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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
PREPARATORIA OFICIAL No. 72
MANUAL Y GUÍA DE TRIGONOMETRÍA.
TERCER SEMESTRE
NOMBRE DEL ALUMNO:_____________________________________________________
GRUPO:_______________________
NO. LISTA_________
NOMBRE DEL PROFESOR:___________________________________________________
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
Desde su origen la trigonometría ha tratado de resolver problemas que marcaron la forma de observar al
cosmos y todo aquello que lo rodea. Aplicaron esta matemática en la navegación, en buscar técnicas para
medir la tierra y la astronomía, es decir en todo aquello que ha requerido de cálculos de distancias cuya
medición directa no resultaba posible. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la
trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los
lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una
montaña hasta su cima. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las
medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las
amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular unas mediante las otras. La materia de
trigonometría basa su construcción formal en la noción de conceptos como; ángulo que es básica en
geometría y obviamente en trigonometría y el triángulo que es el polígono más simple y también el más
fundamental, y a que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por otra parte, un tipo particular de
triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema
de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales. Todo este
panorama hace que el estudiante despierte el interés por resolver problemas con estas características y que
tienen base en materias anteriores como el pensamiento algebraico. Y a su vez desarrollan competencias
genéricas tan importantes para formar un ser integral La materia de trigonometría desarrolla habilidades para
el logro de las siguientes competencias genéricas:






Piensa crítica y reflexivamente
Se expresa y se comunica
Trabaja en forma colaborativa
Aprende de forma autónoma
Y estas a su vez se pueden apreciar en competencias disciplinarias básicas como:
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de
medios, códigos y herramientas apropiadas.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
De igual modo la materia de trigonometría se aborda en cuatro unidades que permiten desarrollar y tratar los
contenidos, que sustentan la parte científica del curso, los cuales son:
I.
II.
III.
IV.
Conceptos fundamentales,
razones trigonométricas,
funciones circulares
álgebra trigonométrica.
Para desarrollar las competencias antes mencionadas tenemos que partir de los procesos matemáticos es
decir, de cómo influye el lenguaje matemático, las destrezas que se activan para solucionar un problema y la
construcción de modelos matemáticos. Por lo que acciones encaminadas a fortalecer una de estas líneas
tendrán que ser evaluadas y valoradas de manera conjunta, ya sean los contenidos o valores que se
pretende desarrollar en el estudiante de una manera integral. Ahora bien, la evaluación tendrá que ser
bimestralmente:
Evaluados: Los contenidos temáticos, con exámenes o productos.
Valorados: Actitudes que fortalezcan el proceso enseñanza aprendizaje. Por último se tiene que tratar a la
materia de trigonometría, como el medio donde el estudiante pueda vincular los contenidos con situaciones
de su entorno, que llamaremos situaciones contextuales, tales como:
•¿Cómo de terminarlas longitudes de un puente?
•¿Cuántas losetas se utilizan en un piso?
•¿Cómo ayuda la trigonometría a un sistema global de posicionamiento?
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Dichos contenidos y capacidades tendrán que ser evaluados a través de: Situaciones problematizadas,
donde el estudiante aplique los conocimientos obtenidos en el curso y existan ítems que toquen los diferentes
niveles en que el estudiante puede aprender. Y la evaluación consistirá en medir al estudiante con exámenes
y se valora con un control de rúbricas las cuales evidencian los productos y actitudes que el alumno muestra
en el proceso de enseñanza–aprendizaje.
La medición indirecta de distancias muy grandes o inaccesibles por el tipo de terreno montañas, pantanos,
lagunas, desierto, la distancia de las estrellas, el sol es imposible realizarse de forma directa, de la misma
forma no es posible medir determinas figuras o estructuras complejas por sus formas que la componen,
desde los antiguas civilizaciones se han realizada estas mediciones con una asombrosa aproximación
mediante el ingenio del ser humana al representar esquemas geométricos y trigonométricas para dar
solución a estos problemas.
Los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que
permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La
distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una
embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar
inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente
geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida
según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo
de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los
segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de
manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
Las guías de estudio pretenden darte una orientación sobre los tópicos que son necesarios afianzar tus
conocimientos, lograr el desarrollo de las habilidades que te permitan resolver cualquier situación o
planteamiento de un contexto real o hipotético y prepararte para las evaluaciones que debes presentar en
este semestre.
SUERTE Y ÉXITO
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ORIGEN Y MÉTODOS
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La historia de la geometría se remota a los albores de la humanidad. Los hombres
primitivos poseían de manera intuitiva los conceptos de recta, punto y plano. Además, la
naturaleza les ofrecía múltiples ejemplos de representaciones geométricas: el Sol y la Luna
eran representados por medio de círculos; una estrella de mar para polígono estrellado, y
un caracol cualquiera por un espiral.
Posteriormente, la necesidad que surgió de conocer y modificar el mundo que les rodeaba
los obligó a profundizar y relacionar sus ideas, surgiendo el personaje de Euclides
(matemático griego) que organizó sus conocimientos de Geometría y sentó las bases de lo
que hoy en día se conoce como Geometría Clásica. Su obra fue tan exitosa que desde
hace 2000 años se sigue enseñando, desde entonces se le ha llamado Geometría
Euclidiana.
Sumerios y babilonios: La rueda inventada por los sumerios 3500 años A.C., marca en la
historia el inicio e la civilización; inventaron la escritura, crearon la aritmética y las
construcciones de sus ciudades envelan la aceptación de las figuras geométricas.
En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los Babilonios, herederos de los sumerios:
adaptaron la rueda a sus carros de guerra, descubriendo las propiedades de la
circunferencia, deduciendo el valor de "3" como relación entre la circunferencia y el
diámetro de un círculo.
De acuerdo a sus estudios astronómicos, conocieron que el año tiene aproximadamente
360 días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360 partes iguales,
obteniéndose así el grado sexagésimal.
También tenían el conocimiento de cómo trazar su hexágono regular inscrito en el círculo;
conocían una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.
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EGIPTO: Los egipcios obligados por las constantes avenidas (CRECIDAS) del Río Nilo
que año con año inundaba sus tierras de cultivo, por lo cual tenían que rehacer las
divisiones de tierra para calcular los impuestos para cada dueño de la superficie cultivada;
la aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida de la tierra de
lo cual se deduce el significado de GEOMETRÍA (medidas de la tierra) cuyas raíces
griegas son: GEO-Tierra y METRE-Medida.
También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como
la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus caras laterales son
triangulares equiláteros, la de KEOPS es una de las siete maravillas del mundo antiguo
donde se ha comprobado que además de la precisión en sus dimensiones era
perfectamente orientada.
Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo el de mayor
interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del triángulo
isósceles, área del círculo; determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la
circunferencia y diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los
Babilonios para .
Los egipcios empleaban el cordel (TENEDORES DE CUERDA) para sus operaciones de
construcción y diseño, siendo regla, compás y escuadra al mismo tiempo.
GRIEGOS: Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya
que no se cimentaban en una sistematización lógicas deducidas a partir de axiomas y
postulados.
En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos, TALES DE
MILETO, HERODOTO, PITAGORAS DE SAMOS y EUCLIDES DE ALEJANDRIA; quienes
fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.
PITÁGORAS DE SAMOS: (SIGLO VI A.C.) fue discípulo de Tales de Mileto, fundó en
CROTONA, ITALIA la escuela pitagórica, atribuyéndosele el Teorema que lleva su nombre
y que se enuncia:
" El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma
de sus cuadrados construidos sobre los catetos ".
Otro de sus teoremas expresa: " La suma de los ángulos interiores de un triángulo
cualquiera es igual a dos rectos”.
También demostró la construcción del pentágono y poliedros regulares como: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
EUCLIDES DE ALEJANDRIA: (SIGLO IV A.C.) uno de los más distinguidos maestros de
la universidad de Alejandría y quién por encargo de TOLOMEO Rey de Egipto, reunió y
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ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en su obra llamada "
ELEMENTOS " que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le considera el " padre
de la geometría ".
TALES DE MILETO: (SIGLO VII A.C.) fue uno de los siete sabios y fundador de la
escuela "JONICA", se inicia en la filosofía y las ciencias, especialmente en la geometría.
Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, conociendo la sombra que
proyectan; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del
ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; demostró algunos teoremas relativos
a las proporcionalidades de segmento determinados en dos rectas cortadas por un sistema
de paralelos.
TEOREMAS DE TALES DE MILETO:
1. " Los ángulos en la base de triángulo isósceles son iguales."
2. " Todo diámetro biseca a la circunferencia."
3. " Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales."
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PRESENCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN CONTEXTOS REALES
LA TORRE EIFFEL
Un buen y famoso ejemplo de construcción con
triángulos es la Torre Eiffel de París. Construida para la
Exposición Universal en conmemoración del centenario
de la Revolución Francesa, la torre con la bandera
flambeando en la cumbre fue inaugurada el 31 de marzo
de 1889. A pesar de las fuertes protestas y de las críticas
severas de los parisinos y de los intelectuales franceses
durante su construcción, la estructura metálica se ha
convertido hoy en día en el símbolo de París, atrayendo
cada año a más de 6 millones de visitantes.
EL PUENTE DE ALAMILLO DE SEVILLA
Fue construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava. El puente tiene un
solo brazo que soporta todo su peso. Es sin lugar a dudas una de las más destacadas
construcciones de las llevadas a cabo en Sevilla con motivo de la Exposición Universal de
1992. La estructura sustentadora, la plataforma de la calzada y los tirantes forman
triángulos oblicuángulos semejantes.
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LA TORRE DE PISA
Cuando el ángulo que forma un objeto con la línea del
horizonte (horizontal) es distinto de 90 ⁰, se dice que el
objeto está inclinado como la famosa Torre de Pisa (Italia)
de la ilustración. Si el ángulo del objeto y la horizontal es de
90⁰ el objeto es perpendicular a la horizontal y se dice que
es vertical.
CARRETERAS Y VÌAS DEL TREN
Cuando el ángulo que forma la carretera con la
horizontal alcanza cierto nivel es necesario extremar
las precauciones para evitar que el vehículo se deslice
hacia atrás (en subida) o que se acelere demasiado
(en bajada).A fin de prevenir a los conductores de
estas circunstancias que pueden ocasionar problemas
existen señales convencionales de tráfico.
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PRIMER EVALUACIÓN BIMESTRAL
CUESTIONARIO
I. Resuelve los siguientes enunciados.
1. ¿Defina que es la geometría?
2. Indique las ramas de la Geometría:
3. Indique que es la geometría euclidiana
4. Realice un mapa conceptual sobre la Geometría.
5. Describa que es punto, línea y plano mediante un dibujo
6. En las imágenes anteriores observas que se aplican diferentes conceptos
trigonométricos, escribe de cuales se tratan?.
7.
¿En culturas se desarrolló la trigonometría?
8. . ¿Cuáles fueron las primeras aplicaciones, que tipo de problemas resolvía?
9.
En la actualidad ¿dónde se aplica la trigonometría?
10. .- Observa tu alrededor y menciona los elementos que puedes visualizar de
trigonometría
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Clasificación de los ángulos
Concavo
Entrante
Perigonal
A partir de las figuras define con tus palabras los ángulo
Agudo
Recto
Llano
Obtuso
Poligonal
Usa el juego de geometría para trazar los ángulos según las siguientes medidas y escribe
su nombre correspondiente
25°
40°
60°
85°
90°
110°
130°
160°
180°
200°
230°
270°
300°
330°
345°
360°
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INVESTIGA la definición de los ángulos escribe su definición y muestra un ejemplo
Consecutivos
Adyacentes
Opuestos por el vértice
Complementarios
Suplementarios
Conjugados.
Ángulos orientados en un sistema cartesiano
Las características de un ángulo orientado en un sistema cartesiano son:
Su vértice coincide con el origen de coordenadas.
Está generado por la rotación de una semirrecta con origen en (0;0). La semirrecta
parte desde una posición inicial coincidente con el semieje positivo de las x y gira
manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal.
El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro.
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Traza en el plano cartesiano los ángulos de 30°, 45°, 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Traza en el plano cartesiano los ángulos de -30°, - 90° -135° -180° -225° - 270° - 360°
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SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
4.- Convierte las siguientes medidas en la unidad que se pide
Común o decimal a Sexagesimal
operaciones
40.72872 __________________
50.3167 ____________________
30.5630____________________
Sexagesimal a
Común o decimal
40° 30´ 40 “ _________________
120° 56¨ 39 “ ________________
60° 20´ 36 “ _________________
5.- Convertir radianes a grados
2.5 rad _________________
1.45 rad _________________
0.65 rad _________________
1,25 rad _________________
30 rad __________________
6.- Convertir de grados a radianes
130° _______________
90°
_______________
60° ________________
4
6
1
3
3
6
𝜋 _________________
𝜋 _________________
𝜋 _________________
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7.- Escribe el valor del Angulo que se pide en las siguientes expresiones
Complementarlo
Suplementario
50°
_______________
________________
30°
_______________
________________
12°
_______________
________________
65°
_______________
________________
25°
_______________
________________
8.- Calcular los ángulos que faltan en las siguientes imágenes
Operaciones
4x
X+25°
x+ 45°
3x
x-10°
X+20°
2x+10°
5x
3x+100°
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Situaciones contextuales
1. La rueda de la bicicleta de un competidor completa 12 rotaciones de 1.5 segundos.
¿Qué ángulo girará en 2.3 segundos? Expresa el resultado en grados
sexagesimales.
2. ¿En qué tiempo la Tierra gira un ángulo de 22º15’?
3
de rotación completa. Expresa el ángulo que se
4
abre en el sistema circular (en radianes).
3. El abanico de una dama se abre
4. Para cerrar un frasco, la tapadera gira 3.2 vueltas. Expresa el ángulo que gira la
tapa en el sistema sexagesimal.
5. Si la circunferencia (perímetro) de una rueda de automóvil de carreras es de 1.75
metros, calcula el ángulo sexagesimal que gira la rueda al recorrer 5 metros.
3
radianes. ¿En qué cuadrante del plano
4
cartesiano se encuentra su lado terminal?
6. Un ángulo en posición normal mide
7. Para fabricar una rueda de 70 rayos, necesitamos conocer cuánto debe medir el
ángulo entre cada par de rayos. Expresa el resultado en el sistema sexagesimal.
8. ¿Qué ángulo girará la Tierra en un tiempo de 36.5 horas? Expresa el resultado en el
sistema sexagesimal.
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INVESTIGAR. Las ecuaciones para calcular áreas de los triángulos
rectángulo, escaleno, isósceles equilátero, llena el cuadro siguiente:
TRIANGULO
FIGURA
ALTURA
AREA
Equilátero
Isósceles
PROBLEMAS Calcula el área de los de los triángulos siguientes
Equilátero si tiene un perímetro de 30 cm
Rectángulo si su base 15 cm, y su altura es igual a
2
3
de la base
Isósceles si la base es de 10 cm y sus lados miden 8
Escaleno si un sus lados miden 10cm y 8 cm y el angulo comprendido entre
estos lados es igual a 35º
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INVESTIGAR Rectas y puntos notables de los Triángulos. Trazar el Ortocentro,
Baricentro, Incentro, Circuncentro en los siguientes Triángulos
ORTOCENTRO
BARICENTRO
CIRCUNCENTRO
INCENTRO
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I. Relaciona ambas columnas, escribiendo dentro del paréntesis el número que
corresponde a la respuesta correcta.
1. Triángulo
2. Mediatriz
3. Triángulo rectángulo
4. Altura
5. Triángulo equilátero
( ) Segmento trazado de un vértice al punto medio del lado
opuesto.
(
) Intersección de las alturas de los lados del triángulo
( ) Polígono formado por tres lados que forman a su vez,
entre sí, tres ángulos.
( ) Intersección de las bisectrices de los ángulos de un
triángulo
(
) Intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.
(
)
(
) Intersección de las medianas de los lados del triángulo.
8. Triángulo obtusángulo
(
) Perpendicular que corta el punto medio de un segmento.
9. Triángulo isósceles
(
) Triángulo que tiene sus tres lados iguales
(
) Triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos.
(
) Son triángulos que tienen un ángulo recto.
(
) Son los triángulos con dos lados iguales y uno desigual.
(
) Son triángulos de lados desiguales.
(
) Son triángulos que tienen un ángulo obtuso.
6. Ortocentro
7. Incentro
10. Circuncentro
11. Triángulo escaleno
12. Bisectriz
13. Triángulo acutángulo
ABC
14. Gravicentro
( ) Semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos ángulos
iguales.
15. Mediana
( ) Segmento trazado desde un vértice y perpendicular al
lado opuesto.
16 Notación del triángulo
Investigar en la liga
Tales de Mileto Aristarco Eratóstenes “MEDIDAS INACCESIBLES”
http://www.arrakis.es/~mcj/medidas.htm
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INVESTIGAR SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Determina el valor de que se pide en los triángulos siguientes
h=
10cm
X=?
3 cm
cmc
m
----2 cm-------------12cm------------
-------
----------- 16 cm
---------------
12 cm -------------2cm
----- 4cm ---
X=
Semejanza de triángulos
Determina la altura del árbol en la figura mostrada, considera que OM=3m OQ=1m PQ=1.7m
OPERACIONES
P
Q
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Polígonos
De la definición de poligonal y de polígono:
Dibuja una poligonal cerrada y una abierta:
De la definición de polígono regular:
Escribe que tipo de polígono se trata: Cóncavo, Equilátero, Convexo ó Equiángulo.
_________
_________
________
_________
__________
______
Completa la siguiente tabla:
POLÍGONO
triangulo
NO DE LADOS
3 lados
4 lados
MEDIDA DE UN
ANGULO
60°
pentágono
6 lados
heptágono
8 lados
eneágono
10 lados
36°
undecágono
dodecágono
15 lados
Resuelva los siguientes problemas:
A) Cuantas diagonales se pueden trazar desde un vértice si el polígono tiene 4 lados:
B) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260°?
C) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1800°?
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D) Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono
E) Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono de 20 lados
F) Determinar el polígono regular cuyo ángulo exterior es 120°.
Trazar los siguientes polígonos
A) 45
B)35
B) 8
C) 16
Calcular lo siguiente a cada uno de ellos:
No. lados
Numero de triángulos.
45
35
8
16
Ángulos interiores (< i)
Ángulos exteriores (<e)
Sumatoria de ángulos
interiores (Σ< i)
Sumatoria de ángulos
exteriores (Σ<e)
Diagonales totales (D)
Diagonales que se
pueden trazar desde un
vértice (d)
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Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un
poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Un triángulo tiene dos lados de longitud 10cm y 6cm y el ´ ángulo comprendido entre ellos
de´ 100 Otro triangulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de ´ 100
¿Cuál es la razón de ´semejanza si existe?
Un triángulo tiene dos lados de longitud 2cm y 4cm y el ´ ángulo comprendido entre ellos
de ´ 70 Otro triangulo tiene lados de 8cm y 3cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de ´ 70 ¿
Cuál es la razón de ´semejanza si existe?
Un triángulo tiene dos lados de longitud 125cm y 130cm y el ´ ángulo comprendido entre
ellos de ´ 45 Otro triangulo tiene lados de 26cm y 25cm y el ´ ángulo entre ellos dos es de
´ 45 ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?
Se quiere construir un jardín con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la
proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m,
respectivamente. Calcula el perímetro del jardín. Solución: Dibujamos un triángulo
rectángulo y ponemos los datos en él:
8.1 m
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x
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
SEGUNDO PARCIAL
RAZONES TRIGONOMETRICAS
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
Si un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
Tenemos un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el
triángulo.
En el triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.
Considera que el triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el
triángulo
Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de
elevación del sol en ese momento.
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de
depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa
bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Usando la calculadora científica, encontrar el valor de las funciones trigonométricas
siguientes:
a) sen 35° =
f) sen 45° 50’=
b) cos 20° =
g) tan 70° 40’ =
c) tan 65° =
h) cos 15° 40’ =
d) cot 71° =
i) cot 51° 15’ =
e) Sec 18° 20’ =
j) csc 89° 50’ =
Encontrar el valor de los ángulos en cada caso, usando la calculadora:
a) sen 0.2588 =
f) sen 0.5
b) cos 0.3420 =
g) tan 1
c) tan 0.5773
=
h) cos 0.1908 =
d) cos 0.8660 =
i) tan 1.7320 =
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=
=
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
En los siguientes ejercicios, dada la función trigonométrica, expresa las funciones restantes
en relación con el ángulo dado. Traza el triángulo rectángulo correspondiente y utiliza el
teorema de Pitágoras para localizar los valores restantes. Por ejemplo
tan  
9
17

De la definición de la función tangente colocamos
los valores 7 y 17 en el triángulo.

19.24
9
Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula la
hipotenusa √92 + 172


= 19.24
Después se aplica las definiciones trigonométricas
con los datos del triangulo
17
Solución
sen  =
cot  =
9
19.24
19.24
9
cos  =
sec  =
17
19.24
17
19.24
tan  =
9
17
csc  =
19.24
9
Resuelve los siguientes
a) sen 
5
12
b) csc  
37
12
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
sen 
c)
d) cot  
e)
f)
6
10
5
4
tan   3
cos  
3
10
g) cot   5
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TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS LEY SENOS Y COSENOS.
60.- ¿Que es un triángulo oblicuángulo?
61.- Enuncia la ley de los senos, cosenos y tangentes. Escribe las formulas
correspondientes.
62.- Considerando la siguiente figura resuelve los ejercicios aplicando la ley adecuada
C
b
a
B
A
A)
B=12.67° , C=100° y b=13
B)
A=41° , B=77° y c=100
C)
a=25, b= 80, c= 60
D)
A=60º, b=20, c=30
E)
A=40.3º, B=62.9º b=5.63
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c
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F)
A=80.1º, a=8.0, b=3.4
G)
a=4.5 , b=6.3 y C=60°
H)
A=32°, B=48° y a=10
I)
b=3.4, c=2.8 y A=82°
J)
a=45, b=67 y C=35°
K)
a=10.5, b=40.8 y C=120°
L)
b=38, c=42 y A=135.5°
M) B=48° ,A=43.4° y c=8.6
N)
C=73.2°, A=13.7° y c=20.5
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Aplicaciones prácticas.
63.- Resuelva los siguientes problemas aplicando la ley adecuada.
A) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la
de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
B) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m
y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
C) Ángulos de un terreno triangular. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180
pies de longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados.
D) Se requiere determinar el área de un terreno que presenta la siguiente figura
25m
30m
35m
15m
45m
E) Dos fuerzas de 200kg y 250kg forman un ángulo de 60° entre si y se aplican a un cuerpo en el mismo
punto. hallar la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza de 200 Kg.
250 Kg.
resultante
200kg
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F) Un barco navega 200 millas a un ángulo de 33° hacia el noroeste y después altera su rumbo aun
ángulo de66° en la misma dirección y navega 300 millas calcular la distancia desde el punto de
partida hasta el punto final y la me4dida del ángulo 
66°
33°

200kg
G) Un tercer agujero de un campo de golf esta a 350 yardas como se muestra en la figura calcular la
distancia directa desde T hasta el agujero H sobre el obtusángulo de agua
D
127°
200yardas
H
150 yardas
Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º
Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos
y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.
A=?
c=?
B
b =5cm
30°
a =4 cm
C=?
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes
elementos.
C
a=
A
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B
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Calcular el valor del Angulo C , lado b
oblicuángulo
Y lado c del siguiente Triangulo
C=?
b=?
a=10m
30°
40°
A
c=?
B
El área de un rectángulo es 20cm2 y un lado mide 10 cm. Calcula el perímetro y la
diagonal del cm rectángulo.
El área de un trapecio isósceles (los lados no paralelos iguales) es 20cm2 las bases miden
7 cm , 3 cm respectivamente. Calcula la altura y el perímetro del trapecio.
Determina el área y el perímetro del siguiente trapecio rectángulo:
D
3
C
4
A
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x
B
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CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
32.
Definir el concepto de circunferencia
33. Definir el concepto de circulo
34. Definir los siguientes conceptos:
Radio,
Diámetro
Cuerda
Arco
Tangente
Secante
35. Definir los siguientes ángulos de una circunferencia:
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo semi-inscrito
Ángulo interior
Ángulo exterior
36. Anota en el cuadro de la derecha las letras correctas
de acuerdo al punto o segmento marcado en la
circunferencia
.
ELEMENTO
SEGMENTO
O PUNTO
Radio
Diametro
Centro
Cuerda
Secante
Tangebte
Punto de tangente
Arco
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37.- Dibuje los siguientes sectores de los círculos escribe las fórmulas para calcula sus
áreas
Sector
dibujo
Formula
Semicírculo
Quadrante circular
Sector circular
Segmento circular
Corona circular
Trapecio circular
TEOREMAS: ÁNGULOS CENTRAL, INSCRITO SEMINSCRITO, INTERIOR, EXTERIOR
38.- Resuelva los siguientes problemas de ángulos en la circunferencia:
ABC=50°
B
A
BC =
O
BC=
C
α=30°
AB=
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OM= 140°
ONM=
MON=
NM=
R
G
S
O
T
RT =110°
GTS=
ST = 40°
GST=
GT= 180°
RGT=
Las medidas de la circunferencia máxima de dos pelotas de fútbol oscilan entre 68 cm y 71
cm. ¿Entre qué valores varían los radios de estas pelotas?.
Calcula el radio de la Tierra en km, suponiéndola esférica y sabiendo que el ecuador tiene
aproximadamente 40.000 km.
Calcula la medida de un arco de circunferencia de 45º sabiendo que el radio de la
Circunferencia mide 5 cm.
Una circunferencia de radio 5 cm tiene un arco que mide 10 cm. ¿Cuánto mide el ángulo
central que abarca este arco?
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
La longitud de una circunferencia es 10 cm. Calcula el área del círculo.
El área de un círculo es 20cm2 . Calcula la longitud de la circunferencia.
Calcula el área y de la región sombreada:
r=4cm
3cm
2cm
R1
4cm
Rr1
2cm
Operaciones
Operaciones
6cm
1cm
1.6 cm
2cm
1cm
3cm
1.6cm
Operaciones
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Operaciones
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¿Cuánto mide el perímetro del círculo grande?
ÁREA Y PERÍMETROS
40. Definir que es el apotema de un polígono regular
41. Definir el concepto de perímetro y área
42. Calcular el perímetro y área de un triángulo equilátero de lado 3cm
43. Calcular el perímetro y área de un triángulo rectángulo de lados 3cm, 4cm y 5cm
44. Calcular el área de un triángulo de base 8cm y altura 6cm
45. Calcular el área de un triángulo cuyos lados son 9,7y5cm respectivamente aplique la
fórmula de Herón
46. Calcular el área y perímetro de un rectángulo de lados 2cm y 5cm respectivamente
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
47. Calcular el área y perímetro de cuadrado de lado 3cm
48. Calcular el área y perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm. y su
apotema vale 1.5 cm.
49. Calcular el área y perímetro de un rombo cuyos lados miden 2 cm. y las diagonales
miden 3.5cm y 1.7 cm. respectivamente
50. Calcular el área y perímetro de un trapecio cuya base mayor mide 4 cm. y la menor
1.5 cm. altura 2 cm. y el ultimo lado 3.3 cm.
51. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal es de 9 cm. y la altura es de 2 cm.?
52. Calcular el área de un hexágono regular de lado 3cm y apotema de 1.5 cm.
53. Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 42 cm.
Si se aumentan en dos cm. los lados de un cuadrado su área aumenta en 36cm 2 ¿Cuál es
el lado del cuadrado?
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
8.- Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:
a) 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 1
b) 𝑠𝑒𝑐 2 𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 = 1
c)
𝑠𝑒𝑛3 𝐴
𝑡𝑎𝑛2 𝐴
= 𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑠𝑒𝑛3 𝐴
d) (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝐴)(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝐴) = 1
e)
f)
g)
1−𝑐𝑠𝑐 2 𝐴
𝑐𝑠𝑐 2 𝐴
= −𝑐𝑜𝑠 2 𝐴
𝑐𝑠𝑐 2 𝐴−1
𝑐𝑜𝑡𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴
1
= 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑐 2 𝐴+𝑐𝑜𝑡 2 𝐴
𝑐𝑜𝑡𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴
= 𝑠𝑒𝑐 2 𝐴
𝑐𝑠𝑐𝐴
h) 𝑠𝑒𝑐𝐴 = √𝑐𝑠𝑐 2
i)
𝑠𝑒𝑛𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝐴−1
= 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 1
j) 𝑠𝑒𝑛2 𝐴 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴)
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EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios, en forma individual, usando el Teorema de Pitágoras.
A) En un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, hallar la hipotenusa cuando:
a) a = 5, b = 12.
b) a = 8, b = 15.
c) a = 4, b = 5.
d) a = 15, b = 20.
e) a = 2 2 , b = 2 2 .
B) En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c, hallar el cateto desconocido cuando:
a) a =8, c = 10.
b) b =10, c = 26.
c) a =20, c = 25.
d) b =21, c = 29.
e) a =5, c = 5 2 .
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
¿Cuál será la longitud de un cable que habrá de sujetar un poste de 15 m de altura, si se
atará a una distancia de 6 m del pie del poste?
La longitud de una resbaladilla es de 5.30 m., si la altura es de 2.40 m, ¿cuál será el
espacio para instalarla?
Una escalera de 3 m de longitud se encuentra recargada en una barda de 2.40 m de altura
¿A qué distancia de la barda se encuentra el pie de la escalera?
Encuentra el valor de AD si AC = 25
A
D
15
3
B
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E
C
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
Un guardia naval está ubicado a 35 m de altura en un faro sobre el nivel del mar, a lo lejos
avista dos barcos, el primero de los barcos tiene un ángulo de depresión de 35º 15’ y el
segundo barco da una lectura de 6º40. ¿Qué distancia separa a los barcos?
A 27 m de la base de una columna, se miden los ángulos de elevación del borde superior
de la columna y del extremo más alto de una estatua. Los ángulos medidos sonde 57º32’ y
56º10`. Determinar cuál es la longitud de la estatua.
El tirante de un puente forma un ángulo de 38º50’, con la horizontal ¿Cuál es la altura del
puente donde está colocado el tirante si tiene una longitud de 64 m?
5
, calcula las demás funciones trigonométricas
7
del mismo ángulo en el segundo cuadrante dl plano cartesiano
Si se tiene la función trigonométrica senA=
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
Un piloto alcanza a ver el aeropuerto de una ciudad con un ángulo de depresión de 32°
volando a una altura de 6 096 m. Al cabo de un rato ve nuevamente el aeropuerto, pero
ahora con un ángulo de depresión de 58°. ¿Qué distancia recorrió entre las dos veces que
vio el aeropuerto?
Los fuertes vientos inclinaron un árbol 12° respecto a la vertical. Cuando el ángulo de
elevación del sol es de 25°, el árbol proyecta una sombra de 24 metros. ¿Cuánto mide el
árbol?
Un avión debe volar 700 km hacia el oeste para llegar a un aeropuerto; si por error de
despegue se desvía 6° hacia el norte, ¿qué tan lejos se encuentra de su destino? ¿Qué
ángulo debe girar para corregir el rumbo, si ha recorrido 480 km?
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GUÍA Y MANUAL DE TRIGONOMETRÍA
Un terreno de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140.5 m y 170.6 m y el
ángulo opuesto al primero es de 40° ¿Cuántos metros de tela de alambre son necesarios
para cercar el terreno?
Soluciona los triángulos con la información que se proporciona en cada inciso. Toma como
base el triángulo oblicuángulo que se muestra en la figura.
B
c
A
a
b
C
a) B = 12° 40’, C = 100°, b = 13.1
e) a = 7.6, b = 4.8, c = 7.1
b) a = 25.7, b = 38.7, B = 10.8°
f) A = 65°, b = 80, c = 97
c) B = 41°, C = 77°, c = 100
g) a = 85, b = 73, C = 84°
d) a = 17, c = 14, C = 30°
h) a = 132, B = 52°, c = 89
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