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Colegio Morelos – Secundaria
Mexicali B.C. 21 de febrero del 2016
Club de Matemáticas Avanzadas
Lección 3 – Matemáticas, buscando el balance y
equilibrio
Has escuchado alguna vez frases tales como “Ni tanto que queme al santo ni
tan poco que no lo alumbre” o “Hay que buscar y seguir el punto medio” o “El
equilibrio de lo imperfecto es lo que hace a este universo perfecto”, bueno,
pues estas frases que hacen referencia al balance y al equilibrio en la vida, también pueden
aplicarse sin duda a las matemáticas.
La base de las matemáticas está
cimentada en el balance, tan cierto es
esto que el avance moderno de las
matemáticas (y por ende de la
civilización) no pudo lograrse antes de
que se dieran por sentadas las técnicas
de balanceo, la notación matemática
moderna y el sistema numérico
posicional en base 10.
Aunque los pueblos antiguos,
notoriamente los babilonios, los
egipcios, los griegos, hindúes, mayas y
chinos realizaron significativos avances en las matemáticas, particularmente en aritmética y
geometría, fue en el siglo IX cuando se dio un salto espectacular en el desarrollo matemático
de mano de los matemáticos árabes.
En el año 820 un matemático y astrónomo persa (Persia era entonces parte del imperio
musulmán – califato) llamado Al-Jwarismi, escribió un tratado histórico y trascendental pues
cambió para siempre la visión de las operaciones matemáticas al introducir, los conceptos de
variables, coeficientes y de una simbología propia que fue la base de la notación matemática
moderna.
En su obra, Al-Jwarismi utiliza el concepto al-yabar para definir los cálculos sean éstos
numéricos o no, lo que puede traducirse como “reintegración” o “balanceo”, que dio origen y
nombre a nuestra moderna álgebra.
Aunque la aritmética permitía realizar cálculos, estos estaban centrados exclusivamente en
números, la geometría griega había logrado un paso más al desarrollar cálculos basados en
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relaciones geométricas (elementos no
numéricos) pero fueron los matemáticos árabes
los que dieron el salto definitivo para sentar la
teoría del cálculo para todas las cosas.
Puede que para nosotros sea relativamente
sencillo plantear formulaciones algebraicas para
representar una situación particular (por
ejemplo el planteamiento de un problema) pero
a la humanidad le llevo siglos refinar una
notación matemática o algebraica que fuera lo
suficientemente práctica y funcional, labor que
lograron los matemáticos europeos a finales de
la edad media.
Si lo pensamos un poquito, el concepto del
Representación de Al-Jwarismi, matemático y astrónomo
álgebra es en realidad sencillo y se basa en
persa del siglo IX, quien sentó las bases del álgebra
moderna
mantener el equilibrio o balance de las cosas, si
tenemos una situación definida por un modelo o
representación matemática y requerimos realizarle operaciones o transformaciones
matemáticas, debemos mantener su balance estricto o alteraremos su equilibrio o significado.
Las ecuaciones, funciones o relaciones son representaciones matemáticas que deben
mantener su balance o igualdad, podemos realizar operaciones matemáticas con ellas, pero
siempre respetando su igualdad.
La notación algebraica es la que nos permite plantear cualquier fenómeno, las bases son las
siguientes:
Las letras representan valores desconocidos los
cuales pueden ser constantes (coeficientes) o
variables, normalmente las constantes se
representan con las primeras letras del alfabeto: a, b,
c, d…
Las variables normalmente se representan con las
últimas letras del alfabeto: u, v, x, y, z
Un coeficiente es un valor numérico que multiplica a una
variable.
Los operadores son los símbolos matemáticos que representan
una operación como suma, resta, multiplicación o división.
Los términos son elementos de la ecuación separados por
sumas o restas, una expresión es un grupo de términos, una
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expresión de un solo término se
denomina monomio, de 2 términos
es un binomio, de tres términos
trinomio y de 4 o más se les llama
polinomios.
Los exponentes son valores
numéricos (ya sean constantes o
variables) que indican que el valor
que potencian, se debe multiplicar
por si mismo el número de veces indicado por el exponente:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Los radicales son valores numéricos parecidos a los exponentes solo que en lugar de potenciar,
se radicaliza o se le saca raíz (el valor que lo divide en ese número de veces):
3
√8 = 81/3 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
El balance en el álgebra exige que lo que hacemos del lado izquierdo de una ecuación, lo
haremos también en el lado derecho, ¡así de sencillo! (El signo igual es el que delimita ambos
lados de la ecuación)
Si sumamos algo del lado derecho, igual lo debemos sumar del lado izquierdo, si restamos algo
del lado derecho lo mismo deberemos hacer del lado izquierdo.
Si multiplicamos o dividimos el lado izquierdo de la ecuación por algún valor, lo mismo
haremos del lado derecho. Si potenciamos o radicalizamos del lado izquierdo, también
deberemos hacerlo del lado derecho.
Veamos algunos ejemplos para la misma ecuación 4𝑥 +
𝑥
8
=𝑦+2 :
Sumamos 4 unidades a ambos lados de la ecuación:
4𝑥 +
𝑥
8
+4 =𝑦+2+4
4𝑥 +
𝑥
8
+4=𝑦+6
Restamos 2 a ambos lados de la ecuación:
4𝑥 +
𝑥
8
−2 =𝑦+2−2
4𝑥 +
𝑥
8
−2 =𝑦
Multiplicamos por 8 a ambos lados de la ecuación:
(4𝑥 +
𝑥
8
) ∙ 8 = (𝑦 + 2) ∙ 8
32𝑥 + 𝑥 = 8𝑦 + 16
Dividimos entre 4 a ambos lados de la ecuación:
(4𝑥 +
𝑥
8
)/4 = (𝑦 + 2)/4
𝑥+
𝑥
32
𝑦
2
4
4
= +
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Revise las siguientes ligas para aprender animadamente un poco más acerca del álgebra y su
importancia:
Introducción al álgebra: https://www.youtube.com/watch?v=xA2w346rMeI
Para qué sirve el álgebra: https://www.youtube.com/watch?v=ztjnizXgfl4
Reconocer y reducir términos semejantes: https://www.youtube.com/watch?v=T-bCyQJWwSo
Problema 1
Utilizando lo aprendido en esta lección, utilice las propiedades del álgebra para despejar la
variable x en la siguiente ecuación.
𝑥
5𝑥 −
= 2𝑥 + 15
3
¿Cuánto vale la variable x?
Problema 2
Las personas que atienden la cafetería escolar, se han dado cuenta que los alumnos de
secundaria tienen distintos gustos para la comida. Saben que a la mitad les gustan las pizzas, a
la tercera parte los tacos y el resto compra ambos, tanto pizzas como tacos.
a) Si hay 120 alumnos en la secundaria, ¿Cuántos alumnos pedirán pizzas, cuántos pedirán
tacos y cuántos pedirán ambos platillos?
b) Si 33 niñas compraron pizza, y otras 30 compraron tacos, mientras que 12 niños
compraron tanto pizza como tacos ¿Cuántas niñas compraron solo pizzas, cuántos niños
compraron solo tacos? ¿Cuántos niños y niñas hay en la escuela?
c) Los niños que compran tacos, compra cada uno 3 mientras que las niñas solo compran
2, si cada taco le cuesta a la cafetería 10 pesos, ¿Cuánto debe invertir la cafetería para
comprar todos los tacos?
Elaborado por Erik Calero, febrero de 2016. Todos los derechos reservados
Algunos de los datos utilizados en los problemas son estimados
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