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Coordenadas de puntos en el plano
¿Has oído hablar alguna vez de “un sistema de coordenadas”? Vamos a
aprender aquí a interpretar y representar puntos en un sistema de
coordenadas, pero antes hemos de saber representar un punto sobre un eje…
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS SOBRE UN EJE
Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un
punto de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los
números enteros:


Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros
positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.
Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y
hacia abajo los enteros negativos.
Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1),
tendremos que contar desde el origen, el cero, tantas unidades hacia la
derecha (si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es
negativo) como indique el valor sin signo (a ese valor se le llama valor
absoluto) del número que queremos representar:
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas está formado por dos ejes perpendiculares, que
se cortan en un punto O, que se llama origen de coordenadas. Sobre cada
eje se señalan unas marcas o que se corresponden con los números enteros,
positivos y negativos, tal y como acabamos de ver, al representar puntos sobre
un eje.
Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra X.
Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra Y.
Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro
regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:
Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que
son las coordenadas cartesianas del punto P.
Para facilitar la lectura de las coordenadas de cualquier punto marcado en el
plano, o para representar un punto del que conocemos sus coordenadas, a
veces el sistema de coordenadas aparece cuadriculado.
Veamos ahora, con algunos ejemplos, las coordenadas de puntos en cada uno
de los cuadrantes, y sobre los ejes de coordenadas.
Primer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +).
Por ejemplo, los puntos A(3, 1), B(2, 2) y C (4, 3) pertenecen al I cuadrante:
Segundo cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la x y positiva
la y (-, +). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II
cuadrante:
Tercer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -).
Por ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III
cuadrante:
Cuarto cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son positiva la x y negativa
la y (+, -). Por ejemplo, los puntos J (3, -1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV
cuadrante:
Sobre los ejes de coordenadas.
En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de
coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje X o
que esté sobre el eje Y.
Si está sobre el eje X, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva
o negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo,
los puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje X:
Si el punto está sobre el eje Y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y
positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por
ejemplo, los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje Y:
Si quieres practicar, puedes representar los puntos siguientes (además,
uniéndolos obtendrás un dibujo…): A (0, 9), B(5, 2), C(0, 2), D(-8, 2), E(0, 8), F
(0, 0), G(8, 0), H(6, -3), I(-6, -3), J(-8, 0), K(0,0)
Los ángulos
Si tienes un compás abierto sobre la mesa, ¿qué ángulo forman sus dos
brazos? ¿Sabes lo que es un ángulo? Llamamos ángulo a la región
comprendida entre dos semirrectas que tienen el punto de origen en común. A
ese punto se le llama vértice y a cada semirrecta se le llama lado.
¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?
Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:
a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el símbolo
encima, o
b) con tres letras mayúsculas y el símbolo encima: las dos letras de los
extremos representan a los lados y la de en medio al vértice.
Se representa como
o
.
¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?
Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su amplitud, usamos las
unidades: grado (°), minuto (′) y segundo (′′), cuyas equivalencias son 1° = 60′ =
60 × 60′′ = 3.600′′
Para medir físicamente o dibujar un ángulo usamos el transportador, que es
una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°, generalmente de material
plástico.
Para medir un ángulo con el transportador, se siguen los pasos siguientes:
1. Se coloca el transportador de forma que coincida el punto de su base, su
centro, con el vértice del ángulo, y que uno de los lados del ángulo pase por 0°,
es decir, por la base del transportador.
2. Se lee sobre la semicircunferencia del transportador la medida por la que
pasa el otro lado del ángulo.
Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se procede al revés. Por
ejemplo, para dibujar un ángulo de 70º se siguen estos pasos:
1. Con una regla se traza un lado del ángulo.
2. Se coloca la base del transportador sobre ese lado, y con su centro sobre el
que será el vértice del ángulo.
3. Se marca con ayuda de la escala graduada el punto correspondiente a los
grados del ángulo que queremos representar, en nuestro caso 70°.
4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con dicho punto.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según su amplitud, un ángulo puede ser:



Agudo: si es menor de 90°.
Recto: si es igual a 90°.
Obtuso: si es mayor de 90°.
Vamos a definir ahora ángulo nulo, ángulo recto, ángulo llano y ángulo
completo, y para representarlos nos valemos de un paipay o abanico chino,
que se puede abrir por completo, y formar todos los ángulos posibles entre 0° y
360°.
Un ángulo nulo (amplitud 0°) es aquel en el que sus dos lados coinciden.
Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos lados perpendiculares.
Un ángulo llano (180° de amplitud) es el que tiene sus lados opuestos.
Un ángulo completo (amplitud 360°) tiene sus lados coincidentes; es, por
tanto, equivalente al nulo.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS
Según las posiciones que presenten dos ángulos entre sí, estos pueden ser:
1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.
y
son ángulos externos.
2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y el vértice
y
son ángulos consecutivos.
3. Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos, tienen el lado no
común sobre la misma recta.
y
son ángulos adyacentes.
4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice común, y los lados de
uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice
tienen la misma amplitud, son iguales.
y
son ángulos opuestos por el vértice.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°:
y
son complementarios:
+
= 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°:
y
son suplementarios:
+
= 180°.
Suma y resta de ángulos
Podemos sumar y restar ángulos gráficamente, dibujando los ángulos, y
también numéricamente, operando con sus medidas. Si queremos ser precisos
al representar los ángulos, hemos de dibujarlos con ayuda de un transportador,
ya sabes… una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°.
SUMA DE ÁNGULOS
Para sumar dos ángulos cualesquiera,
y
, dibujamos el segundo a
continuación del primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de los
lados, el OB y el OC en este caso. El ángulo suma será el resultante
:
Si queremos sumar las medidas de sus amplitudes, hemos de seguir los
siguientes pasos:
1. Escribimos un ángulo debajo del otro, de forma que queden alineadas las
unidades del mismo orden (grados con grados, minutos con minutos, segundos
con segundos).
2. Sumamos las unidades por separado, es decir, sumamos cada una de las
tres columnas.
3. Revisamos si la suma de los segundos es o no mayor que 60. En caso de
que sea menor, queda tal cual, y proseguimos con el paso 4. En el caso de que
la suma sea mayor que 60, hemos de pasar de segundos a minutos, para lo
cual:



dividimos dicha suma entre 60,
dejamos en segundos el resto de la división, y
le sumamos el cociente a los minutos.
4. Revisamos si la suma de los minutos es mayor o no que 60. En caso de que
no lo sea, queda tal cual, y hemos terminado la operación. En el caso de que
sea mayor que 60, hemos de pasar de minutos a grados, para lo cual:



dividimos la suma de minutos entre 60,
dejamos en minutos el resto de la división, y
le sumamos el cociente a los grados.
Por ejemplo, vamos a efectuar la suma: 33° 45’ 51’’ + 15° 22’ 24’’. Para ello,
seguimos los pasos indicados.
1. Los colocamos alineados en columna:
2. Sumamos por separado cada una de las tres columnas:
3. Nos fijamos en los segundos, y como 75 > 60, convertimos a minutos:
El resto son 15’’, y el cociente se lo sumamos a los minutos: 67’ + 1’ = 68’.
4. Ahora nos fijamos en los minutos, y como 68 > 60, convertimos a grados:
El resto son 8’, y el cociente se lo sumamos a los grados: 48° + 1° = 49°.
Así pues, 33° 45’ 51’’ + 15º 22’ 24’’ = 49° 8’ 15’’
RESTA DE ÁNGULOS
Para restar dos ángulos cualesquiera,
y
, dibujamos el segundo
superpuesto al primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de sus
lados, el OA y el OC en este caso. El ángulo resta será el resultante
:
Si queremos restar las medidas de sus amplitudes, seguimos los siguientes
pasos:
1. Escribimos el segundo ángulo (sustraendo) debajo del primero (minuendo),
de forma que queden alineadas las unidades del mismo orden.
2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del
sustraendo. Si no fuera así, la resta no se podría hacer.
3. Nos fijamos en la cantidad de segundos del minuendo y del sustraendo:


si el minuendo es mayor que el sustraendo, efectuamos la resta;
si el minuendo es menor que el sustraendo, convertimos uno de los
minutos a segundos, con lo que ya sí se podría realizar la resta (pudiera
ocurrir que tuviéramos que convertir más de 1 minuto a segundos).
4. Observamos la cantidad de minutos del minuendo y del sustraendo, y
procedemos de forma similar que en el caso de los segundos.
5. Una vez efectuadas las restas de las tres columnas, revisamos si el número
de segundos o el de minutos es mayor que 60, en cuyo caso tendríamos que
dividir entre 60 para convertir en la unidad superior.
Por ejemplo, vamos a efectuar la resta: 21° 7’ 8’’ - 14° 30’ 26’’. Para ello,
seguimos los pasos indicados.
1. Los colocamos alineados en columna:
2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del
sustraendo: 21 > 14, y por tanto la resta sí se puede realizar.
3. Observamos que no podemos restar los segundos, pues 8 < 26. Hemos de
convertir uno de los siete minutos en segundos: 7’ = 6’ 60’’; por tanto,
21° 7’ 8’’ → 21° 6’ 68’’
Y ahora restamos los segundos:
4. Ahora nos fijamos en los minutos y vemos que no podemos restar, pues 6 <
30. Hemos de convertir uno de los veintiún grados en minutos: 21º = 20º 60’;
por tanto,
21° 6’ 68’’ → 20° 66’ 68’’
Y restamos los minutos y los grados:
Así pues, 21° 7’ 8’’ - 14º 30’ 26’’ = 6° 36’ 42’’
Las rectas
Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de luz representan lo
que es una recta. Es una línea continua en una dirección que se mantiene fija,
sin saltos o interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está
formada por infinitos puntos.
PUNTOS Y RECTAS
Para nombrar las rectas se suelen usar las letras r, s, t, u..., siempre
minúsculas.
Si marcamos un punto P sobre una recta r, esta queda dividida en dos partes o
semirrectas, que llamamos, por ejemplo, s y t. Una semirrecta sí tiene
principio, pero no tiene fin. Al punto P se le llama origen de ambas semirrectas.
Si marcamos dos puntos, P y Q, sobre una recta, esta queda dividida en tres
partes: las semirrectas s y t, y el segmento PQ. Un segmento es un trozo de
recta que queda limitado por dos puntos, en este caso P y Q. Por tanto, un
segmento sí tiene principio y fin. A los puntos P y Q se les llama extremos del
segmento.
Cuando pintamos un punto y nos ponemos a dibujar rectas que pasen por él,
vemos que podemos dibujar cuantas queramos: por un punto pasan infinitas
rectas.
Cuando pintamos dos puntos y tratamos de dibujar rectas que pasen por ellos,
vemos que solo una pasa por los dos: por dos puntos solo pasa una línea
recta.
Si pintamos tres puntos no alineados y tratamos de dibujar una recta que pase
por los tres, vemos que no es posible. En cambio, si los tres están alineados,
solo pasa una recta por ellos.
POSICIONES DE DOS RECTAS SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA
Si en un papel dibujamos dos rectas, estas pueden ser:
Paralelas, si no se cortan nunca, por mucho que las prolonguemos; no tienen
ningún punto en común. Dos rectas paralelas tienen la misma dirección.
Secantes, si se cortan en un punto. Dos rectas secantes tienen diferentes
direcciones.
Perpendiculares, si además de ser secantes, se cortan formando cuatro
ángulos rectos (de 90°). Dos rectas perpendiculares tienen diferentes
direcciones.
Coincidentes, si además de ser paralelas tienen todos sus puntos en común;
se trata de la misma recta.
Como ejemplo de rectas paralelas piensa en las dos vías de un tren, en las
huellas que dejan los neumáticos de un coche sobre una carretera mojada o en
dos atletas corriendo una prueba de 100 metros por calles contiguas.
Como ejemplo de rectas secantes, que pueden ser perpendiculares, piensa en
un cruce de carreteras o en un cruce de dos calles.
Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares sobre un papel utilizamos dos
instrumentos de dibujo: la escuadra y el cartabón. La escuadra tiene forma de
triángulo isósceles, pues dos de sus lados, los que forman un ángulo recto, y
se llaman catetos, son iguales. El cartabón es un triángulo escaleno, sus tres
lados tienen longitudes diferentes, y dos de ellos (los catetos) forman también
un ángulo recto. Ambos están hechos, generalmente, de un material plástico
transparente.
Para dibujar una paralela a una recta se siguen estos pasos:
1. Se alinea la hipotenusa de la escuadra con la recta.
2. Se apoya el cateto de la escuadra sobre el cartabón, que se mantiene así
fijo.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que llegue a la posición en la
que deseamos dibujar la recta paralela.
Para dibujar ahora perpendiculares a las rectas anteriores se siguen estos
pasos:
1. Sin mover el cartabón de su posición, se levanta la escuadra.
2. Se gira la escuadra de forma que sea su otro cateto el que se apoye sobre el
cartabón.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que su hipotenusa llegue a la
posición en la que deseamos dibujar la recta perpendicular.
Las rectas
Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de luz representan lo
que es una recta. Es una línea continua en una dirección que se mantiene fija,
sin saltos o interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está
formada por infinitos puntos.
PUNTOS Y RECTAS
Para nombrar las rectas se suelen usar las letras r, s, t, u..., siempre
minúsculas.
Si marcamos un punto P sobre una recta r, esta queda dividida en dos partes o
semirrectas, que llamamos, por ejemplo, s y t. Una semirrecta sí tiene
principio, pero no tiene fin. Al punto P se le llama origen de ambas semirrectas.
Si marcamos dos puntos, P y Q, sobre una recta, esta queda dividida en tres
partes: las semirrectas s y t, y el segmento PQ. Un segmento es un trozo de
recta que queda limitado por dos puntos, en este caso P y Q. Por tanto, un
segmento sí tiene principio y fin. A los puntos P y Q se les llama extremos del
segmento.
Cuando pintamos un punto y nos ponemos a dibujar rectas que pasen por él,
vemos que podemos dibujar cuantas queramos: por un punto pasan infinitas
rectas.
Cuando pintamos dos puntos y tratamos de dibujar rectas que pasen por ellos,
vemos que solo una pasa por los dos: por dos puntos solo pasa una línea
recta.
Si pintamos tres puntos no alineados y tratamos de dibujar una recta que pase
por los tres, vemos que no es posible. En cambio, si los tres están alineados,
solo pasa una recta por ellos.
POSICIONES DE DOS RECTAS SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA
Si en un papel dibujamos dos rectas, estas pueden ser:
Paralelas, si no se cortan nunca, por mucho que las prolonguemos; no tienen
ningún punto en común. Dos rectas paralelas tienen la misma dirección.
Secantes, si se cortan en un punto. Dos rectas secantes tienen diferentes
direcciones.
Perpendiculares, si además de ser secantes, se cortan formando cuatro
ángulos rectos (de 90°). Dos rectas perpendiculares tienen diferentes
direcciones.
Coincidentes, si además de ser paralelas tienen todos sus puntos en común;
se trata de la misma recta.
Como ejemplo de rectas paralelas piensa en las dos vías de un tren, en las
huellas que dejan los neumáticos de un coche sobre una carretera mojada o en
dos atletas corriendo una prueba de 100 metros por calles contiguas.
Como ejemplo de rectas secantes, que pueden ser perpendiculares, piensa en
un cruce de carreteras o en un cruce de dos calles.
Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares sobre un papel utilizamos dos
instrumentos de dibujo: la escuadra y el cartabón. La escuadra tiene forma de
triángulo isósceles, pues dos de sus lados, los que forman un ángulo recto, y
se llaman catetos, son iguales. El cartabón es un triángulo escaleno, sus tres
lados tienen longitudes diferentes, y dos de ellos (los catetos) forman también
un ángulo recto. Ambos están hechos, generalmente, de un material plástico
transparente.
Para dibujar una paralela a una recta se siguen estos pasos:
1. Se alinea la hipotenusa de la escuadra con la recta.
2. Se apoya el cateto de la escuadra sobre el cartabón, que se mantiene así
fijo.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que llegue a la posición en la
que deseamos dibujar la recta paralela.
Para dibujar ahora perpendiculares a las rectas anteriores se siguen estos
pasos:
1. Sin mover el cartabón de su posición, se levanta la escuadra.
2. Se gira la escuadra de forma que sea su otro cateto el que se apoye sobre el
cartabón.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que su hipotenusa llegue a la
posición en la que deseamos dibujar la recta perpendicular.
Los polígonos
Si te fijas en la cara o superficie que ves de muchos de los objetos que hay a tu
alrededor, observarás que sus líneas de contorno son rectas, y que son figuras
cerradas. Otros objetos tienen caras con lados circulares o curvos, pero ahora
nos vamos a fijar en las caras con lados rectos, llamadas caras poligonales o,
sencillamente, polígonos.
¿QUÉ ES UN POLÍGONO?
Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos.
Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos y las
diagonales.
Los lados son los segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.
Los vértices son los puntos donde se cortan los lados dos a dos.
Los ángulos son las regiones comprendidas entre cada par de lados.
Las diagonales son los segmentos que unen cada pareja de vértices no
consecutivos.
CLASES DE POLÍGONOS
Según su número de lados, los polígonos se llaman:
Según la amplitud de sus ángulos, un polígono puede ser:


Convexo, si todos sus ángulos son menores que 180°.
Cóncavo, si alguno de sus ángulos es mayor que 180°.
Según la longitud de sus lados, los polígonos pueden ser:


Regulares, si tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Irregulares, si tienen lados desiguales.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de las longitudes de sus
lados.
Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro, P, de cada uno de los polígonos de
las dos figuras siguientes.
Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 3 cm: P = 3 + 3 + 3 + 3
= 3 × 4 = 12 cm
Para el polígono de cinco lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2
+ 2 = 2 × 5 = 10 cm
Para el polígono cuyos lados, iguales dos a dos, miden 2 y 4 cm: P = 2 + 4 + 2
+ 4 = 2 × 2 + 4 × 2 = 12 cm
Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2
= 2 × 4 = 8 cm
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior
como lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice
común que es el centro del polígono.
El área de cada uno de esos triángulos será:
Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema (a) del polígono:
Así pues:
El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, seis en el
caso del hexágono anterior:
Y sustituyendo los valores del lado y de la apotema en nuestro caso,
tendremos:
En general, para un polígono regular de n lados, su área se calcula así:
Los triángulos
Los triángulos son polígonos de tres lados; una señal de tráfico de ceda el
paso, una vela de windsurf o de un velero, y algunos sandwiches tienen forma
de triángulos. Pero no todos son iguales, hay distintas clases de triángulos.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sea la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equiláteros: tienen los tres lados iguales.
Isósceles: tienen dos lados iguales.
Escalenos: tienen los tres lados desiguales.
El que ves a continuación de color rojo es un triángulo equilátero, el de color
azul es isósceles y el de color verde, escaleno:
También se pueden clasificar los triángulos según sean sus ángulos:
Acutángulos: si sus tres ángulos son agudos (< 90°).
Rectángulos: si uno de sus ángulos es recto (= 90°).
Obtusángulos: si uno de sus ángulos es obtuso (> 90°).
El de color rojo es un triángulo acutángulo, el de color azul es rectángulo y el
de color verde, obtusángulo:
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Los ángulos de cualquier triángulo suman entre los tres 180º. Si conocemos
dos de ellos podemos calcular cuánto medirá el tercero. Por ejemplo:
En el primer triángulo: 60° + 70° +
50°
En el segundo triángulo: 90° +
40°
En el tercer triángulo:
70°
= 180° 130° +
+ 50° = 180°
+ 80° + 30° = 180°
= 180°
= 180° – 130° =
+ 140° = 180°
+ 110° = 180°
= 180° - 140° =
= 180° - 110° =
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el
segmento perpendicular a la base o a su prolongación, trazado desde el vértice
opuesto al lado de la base.
Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la
siguiente figura:
Vamos a calcular el área del triángulo rojo. Si trazamos desde el vértice C un
segmento paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro
segmento paralelo al lado AC, y de su misma longitud, obtenemos un
romboide, que tiene la misma base y la misma altura que el triángulo. Como el
área del romboide es: Área del romboide = base × altura
Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, resulta que:
El área de un triángulo es igual a su base por su altura partido por dos.
Si quieres, puedes practicar hallando el área de estos triángulos:
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS
Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y
4 cm, hemos de seguir estos pasos:
1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un
segmento de esa longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B:
2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y
la otra haya 5 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo
izquierdo del segmento y trazamos un arco de circunferencia:
3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta
y la otra haya 4 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro
extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco de circunferencia que
cortará al anterior en un punto, que rotulamos como C:
4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto de corte, C, y el
triángulo queda dibujado:
Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 2 cm
comprobarás que los arcos trazados desde los dos extremos del segmento no
se cortan: es imposible situar el punto C y por tanto no se puede dibujar el
triángulo.
En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera de sus lados ha de ser
menor que la suma de los otros dos. En este último caso, 6 cm no es menor
que 3 + 2 = 5 cm y, por tanto, el triángulo no se puede construir.
Los cuadriláteros
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados. Si te fijas, cerca de
ti hay muchos objetos cuya línea de contorno tiene forma de cuadrilátero: una
ventana, la pantalla de un ordenador o de un televisor plano, un póster, una
puerta o el trapecio que forma en el suelo la luz del Sol que entra por la
ventana.
Los cuadriláteros son los polígonos que más abundan a nuestro alrededor, más
que los triángulos y, por supuesto, que los pentágonos, hexágonos…
CLASES DE CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.
Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.
Son cuatro:




El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos
(90°).
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos
rectos (90°).
El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos no miden 90°.
El romboide tiene los lados iguales dos a dos, pero sus ángulos no
miden 90°.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos son el trapecio y el trapezoide:


El trapecio tiene dos de sus lados opuestos paralelos. A esos lados se
les llama bases.
El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a su lado opuesto.
ÁREA DEL CUADRADO Y DEL RECTÁNGULO
Para calcular el área de estos dos paralelogramos, les dibujamos una
cuadrícula, en la que el lado de cada cuadrado mida 1 unidad, por ejemplo, 1
centímetro:
Para el cuadrado, el primer paralelogramo: 3 × 3 = 9 cuadrados Área = 9 cm2
Para el segundo paralelogramo, el rectángulo: 6 × 3 = 18 cuadrados Área = 18
cm2
Así pues, las áreas del cuadrado y del rectángulo son: Área del cuadrado =
lado × lado Área del rectángulo = base × altura
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.
Queremos enlosar el suelo de una habitación que mide 6 m de larga por 3 m de
ancha con baldosines cuadrados que miden 0,6 m de lado. ¿Qué superficie
ocupa cada baldosín? ¿Qué superficie tiene el suelo de la habitación?
¿Cuántos baldosines serán necesarios?
El área de cada baldosín será: 0,6 × 0,6 = 0,36 m2
El área del suelo de la habitación será: 6 × 3 = 18 m2
Así que, para enlosar la habitación se necesitarán: 18 : 0,36 = 50 baldosines
ÁREA DEL ROMBOIDE
Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos por la
línea de puntos y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que
resulta es un rectángulo cuya base y cuya altura miden lo mismo que las del
romboide:
Como las dos figuras ocupan la misma superficie: Área del romboide = Área del
rectángulo
Con lo que: Área del romboide = base × altura
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos
paralelas a sus diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya
altura mide igual que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo
Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son
iguales, y dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo.
Es decir, el área del rombo será la mitad del área del rectángulo.
Si quieres, puedes practicar con los ejemplos siguientes.
1. Halla el área de una cometa que tiene forma de rombo, cuyas diagonales
miden 60 cm la mayor y 40 cm la menor.
Aplicando la fórmula que acabamos de ver, tendremos:
2. Queremos cubrir de césped artificial una terraza con forma de romboide,
cuyas medidas son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de césped nos
hacen falta?
Como Área romboide = base × altura
entonces: Área de la terraza = 4 × 2 = 8 m2
Es decir, nos hacen falta 8 m2 de césped artificial para cubrir toda la terraza.
La circunferencia y el círculo
El aro de una canasta de baloncesto y un anillo son circunferencias. La
circunferencia es una figura curva, cerrada (no tiene un punto de principio ni de
final) y plana (la dibujamos sobre una superficie plana), cuyos puntos están
todos a la misma distancia de su centro. Si colocamos el anillo, por ejemplo,
sobre una lámina de papel y coloreamos la zona que queda dentro de la
circunferencia, esta superficie plana coloreada es un círculo.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Algunos elementos de la circunferencia son: radio, cuerda, diámetro y arco.




El radio es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia
con su centro.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. A
la cuerda que pasa por el centro se le llama diámetro.
El diámetro mide el doble que el radio, y divide a la circunferencia en dos
semicircunferencias.
Un arco es la parte de circunferencia comprendida entre dos de sus
puntos.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el
número p (que vale 3,14 y se lee “pi”): Longitud de la circunferencia = diámetro
×p
Si quisiéramos, por ejemplo, saber lo que avanza la rueda de una bicicleta de
40 cm de diámetro cada vez que da una vuelta, hallaríamos la longitud de su
circunferencia: Longitud = 40 × 3,14 = 125,6 cm
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.
Si en cada viaje, un tiovivo da 30 vueltas, ¿qué distancia recorrerás si te
montas en un caballito que está a 2 metros de su eje o centro?
Cada vuelta recorrerás una circunferencia de 2 m de radio; por tanto, su
diámetro será: diámetro = 2 × radio = 4 m
Y la longitud de la circunferencia: longitud = diámetro × 3,14 longitud = 4 × 3,14
= 12,56 m
Si en cada viaje se dan 30 vueltas, la distancia recorrida será: 30 × 12,56 =
376,8 m
POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Sobre una superficie plana, una recta y una circunferencia pueden estar en una
de estas tres posiciones:
1. La recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común.
2. La recta tangente a la circunferencia: tienen un punto en común.
3. La recta secante a la circunferencia: tienen dos puntos en común.
POSICIONES DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias sobre una superficie plana, pueden ocupar distintas
posiciones una respecto a la otra, pudiendo ser: exteriores, interiores,
concéntricas, tangentes exteriores, tangentes interiores o secantes.
1. Exteriores: no tienen ningún punto en común.
2. Interiores: no tienen ningún punto en común.
3. Concéntricas: tienen el mismo centro, pero diferentes radios.
4. Tangentes exteriores: tienen un punto en común.
5. Tangentes interiores: tienen un punto en común.
6. Secantes: tienen dos puntos en común.
EL CÍRCULO
El círculo es la figura que forman una circunferencia y su interior. No debes
confundir la circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la
superficie que encierra esa línea.
Un sector circular es la parte de círculo comprendida entre dos radios y el
arco que abarcan.
Un semicírculo es la superficie limitada por un diámetro y la
semicircunferencia: es la mitad del círculo.
Un segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y
su arco.
ÁREA DEL CÍRCULO
El área de un círculo de radio R es igual a p por su radio al cuadrado: Área del
círculo = p × R2
Vamos a calcular el área del círculo en los dos ejemplos siguientes.
1. Halla el área de una pizza que mide 15 cm de radio.
La pizza tiene forma circular, así que: Área de la pizza = p × R2
Como R2 = 152 = 225: Área = 3,14 × 225 = 706,5 cm2
2. Una diana de dardos tiene 40 cm de diámetro. Calcula el área que ocupa.
Como el diámetro es el doble del radio: Radio = diámetro : 2 Radio = 40 : 2 =
20 cm
Y como R2 = 202 = 400: Área = 3,14 × 400 = 1.256 cm2
LA CORONA CIRCULAR
Una corona circular es la zona que queda comprendida entre dos
circunferencias de diferentes radios.
Para hallar el área de una corona circular, restamos del área del círculo
grande el área del círculo pequeño. Siendo R el radio del círculo grande y r el
del pequeño,
El área será: Área = p × R2 – p × r2
Si quieres, puedes practicar con el siguiente ejemplo:
Una tarta redonda se ha adornado, en su parte central, de 9 cm de radio, con
mermelada de fresa, y en la corona circular que queda hasta el borde, de radio
13 cm, con nata. Halla la superficie de tarta adornada con nata.
Hallamos el área de toda la tarta (del círculo grande); como R2 = 132 = 169:
Área = p × R2 = 3,14 × 169 = 530,66 cm2
Y ahora hallamos el área de la parte central(del círculo más pequeño); como r2
= 92 = 81: área = p × r2 = 3,14 × 81 = 254,34 cm2
El área de la zona adornada con nata será: Área de la corona = 530,66 –
254,34 = 276,32 cm2
Simetrías y traslaciones
Al estudiar las figuras geométricas es frecuente encontrarnos con que “una
figura es simétrica de otra” o que “una figura se ha obtenido por traslación de
otra”.
Vamos a estudiar en qué consisten las simetrías y las traslaciones,
apoyándonos en una cuadrícula, que nos va a facilitar su comprensión.
Una cuadrícula también nos va a permitir hallar el área de figuras dibujadas
sobre ella, siempre que su trazo englobe cuadros enteros o partes de cuadros
con las que sumemos cuadros completos.
SIMETRÍAS
Una figura es simétrica de otra con respecto a una línea, que llamamos eje de
simetría, si cumple que:
1. las dos figuras son idénticas, pero una mira hacia un lado y la otra hacia
el lado contrario (tienen diferente orientación);
2. el segmento que une cada punto de la figura con su punto simétrico es
perpendicular al eje de simetría;
3. la distancia de cualquier punto al eje de simetría es igual que la de su
simétrico a dicho eje.
Observa que los dos muñecos tienen la misma forma y tamaño, pero uno mira
hacia la derecha y el otro hacia la izquierda:
Además, la línea que une los dos ojos es perpendicular al eje, y la distancia
que hay entre cada uno de ellos y el eje es la misma.
Aunque habitualmente cuando dibujamos una figura simétrica a otra elegimos
un eje vertical, podemos obtener figuras simétricas respecto a un eje en
cualquier otra dirección.
¿No te recuerda el eje de simetría a la superficie de un espejo en el que ves
reflejada tu propia imagen?
TRASLACIONES
Trasladar una figura es desplazar todos sus puntos una misma distancia, de
manera que la figura resultante tiene la misma forma y orientación que la figura
original, lo único que cambia es su posición. Veámoslo con el siguiente
ejemplo:
El pez rojo lo hemos obtenido trasladando el azul 5 cuadros hacia abajo.
El pez verde lo hemos obtenido trasladando el azul 10 cuadros hacia la
derecha.
El pez naranja lo hemos obtenido trasladando el azul 12 cuadros hacia la
derecha y 6 cuadros hacia abajo.
Todos tienen la misma forma, tamaño y orientación (los cuatro miran hacia la
derecha).
ÁREAS DE FIGURAS SOBRE CUADRÍCULA
Para medir la superficie de una figura plana, dibujamos una cuadrícula que la
contenga. Si cada cuadrado de la cuadrícula equivale a una unidad de
superficie, calculando el número de cuadrados que quedan comprendidos
dentro de la figura, tendremos una medida de su área.
El área de una figura es la medida de su superficie.
Veamos un ejemplo:
La superficie de la cruz de color rojo ocupa 4 cuadrados (o lo que es lo mismo,
la cruz tiene un área de 4 cuadrados). Para medir los del dibujo del barco azul,
ten en cuenta que tiene medios cuadrados coloreados; si los sumamos
obtenemos un área de 3 cuadrados.
La flecha verde ocupa 6 cuadrados en total. Fíjate que, en este caso, el lado
izquierdo de la punta de flecha junto con el lado derecho suman 2 cuadrados
(pues la línea de uno cualquiera de los lados es la diagonal del rectángulo
formado por dos cuadrados, y lo divide en dos partes iguales).
En figuras con líneas curvas, tenemos que fijarnos en si algunas de las
superficies limitadas por esas líneas y los cuadrados se complementan entre sí.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda cada trozo coloreado de rojo unido a
un trozo de color verde suma un cuadrado. Su área es, por tanto, de 6
cuadrados:
En la figura central, cada trozo verde sumado a cada trozo rojo son 4
cuadrados. Por tanto, esta figura tiene un área de 12 cuadrados. En la de la
derecha, cada trozo rojo sumado a un trozo verde da 2 cuadrados; su área es,
por tanto, de 8 cuadrados.