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Logaritmos:
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para
obtener el número.
logaritmos006
Se lee “logaritmo de x en base aes igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a
(la base) sea mayor que ceroy a la vez distinta de uno:
logaritmos007
Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la
potenciación, como en este ejemplo:
logaritmos008
Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2Esto significa que una potencia se puede
expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.El gráfico siguiente nos
muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como
logaritmo:
logaritmo_image007
¿Que es el logaritmo?El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para
obtener la potencia.Ejemplos:
1)
logaritmos001
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia
(4): 22 = 4
2)
logaritmos002
El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia
(1): 20 = 1
3)
logaritmos003
El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia
(0,25):
logaritmos004
, pero en este caso debemos despejar el exponente y:
logaritmos005
4)
logaritmos009
5)
logaritsmos010
Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta
es 10:
logaritmos011
, el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:
logaritmos012
6)
logaritmoms013
Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos
neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L. La base e está implícita, no se
escribe:
logaritmos014
7)
logaritmos015
Con lo ya expuesto, podemos empezar a establecer las:
Propiedades de los logaritmos:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
logaritmos024
No existe el logaritmo de un número negativo.
logaritmos025
No existe el logaritmo de cero.
logaritmos026
El logaritmo de 1 es cero.
logaritmos021
El logaritmo de a en base a es uno.
logaritmos022
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
logaritmos023
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
logaritmos016
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
logaritmos017
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
logaritmos018
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
logaritmos019
Cambio de base:
logaritmo020
Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) (ya vimos que la base 10 no se escribe,
queda implícita).
Logaritmos neperianos o naturales:
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x) (ya vimos que la base e tampoco se
escribe, se subentiende cuando aparece ln).
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos
números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...
Razones trigonométricas
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
razones
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
razones
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
razones
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
razones
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
razones
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
razones
Razones trigonométricas de cualquier ángulo:
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y
su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro
cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
dibujo
razones
razones
razones
Signo de las razones trigonométricas:
gráfica
tabla
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º:
tabla
tabla
tabla
triángulo
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
45°
45°
45°
cuadrado
Razones trigonométricas de ángulos notables
tabla
Relaciones trígonométricas fundamentales
sen² α + cos² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Ángulos complementarios
Razones
Razones
Razones
complementarios
Ángulos suplementarios
Razones
Razones
Razones
suplementarios
Ángulos que se diferencian en 180°
razones
Razones
Razones
dibujo
Ángulos opuestos
Razones
Razones
Razones
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Razones
Razones
Razones
Gráfica
Table of Contents
file:II Ficha Geometría undécimo 2011.docx
file:III Ficha Geometría undécimo 2011.docx
file:IV Ficha Geometría undécimo 2011.docx
file:V Ficha Geometría Polígonos undécimo 2011.docx
file:VI Ficha Geometría sólidos undécimo 2011.docx
file:VII Ficha Trigonometría 11.docx
Logaritmos:
Razones trigonométricas
Razones trigonométricas de ángulos notables
Relaciones trígonométricas fundamentales
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que se diferencian en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
<span class="mw-headline">Caso I - Factor común</span>
<span class="mw-headline">Factor común monomio</span>
<span class="mw-headline">Factor común polinomio</span>
<span class="mw-headline">Caso II - Factor común por agrupación de términos</span>
<span class="mw-headline">Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto</span>
<span class="mw-headline">Caso IV - Diferencia de cuadrados</span>
Factorización
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el
menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy
sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero
más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan
como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) ,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) ,
y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la
que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un
término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) ,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor
común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) ,
La respuesta es:
(5x^2+3x+7)(x-y) ,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b ,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) ,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) ,
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj),
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j),
= (2+3x)(y+j),
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el
restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un
Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los
términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y
los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al
cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2,
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis
separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x - 5y)^2,
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que
es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve
por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro
positivo.
(ay)^2-(bx)^2=(ay-bx)(ay+bx),
O en una forma más general para exponentes pares:
(ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m),
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el
resultado nos da r+1 factores.
(ay)^n-(bx)^m=((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})cdot prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}),
Ejemplo 1:
9y^2-4x^2=(3y)^2-(2x)^2=(3y+2x)(3y-2x),
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
(2y)^6-(3x)^{12}=((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})cdotprod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})=,
((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})=,
((2y)^{3/4}-(3x)^{3})cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}),