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DATOS INFORMATIVOS:
NOMBRE: LUIS VALENZUELA
NIVEL: Primero “B”
CARRERA: Arquitectura
FECHA: 28 de septiembre del 2010
TEMA:
1.- Punto. Línea y superficie son conceptos no definidos. ¿Cual de ellos viene representado por:
(a) la punta aguzada de un lápiz
(b) el filo de una hoja de afeitar
(c) una hoja de papel
(d) una de las caras de una caja
(e) el pliegue de un trozo de papel doblado
(f) la intersección de dos caminos en un mapa
SOLUCION:
(a) Punto
(b) Línea
(c) superficie
(d) Superficie
(e) Línea
(f) Punto
2.-
(a) Indicar los segmentos que cortan en E
(b) Indicar los segmentos que se cortan en D
(c) ¿Qué otros segmentos se pueden dibujar?
(d) Indique el punto de intersección de AC y BD
B
A
F
C
E
D
SOLUCION:
(a) EA, DE.
(b) DE, DF,
(c) AD,
DC,
BE,
DB.
CE,
EF.
(d) F
3.-
(a) Hallar la longitud de AB si AD es 8 y D es el punto de medio de AB
(b) Hallar la longitud de AE si AC es 21 y E es el punto AC.
(c) Indique dos rectas que bisequen los segmentos, si F y G son los puntos de trisección
de BC.
A
D
B
.
F
.E
G
C
SOLUCION:
(a) 16
(b) 10.5
(c) AF bisecta a BG y AG bisecta a FC.
4.- (a) Averiguar OB si el diámetro AD = 36
(b) Averiguar AE si E es el punto medio de la semicircunferencia AED.
Averiguar cuantos grados tiene
(c) CD, (d) AC, (e) AEC
B
C
60º
A
D
E
SOLUCION:
(a) Diámetro AD = 36 el radio OB =18
(b)AED = 180º
AE = 180º - 90º
AE = 90º
(C) AD = 180º ; AB = 60º, BC = 70º
CD= ??
AB+BC+CD =180º
60º+70º+CD =180º
CD=180-60-70
CD= 180º-130º
CD= 50º
(d) AC= AB+BC
AC= 60º+70º
AC=130º
(e) AE+ED+CD= AEC
90º+90º+50º = AEC
AEC= 230º
5.- Indicar, nombrándolos, los siguientes ángulos del dibujo:
(a) Un ángulo agudo en B
B
C
(b) Un ángulo agudo en E
(c) Un ángulo
(d) tres ángulos obtusos
A
D
(e) Un ángulo llano.
SOLUCION:
(a) ∠ CBE
(b) ∠ AEB
(c) ∠ABE
(d) ∠ABC;
∠BCD;
∠BED;
(e) ∠ AED
6.- (a) Hallar el ángulo de ∠ADC si el ∠c =45º y el ∠ d =85º
(b) Hallar el ∠AEB si el ∠e = 60º
(c) Hallar el ∠ EBD si el ∠a =15º
(d) Hallar el ∠ ABC si ∠b = 42º
B
a
e
C
b
e
d
E
A
E
D
SOLUCION
(a) ∠ADC= e+d
∠ ADC= 45º+85º
∠ ADC= 130º
(b) AEB=120º
(c) ∠EBC = 75º
(d) ∠ABC=132º
5
2
1
1
7.- Calcular (a) los 6 de un ∠ r; (b) los 9 de un ∠ II; (C) 3 de 31º; (d)5 de 45º 55´
SOLUCION:
(a)
5
6
(b)
2
(180º)
9
(c)
1
(31º)
3
(d)
1
5
(90º) = 75º
= 40º
= 10
1
3
; 10º 20´
(45º 55´) = 9º 11´
8.- ¿Cuánto vale el giro o rotación efectuando:
1
3
(a) Por el horario en 3 horas, (b) por el minutero en de hora?
¿Cuánto vale el ángulo de rotación cuando gira:
( c) Desde el oeste hasta el noreste en el sentido del reloj?
(d) Desde el este hasta el sur en el sentido contra el reloj?
(E) Desde el sureste hasta el noreste de cualquier sentido?
SOLUCION.(a) En una hora el minutero completa la circunferencia de 360º, en consecuencia en 3 horas gira
90º
(b)
1
3
(360º) = 120º
(c)El giro del Norte al Oeste es 90º; súmese el giro desde el Oeste al Noroeste es 45º; esto es
igual a la suma de 90+45= 135º
(d) El giro desde este hasta el sur en sentido contrario al reloj es de 270º.
(e)
SO al E=135º
NO al SO= 45º
E al NO = 135º
270º
45º
135º
9.- Hallar el ángulo que forma las manecillas del reloj:
(a) A las tres en punto, (b) a las 10 en punto, ( c) a las 5:30 en punto, (d) a las 11:30 en punto.
SOLUCION.(a)
1
(180)
2
= 90º
(b)
1
(180)
3
= 60º
(c)
1
(45)
3
(d)
165º
= 15º
10. En el dibujo que se muestra:
(a) Nombrar dos pares de restas perpendiculares
(b) Hallar <BCD si < 4 es 39°
Si < 1 = 78°, hallar ( c) < BAD, (d) < 2, (e) < CAE.
C
B
2
E
1
3
A
SOLUCION:
a)
D
H) 1 = 34°
T) <BCD= ?
D) Proposiciones:
a) 1. <AB, <BC
2. <AC, <CD
<BCD= <4 + <ACD
<BCD= 39° + 90°
<BCD= 129°
b)
H) 1 = 78°
T) <BAD
D) Proposiciones:
< EAD=180°
1+2+3= 180°
1+< BAD = 180°
78°+<BAD= 180°
<BAD= 102°
c)
H) 1=78°
T) 2=?
D) proposiciones:
<BAD= <2 + <3
<BAD= <2 +<2
<BAD= 2 <2
2 <2=102°
<2= 102°
<2=
102
2
<2= 51°
d)
H) <1=78°
T) <CAE
D) proposiciones:
<CAE= <1+<2
<CAE= 78°+51°
< CAE= 129°
11. (a) en la figura 1, indicar tres triángulos rectángulos y la hipotenusa y los catetos de cada uno.
En la figura 2, indicar:
(b) dos triangulos obtusángulos, y ( c) dos triangulos isósceles. Además, indicar los lados iguales
(piernas), los ángulos de la base y el ángulo del vértice de cada uno.
C
A
B
E
A
B
D
Figura1
D
Figura2
C
SOLUCION:
(a) EL <ABC, HIPOTENUSA AB, CATETOS AC Y BC
EL < ACD, HIPOTENUSA AC, CATETOS AD Y CD
EL <BCD, HIPOTENUSA BC, CATETOS BD Y CD
(b) EL <DAB Y < ABC
(c) EL <AEB, LADOS IGUALES AE Y BE, BASE AB, ANGULO DEL VERTICE <
AEB.
EL < AEB. LADOS IGUALES AE Y BE BASE AB, ANGULOS DEL VERTICE <AEB.
EL < CED, LADOS IGUALES DE Y CE, BASE CD, ANGULO DEL VERTICE < CED.
12. Indicar los segmentos y ángulos iguales que se forman:
(a) si PR en mediatriz de AB
(b) si BF es bisectriz del <ABC
( c) si CG es una altura correspondiente a AD
(d) Si EM es una mediana correspondiente a AD.
B
R
C
P
F
M
D
A
G
E
SOLUCION:
(a)
(b)
(c)
(d)
AR = BR Y <PARA = < PRB,
<ABF=<CBF,
<CGD
AM= MD
13. Establecer la relación que existe entre cada par de ángulos:
(a) <1 y <4
(b) <3 y <4
( c) <1 y <2
d) <4 y <5
e) <1 y <3
f) <AOD y <5
E
D
A
2
3
1
4
E
5
C
SOLUCION:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Angulo opuesto por el vértice
Ángulos complementarios contiguos
Ángulos contiguos
Ángulos suplementarios contiguos ( ángulos adyacentes )
Ángulos complementarios
Ángulos opuestos por el vértice.
14. En cada uno de los casos siguientes , hallar los dos ángulos:
a) los ángulos son suplementarios y el menor tiene 40° menos que el mayor.
b) los ángulos son suplementarios y el menor es el cuádruplo del menor.
c) los ángulos son suplementarios y el menor es la mitad del mayor.
d) los ángulos son suplementarios y el menor tiene 58° mas que el menor.
e) los ángulos son suplementarios y el mayor tiene 20° menos que el triplo del menor.
f) los ángulos son contiguos y forman un ángulo de 140°. El menor tiene 28° menos que el mayor.
g) los ángulos son apuestos por el vértice y suplementarios.
β
α
SOLUCION:
H) α+β= 180°
Α = β – 40°
T) α=?
Β=?
H) proposiciones:
a)
α+β= 180°
α= β -40°
β- 40° + β = 180°
2β= 220°
β = 110°
α = 110° - 40°
α = 70°
b)
H) α + β = 180°
Β = 42°
T) β=?
α =?
D) proposiciones:
α + 4α = 180°
5 α = 180°
α = 36°
β = 4 ( 36°)
β 144°
c)
H) α + β =180°
α=β/2
T) β =?
α =?
H) proposiciones:
β / 2 = 180°
β + 2β /2 = 180°
3β / 2 =180°
3β = 180°(2)
3β = 360°
β = 360°/ 3
β =120°
α = β /2
α = 120°/ 2
α = 60°
d)
H) α + β =180°
β = α + 58°
T) β =?
α =?
H) proposiciones:
α + α +58°= 180°
2 α +58°= 180°
2α =180°-58°
α = 61°
β = 61° +58°
β = 119°
e)
H) α + β =180°
β = 3α -20°
D) proposiciones:
α + 3α -20° = 180°
4 α = 180° + 20°
4 α=200°
α= 200°/4
α=50°
β=3α-20°
β=3(50°)-20°
β=150°-20°
β=130°
f)
H) α + β =140°
α=β-28°
D) proposiciones:
β-28°+β=140°
2β= 140°+28°
β=168°/2
β=84°
α=β-28°
α=84°-28°
α=56°
g)
α+β+Ý+ϴ=360°
β+β+α+α=360°
2β + 2α = 360°
β+α=180°
β=180°-Ý
180° - Ý + α = 180°
0=0
15. Si dos ángulos se representan por a y b, plantear dos ecuaciones para cada uno de los
siguientes problemas; después hallar los ángulos:
a) los ángulos son contiguos y juntos forman un ángulos de 75°. Su diferencia es 21°.
b) los ángulos son complementarios. Uno de ellos tiene 10° menos que el triplo del otro.
c) los ángulos son suplementarios. Uno de ellos tiene 20° mas que el cuádruplo del otro.
SOLUCION:
A)
H) a+b= 75°
A=b-21°
D) proposiciones:
b-21° + b = 75°
2b – 21° =75°
2b= 75° + 21°
2b=96°
b= 48°
a= b – 21°
a= 48° - 21°
a= 27°
b)
H) a+b = 90°
A= 3b – 10°
T) a=?
B=?
D) proposiciones:
3b+10°.b=90°
4b-10° = 90°
4b=90°+10°
4b=100°
B=100°/4
B=25°
A=3b-10°
A= 3 (25) – 10°
a= 75° - 10°
a= 65°
c)
H) a+b=180°
A= 4b+20°
D) proposiciones:
4b+20°+b=180°
5b+20° =180°
5b= 180°-20°
5b=160
B=160/5
B= 32°
A= 4b+20°
A= 4(32°)+20°
A=128°+20°
A=148°