trabajando.
Si multiplicamos ambos miembros por 10, eliminaremos los denominadores y nos quedarán números enteros.
Así será mucho más fácil trabajar:
3𝑥 6𝑥
𝑥
−
=5−
2
5
5
3𝑥 6𝑥
𝑥
10 ( − ) = 10 (5 − )
2
5
5
Destruyendo los paréntesis, nos queda que:
15𝑥 − 12𝑥 = 50 − 2𝑥
Paso el “-2x” a sumar en el primer miembro:
15𝑥 − 12𝑥 + 2𝑥 = 50
Reduzco términos semejantes:
5𝑥 = 50
Paso el “5” de multiplicar a dividir al segundo miembro:
𝑥=
50
5
𝑥 = 10 ; Solución o raíz de la ecuación.
Comprobación:
3𝑥
2
−
6𝑥
5
𝑥
= 5 − 5 ; Ecuación original
3(10) 6(10)
10
−
=5−
2
5
5
30 60
10
−
=5−
2
5
5
15 − 12 = 5 − 2
3 = 3 ; Identidad.
Ejemplo 4:
71 + [−5𝑥 + (−2𝑥 + 3)] = 25 − [−(3𝑥 + 4) − (4𝑥 + 3)]
Este tipo de ecuaciones se le denomina ecuaciones lineales con signos de agrupación. Para resolver este tipo de
ecuaciones, lo que debemos hacer es empezar de adentro hacia fuera. En este caso, destruyamos primero los
paréntesis, y luego los corchetes; realizando la multiplicación entre signos:
71 + [−5𝑥 + (−2𝑥 + 3)] = 25 − [−(3𝑥 + 4) − (4𝑥 + 3)]
71 + [−5𝑥 − 2𝑥 + 3] = 25 − [−3𝑥 − 4 − 4𝑥 − 3]
71 − 5𝑥 − 2𝑥 + 3 = 25 + 3𝑥 + 4 + 4𝑥 + 3
Ahora, pasemos los términos que tienen “x” al primer miembro, y los términos independientes al segundo
miembro:
−5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 − 4𝑥 = 25 + 4 + 3 − 71 − 3
Reduciendo términos semejantes:
−14𝑥 = −42
Paso el “-14” de multiplicar a dividir al segundo miembro:
𝑥=
−42
−14
𝑥 = 3 ; Solución o raíz de la ecuación.
Comprobación:
71 + [−5𝑥 + (−2𝑥 + 3)] = 25 − [−(3𝑥 + 4) − (4𝑥 + 3)]
71 + [−5(3) + (−2(3) + 3)] = 25 − [−(3(3) + 4) − (4(3) + 3)]
71 + [−15 + (−6 + 3)] = 25 − [−(9 + 4) − (12 + 3)]
71 + [−15 + (−3)] = 25 − [−(13) − (15)]
71 + [−15 − 3] = 25 − [−13 − 15]
71 − 15 − 3 = 25 + 13 + 15
53 = 53 ; Identidad.
Ejemplo 5:
5(𝑥 − 2)2 − 5(𝑥 + 3)2 + (2𝑥 − 1)(5𝑥 + 2) − 10𝑥 2 = 0
Este tipo de ecuaciones se denomina ecuaciones lineales con productos indicados. Se desarrolla primero
resolviendo los productos indicados en cada ecuación. En la ecuación del ejemplo, los productos indicados son:
(𝑥 − 2)2 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
(𝑥 + 3)2 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9
(2𝑥 − 1)(5𝑥 + 2) = 10𝑥 2 + 4𝑥 − 5𝑥 − 2 = 10𝑥 2 − 𝑥 − 2
Ahora, coloquemos los resultados en la ecuación donde corresponde, así:
5(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) − 5(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + (10𝑥 2 − 𝑥 − 2) − 10𝑥 2 = 0
Destruyendo los paréntesis:
5𝑥 2 − 20𝑥 + 20 − 5𝑥 2 − 30𝑥 − 45 + 10𝑥 2 − 𝑥 − 2 − 10𝑥 2 = 0
Reduciendo los términos 𝑥 2 (como son ecuaciones lineales, los términos “𝑥 2 ” Siempre se deben cancelar. En
este caso, 5𝑥 2 − 5𝑥 2 + 10𝑥 2 − 10𝑥 2 = 0):
−20𝑥 + 20 − 30𝑥 − 45 − 𝑥 − 2 = 0
Ahora, dejo los términos con “x” en el primer miembro, y los términos independientes los paso al segundo
miembro:
−20𝑥 − 30𝑥 − 𝑥 = 0 − 20 + 45 + 2
Reduciendo términos semejantes:
−51𝑥 = 27
𝑥=
27
−51
Simplificando:
𝑥=−
9
; Solución o
17
raíz de la ecuación.
Comprobación:
5(𝑥 − 2)2 − 5(𝑥 + 3)2 + (2𝑥 − 1)(5𝑥 + 2) − 10𝑥 2 = 0
2
2
9
9
9
9
9 2
5 (− − 2) − 5 (− + 3) + [2 (− ) − 1] [5 (− ) + 2] − 10 (− ) = 0
17
17
17
17
17
Igualo denominadores en las sumas de fraccionarios, y resuelvo multiplicaciones internas:
5 (−
9 34 2
9 51 2
18
45
9 2
− ) − 5 (− + ) + [− − 1] [− + 2] − 10 (− ) = 0
17 17
17 17
17
17
17
5 (−
43 2
42 2
18 17
45 34
9 2
) − 5 ( ) + [− − ] [− + ] − 10 (− ) = 0
17
17
17 17
17 17
17
1849
1764
35
11
81
5(
) − 5(
) + [− ] [− ] − 10 (
)=0
289
289
17
17
289
1849
1764
385 810
5(
) −5(
)+
−
=0
289
289
289 289
9245 8820 385 810
−
+
−
=0
289
289 289 289
0
=0
289
0 = 0 ; Identidad.
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD TEMÁTICA
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales, incluyendo su respectiva comprobación:
a) 8𝑥 − 4 + 3𝑥 = 7𝑥 + 𝑥 + 14
b) 14 − 12𝑥 + 39𝑥 − 18𝑥 = 256 − 60𝑥 − 657𝑥
c) 3𝑥 + [−5𝑥 − (𝑥 + 3)] = 8𝑥 + (−5𝑥 − 9)
d)
4𝑥
12𝑥
+
5
3
2
=
48𝑥
5
12
5
− 2(
+
24
)
10
e) 𝑥 − 5𝑥 + 15 = 𝑥(𝑥 − 3) − 14 + 5(𝑥 − 2) + 3(13 − 2𝑥)